Thông tin tài liệu
www.VNMATH.com www.vnmath.com PHƯƠNG PHÁP S.O.S CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phùng Mạnh Linh-11 Toán Bất đẳng thức(BĐT) nội dung khó đẹp toán học sơ cấp Và BĐT nghiên cứu, có lẽ BĐT biến, mà đặc biệt BĐT biến đồng bậc toán thu hút ý dạng phát biểu đơn giản kết đẹp chúng Hiện ta có nhiều đường lối để tới lời giải BĐT biến Ta có thê sử dụng phương pháp cổ điển BĐT: Cauchy, Cauchy – Schwart, Chebyshev, Holder … Hay ta sử dụng BĐT cận đại: BĐT hoán vị, Schur, Fermat … Và hiệu BĐT đại phát minh : MV(dồn biến) , ABC , GLA( hình học hoá đại số), DAC (chia để trị), S.O.S (phương pháp phân tích thành tổng bình phương) … Trong đó, S.O.S cho ta nhìn tắc vô hiệu với BĐT biến, dù đối xứng hay hoán vị Với phương pháp này, ta giải hầu hết BĐT biến khó chặt Trong viết trình bày nội dung phương pháp S.O.S, định lý, ý số toán áp dụng để thấy sức mạnh phương pháp Định lý S.O.S Rất nhiều BĐT hay đẹp suy từ BĐT :x2 Định lý S.O.S xuất phát từ ý tưởng Ý tưởng S.O.S phân tích biểu thức S (hoán vị đối xứng ) với biến a, b, c dạng tắc sau: S= S a (b c) + S b (a c) + S c (a b) (*) Theo suy nghĩ thông thường ta chứng minh S biểu thức S a , S b , S c không âm Nhưng định lý S.O.S cho phép ta có tiêu chuẩn để chứng minh BĐT có hai số S a , S b , S c âm đánh giá dấu chúng Khi biểu thức cần thoả mãn tiêu cuẩn sau BĐT (*) chứng minh a) S a 0; S b 0; S c b) a b c; S b 0; S a S b 0; S c S b c) a b c; S a 0; S c 0; S a 2S b 0; S c S b d) a b c; S b 0; S c 0; a S b b S a e) S a S b S c 0; S a S b S a S c S b S c * Chứng minh định lý S.O.S: a) Ta thấy S a , S b , S c BĐT (*) hiển nhiên b) Ta có (a c) (a b b c) (a b) (b c) 2(a b)(b c) a b c (a b)(b c) (a c) (a b) (b c) S b (a c) S b (a b) S b (b c) www.VNMATH.com www.vnmath.com S S a (b c) S b (a b) S b (b c) S c (a b) ( S a S b )(b c) ( S c S b )(a b) (vì S a S b 0; S c S b ) c)+Nếu S b theo tiêu chuẩn (a) ta có (*) + Nếu S b Ta có (a c) (a b b c) (a b) 2(b c) S b S b (a c) 2S b ((a c) (b c) )) S S a (b c) 2S b ((a b) (b c) ) S c (a b) (b c) ( S a S b ) (a c) ( S c S b ) (vì S a S b 0; S c S b ) d) Dễ thấy (a c)b a(b c) ac a bc b 2 ac 2 2 a Sb b S a S b (a c) S a (b c) (b c) ( S b ( ) S a ) (b c) ( )0 bc b2 S S c ( a b) Mặt khác c S 0 e) S a S b S c số S a S b , S a S c , S b S c tồn số không âm Không tính tổng quát giả sử S b S c (*) a ( S b S c ) 2a (cS b bS c ) S a (b c) c S b b S c Xét 4(cS b bS c ) 4( S b S c )( S a (b c) c S b b S c ) 4(b c) ( S a S b S a S c S b S c ) Mà S b S c Theo định lý dấu tam thức bậc ta có S Một số lưu ý sử dụng S.O.S -Việc cần làm sử dụng phương pháp S.O.S phân tích BĐT cần chứng minh dạng tắc S.O.S Việc ban đầu không dễ dàng cần tập phân tích số đa thức đối xứng biến quen thuộc dạng S.O.S ta thông thạo việc Khi phân tích, biến đổi cần ý tới