Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước trong bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Phần 1: MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức là dạng toán cơ bản trongchương trình toán THCS Trong đó việc khai thác đẳng thức cho trước là dạngkhó đối với học sinh Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề thi tuyểnsinh vào THPT chuyên, các đề thi học sinh giỏi các cấp và là nền tảng cho cácbài toán ở các lớp trên Trong quá trình giảng dạy ở lớp 8, lớp 9 và dạy Độituyển học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy khi gặp dạng toán này, học sinhthường lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm, đặc biệt khi gặpdạng toán”Cho đẳng thức A, yêu cầu chứng minh đẳng thức hoặc rút gọn biểuthức B”, thì nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu hoặc sa vào khai triển đẳngthức B, sau đó mới sử dụng kết quả đẳng thức A

Nguyên nhân học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài này xuất pháttừ những lý do sau:

1 Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán.2 Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.

3 Không đọc kĩ đề bài, chưa hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải toán.4 Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịunghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sửdụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.

5 Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúngchưa.

Với thực tế và yêu cầu chung đó trong tài liệu này tôi xin được trao đổi

kinh nghiệm với đồng nghiệp về ''Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước

trong bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức'' với hy vọng đề tài

này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viênvà học sinh trong việc dạy và học.

Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sángkiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Sáng kiến kinh nghiệm này ngoài việc củng cố các kiến thức cơ bản trongsách giáo khoa còn cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng và rèn luyện kỹ nănggiải các dạng toán cho học sinh Với mỗi bài học sinh phát hiện ra dạng và tìmra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát bài toán và đặt đề toántương tự Từ đó học sinh phát triển tư duy logic, hiểu sâu kiến thức, có hứng thúnghiên cứu khoa học và nâng cao hiệu quả giáo dục.

Nghiên cứu về " Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước trong bài

toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức'' Giúp giáo viên nâng cao

năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học từ đóđịnh hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán, mở rộng, đào sâu và hoànthiện hiểu biết Ngoài ra còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thànhcông về chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức

1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu là các học sinh lớp 8, lớp 9 và các học sinh độituyển Toán.

Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán qua các năm.Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡngthường xuyên, các loại sách tham khảo.

Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn.

1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường

Hệ thông hoá một số phương pháp chứng minh đẳng thức và rút gọn biểuthức

Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

1.5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp,khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá.

1.6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sángkiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh hamthích học dạng toán này hơn

Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Xuất phát từ đặc trưng của môn toán của môn Toán ở trường THCS mộtmôn “khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơbản, vững chắc có hệ thống Rèn luyện và phát triển các kĩ năng giải toán và ứngdụng vào thực tế, khả năng tư duy logic, sử dụng ngôn ngữ chính xác Bồidưỡng các phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh

Căn cứ vào thực tế dạy và học của chương trình Đại số 9 tôi thấy hệ thốngbài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành mớiđáp ứng cho học sinh đại trà Đối với học sinh khá, giỏi dạng bài tập này rấtphong phú và đa dạng.

2.2 THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN:2.2.1 Thực trạng:

*) Số liệu thống kê

Khi chưa áp dụng đề tài, qua khảo sát 102 học sinh lớp 9A, 9F, HS đội tuyển Toán trường THCS Trần Mai Ninh đã phản ánh học sinh còn lúng túng với dạng toán này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cách thực sự, kết quả cụ thể như sau:

Số học sinh Tỷ lệ Kết quả

Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh còn lúngtúng với dạng toán này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cáchthực sự chưa có khả năng phân tích dữ liệu từ đề bài để giải quyết các bài toán.

2.3 CÁC GIẢI PHÁP:

Thực tế trong quá trình giải toán nói chung và dạng toán này nói riêng thìkhông có một con đường nào thực sự cụ thể mà việc giải toán đặc biệt là toánkhó thì đòi hỏi người dạy, người học phải tìm tòi sáng tạo cho mình một phươngpháp tiếp cận bài toán dựa trên cơ sở đã học Từ đó chúng ta sẽ tìm ra nhữngquy luật những cách giải cho một dạng toán Vì vậy trong khuôn khổ của đề tàinày, tôi xin đưa ra một phương pháp tiếp cận dạng toán chứng minh, rút gọn dựavào đẳng thức cho trước bằng một số bài toán sau đây:

A HỆ THỐNG HÓA CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN

 Như đặt vấn đề ở trên, để giải quyết dạng toán này ta cần phải kết hợp hàihòa giữa đẳng thức đã cho với đẳng thức cần chứng minh và biểu thức cầnrút gọn từ đó tìm ra những phép biến đổi hợp lý.

