Khai thác một số quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để giải bài toán nguyên hàm tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao trong đề thi THPTQG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPTQG Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2020 MỤC LỤC Trang I Mở đầu… …………………………………………… ………1 Lí chọn đề tài…… ……………………………… ……….1 Mục đích đối tượng nghiên cứu…………………… … ….1 Phương pháp nghiên cứu………………… ………… ………2 II Nội dung……… …………………………………………….2 Cơ sở lí luận…………………………………………… 2 Thực trạng………………………………………………… .2 Giải pháp……………………………………………….………3 3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm tích…………….…………… 3.2 Khai thác quy tắc đạo hàm thương………… ………… 3.3 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm thức….…………… 10 3.4 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm mũ………………………14 3.5 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm logarit tự nhiên 16 3.6 Bài tập tự luyện… …………………………………… 17 III Kết luận…………………………………………… …………18 Kết nghiên cứu……………………………….….……… 18 Kết luận kiến nghị…………………………………… … 18 Tài liệu tham khảo I MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển toàn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thông chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Trong năm trước đây, toán nguyên hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm nằm phần lớn chương trình đại học Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn tốn ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm coi tốn thiếu đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ GD& ĐT Sự đổi đoán làm thay đổi tồn cấu trúc đề thi mơn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm u cầu đặt với học sinh khơng đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng toán Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, tốn ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm nằm mức độ kiến thức vận dụng cao, toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề viết đa phần kí hiệu tốn, học sinh khơng nắm kiến thức đọc khó hiểu đề; yếu tố thứ hai sử dụng tư đoán biểu thức đạo hàm, tư hàm số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn địi hỏi biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Đây tốn mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo cịn ít, cịn hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học nhu cầu cấp thiết cho thầy học sinh MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt toán nguyên hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: “Khai thác số quy tắc tính đạo hàm đạo hàm hàm hợp để giải toán nguyên hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao đề thi THPTQG” PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp tốn ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với tốn hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, toán nguyên hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương đạo hàm, nguyên hàm – tích phân, phép biến đổi logic toán học biết kiến thức hàm số Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng tốn khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn) cho thấy học sinh ngày khơng mặn mà với tốn ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm Lí bạn đưa tốn khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi phức tạp, sử dụng nhiều đơn vị kiến thức hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phần khó cịn yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm tốn bỏ qua hồn tồn khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, tốn mấu chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài “Khai thác số quy tắc tính đạo hàm đạo hàm hàm hợp để giải tốn ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao đề thi THPTQG” GIẢI PHÁP 3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm tích 3.1.1 Cơng thức [ u ( x).v( x)] ' = u ' ( x).v( x) + u ( x)v' ( x) (1) 3.1.2 Phương pháp + Chuyển giả thiết dạng u ' ( x).v( x) + u ( x)v' ( x) = g ( x) + Sử dụng cơng thức (1) ta có [ u ( x).v( x)] ' = g ( x) + Lấy nguyên hàm hai vế u ( x)v( x) = ∫ g ( x)dx + Suy hàm số cần tìm thực u cầu tốn 3.1.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (0;+∞) thỏa mãn điều kiện f (1) = x(4 − f ' ( x)) = f ( x) − 1, ∀x > Tính f (2) A B C D Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có x(4 − f ' ( x)) = f ( x) − 1, ⇔ xf ' ( x) + f ( x) = x + Suy [ xf ( x)] ' = x + Lấy nguyên hàm vế xf ( x) = ∫ (4 x + 1)dx = x + x + C Có f (1) = ⇒ C = ⇒ xf ( x) = x + x ⇒ f ( x) = x + Tính f (2) = Chọn C Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục R \ { − 1;0} thỏa mãn f (1) = ln + x( x + 1) f ' ( x) + ( x + 2) f ( x) = x( x + 1) , ∀x ∈ R \ { − 1;0} Biết f ( 2) = a + b ln , với a , b hai số hữ tỉ Tính T = a − b A T = − 16 B T = 21 16 Hướng dẫn: C T = D T = x+2 Từ giả thiết ta có x( x + 1) f ' ( x) + ( x + 2) f ( x) = x( x + 1) ⇔ f ' ( x) + x( x + 1) f ( x) = ⇔ x2 x( x + 2) x2 f ' ( x) + f ( x ) = x +1 x +1 ( x + 1) '  x2  x2 f ( x ) = Suy   x +1  x +1  x2 x2 f ( x ) = dx = ∫ ( x − + )dx Lấy nguyên hàm hai vế ta ∫ x +1 x +1 x +1 x2 = − x + ln x + + C  x +1 x2  − x + ln x + + 1 f ( ) = ln + ⇒ C = ⇒ ⇒ f ( x ) = Có  x   3 3 ⇒ f (2) = + ln ⇒ a = b = ⇒ T = − Chọn A 4 16 Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm (0;+∞) thỏa mãn f (1) = xf ' ( x) + f ( x) = x , ∀x ∈ (0;+∞) Tính f (4) 25 25 17 17 A B C D 6 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có xf ' ( x) + f ( x) = x ⇔ f ' ( x) + ⇔ x f ' ( x) + [ Suy x ] f ( x) = 2x f ( x) = x ' x f ( x) = x Lấy nguyên hàm hai vế ta x f ( x) = ∫ x dx = 2x x +C 17 ⇒ f (4) = Có f (1) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = + Chọn C x Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (1) = cot 1 ∫ f ( x)dx = Tính tích phân ∫ ( f ( x) tan x + f ' ( x ) tan x) dx A − ln(cos1) Hướng dẫn: D − cot C − B 1     Ta có ∫ ( f ( x) tan x + f ' ( x) tan x)dx = ∫  f ( x) − 1 + f ' ( x) tan x  dx  cos x   0  1 1   ' ∫0  f ( x) cos x + f ' ( x) tan x dx − ∫0 f ( x)dx = ∫0 [ f ( x) tan x] dx −∫0 f ( x)dx [ f ( x) tan x] − = cot tan − = Chọn B Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0; π ] thỏa mãn f (0) = 2e π f ' ( x) + sin x f ( x) = cos x.e cos x , ∀x ∈ [ 0; π ] Tính I = ∫ f ( x) dx (làm tròn đến hàng phần trăm) A I ≈ 6,55 B I ≈ 17,3 C I ≈ 10,31 D I ≈ 16,91 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ' ( x) + sin x f ( x) = cos x.e cos x ⇔ e − cos x f ' ( x) + e − cos x sin x f ( x) = cos x ' Suy [e −cos x f ( x)] = cos x f ( x ) = ∫ cos xdx = sin x + C Lấy nguyên hàm vế e Có f (0) = 2e ⇒ C = ⇒ f ( x) = (2 + sin x).e cos x − cos x π π 0 cos x Dùng máy Casio ta tính I = ∫ f ( x)dx = ∫ (2 + sin x)e dx ≈ 10,31 Chọn C  π  2 Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục  0;  thỏa mãn f ( x) + tan x f ' ( x) = A 14 x Biết cos x B − π  π  f   − f   = aπ + b ln Tính a + b 3 6 C D − 9 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ( x) + tan x f ' ( x) = ' Suy [ sin x f ( x)] = x x ⇔ cos x f ( x ) + sin x f ' ( x) = cos x cos x x cos x Lấy nguyên hàm vế sin x f ( x) = ∫ Tính I = ∫ x dx cos x x dx cos x u = x du = dx  ⇒ I = x tan x + ∫ tan xdx = x tan x + ln cos x + C dx ⇒  Đặt  v = tan x dv = cos x ⇒ sin x f ( x ) = x tan x + ln cos x + C Với x = ⇒ C = ⇒ f ( x) = x tan x + ln cos x sin x  a = π   π  5π − ln ⇒  ⇒ a + b = − Chọn D Ta có aπ + b ln = f   − f   = 9 3 6 b = −1 Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (1;+∞) thỏa mãn f (3 e ) = 3e [ xf ' ( x) − f ( x)] ln x = x − f ( x) , ∀x ∈ (1;+∞) Tính f (2) ln A B − C D ln ln ln Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có [ xf ' ( x) − f ( x)] ln x = x − f ( x) ⇔ x ln x f ' ( x) + (1 − ln x) f ( x) = x − ln x x2 ln x − ln x ⇔ f ' ( x) + f ( x) = ⇔ f ' ( x) + f ( x) = x ln x ln x x x3 '  ln x  Suy  f ( x) = x  ln x f ( x) = ∫ dx = x + C x2 x3 f ( e ) = e ⇒ C = ⇒ f ( x ) = ⇒ f (2) = Có Chọn A ln x ln Lấy nguyên hàm vế Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) = [ f ' ( x)] + f ( x) f ' ' ( x) = x + x Tính f (1) A B C 16 15 D 15 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có [ f ' ( x)] + f ( x) f ' ' ( x) = x + x ⇔ [ f ( x) f ' ( x)] ' = x + x Lấy nguyên hàm vế f ( x) f ' ( x) = ∫ (4 x + x)dx = x + x + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) f ' ( x) = x + x Lấy tích phân vế ta ∫ ( f ( x) = 15 ) f ( x) f ' ( x )dx = ∫ x + x dx ⇔ 16 ⇒ f (1) = Chọn C 15 Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn f ( x) + xf ' ( x) ≥ x 2020 , ∀x ∈ [ 0;1] Tính giá trị nhỏ ∫ f ( x)dx A 2018.2020 B 2020.2022 C 2019.2021 D 2021.2023 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ( x) + xf ' ( x) ≥ x 2020 ⇔ f ( x) + xf ' ( x) − x 2020 ≥ (3 f ( x) + xf ' ( x) − x ) x 2020 ≥ ⇔ 3x f ( x) + x f ' ( x) − x 2022 ≥ '  x 2023  x 2023   ⇔  x f ( x) −  ≥ , suy hàm số g ( x) = x f ( x) − 2023 đồng biến [ 0;1] 2023   ⇒ g ( x) ≥ g (0) = ⇒ x f ( x ) − x 2023 x 2020 x 2020 ≥ ⇒ f ( x) ≥ ≥ ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ dx 2023 2023 2023 0 x 2021 = Chọn D 2021.2023 2021.2023 3.2 Khai thác quy tắc đạo hàm thương 3.2.1 Công thức '  u ( x)  u ' ( x).v( x) − u ( x).v' ( x) +)  , v ( x ) ≠ (2)  = v ( x)  v( x)  '   v ' ( x)  = − +)  , v ( x ) ≠ (3) v ( x)  v( x)  3.2.2 Phương pháp + Chuyển giả thiết dạng u ' ( x).v( x) − u ( x )v' ( x) = g ( x) v ( x) ' '  u ( x)    = g ( x) (hoặc (3) ta có  + Sử dụng cơng thức (2) ta có    = g ( x) )  v( x)   v( x)  u ( x) + Lấy nguyên hàm hai vế v( x) = ∫ g ( x)dx (hoặc v( x) = ∫ g ( x)dx ) + Suy hàm số cần tìm thực yêu cầu tốn 3.2.