Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý thực đề tài Cơ sở lý luận Bất đẳng thức phần quan trọng chương trình toán phổ thông Nó có mặt tất môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác Giải tích Các toán bất đẳng thức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo phương pháp giải chúng Chính thế, bất đẳng thức chuyên đề người quan tâm đến nhiều Tuy nhiên, việc giải toán chứng minh bất đẳng thức không đơn giản, yêu cầu không nắm vững kiến thức bản, mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp học kết hợp với kỹ biến đổi, suy luận, dự đoán, Cơ sở thực tiễn Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến bất đẳng thức, cho bất đẳng thức phần khó giải Nguyên nhân học sinh cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì toán đơn giản trở nên “ vô khó” em Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn bất đẳng thức, nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức” II Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III Đối tượng nghiên cứu Các toán chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng tính chất vectơ IV Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa toán THPT Sách tập toán THPT Sách 500 toán chọn lọc bất đẳng thức Giáo sư Phan Huy Khải Báo toán học tuổi trẻ V Ứng dụng Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc dạy học bất đẳng thức B PHẦN NỘI DUNG I Nhắc lại tính chất vectơ Tính chất 1: (a ) = a ≥ Đẳng thức xảy a = Tính chất 2: a + b ≥ a+b Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Đẳng thức xảy a b chiều a.b ≤ a b Tính chất 3: Đẳng thức xảy a b phương II Sử dụng tính chất vectơ để chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tính chất Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C ≥ − * Hướng giải toán: Để sử dụng tính chất véctơ vào toán công thức có chứa vectơ có chứa côsin Vậy sẻ tích vô hướng hai vectơ, là: uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur OA.OB = OA OB cos OA, OB , OB.OC = OB OC cos OB, OC ( ) ( ) uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur OA.OC = OA OC cos OA, OC ta gọi R bán kính đường ( ) uuu r uuur uuur tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = OA = OB = OC Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng tính chất để chứng minh Cụ thể sau: * Giải: Gọi O, R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: uuu r uuur uuur uuu r uuur2 uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r (OA + OB + OC ) = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC OA) ≥ 3R ⇔ 3R + R (cos A + cos B + cos 2C ) ≥ ⇔ cos2 A + cos2 B + cos2C ≥ − = − 2R 2 Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1) * Hướng giải toán Ta thấy biểu thức cần chứng minh xuất hện tổng bình phương Vì sử dụng tính chất Nhưng toán cần lưu ý, phải xét trường hợp tam giác ABC Vì toán không nói tam giác Cụ thể, ta làm toán sau: * Giải: Nếu tam giác ABC tam giác tù (có góc tù) (1) hiển nhiên vế trái âm, vế phải dương Nếu tam giác ABC tam giác tù mặt phẳng ta đặt vectơ OM , ON , OP cho: OM = cos A ON = cos B OP = cos C (OM , ON ) = π − Cˆ (ON , OP) = π − Aˆ ˆ (OP, OM ) = π − B Áp dụng tính chất (1), ta có: (OM + ON + OP) ≥ 2 ⇔ OM + ON + OP + 2O M ON + 2O N OP + 2OP.O M ≥ ⇔ cos A + cos B + cos C − 2(cos A cos B cos C + cos A cos B cos C + cos A cos B cos C ) ≥ ⇔ cos A + cos B + cos 2C ≥ cos A cos B cos C Điều phải chứng minh Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Sử dụng tính chất * a + b ≥ a + b Đẳng thức xảy a b chiều Ta thường sử dụng phương pháp gặp toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng bậc hai mà biểu thức dấu bậc hai đưa tổng bình phương Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a + a + + a − a + ≥ (1) với a thuộc R * Hướng giải toán: Bài toán đơn sử dụng việc chứng minh BĐT thông thường sẻ khó hs, toán có hai bậc hai nên việc biến đổi sẻ khó Nhưng ý đối tượng toán biết khai thác tính chất nêu toán trở nên dể