 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải: Từ giả thiết suy ra:   1 1 1 0

        

 

3 Thay số trong biểu thức cần tính bằng biểu thức chứa chữ:

Bài toán 4: Cho abc = 1, biết biểu thức sau được xác định Chứng minh

Tổng quát với trường hợp abc = k, ta có thể thay số k trong biểu thức cần tính bằng tích abc.

Bài toán 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 1   Rút gọn biểu thức sau:

b) B = 

  2  2 222

b) Ta có: a2 2bc 1 a2 2bc ba  ca  bc  a b a c    

Tương tự : b22ca 1b  a b c    ; c22ab 1  c a c b    

         

-1

4 Sử dụng phương pháp hệ số bất định Bài toán 8: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:

  2

x y x yz

Giả sử a, b là cac số thực thỏa mãn:

bb a

Vậy D2x2  y2  z23 4 y2  7z2

2.0 3.5 15

Bài toán 9: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn:

 

Tính giá trị biểu thức

zx y

 

sx y z

sxy t

sx y z t

Từ đó suy ra:

G xy yz   x z y  S  Vậy G = 12.

Bài tập tương tự:

Bài toán 13: Cho các số thực x, y, z với y dương ,thỏa mãn:

1 2

x yyz

Tính giá trị biểu thức K xy yz xz  .

6 Một số dạng khác

b c c a a b  (*) với a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh:

a b b c c a       a b b c   b c c a   c a a b  (*)

Lời giải: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

ac a cab a bcb b ca c a b b cac a cab a bcb b cabc

a c ac bab bcabca c a b b cabc

*Ý tưởng: Nhìn đẳng thức cần chứng minh khá cồng kềnh, tuy nhiên nếu tinh ý

một chút, ta thấy rằng bên vế trái của (*) có tổng của ba thừa số đồng thời vế phải của (*) xuất hiện tổng hoán vị của hai thừa số Vì vậy nếu chuyển vế ta sẽ nhóm được nhân tử chung là:

434

Hoặc , ta có thể đi tới hướng tư duy ẩn phụ hóa để đơn giản bài toán hơn một chút Vẫn là hướng phát hiện như bên trên, ta sẽ đặt ẩn phụ các thừa số

(**) là chưa đủ mà cần phải khéo léo kết hợp với GT của bài toán để biến đổi.

Lời giải: Từ giả thiết ta có:

Bài toán 22: Chứng minh rằng nếu: 3a  3 b 3c 3 a b c

Thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta đều có: na n b n c n a b c

Do đó với n là số nguyên dương lẻ thì ta có:

D BÀI TẬP THAM KHẢO



yzxxz z



Trên đây là một số bài toán tôi đã vận dụng vào quá trình nghiên cứu vàhướng dẫn cho học sinh Những biện pháp và bài học tôi đã trình bày ở trên,bước đầu đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân Tuynhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạyhọc mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo để nâng cao chất lượng học sinh nóichung và chất lượng mũi nhọn nói riêng

Nội dung của đề tài và những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một biệnpháp nhỏ bé để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, nó không tránh khỏinhiều thiếu sót, vì vậy tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của các thầy giáo,cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phươngpháp giảng dạy của mình Tôi hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc nâng caochất lượng dạy và học, góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học tập về phầnnàỵ

Đề tài còn nhiều hạn chế như:

- Chưa khai thác được hết các dạng.- Các bài tập chưa nhiều;

- Cách trình bày chưa thật súc tích, khoa học.

Tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các em họcsinh về đề tài này để tôi rút kinh nghiệm cho việc viết đề tài lần sau.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiếm kinh nghiệm của mình không sao chépnội dung của người khác.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNGĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm 2019

CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết

Trần Thị Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9.

- Toán nâng cao và phát triển toán 9 – Vũ Hữu Bình.

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 – Bùi Văn Tuyên.

Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở - Toán 9 – Đại số - Vũ Hữu Bình – NguyễnNgọc Đạm – Nguyễn Bá Đang – Lê Quốc Hân – Hồ Quang Vinh.

1 Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 NXB Giáo Dục2 Nâng cao & phát triển toán 8 NXB Giáo Dục

3 Nâng cao & phát triển toán 9 NXB Giáo Dục.

4 Các chuyên đề chọn lọc toán 9 – Tôn Thân, Phạm Thị Lệ Hằng, Nguyễn ĐứcTrường.

5 225 bài toán chọn lọc Đại số NXB Đại học quốc gia.6 Một số tạp chí toán học tuổi thơ NXB Giáo Dục

7 Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ NXB Giáo Dục8 Thực hành giải toán NXB Giáo Dục

9 Một số đề thi học sinh giỏi