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [1;2] thỏa mãn điều kiện f (1) = f ( x) − ( x + 1) f ' ( x ) = xf ( x) , ∀x ∈ [1;2] Tính ∫ f ( x)dx A + ln B − ln C − ln 2 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ( x) − ( x + 1) f ' ( x) = xf ( x) ⇔ D + ln 2 f ( x) − ( x + 1) f ' ( x) = 2x f ( x) '  x +1 Suy   = 2x  f ( x)  x +1 Lấy nguyên hàm vế f ( x) = ∫ xdx = x + C x +1 1 Có f (1) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = x ⇒ f ( x) = x + x 2 Tính ∫ 1  f ( x)dx = ∫  + dx = + ln Chọn D x x  1 Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f ( x) − f ' ( x) = f ( x) , ∀x ∈ [ 0;1] Tính f (1) e e+2 e A B C 2 e+2 f (0) = Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ( x) − f ' ( x) = f ( x) ⇔ ( ) D e + f ( x) − f ' ( x) =1 f ( x) e x f ( x) − e x f ' ( x ) e x ' f ( x ) − e x f ' ( x) x ⇔ =e ⇔ = ex 2 f ( x) f ( x) '  ex  x Suy   =e  f ( x)  ex = ∫ e x dx = e x + C Lấy nguyên hàm vế f ( x) x e ex x f ( ) = ⇒ C = ⇒ = e + ⇒ f ( x ) = Có f ( x) + ex Tính f (1) = e Chọn C 2+e Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (0;+∞) thỏa mãn f (1) = 3xf ( x) − x f ' ( x) = f ( x) , ∀x > , f ( x) ≠ Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) [1;2] Tính M+m A 10 B 21 10 C D Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có 3xf ( x) − x f ' ( x) = f ( x) ⇔ 3x f ( x) − x f ' ( x) = xf ( x) ⇔ 3x f ( x) − x f ' ( x) = 2x f ( x) '  x3  Suy   = 2x  f ( x)  x3 = xdx = x + C f ( x) ∫ x3 Có f (1) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = x +2 x + 6x f ' ( x) = > ∀x ∈ [1;2] ( x + 2) Lấy nguyên hàm vế  M = f (2) = ⇒ ⇒ M + m = Chọn C m = f (1) =  Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (1;+∞) thỏa mãn điều kiện f (3 e ) = 3e ( xf ' ( x) − f ( x)) ln x = x − f ( x) , ∀x > Giá trị f ( 2) thuộc khoảng đây?   A 12; 25      B 13; 27      C 14; 29     23  ;12    D  Hướng dẫn:  x f ' ( x ) − xf ( x)  f ( x)   ln x = − ( xf ' ( x ) − f ( x )) ln x = x − f ( x ) ⇔ Từ giả thiết x x   ' f ( x)  f ( x)  Suy   ln x = − x  x  ' f ( x)   f ( x)   Lấy nguyên hàm vế ∫   ln xdx = ∫ 1 − dx x   x   f ( x) ln x f ( x) f ( x) f ( x) ln x x (x + C) − dx = x − dx + C ⇒ = x + C ⇒ f ( x ) = ∫ x3 ∫ x3 ln x x2 x2 x Có f (3 e ) = 3e ⇒ C = ⇒ f ( x) = ln x Tính f (2) =  23  ∈  ;12  Chọn D ln   Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f ' ( x) = x f ( x) ; f ( x) ≠ Tính f (1) 35 19 A − B − C − 36 36 f ( 2) = − D − 15 Hướng dẫn: f ' ( x) Từ giả thiết ta có f ' ( x) = x f ( x) ⇔ f ( x) = x '   Suy   = −2 x  f ( x)  Lấy nguyên hàm vế f ( x) = − ∫ xdx = − x + C Có f (2) = − ⇒ C = − ⇒ f ( x) = − 2x − Tính f (1) = − Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [1;3] thỏa