SKKN Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức THPT XUÂN TRƯƠNG A

Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý thực đề tài Cơ sở lý luận Bất đẳng thức phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nó có mặt tất mơn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Các tốn bất đẳng thức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo phương pháp giải chúng Chính thế, bất đẳng thức chun đề người quan tâm đến nhiều Tuy nhiên, việc giải toán chứng minh bất đẳng thức không đơn giản, yêu cầu không nắm vững kiến thức bản, mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp học kết hợp với kỹ biến đổi, suy luận, dự đoán, Cơ sở thực tiễn Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến bất đẳng thức, cho bất đẳng thức phần khó khơng thể giải Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Nguyên nhân học sinh cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì toán đơn giản trở nên “ vơ khó” em Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn bất đẳng thức, tơi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức” II Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III Đối tượng nghiên cứu Các toán chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng tính chất vectơ IV Tài liệu tham khảo Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Sách giáo khoa toán THPT Sách tập toán THPT Sách 500 toán chọn lọc bất đẳng thức Giáo sư Phan Huy Khải Báo toán học tuổi trẻ V Ứng dụng Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc dạy học bất đẳng thức B PHẦN NỘI DUNG I Nhắc lại tính chất vectơ Tính chất 1: (a ) = a ≥ Đẳng thức xảy a = Tính chất 2: a + b ≥ a+b Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Đẳng thức xảy a b a b chiều a.b ≤ a b Tính chất 3: Đẳng thức xảy phương II Sử dụng tính chất vectơ để chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tính chất Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C ≥− * Hướng giải tốn: Để sử dụng tính chất véctơ vào tốn cơng thức có chứa vectơ có chứa cơsin Vậy sẻ tích vơ hướng hai vectơ, là: uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu r r OA.OB = OA OB cos OA, OB ( Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN uuu uuu r r uuu uuu r r uuu uuu r r ) , OB.OC = OB OC cos ( OB, OC ) Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu r r OA.OC = OA OC cos OA, OC ta gọi R bán kính ( ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC uuu uuu uuu r r r R = OA = OB = OC Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng tính chất để chứng minh Cụ thể sau: * Giải: Gọi O, R tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r (OA + OB + OC ) = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC OA) ≥ 3R ⇔ 3R + R (cos A + cos B + cos 2C ) ≥ ⇔ cos2 A + cos2 B + cos2C ≥ − = − 2R 2 Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1) * Hướng giải toán Ta thấy biểu thức cần chứng minh xuất hện tổng bình phương Vì sử dụng tính Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” chất Nhưng toán cần lưu ý, phải xét trường hợp tam giác ABC Vì tốn khơng nói tam giác Cụ thể, ta làm toán sau: * Giải: Nếu tam giác ABC tam giác tù (có góc tù) (1) hiển nhiên vế trái âm, cịn vế phải dương Nếu tam giác ABC tam giác tù mặt phẳng ta đặt vectơ OM , ON , OP  OM = cos A    ON = cos B   OP = cos C  cho: ˆ (OM , ON ) = π − C   ˆ (ON , OP) = π − A  ˆ (OP, OM ) = π − B  Áp dụng tính chất (1), ta có: (OM + ON + OP) ≥ 2 ⇔ OM + ON + OP + 2O M ON + 2O N OP + 2OP.O M ≥ ⇔ cos A + cos B + cos C − 2(cos A cos B cos C + cos A cos B cos C + cos A cos B cos C ) ≥ ⇔ cos A + cos B + cos 2C ≥ cos A cos B cos C Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Điều phải chứng minh Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Sử dụng tính chất * a + b ≥ a + b Đẳng thức xảy a b chiều Ta thường sử dụng phương pháp gặp tốn chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng bậc hai mà biểu thức dấu bậc hai đưa tổng bình phương Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a2 + a +1 + a2 − a +1 ≥ (1) với a thuộc R * Hướng giải toán: Bài toán đơn sử dụng việc chứng minh BĐT thơng thường sẻ khó hs, tốn có hai bậc hai nên việc biến đổi sẻ khó Nhưng ý đối tượng toán biết khai thác tính chất nêu tốn trở nên dể dàng Cụ thể, gv cho hs hướng suy nghĩ sau: Hai biểu thức bậc hai biến đổi thành tổng bình phương 1  3  a + a +1 =  a + ÷ +  ÷ 2  ÷    Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN 1   3 a − a +1 =  − a ÷ +  ÷ 2   ÷   Từ Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” đó, ta đặt: r  3 r 1 3 u = a + ; ÷; v =  − a; ÷,  2 2 ÷ ÷     đến sử dụng tính chất ta diều phải chứng minh Cụ thể sau: * Giải: BĐT (1) (a + ) + ( ) 2 ⇔ ( − a) + ( ) ≥ 2 + Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt: r r 1 3 u = (a + ; ) ; v = ( − a; ) 2 2 Áp dụng tính chất 2, ta có: 2 r r r r 1  3  1   3 u + v = a + ÷ + ÷ +  −a÷ + ÷ ≥ u+v = 2  ÷  2   ÷     ⇔ a2 + a + + a2 − a + ≥ Điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh : x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ ( x + y + z ) với x,y,z > * Hướng giải tốn: Bài tốn khơng khác nhiều so với toán trước Nên ta làm sau: Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt: Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” r r r y z x u = (x + ; y ); v = ( y + ; z ); w = ( z + ; x); 2 2 2 Từ tính chất r r r r r r u + v + w ≥ u +v +w ta có: r r ur u y z x u + v + w = ( x + )2 + ( y) + ( y + )2 + ( z) + ( z + )2 + ( x) ≥ 2 2 2 r r ur u u+v+w = ( x + y + z ) + ( x + y + z ) = 3( x + y + z ) ⇒ 4 điều phải chứng minh Theo cách ta chứng minh nhanh toán sau đây: Ví dụ 3: Chứng minh với x ta có: 2sin x + + 2sin x − 2 sin x + ≥ 17 Ví dụ 4: Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b + 2a ab + c + 2b bc + a + 2c ≥3 ca Sử dụng tính chất Ví dụ CMR với a, b, c, d ta có bất đẳng thức: ab + cd ≤ (a + c )(b + d ) Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN (3) Trường THPT Trần Quang Khải 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” r r Giải: Đặt u = (a, c) ; v = (b, d ) Áp dụng tính chất 3, ta có: rr r r u.v = ab + cd ≤ u v = a + c b + d = (a + c )(b + d ) ⇒ điều phải chứng minh Ví dụ Giả sử  x + xy + y =   có  y + yz + z = 16  nghiệm CMR: xy + yz + zx ≤8 Giải: Đặt r r x 3 z u = (y + ; x) , v = ( z; y + ) 2 2 Áp dụng tính chất (3), ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC Điểm M thuộc mp(ABC) Chứng minh: ma.MA + mb.MB + mc.MC ≥ (a + b2 + c2) Giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có Tương tự GA.MA ≥ GA.MA = GA.MG + GA GB.MB ≥ GB.MG + GB Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 11 Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” GC.MC ≥ GC MG + GC ⇒ GA.MA + GB.MB + GC.MC ≥ MG (GA + GB + GC ) + GA + GB + GC = GA + GB + GC ⇔ ma.MA + mb.MB + mc.MC ≥ (a + b2 + c2)(Đpcm) Sử dụng tính chất vectơ đơn vị Ví dụ 1: Xét ví dụ phần 1, ta chứng minh bất đẳng thức cách khác sau.: Trên mặt phẳng ta dựng vectơ  OM =    ON =   OP =  OM , ON , OP thoả mãn: ˆ (OM , ON ) = 2C   ˆ (ON , OP) = A  ˆ (OP, OM ) = B  Áp dụng tính chất (1), ta có: (OM + ON + OP) ≥ ˆ ˆ ˆ ⇔ + + + cos(2C ) + cos(2 A) + cos(2 B) ≥ ⇔ cos A + cos B + cos 2C ≥ − (đpcm) Ví dụ Cho tam giác ABC số thực x, y, z Chứng minh rằng: Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 12 Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” yz cos A + xz cos B + xy cos 2C ≥ − ( x + y + z ) Giải: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính Ta có: ( xOA + y OB + zOC ) = ( x + y + z ) + 2( xy cos 2C + xz cos B + yz cos A) ≥ Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C ≤ Giải: Gọi r r r e1 ; e2 ; e3 theo thứ tự vectơ đơn vị cạnh BC, CA, AB Ta có: r r r (2e1 + 3e2 +e ) = + + − 2( cos A + cos B + cos C ) ≥ => cos A + cos B + cos C ≤ (Đpcm) Theo cách ta chứng minh tốn sau: Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 13 Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” cos A + cos B + cos C ≤ Ví dụ Cho tam giác ABC số thực x Chứng minh rằng: cos A + x(cos B + cos C ) ≤ x2 +1 C PHẦN KẾT LUẬN I Kết ứng dụng Việc sử dụng vectơ để chứng minh toán bất đẳng thức vận dụng để giaỉ tập bất đẳng thức tơi cịn ơn thi Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 14 Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” đại học phương pháp truyền cho em học sinh Kết em có thiện cảm chun đề này, khơng cịn lúng túng trước nữa, số em tỏ hào hứng làm toán bất đẳng thức II Lời kết Trên nghiên cứu kinh nghiệm thân Hy vọng đề tài góp phần để việc dạy học bất đẳng thức đạt hiệu Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa nhiều Rất mong đóng góp ý kiến người đọc Xin chân thành cảm ơn! Người viết: Bùi Đình Tùng Tổ Tốn – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 15 ... minh bất đẳng thức? ?? Sử dụng tính chất * a + b ≥ a + b Đẳng thức xảy a b chiều Ta thường sử dụng phương pháp gặp tốn chứng minh bất đẳng thức có ch? ?a tổng bậc hai mà biểu thức dấu bậc hai đ? ?a tổng... Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức? ?? Đẳng thức xảy a b a b chiều a. b ≤ a b Tính chất 3: Đẳng thức xảy phương II Sử dụng tính chất vectơ để chứng. .. chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tính chất Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos 2A + cos2B + cos2C ≥− * Hướng giải tốn: Để sử dụng tính chất véctơ vào tốn cơng thức có ch? ?a vectơ có chứa