dàng Cụ thể, gv cho hs hướng suy nghĩ sau: Hai biểu thức bậc hai biến đổi thành tổng bình 2 2 1 3 1 3 a + a + = a + ÷ + ÷ a − a + = − a ÷ + ÷ Từ đó, ta có 2 ÷ 2 ÷ phương r 3 r 1 3 thể đặt: u = a + ; ÷÷; v = − a; ÷÷, đến sử dụng tính chất ta diều 2 2 phải chứng minh Cụ thể sau: 3 * Giải: BĐT (1) ⇔ (a + ) + ( ) + ( − a) + ( ) ≥ 2 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt: Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” u = (a + ; ) ; v = ( − a; ) 2 2 Áp dụng tính chất 2, ta có: 2 r r r r 1 3 1 3 u + v = a + ÷ + + − a + ≥ u +v = ÷ ÷ ÷ ÷ 2 ÷ ⇔ a + a + + a − a + ≥ Điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh : x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ ( x + y + z ) với x,y,z > * Hướng giải toán: Bài toán không khác nhiều so với toán trước Nên ta làm sau: Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt: y z x u = (x + ; y ); v = ( y + ; z ); w = ( z + ; x); 2 2 2 Từ tính chất u + v + w ≥ u + v + w ta có: r r uu r y z x u + v + w = ( x + )2 + ( y) + ( y + )2 + ( z) + ( z + )2 + ( x) ≥ 2 2 2 r r uu r u+v+w = ( x + y + z ) + ( x + y + z ) = 3( x + y + z ) ⇒ điều phải chứng minh 4 Theo cách ta chứng minh nhanh toán sau đây: Ví dụ 3: Chứng minh với x ta có: 2sin x + + 2sin x − 2 sin x + ≥ 17 Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Ví dụ 4: Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b + 2a c + 2b a + 2c ≥3 + + ab bc ca Sử dụng tính chất Ví dụ CMR với a, b, c, d ta có bất đẳng thức: ab + cd ≤ (a + c )(b + d ) (3) Giải: Đặt u = (a, c) ; v = (b, d ) Áp dụng tính chất 3, ta có: rr r r u.v = ab + cd ≤ u v = a + c b + d = (a + c )(b + d ) ⇒ điều phải chứng minh x + xy + y = Ví dụ Giả sử có nghiệm CMR: xy + yz + zx ≤ y + yz + z = 16 Giải: x 3 z x) , v = ( z; y + ) 2 2 Đặt u = ( y + ; Áp dụng tính chất (3), ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC Điểm M thuộc mp(ABC) Chứng minh: ma.MA + mb.MB + mc.MC ≥ (a2 + b2 + c2) Giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có GA.MA ≥ GA.MA = GA.MG + GA Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Tương tự GB.MB ≥ GB.MG + GB GC.MC ≥ GC MG + GC ⇒ GA.MA + GB.MB + GC.MC ≥ MG (GA + GB + GC ) + GA + GB + GC = GA + GB + GC ⇔ ma.MA + mb.MB + mc.MC ≥ (a + b2 + c2)(Đpcm) Sử dụng tính chất vectơ đơn vị Ví dụ 1: Xét ví dụ phần 1, ta chứng minh bất đẳng thức cách khác sau.: Trên mặt phẳng ta dựng vectơ OM , ON , OP thoả mãn: OM = ON = OP = (OM , ON ) = 2Cˆ (ON , OP) = Aˆ ˆ (OP, OM ) = B Áp dụng tính chất (1), ta có: (OM + ON + OP) ≥ ⇔ + + + cos(2Cˆ ) + cos(2 Aˆ ) + cos(2 Bˆ ) ≥ ⇔ cos A + cos B + cos 2C ≥ − (đpcm) Ví dụ Cho tam giác ABC số thực x, y, z Chứng minh rằng: yz cos A + xz cos B + xy cos 2C ≥ − ( x + y + z ) Giải: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” Ta có: ( xOA + y OB + zOC ) = ( x + y + z ) + 2( xy cos 2C + xz cos B + yz cos A) ≥ Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C ≤ Giải: Gọi e1 ; e2 ; e3 theo thứ tự vectơ đơn vị cạnh BC, CA, AB Ta có: (2e1 + 3e2 +e ) = + + − 2( cos A + cos B + cos C ) ≥ => cos A + cos B + cos C ≤ (Đpcm) Theo cách ta chứng minh toán sau: Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C ≤ Ví dụ Cho tam giác ABC số thực x Chứng minh rằng: cos A + x(cos B + cos C ) ≤ x2 +1 Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 10 Sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức” C PHẦN KẾT LUẬN I Kết ứng dụng Việc sử dụng vectơ để chứng minh toán bất đẳng thức vận dụng để giaỉ tập bất đẳng thức ôn thi đại học phương pháp truyền cho em học sinh Kết em có thiện cảm chuyên đề này, không lúng túng trước nữa, số em tỏ hào hứng làm toán bất đẳng thức II Lời kết Trên nghiên cứu kinh nghiệm thân Hy vọng đề tài góp phần để việc dạy học bất đẳng thức đạt hiệu Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa nhiều Rất mong đóng góp ý kiến người đọc Xin chân thành cảm ơn! Người viết: Bùi Đình Tùng Tổ Toán – Tin – Vật Lí – KTCN Trường THPT Trần Quang Khải 11