skkn khai thác một số hướng sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ HƯỚNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lĩnh vực/Môn: Toán Tên tác giả: Nguyễn Thanh Giang Giáo viên môn toán NĂM HỌC 2013-2014 1 PHẦN 1: PHẦN LÍ LỊCH Họ và tên tác giả: Nguyễn Thanh Giang Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Hưng Yên Tên đề tài SKKN: Khai thác một số hướng sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức PHẦN 2: PHẦN NỘI DUNG MỞ ĐẦU 1-Đặt vấn đề: 2 Thc trng ca vn : Trong chng trỡnh toỏn Trung hc hc sinh c lm quen vi bi toỏn chng minh bt ng thc t lp 8. Bi toỏn chng minh bt ng thc thng xuyờn xut hin trong k thi i hc, k thi hc sinh gii tnh, hc sinh gii Quc gia, hc sinh gii Quc t Khi xut hin trong cỏc k thi bi toỏn chng minh bt ng thc thng l mt trong nhng bi toỏn khú . Sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh, đặc biệt là học sinh chuyên toán, học sinh các đội tuyển học sinh giỏi, hc sinh chun b thi i hc mt s hng chứng minh bất đẳng thức s dng o hm, giỳp hc sinh mt hng tip cn vi bi toỏn chng minh bt ng thc. í ngha v tỏc dng ca ti: i mi phng phỏp ging dy mụn toỏn trong giai on hin nay nh th no? Cõu hi c t ra cho nhng ngi lm cụng tỏc ging dy toỏn trong trng ph thụng. Sỏng kin kinh nghim ny ngoi vic cung cp kin thc cho hc sinh cũn cp n vic i mi phng phỏp dy hc khi dy cỏc chuyờn vi mc tiờu nõng cao nng lc t duy, phỏn oỏn, bit a ra con ng hp lý cho li gii; phỏt huy vai trũ ch ng, sỏng to, tớnh tớch cc ca hc sinh trong hc toỏn; hc sinh cú th gii mt s bi toỏn khỏc khi s dng bt ng thc, hc sinh t tỡm tũi, sỏng to ra nhng bi toỏn mi Việc giảng dạy nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này khích lệ học sinh tìm tòi, sáng tạo trong học toán và giải toán cũng nh nghiên cứu toán học khi ngồi trên ghế nhà trờng. Phm vi nghiờn cu ca ti: Trong chng trỡnh THPT o hm cú nhiu ng dng gii cỏc dng toỏn khỏc nhau: ng dng o hm gii phng trỡnh; h phng trỡnh; chng minh bt ng thc; tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht, tớnh gii hn, Cú nhiu phng phỏp khỏc nhau chng minh bt ng thc, trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này chỉ cp n chứng minh bất đẳng thức cú ứng dụng o hm v khai thỏc cỏc bt ng thc trong vic gii quyt cỏc bi toỏn khỏc. Đây cũng là mt phn nội dung chuyên đề về bất ng thức mà tác giả giảng dạy ở các lớp chuyên toán cũng nh đợc phân công ging dy tất cả các đội tuyển quốc gia của tỉnh Hng Yên trong nhiu nm qua. 2- Phng phỏp tin hnh 3 Giáo viên và học sinh phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức tổng kết được qua các bước thực hiện trên mỗi lớp chuyên, đội tuyển sau đây: - Trang bị kiến thức cơ bản về đạo hàm. - Cung cấp trước một hệ thống bài tập để học sinh tự tìm tòi cách giải ở nhà. - Sử dụng hệ thống bài tập đã cho học sinh làm, cùng học sinh tổng kết các hướng chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm. - Liên hệ bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm trong các bài toán khác. - Sáng tạo các bài toán từ bất đẳng thức cơ bản được chứng minh bởi đạo hàm. Nội dung SKKN này sử dụng giảng dạy cho các lớp chuyên toán, các học sinh giỏi toán, các đội tuyển học sinh giỏi thi học sinh giỏi tỉnh và học sinh giỏi Quốc gia và có thể giảng dạy một phần ở các lớp ôn thi đại học. NỘI DUNG A- Mục tiêu: Đề tài SKKN đảm bảo các nội dung sau Các định lý và các bất đẳng thức cơ bản Phần này hệ thống lại các kiến thức cơ bản, các bất đẳng thức cơ bản được chứng minh bằng công cụ đạo hàm sẽ được sử dụng trong phần sau. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm. Phần này hệ thống lại các hướng chính để chứng minh bất đẳng thức sử dụng công cụ đạo hàm. 4 Sử dụng các bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm giải các bài toán khác và sáng tạo những bài toán mới từ các bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm. Phần này đưa ra một số bài toán khác giải được trên cơ sở các bất đẳng thức và tạo ra các bài toán mới từ các bất đẳng thức cơ bản chứng minh bởi công cụ đạo hàm qua đó khích lệ học sinh tự sáng tác những bài toán mới. Một số bài tập luyện tập Phần này dùng để cho học sinh củng cố và rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức sử dụng công cụ đạo hàm. B- Giải pháp của đề tài I- CÁC ĐỊNH LÝ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC CHỨNG MINH BẰNG ĐẠO HÀM 1.1 Các định lý: 1.1.1 Định lý Lagrange Hàm số )(xfy = liên tục trên [ ] ba; , có đạo hàm trên khoảng );( ba thì ( ) bac ;∈∃ sao cho ab afbf cf − − = )()( )( / 1.1.2 Định lí Rolle Hàm số )(xfy = liên tục trên [ ] ba; , có đạo hàm trên khoảng );( ba và )()( bfaf = thì ( ) bac ;∈∃ sao cho 0)( / =cf 1.1.3 Điều kiện để hàm số lồi, lõm và bất đăng thức Jensen(*) Định nghĩa hàm số lõm, hàm số lồi Hàm số )(xfy = có đạo hàm cấp 2 trên D và Dxxf ∈∀≥ 0)( // ( )( // xf trượt tiêu tại hữu hạn điểm) thì hàm số lõm trên D . Hàm số )(xfy = có đạo hàm cấp 2 trên D và Dxxf ∈∀≤ 0)( // ( )( // xf trượt tiêu tại hữu hạn điểm) thì hàm số lồi trên D . Bất đăng thức Jensen Hàm số )(xfy = lõm trên D , niDxxxx in 1;0;, ,,, 321 =>∈ α thì 5 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ≥             n i ii n i i n i ii n i i xf x f 1 1 1 1 )( α α α α Hàm số )(xfy = lồi trên D , niDxxxx in 1;0;, ,,, 321 =>∈ α thì ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ≤             n i ii n i i n i ii n i i xf x f 1 1 1 1 )( α α α α 1.1.4 Định lý ( "Bất đẳng thức tiếp tuyến") Hàm số )(xfy = liên tục, có đạo hàm đến cấp 2 trên [ ] ba; . a)Nếu [ ] baxxf ;0)( // ∈∀≥ thì )())(()( 00 / xfxxxfxf +−≥ [ ] bax ; 0 ∈∀ b) Nếu [ ] baxxf ;0)( // ∈∀≤ thì )())(()( 00 / xfxxxfxf +−≤ [ ] bax ; 0 ∈∀ Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 0 xx = Ta có thể chứng minh a) như sau: Xét hàm số )())(()()( 00 / xfxxxfxfxg −−−= trên [ ] ba; . Ta có )()()( 0 /// xfxfxg −= 0)()( //// ≥=⇒ xfxg [ ] bax ;∈∀ Do đó 0 / 0)( xxxg =⇔= và )( / xg đổi dấu từ - sang + khi qua 0 x ⇒ 0)()( 0 =≥ xgxg [ ] bax ;∈∀ Chứng minh tương tự b). 