đẳng thức quen thuộc mà có chứa đại lượng (a b) , (a c) , (b c) , ví dụ như: www.VNMATH.com www.vnmath.com a b 2ab (a b) a b ab(a b) (a b)(a b) (a b) (a c) (b c) 2 ( a b)(a c)(b c) 8abc a (b c) b(a c) c(a b) a b c ab ac bc (a b c)((a b) (b c) (a c) ) Và hoàn toàn phân tích đa thức đối xứng biến khác dạng tắc S.O.S với cách phân tích tương tự ý rút đại lượng (a b) , (b c) , (a c) cách hợp lí -Với đa thức mà ba biến a, b, c có tính hoán vị việc biến đổi gặp kho khăn chút đòi hỏi phải linh hoạt, sáng tạo tuỳ vào toán Một kĩ thuật thường dùng để phân tích thành công đa thức dạng hoán vị cộng thêm vào đa thức đại lượng k (a b), k (b c), k (c a) với số k chọn cách hợp lí -Khi có tay biểu diễn tắc phần việc lại tìm tiêu chuẩn phù hợp để áp dụng vào toán Thường kiểm tra tiêu chuẩn tiêu chuẩn dễ áp dụng tự nhiên Nếu tiêu chuẩn không giúp ta giải toán xem tới tiêu chuẩn 2,3,4, chúng có độ hiệu phổ biến ngang nhau.Nếu sau xếp thứ tự cho biến a, b, c (trong toán hoán vị ta phải xét trường hợp a b c a b c ), ta so sánh đại lượng S a , S b , S c toán thường giải tiêu chuẩn ta a b c 3abc cần chứng minh S a S b S b S c Nếu không so sánh đại lượng cố gắng đại lượng chắn không âm, từ định hướng ta dung tiêu chuẩn hay tiêu chuẩn Tiêu chuẩn thường dùng tới tính cồng kềnh xét đại lượng S a S b S c , S a S b S a S c S b S c -Dù S.O.S phương pháp tắc hiệu chứng minh BĐT biến, việc biến đổi BĐT cần chứng minh dạng tắc nghĩa toán giải Giải toán hay không phụ thuộc nhiều vào nhanh nhạy người làm toán việc phát tiêu chuẩn để áp dụng, cách kết hợp tiêu chuẩn với hay chí sáng tạo tiêu chuẩn (một số tiêu chuẩn suy từ cách chứng minh cho tiêu chuẩn 4) Các ứng dụng phương pháp S.O.S Đầu tiên ta tìm hiểu sức mạnh S.O.S BĐT đối xứng biến Bài toán Cho a, b, c Chứng minh rằng(CMR) : a b c 3abc ab(a b) ac(a c) bc(b c) (1) Giải Chú ý tới đẳng thức (a b c)((a b) (a c) (b c) ) a b c 3abc 3 a b ab(a b) (a b)(a b) Từ ta có www.VNMATH.com www.vnmath.com (1) S1 (2a 2b 2c ab(a b) ac(a c) bc(b c)) (a b c 3abc) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) abc 0 abc 0 bca a cb abc ; Sb ; Sc 2 Không tính tổng quát ta giả sử a b c S c S b S a Mặt khác ta có S a S b c S b 0; S b S c S a S b Theo tiêu chuẩn ta suy S1 (1) 1 Bài toán Cho x, y, z CMR: (2) 2 4( xy yz xz ) ( x y) ( x z) ( y z) Như S a Giải Đây BĐT Iran 1996 tiếng độ khó vẻ đẹp sức lôi Bài toán tiếp cận giải nhiều phương pháp khác nhau, có nhiều phương pháp mạnh sử dụng BĐT Schur, phương pháp MV, GLA,DAC… Trong đó, phương pháp S.O.S đánh giá đẹp mắt nhất, sáng tạo phù hợp với mĩ quan toán học nhiều người Sau lời giải toán phương pháp S.O.S a c b abc bca Đặt a x y; b y z; c x z x ;y ;z 2 2 2 4( xy xz yz ) 2ab 2ac 2bc a b c (2) 4( xy xz yz )( )9 ( x y) 1 (2ab 2ac 2bc a b c )( ) a b c S ( )(b c) bc a 2 ; Sb ; Sc