SKKN ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức THPT HẢI HẬU A

Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức A Nhằm giúp cho số đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo giảng dạy, học sinh THPT có thêm phương pháp giải tốn bất đẳng thức hiểu biết thêm công dụng đạo hàm Nay tơi viết đề tài khơng ngồi mục đích nêu với tiêu đề đề tài là: Trong đề tài cố gắng đưa nhiều dạng tập có tính chọn lọc có hướng dẫn giải, với số tập tương tự để người đọc tự giải Mặc dù có nhiều cố gắng song tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận góp ý chân thành từ đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Krông Bông, ngày 20 tháng năm 2011 Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Người viết Phan Minh Phước Khi ứng dụng đạo hàm để chứng minh toán bất đẳng thức, vấn đề ở cần đặt biến (nếu có) chọn hàm số cho hợp lý, sau khảo sát biến thiên hàm số Dựa vào biến thiên dẫn dắt đến bất đẳng thức cần chứng minh Tùy theo tính chất tốn, q trình thực kết hợp với nhiều bất đẳng thức khác như: Bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Cauchuy, Bunhiacôpski, Trêbưsép……kết hợp với chứng minh quy nạp toán học Sau mợt sớ tốn về bất đẳng thức dùng phương pháp để giải: Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn: Hướng dẫn: Đặt Chứng minh rằng: Khi Xét hàm số: Ta có: BBT: - Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông + Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức BĐT chứng minh Vậy Tổng quát hơn: 1/ Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k Chứng minh bất đẳng thức: , 2/ Cho hai số a, b thỏa mãn Chứng minh: Bài 2: Cho a, b số không âm Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có bất đẳng thức: - Nếu a = thì (1) với - Nếu a > thì Đặt BBT: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức - + Vậy Bài 3: Cho Hướng dẫn: Với BĐT chứng minh Chứng minh rằng: ta có: Cần chứng minh: hay Xét hàm số Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Ta có đồng biến Do với ta có BĐT chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu x > 0, n số ngun dương thì ta ln có: Hướng dẫn: Đặt Cần chứng minh - Ta có: - Giả sử Ta chứng minh Thật vậy: Do Vậy hàm số đồng biến ta có BĐT chứng minh Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 5: Cho có góc nhọn, chứng minh rằng: Hướng dẫn: BĐT (1) Xét hàm số Ta có: Xét hàm số hàm số Suy Từ giả sử Ta có: nghịch biến hay hàm số thì Áp dụng BĐT Trêbưsép cho dãy số: nghịch biến hay ( ta có BĐT cần chứng minh hoctoancapba.com Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu phương trình nghiệm thì có Dấu đẳng thức xảy nào? Hướng dẫn: Giả sử phương trình có nghiệm x0 thì Đặt ta phương trình: Do đó: Xét hàm số: , với Ta có BBT: + Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Vậy BĐT dấu đẳng thức xảy khi: Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu thì Hướng dẫn: Xét hàm số: Với hay thì , dấu “=” xảy Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Suy ra: Vậy , dấu “=” xảy với Bài 8: Gọi V, S thể tích diện tích xung quanh hình nón tròn xoay Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có: ( bán kính đáy; đường sinh, (1) Đặt xét hàm số: Ta có BBT: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 10 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức + Vậy Bài 9: Cho ta có - BĐT chứng minh thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Từ giả thiết suy ra: ( Xét hàm số: với Tương tự ta có: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 11 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Lần lượt thay vào (2) cộng vế theo vế ta BĐT (1) Bài 10: Chứng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy nào? hoctoancapba.com Hướng dẫn: BĐT cho (1) Xét hàm số: Đặt Nếu Đặt thì thì từ hàm số hàm số đồng biến BĐT chứng minh Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 12 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy Bài 11: Cho hay Chứng minh rằng: Hướng dẫn: BĐT (1) Đặt (1) (2) nên BĐT (2) • Chứng minh: Đặt Do với nghịch biến thì • Chứng minh: Đặt Chứng minh tương tự ta Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông đồng biến Trang 13 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức hay Từ suy BĐT cần chứng minh Bài 12: Chứng minh rằng: Với Hướng dẫn: Đặt thì (1) với Ta có: (1) + Vậy Bài 13: Cho 0 BĐT cần chứng minh Chứng minh rằng: Phan Minh Phước – Trường THPT Krơng Bơng + ta có: Trang 14 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn: Xét hàm số: Ta có: Với thì hàm số đồng biến Suy hàm số đồng biến Do Vậy BĐT chứng minh Bài 14: Chứng minh rằng: Áp dụng chứng minh rằng: Nếu số thỏa mãn (1) thì: Hướng dẫn: Xét hàm số: Ta có: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông BBT: Trang 15 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức x - + Suy BĐT (1) chứng minh Áp dụng: * Nếu Nếu thì (2) thỏa mãn thì (2) Đặt Bài 15: Cho số thì ta có BĐT (2) chứng minh Chứng minh rằng: hoctoancap ba.com Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 16 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức + Hướng dẫn: Đặt Xét hàm số: + Ta có: hàm số đồng biến Ta xét trường hợp sau: • TH 1: , Ta có: • TH 2: , Ta có: • TH 3: có dấu thay đởi Phan Minh Phước – Trường THPT Krơng Bơng Ta có BBT: + Trang 17 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Suy ra: Mà nên Vậy  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 18 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Chứng minh rằng: Với ta có bất đẳng thức: (HD: Xét hàm số: (HD: Xét hàm số: Bài 2: Cho , với , với có góc nhọn, chứng minh rằng: HD: Xét hàm số: Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông với Trang 19 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Bài 3: Cho Bài 4: Cho HD: Xét hàm số: Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: với chứng minh nghịch biến Bài 5: Cho HD: Đặt Chứng minh rằng: Xét hàm số: Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu Bài 7: Với , Chứng minh rằng: thì + , với  Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 20 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 21 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang 22 ... thức BĐT chứng minh Vậy Tổng quát hơn: 1/ Cho hai số a, b th? ?a mãn: a + b = k Chứng minh bất đẳng thức: , 2/ Cho hai số a, b th? ?a mãn Chứng minh: Bài 2: Cho a, b số không âm Chứng minh rằng:... dẫn: Với BĐT chứng minh Chứng minh rằng: ta có: Cần chứng minh: hay Xét hàm số Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông Trang Ứng dụng ? ?a? ?o hàm để chứng minh bất đẳng thức Ta có đồng... ta có BĐT chứng minh Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu x > 0, n số ngun dương thì ta ln có: Hướng dẫn: Đặt Cần chứng minh - Ta có: - Giả sử Ta chứng minh Thật vậy: Do Vậy hàm số đồng biến ta