Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Trang 1A PHẦN MỞ ĐẦU.
I Lý do thực hiện đề tài.
1 Cơ sở lý luận
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không
hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,…
2 Cơ sở thực tiễn
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”
Trang 2II Phương pháp nghiên cứu.
1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
2 Phương pháp điều tra thực tiễn
3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4 Phương pháp thống kê
III Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ
IV Tài liệu tham khảo.
1 Sách giáo khoa toán THPT
2 Sách bài tập toán THPT
3 Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải
4 Báo toán học và tuổi trẻ
V Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về bất đẳng thức
Trang 3B PHẦN NỘI DUNG.
I Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1 Tính chất 1: (a)2 = a 2 ≥ 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0
2 Tính chất 2: a + b ≥ a+b .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi avà b cùng chiều
3 Tính chất 3: a.b ≤ a.b .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi avà b cùng phương
II Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1 Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C
2
3
−
≥
Giải:
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có:
0 ) 2 cos 2
cos 2
(cos 2
3
0 )
( 2 )
(
2 2
2 2
2 2
≥ +
+ +
⇔
≥ +
+ +
+ +
= +
+
C B
A R
R
OA OC OC OB OB OA OC
OB OA OC
OB
OA
Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC ≤ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C (1).
Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì
Trang 4Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ OM,ON,OP sao cho:
=
=
=
C OP
B ON
A OM
cos cos
cos
và
−
=
−
=
−
=
B OM
OP
A OP
ON
C ON
OM
ˆ )
, (
ˆ )
, (
ˆ )
, (
π π π
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0 ) (OM +ON+OP 2 ≥
0
2 2
2 2 2 2
≥ +
+ +
+ +
⇔OM ON OP O M ON O N OP OP O M
0 ) cos cos cos cos
cos cos cos
cos (cos 2 cos cos
⇔Điều phải chứng minh
2 Sử dụng tính chất 2.
Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai
có thể đưa về tổng của các bình phương
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a2 +a+ 1+ a2 −a+ 1 ≥2 (1) với mọi a thuộc R
Giải: (1) ⇔ 2 ) 2
2
3 ( ) 2
1
2
3 ( ) 2
1 ( −a + ≥2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
) 2
3
; 2
1
( +
= a
2
3
; 2
1 ( a
v= −
Áp dụng tính chất 2, ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2 Chứng minh rằng :
2
2 xy y
x + + + y2 + yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3 (x+ y+z) với x,y,z > 0
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
Trang 52
3
; 2
(x y y
2
3
; 2 (y z z
2
3
; 2 (z x x
w= +
Từ tính chất u+ v+ w ≥ u+v+w ta có đpcm
Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:
17 5 sin 2 2 sin 2 4 sin
2 2 x+ + 2 x− x+ ≥
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng:
ab
a
b2 + 2 2 +
bc
b
c2 + 2 2 +
ca
c
a2 + 2 2 ≥3
Ví dụ 5:
3 Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1 CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
) )(
(a2 c2 b2 d2
cd
Giải: Đặt u=( c a, ); v=( d b, )
Áp dụng tính chất 3 ta có ngay đpcm
Ví dụ 2 Giả sử
= + +
= + +
16
3 2 2
2 2
z yz y
y xy x
có nghiệm
CMR: xy + yz + zx ≤ 8
Giải:
2
3
; 2 (y x x
2
; 2
3 ( z y z
v= +
Áp dụng tính chất (3) suy ra đpcm
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC Điểm M thuộc mp(ABC) Chứng minh:
m a MA + m b MB + m c MC ≥ 21(a 2 + b 2 + c 2 ).
Trang 6Ta có GA.MA≥GA.MA=GA.MG+GA2
Tương tự GB.MB≥GB.MG+GB2
GC.MC ≥GC MG+GC2
2 2
2 2
2 2 ) (
.
.MA GB MB GC MC MG GA GB GC GA GB GC GA GB GC
⇒
⇔ m a MA + m b MB + m c MC
2
1
≥ (a 2 + b 2 + c 2)(Đpcm)
4 Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng
cách khác như sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ OM,ON,OP thoả mãn:
=
=
=
1 1 1
OP
ON
OM
và
=
=
=
B OM OP
A OP ON
C ON OM
ˆ 2 ) , (
ˆ 2 ) , (
ˆ 2 ) , (
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0 ) (OM +ON+OP 2 ≥
0 ) 2 cos(
2 ) 2 cos(
2 ) 2 cos(
2 1
1
2
3 2
cos 2
cos 2
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z Chứng minh rằng:
) (
2
1 2
cos 2
cos 2
cos A xz B xy C x2 y2 z2
Giải : Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng
1
Ta có (x OA+ y OB+z OC) 2 = (x2 +y2 +z2 ) + 2 (xycos 2C+xzcos 2B+yzcos 2A) ≥ 0 Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
Trang 73 cosA+ 2 cosB+ 2 3 cosC ≤ 4
Giải: Gọi e1 ;e2 ;e3 theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB
Ta có:
( 2 1 3 4 ) 3
2
3 2
1 + e +e = + + −
e 3 cosA+ 2 cosB+ 2 3 cosC) ≥ 0
=> 3 cosA+ 2 cosB+ 2 3 cosC≤ 4 (Đpcm)
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
cosA+ cosB+ cosC ≤ 23
Ví dụ 5 Cho tam giác ABC và số thực x Chứng minh rằng:
2 ) cos (cos
cosA+x B+ C ≤ x2 +
Ví dụ 6:
Trang 8
C PHẦN KẾT LUẬN.
I Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã được tôi vận dụng khi bồi dưỡng cho học sinh về bất đẳng thức Kết quả là các em
đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng như trước nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức
II Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều Rất mong sự đóng góp ý kiến của người đọc
Xin chân thành cảm ơn!
Thống Nhất, ngày 02/ 3/
2008.
Người viết
Lê Thị Thanh Hoa