Như S a bc a ac b ab c Không tính tổng quát, giả sử a b c S a ac b Tương tự chứng minh cho tiêu chuẩn ta có ab c b2 S b (a c) S c (b a ) (a b) ( S c S b ) c 3 b c abc (b c a )bc Mặt khác lại có S b b S c c 2( )2 0 abc abc Vậy theo tiêu chuẩn ta có S (2) www.VNMATH.com www.vnmath.com a3 b3 c3 54abc (3) 3abc (a b c) Giải Chú ý tới đẳng thức sau : (a b c)((a b) (a c) (b c) ) a b c 3abc 7a b c 7b a c 7c a b (a b c) 27abc (b c) (a c) (b c) 2 2 Từ ta đến phân tích tắc sau: a b c 3abc 2((a b c) 27abc) 0 abc (a b c) (3) a b c 7a b c S3 ( )(b c) 2abc (a b c) a b c 7a b c Sa 2abc (a b c) a b c 7b a c Như ta có S b 2abc (a b c) a b c 7c a b Sc 2abc (a b c) Mặt khác ta thấy ( a b c) 27 abc ( a b c) 27 abc(a b c) 2abc(7 a b c) Sa Bài toán Cho a, b, c CMR: Tương tự ta có S b 0; S c Theo tiêu chuẩn ta có S (3) Bài toán Cho a, b, c CMR : a4 b4 c4 3abc 2(a b c ) (4) ab ac bc a b c Giải Ta có a2 b2 c2 3(a b c ) (a b c )(ab ac bc) (b c) ( (b c) ) 3a b c (a b c )(a b c) 9abc (b c) 2 Từ ta có: 3(a b c ) (a b c )(ab ac bc) (a b c )(a b c) 9abc 0 (4 3(ab ac bc) 3(a b c) (a b c ) 2(b c) 3a b c )0 (b c) ( ab ac bc abc (b c) a b c ab ac bc a 2( )) S (b c) ( ab ac bc ab ac bc a b c 4 2 2 www.VNMATH.com www.vnmath.com a b c ab ac bc K 0 ab ac bc (b c) a ) S a K 2( ab ac bc a b c (a c) b Như ta có S b K 2( ) ab ac bc a b c ( a b) c ) S c K 2( ab ac bc a b c Không tính tổng quát giả sử a b c S a S b S c Ta chứng minh S a S b Đặt K (b c) (a c) ab ab ac bc abc ((a c) (b c) )(a b c) (a b)(ab ac bc) Mà K nên cần chứng minh Ta có a b (a c) (b c) (a b )(a b c) (a b)(ab ac bc) a b 2abc ab(a b 2c) ((a c) (b c) )(a b c) (a b)(ab ac bc) S a Sb Theo tiêu chuẩn ta có S (4) Sau ta giải số toán cho thấy sức mạnh S.O.S toán giá trị tốt Bài toán Tìm số k lớn cho BĐT sau với a, b, c a3 b3 c3 ab ac bc k k (5) (a b)(a c)(b c) (a b c) k k 15 Giải Đầu tiên ta cho a b, c , từ suy k 15 Ta chứng minh toán với k , tức chứng minh: 3 a b c 15 ab ac bc 23 (a b)(a c)(b c) (a b c) Thật theo biến đổi tương tự toán ta có : a 4b 4c (5) (b c) ( )0 8(a b)(a c)(b c) 4(a b c) a 4b 4c Như ta có S a 8(a b)(a c)(b c) 4(a b c) www.VNMATH.com www.vnmath.com Sb b 4a 4c 8(a b)(a c)(b c) 4(a b c) c 4a 4b 8(a b)(a c)(b c) 4(a b c) Không tính tổng quát, giả sử a b c S a S b S c Sc Khi ta cần chứng minh S b S c 5b 5c 8a 10 0 2( a b)(a c)(b c) (a b c) (a b c) (5a 5b 8c) 20(a b)(a c)(b c) (5’) (a b c) a b c 3 (a b c) a b c (5’) (a b c) (5a 5b 8c) 20 3 3 a b c 5c 5b 8a 20 (a b c) ( ) (dễ chứng minh) 3 15 Theo tiêu chuẩn ta có S (5) với k 15 Vậy k số lớn để (5) với a, b, c Bài toán Tìm số k R nhỏ để bất đẳng thức sau a, b, c Xét (a b)(a c)(b c) ab a b bc ac k a2 b2 c2 k a c a b c ab a b Giải: Ta có: a b 4a b 2 bc b c b c 2 4b c 2 ac a c a c 2 4a c 2 2 2 3a b c a b c a b b c a c b c 2 6 2 ab bc ac k 3a b c a b c 