1.2 Các bất đẳng thức cơ bản chứng minh bằng đạo hàm 1.2.1 Bất đẳng thức liên quan tới sinx 0sin >∀< xxx 0 !5!3 sin 53 >∀+−< x xx xx ) 2 ;0( !3 sin 3 π ∈∀−> x x xx ) 2 ;0( 2 sin π π ∈∀> x x x 1.2.2 Bất đẳng thức liên quan tới cosx ) 2 ;0( !4!2 1cos 42 π ∈∀+−< x xx x ) 2 ;0( !2 1cos 2 π ∈∀−> x x x 6 1.2.3 Bất đẳng thức liên quan tới tanx ) 2 ;0(tan π ∈∀> xxx 1.2.4 Bất đẳng thức liên quan tới x e 01 ≠∀+> xxe x 0)1ln(1 >∀++> xxe x 0 ! !2!1 1 2 >∀++++> x n xxx e n x )( + ∈ Zn 1.2.5 Bất đẳng thức liên quan tới lnx 0)1ln( >∀+> xxx 0 !2 )1ln( 2 >∀−>+ x x xx 0ln21 2 >∀≤+ xxx 1.2.6 Bất đẳng thức Becnuli(*) Nếu 10 << α , 0>∀x thì 1+−≤ αα α xx ; Dấu bằng khi và chỉ khi 1=x Nếu 0 < α hoặc 1 > α , 0 >∀ x thì 1+−≥ αα α xx ; Dấu bằng khi và chỉ khi 1 = x Các bất đẳng thức trên đều chứng minh được bằng công cụ đạo hàm, việc chứng minh dành cho học sinh tự làm như bài tập ở nhà để chuẩn bị cho phấn sau. (*) Học sinh thi học sinh giỏi Quốc gia được sử dụng bđt Jensen; Trêbưsep và Becnuli II - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Mét sè híng sö dông ®¹o hµm trong bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc (bđt) 1. §Ó chøng minh b®t d¹ng )()( xx gf > víi Dx ∈ ; ( )()( ; xx gf lµ c¸c hµm sè), ta xÐt hµm sè )()()( xxx gfh −= trªn D . Tõ sù biÕn thiªn cña hµm sè )(x h trªn D ta chøng minh 0 )( > x h tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh (®pcm) VÝ dô 1. 7 Cmr : )1( !3 3 x xSinx > với ) 2 ;0( x Lời giải: Xét !3 sin 3 )( x xxf x += với 2 ;0 x ) 2 ;0( x : 0cos1;sin; 2 1cos / )()( / )()( 2 / )( >====+= xxxgg x xf xxxxx )(x đồng biến trên ) 2 ;0( )()0()( 0 xx g=> đồng biến trên ) 2 ;0( )()0()( 0 xx fgg => đồng biến trên ) 2 ;0( => 0 )0()( ff x đpcm Ví dụ 2. Cho yxyx > ;0, Cmr: )2( lnln2 yx yxyx > + Lời giải: Giả sử yx > ( nếu xy > thì chứng minh tơng tự) 1 1 22ln)2( + = + > y x y x yx yx y x ( đặt 1>= t y x ) 0 1 1 2ln 1 1 2ln )( > + = + > t t tf t t t t Với 1 > t ta có: > + = 0 )1( )1( 2 2 / )( tt t f t )(t f đồng biến trên );1( + => 0 )1()( ff t đpcm. 2. Để chứng minh 0 ),( > yx f ta biến đổi về dạng )()( yx gg > Bằng cách xét hàm số )(t g khi đó: Nếu yx > ta chứng minh )(t g đồng biến Nếu yx < ta chứng minh )(t g nghịch biến Ví dụ 3. Cmr: [ ] )3( 1 1 ln2)(2)( y x yxyx + + <+ với x>y>0 Lời giải: 8 Ta cã: (3) 2222 )1ln(22)1ln(22 1 1 ln222 yyyxxx y x yxyx −+−<−+−⇔ + + <+−−⇔ XÐt 2 )( )1ln(22 tttf t −+−= trªn [ ) +∞;0 )( 2 2 / )( 0 )1( 2 :0 tt f t t ft ⇒< + − =>∀ nghÞch biÕn trªn [ ) +∞;0 ⇒=<⇒ 0 )0()( ff t ®pcm. VÝ dô 4 1) So s¸nh: a) 2015 2014 vµ 2014 2015 b) 2013 log 2014 vµ 2014 log 2015 2) Cmr: 0000 1063954 tgtgtgtg < Lêi gi¶i: 1) a) Ph©n tÝch: Gi¶ sö 2015 2014 > 2014 2015 2015ln2014 2014ln 2015⇔ > ln2014 ln2015 (4 ) 2014 2015 a⇔ > Tõ ®ã ta cã c¸ch gi¶i sau: XÐt t t f t ln )( = trªn [ ] 2014;2015 / ( ) 2 1 ln (2014;2015): 0 t t t f t − ∀ ∈ = < ( v× 2014 ln 1t e t> > ⇒ > ) )(t f⇒ nghÞch biÕn trªn (2014) (2015) (2014;2015) f f⇒ > ⇒ 2015 2014 > 2014 2015 b) Ph©n tÝch: Ta thÊy 2014 2013 1 ; 2015 2014 1= + = + Gi¶ sö 2014 log 2015 > 2013 log 2014 (4b) th× (4b) cã d¹ng: )1(log)1(log +>+ yx yx Do ®ã ta cã c¸ch gi¶i sau: XÐt ( ) ln( 1) log ( 1) ln t t t f t t + = + = trªn [ ] 2013;2014 / ( ) ln ( 1)ln( 1) (2013;2014): 0 ( 1)ln t t t t t t f t t t − + + ∀ ∈ = < + ( V× )1ln(ln0;10 +<<+<< tttt ) )(t f⇒ nghÞch biÕn trªn (2013) (2014) (2013;2014) f f⇒ > ⇒ 2013 log 2014 > 2014 log 2015 9 2) Phân tích: 0000 1063954 tgtgtgtg < 180 10 180 6 180 10 180 6 180 9 180 5 180 9 180 5 x tgtg x tgtg < Do đó ta có cách giải sau: Xét x tgx f x = )( với 4 ;0 x ) 4 ;0( x ta có: 0 cos2 2sin2 22 / )( < = xx xx f x ( vì )02sin2 >> xxx )(x f đồng biến trên ) 4 ;0( Do đó: ) 180 6 () 180 5 ( 0 ff << ; << ) 180 10 () 180 9 ( 0 ff đpcm 3. Để chứng minh bất đẳng thức có dạng = > n i x i f 1 )( 0 ta có thể xét sự biến thiên của hàm số )(t fy = và chứng minh 0 )( > t f Ví dụ 5: Tam giác ABC nhọn. Cmr: >+++++ )( 3 1 )sinsin(sin 3 2 tgCtgBtgACBA (5) Lời giải: Với CBA ++= Ta có: (5) ) 3 1 sin 3 2 ( AtgAA + ) 3 1 sin 3 2 ( BtgBB ++ 0) 3 1 sin 3 2 ( >++ CtgCC Xét ttgttf t += 3 1 sin 3 2 )( trên 2 ;0 ) 2 ;0( t ta có: 01.3. 3 1 1) cos 1 cos(cos 3 1 1 cos3 1 cos 3 2 22 / )( =++=+= t tt t tf t ( Bất đẳng thức Cô si) )(t f đồng biến 0 )0()( => ff t Với 0,, >= CBAt ta có >>> 0;0;0 )()()( CBA fff đpcm. Ví dụ 6: Cho .1;0,, 222 =++> cbacba Cmr: 2 33 222222 + + + + + ba c ca b cb a (6) Lời giải: Từ giả thiết ta có: 1,,0 << cba 10 [...]... ) 2 c(1 c ) 2 Bằng cách xét hàm số f (t ) = t (1 t 2 ) với t (0;1) bằng phơng pháp đạo hàm ta chứng minh đợc : 1 3 3 1 3 3 hay g(t ) = 0 t (0;1) từ đó suy 2 2 t (1 t ) 2 t (1 t ) 2 ra đpcm ( Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô si chứng minh : t (1 t 2 ) 2 3 3 ) 4 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đợc chứng minh bằng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Các bất đẳng thức cơ bản có thể nói đến phn... đến bất đẳng thức có mặt của tgx + sinx > 2x tgx( 1+cosx) > 2x 1 + cosx ; Bất đẳng thức 2x 1 1 + cosx > (2) với x ( 0; ) tgx 2x 2 Do đó có thể có cách giải th 2 cho bài toán này: sử dụng bất đẳng thức (2) và bất đẳng thức tg 1 A B C tg tg 2 2 2 3 3 Ta có (2) tgx + sinx -2x >0 ( Có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phơng pháp đạo hàm ) Sử dụng kết quả (2) với A B C ( 0; ) và bất đẳng thức. .. < 2 = T2 6 n 2 1 1 Lim Sn = 2 2 Bi 3 Tìm lim ( 2 1 n n +1 + 2 2 n 2 n n 1 + + 1 n+ n+ 2 n ) 20 Bất đẳng thức đợc sử dụng ở đây là: 2 k 1 n này chứng minh đợc nhờ bất đẳng thức : < 2 1 n 2 1+ k n k 1 < 2 n ; bất đẳng thức kn >1+ ln 2 n n N* Li gii : Ta chứng minh : 2x > 1+xln2 x > 0 với x [ 0,+ Xét hàm số y=f(x) =2x - xln2 -1 f(x) = 2x.ln2 - ln2 = (2x-1) ln2 ) x>0 y=f(x) đồng biến trên ( 0,+) f(x)... ra kt lun ca bi toỏn 6 Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đợc chứng minh bằng đạo hàm v cỏc bt ng thc khỏc để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 12 2 Chng minh rng: 2 sin x + 2 tan x 2 x +1 x (0; ) Li gii: S dng bt ng thc Cụsi ta cú: 2 sin x + 2 tan x 2 S dng o hm ta chng minh c : sin x + tan x +1 2 sin x + tan x x hay sin x + tan x 2 x 2 Ví dụ 13 Tam giỏc ABC khụng tự Chng minh rng: 3(a + b + c) ... ) 2! Do đó để chứng minh (8) ta chứng minh : 4! 2 11 (1 x2 3 x2 x4 2 ) > 1 + x 2 < 9 ( bất đẳng thức đúng vì x 2 < < 9) 3! 2! 4! 4 Ví dụ 9: Chng minh rng: e sin 2 x dx > 0 3 2 Li gii: Nhn xột: Trong bt cn chng minh cú mt e sin 2 x giỳp chỳng ta liờn h vi bt e > 1 + x x 0 Ta cú e x sin 2 x > 1 + sin x m 2 (1 + sin 2 x )dx = 0 3 t ú bi 2 toỏn c gii quyt 5 Để chứng minh bất đẳng thức dạng a 3 3 2 A B C 1 + cos Sử dụng kết quả (*) ( Ta có thể chứng minh đợc điều này bằng phơng pháp đạo. .. 2 ) + + f ( 2 ) + f ( 2 ) x +1 n n n n 19 Tính : lim S n Bất đẳng thức đợc sử dụng ở đây chính là : x x 2 x = f(x) < x x > 0 x +1 < 2 Li gii : Ta chứng minh f(x) < x x > 0 : 1 0 0 < Ta chứng minh f(x) > x x 2 1 x > 1 x +1 2 x > 0 2 x > 0 bằng phơng pháp dùng đạo hàm 2) Ta có : 1 n 2 2 >0, n > 0 , , 2 n n 2 >0 Do đó áp dụng câu (1) ta có : 1 2 2 1 - - 4 < f( 4 < f( 4 < f( n 2n... ca ti I- Cỏc nh lý v bt ng thc c bn c chng minh bng o hm II- ng dng o hm chng minh bt ng thc 1 Chng minh bt dng f(x) > f(y) 2 Chng minh f(x;y) > 0 n 3 Chng minh bt cú dng f (x ) > 0 i =1 Trang 1 2 2 3 4 4 7 8 9 i 4 S dng bt c bn c chng minh bng o hm chng minh bt 5 Chng minh bt ng thc dng a < b 2 2 80 (7 ) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức sin x < x x > 0 ta có: cos sin cos 3 3 = 1 2 sin 2 2 4 > 1 2 3 5 = 16 8 ( Vì sin 3 < 3 ) 4 4 1 1 1 1 < sin > 2 2 2 2 3 1 5 1 1 10 9 ( đpcm) sin > = = > 2 2 8 2 8 80 80 Ví dụ 8: sin x > cos x (8) với x (0; ) 2 x 3 Chng minh rng: Lời giải: 3 2 Theo ví dụ 1 ta có : sin x > x x sin x > 1 x 3! x 3! 2 4 Chứng minh . đẳng thức cơ bản được chứng minh bằng công cụ đạo hàm sẽ được sử dụng trong phần sau. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm. Phần này hệ thống lại các hướng chính để chứng minh bất. bất đẳng thức sử dụng công cụ đạo hàm. 4 Sử dụng các bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm giải các bài toán khác và sáng tạo những bài toán mới từ các bất đẳng thức được chứng minh. - Sử dụng hệ thống bài tập đã cho học sinh làm, cùng học sinh tổng kết các hướng chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng đạo hàm. - Liên hệ bất đẳng thức được chứng minh bởi công cụ đạo hàm