6 a b 2 b c 2 a c 2 a b c 2 k 2 S a b 0 2 4a b cyc 3a b c k k Cho a b, c vào 6 k 4 0 www.VNMATH.com www.vnmath.com Ta chứng minh 6 với k Khi ta có Sa a b c 4b c Sb a b c 4a c 2 Sc a b c 4a b 2 Giả sử a b c S b 0, S c 2 Nếu a b c 8b c a b c Sa 4b c a b c S6 2 2 b c a 2 b c a 4b c a b c 2 0 Nếu a b c Xét a S b b S a Ta có a2 4a c a b 2 2a a b c 2 4b c 2b a b c 4a c a2 b2 2 4b c 4a c 2a b a b c 2 b2 a2 2 b2 4b c 2 2a b a b c 2 a b c 2 a b c 2 Mà 2 1a b c 2 1.3c c a2 b2 1 a b c 2 a2 4a c b2 4b c a Sb b S a S6 Vậy k số cần tìm Không có sức mạnh BĐT biến đối xứng toán tìm giá trị tối ưu, S.O.S phát huy sức mạnh toán hoán vị, nhiên để làm điều người làm toán phải có tinh ý linh hoạt, sáng tạo Sau số toán minh họa cho điều a b c 3(a b c ) (7) Bài toán 7: Cho a, b, c >0.CMR b c a a b2 c2 www.VNMATH.com www.vnmath.com ( a b) a2 2a b b b (b c) b Giải:Ta có 2b c c c (a c) c 2c a a a Mặt khác 3(a b c ) (a b c )(a b c) (a b)(a b) ( a c)(a c) (b c)(b c) a2 b2 c2 3(a b c ) (a b c )(a b c) (7) S 2a b 2b c 2c a 0 b c a a2 b2 c2 bc 1 S7 (b c) 2 c a b c Sa bc a b bc c a b c c(a b c ) Như S b b c ac a(a b c ) Sc a c ab b( a b c ) Nếu a b c S a 0, S c S a 2S b (a b c bc)a 2(b c ac)c a b a 2b c 2c abc 2ac a b c (b a )(b c) b ac ab bc b abc ab b c (a c)(a ac c ) a c 2ac Mặt khác a c ab b c 2ac abc b a b a 2b c 2c a c ab b c 2ac abc S a 2S b Tương tự S c 2S b Theo tiêu chuẩn ta có S Nếu a b c S b www.VNMATH.com www.vnmath.com S a S b (a b bc)a (b c ac)c a b a b c c abc ac c b c b c abc, c ac a b a b c c b c c abc ac S a Sb Tương tự S b S c Theo tiêu chuẩn ta có S Vậy S (7) a4 b4 c4 abc (8) a, b, c 0.Cm : 3 3 a b b c c a Gi¶i a b 3a (a b ) Ta có: 4a (a b ) a b 4a 2b b(a b) b3 b a a2 a2 b2 ( a b) a 2b a a 2 3b 5a a4 b 2a ( a b ab ) ( a b) 3 4a a b 4a ( a b ) Tương tự 2 b4 c 2b 3c 5b (b c cb) (b c) 3 b3 c3 4b 4b (c b ) (a c ac) a 2c c4 3a 5c (a c) a3 b3 4c (a b ) 4c a4 3b 5a (8) S8 ( )0 a b Ta có (b c bc) 2b c 3c bc b Sa 4b (b c ) 4b 4(b c ) 3a ac c 3b ab a Sb , Sc 4( a c ) 4( a b ) www.VNMATH.com www.vnmath.com Nếu a b c Ta có Sb >0 S a S b (3c bc b )(a c ) (3a ac c )(b c ) 2a a c 3a b acb 3b a a b 3c 3b abc c a a c a c 2a a c a c S a Sb Tương tự Sc Sb S8 +Nếu a b c Ta có S a 0, S c S a 2S b (3c bc b )(a c ) 2(3a ac c )(b c ) 3c a a 3bc b a 2c bc b c 6a b 2ab c 2c b 6a c 2ac Ta có c c 3b , bc c 2b , c c 2b , a 3bc b a S a 2Sb Tương tự S a 2Sb S8 Vậy có S (8) 4.Một số toán đề nghị Bài 1: Cho a, b, c CMR : 2abc a b c 3 b c a c a b 2(a b c ) Bài 2: Cho a, b, c CMR : a b c 3abc ab 2a 2b bc 2b 2c ac 2a 2c Bài 3: Tìm k dương nhỏ cho BĐT sau a, b, c 8abc a2 b2 c2 k k 1 (a b)(a c)(b c) (a b c) Bài 4: CMR a, b, c ta có a3 2a b b3 2b c c3 2c a abc www.VNMATH.com www.vnmath.com
Ngày đăng: 04/07/2016, 09:27
Xem thêm: kĩ thuật sử dụng SOS trong chứng minh bất đẳng thức