mãn điều kiện f (1) = −1 f ' ( x)[1 + f ( x)] = ( x − 1) f ( x) , ∀x ∈ [1;3] , f ( x) ≠ Biết ∫ f ( x)dx = a ln + b (a, b ∈ Z ) Tính a + b e A Hướng dẫn: C − B D f ' ( x) f ' ( x) f ' ( x) 2 Từ giả thiết f ' ( x)[1 + f ( x)] = ( x − 1) f ( x) ⇔ f ( x) + f ( x) + f ( x) = ( x − 1) '  1  Suy − − −  = ( x − 1)  f ( x ) f ( x) f ( x )  1 1 Lấy nguyên hàm vế − f ( x) − f ( x) − f ( x) = ( x − 1) + C   −1 + 1 = −( x − 1) ⇒ f ( x) = Có f (1) = −1 ⇒ C = ⇒   f ( x)  x 3  a = −1 dx f ( x ) dx = − = − ln + ⇒  ⇒ a + b = Chọn A Tính ∫ ∫ b = x  e e Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f ' (0) = f ' ' ( x) + [ f ' ( x ) − x ] = Tính f (1) − f (0) A + ln B C + ln 2 D − ln Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có: 9 f ' ' ( x) + [ f ' ( x ) − x ] = ⇔ 9( f ' ' ( x ) − 1) = −( f ' ( x ) − x) ⇒ − f ' ' ( x) − 1 = ( f ' ( x) − x) '   1 Suy   =  f ' ( x) − x  1 Lấy nguyên hàm vế f ' ( x) − x = ∫ dx = x + C 9 ⇒ f ' ( x) = +x x +1 x +1 1   f ( ) − f ( ) = f ' ( x ) dx = Tính ∫0 ∫0  x + + x dx = ln + Chọn C Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (0;1) thỏa mãn điều kiện  3 1  = b x + xf ' ( x) + = f ( x) , ∀x ∈ (0;1) , f ( x) ≠ Tính tích phân f   = a ; f   2   Có f ' (0) = ⇒ C = ⇒ f ' ( x) − x = I= π sin x cos x + sin x dx theo a b ∫ f (sin x) π A 3a + b 4ab B 3b + a 4ab C 3b − a 4ab D 3a − b 4ab Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có: x + xf ' ( x) + = f ( x) ⇔ x + = f ( x) − xf ' ( x ) ⇔ x + x = xf ( x ) − x f ' ( x ) x + x xf ( x) − x f ' ( x) x + 4x  x   ⇔ = ⇔ = f ( x) f ( x) f ( x )  f ( x )  Tính I = π ' π sin x cos x + sin x sin x cos x + sin x cos x dx = dx ∫ ∫ f (sin x) f (sin x) π π 6 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Có I= ∫ 3 t + 4t x + 4x dt = ∫ dx = ∫ f (t ) f ( x) 1 2 2    x  x 3a − b =  dt = − = f ( x)  f ( x) 4ab  3 1  4f  f   2   ' Chọn D 3.3 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm thức 3.3.1 Công thức ( ) ' v( x) = v' ( x) v( x) , v( x) > (4) 3.3.2 Phương pháp 10 v' ( x) + Chuyển giả thiết dạng v( x) = g ( x) [ + Sử dụng cơng thức (4) ta có ] ' v( x) = g ( x ) + Lấy nguyên hàm hai vế v( x) = ∫ g ( x)dx + Suy hàm số cần tìm thực u cầu tốn 3.3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f ' ( x) = f ( x ) , ∀x ∈ [ 0;1] Tính ∫ f ( x)dx A C B D Hướng dẫn: f ' ( x) Từ giả thiết ta có f ' ( x) = f ( x) ⇔ f ( x) = Suy [ ] ' f ( x) = Lấy nguyên hàm vế f ( x) = ∫ dx = x + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = x + ⇒ f ( x) = ( x + 1) Tính ∫ f ( x)dx = ∫ ( x + 1) dx = Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) đồng biến có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f (0) = 16 x f ( x) − [ f ' ( x)] = 0, ∀x ∈ [ 0;1] Tính I = ∫ f ( x)dx 2 −2 B A 15 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có 16 x Suy ( ) C 28 D 15 [ f ' ( x )] f ( x ) − [ f ' ( x )] = ⇔ f ( x) = 4x ⇒ f ' ( x) f ( x) = 2x ' f ( x) = x Lấy nguyên hàm vế f ( x) = ∫ xdx = x + C Từ f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = ( x + 1) ⇒ I = ∫ f ( x)dx = 2 28 15 Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f (0) = ( f ' ( x ) ) = e x ( f ( x ) ) , ∀x ∈ R , f ( x) > Tính f (3) A B e C e D e Hướng dẫn: 2 x x 3 Từ giả thiết ta có ( f ' ( x) ) = e ( f ( x) ) ⇔ f ' ( x) = e ( f ( x) ) ⇔ f ' ( x) ( f ( x) ) = ex 11 Lấy tích phân vế ∫ ( f ( x) ) f ' ( x) 3 dx = ∫ e dx ⇔ ∫ 0 ( f ( x) ) x 3 x df ( x ) = ∫ e dx x 3 33 f ( x) = 3e ⇔ f (3) − f (0) = e − ⇔ f (3) = e Chọn C 0 Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 2;4] thỏa mãn điều kiện f ( 2) = x f ( x) = [ f ' ( x )] − x , f ' ( x) > , ∀x ∈ [ 2;4] Tính f (4) 40 − 20 − 40 − 20 − A B C D 4 2 Hướng dẫn: Ta có f ' ( x) > ∀x ∈ [ 2;4] , suy hàm số đồng biến [ 2;4] ⇒ f ( x) ≥ f (2) = Từ giả thiết ta có x f ( x) = [ f ' ( x)] − x ⇔ x [ f ( x) + 1] = [ f ' ( x)] 4 f ' ( x) Suy x = f ( x) + 4 Lấy nguyên hàm vế 24 = ∫ xdx = ∫ ⇔ [ f ( x) + 1] f ' ( x) f ( x) + dx = 33 [ f ( x) + 1] 2 40 − = 16 ⇔ [ f (4) + 1] = 20 ⇔ f (4) = Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) đồng biến có đạo hàm liên tục [1;4] thỏa mãn điều kiện f (1) = [ f ( x) + xf ' ( x)] = f ( x) Tính f (4) A B C D Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có [ f ( x) + xf ' ( x)] = f ( x) ⇔ ⇔ [ f ( x) + xf ' ( x)] Suy xf ( x) [ ] ' xf ( x) = [ f ( x) + xf ' ( x)] f ( x) =1 f ( x ) + xf ' ( x) ( xf ( x) ) = ⇔ = ⇔ x xf ( x) x xf ( x) x ' = x Lấy nguyên hàm vế xf ( x) = ∫ x dx = x + C Có f (1) = ⇒ C = −1 ⇒ xf ( x) = x − ⇒ f ( x) = (2 x − 1) x Tính f (4) = Chọn C Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) nhận giá trị không âm có đạo hàm liên tục [ 0;1] Đặt x g ( x) = + ∫ f (t )dt biết g ( x) ≥ [ f ( x)] , ∀x ∈ [ 0;1] Tích phân ∫ [ g ( x)] dx có giá trị lớn 12 A B C D Hướng dẫn:  F ' ( x) = f ( x )  g ( x) = + F ( x) x Gọi F(x) hàm số thỏa mãn F ( x) = ∫ f (t )dt ⇒  f ( x) F ' ( x) Suy + F ( x) = g ( x) ≥ [ f ( x)] ⇒ + F ( x) ≤ ⇒ + F ( x) − ≤ F ' ( x) F ' ( x) 1 − Xét + F ( x) = ⇒ ∫ + F ( x) dx = ∫ dx ⇒ ∫ (1 + F ( x) ) d (1 + F ( x) ) = x + C 33 (1 + F ( x ) ) = x + C Xét hàm số h( x) = (1 + F ( x) ) − ( x + C ) , ∀[ 0;1] F ' ( x) Có h' ( x) = + F ( x) − ≤ nên hàm số nghịch biến [ 0;1] ⇒ h( x) ≤ h(0) = (1 + F (0) ) − C 3 Từ F (0) = ⇒ h( x) ≤ − C Ta chọn C cho − C = ⇒ C = 4 33 2 Khi (1 + F ( x) ) ≤ x + ⇒ [ g ( x)] ≤ x + 4 1 4  ⇒ ∫ [ g ( x)] dx ≤ ∫  x + 1dx = Chọn B 3  0 ⇔  π Ví dụ 7: Cho hàm số f(x) khơng âm có đạo hàm liên tục 0;  thỏa  2  π π  mãn f (0) = f ( x) f ' ( x) = cos x + f ( x) , ∀x ∈ 0;  Tính f    A B 2 C 2 2 D Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ( x) f ' ( x) = cos x + f ( x) ⇔ Suy [ + f ( x) ] = cos x 2 f ( x ) f ' ( x) + f ( x) = cos x ' Lấy nguyên hàm vế + f ( x) = ∫ cos xdx = sin x + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = (sin x + 2) − π  Tính f   = 2 Chọn B 2 3.4 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm mũ 3.4.1 Công thức (e ) u( x) ' = e u ( x ) u ' ( x ) (5) 13 3.4.2 Phương pháp + Chuyển giả thiết dạng e u ( x ) u ' ( x) = g ( x) ' + Sử dụng công thức (5) ta có [e u ( x ) ] = g ( x) + Lấy nguyên hàm hai vế e = ∫ g ( x)dx + Suy hàm số cần tìm thực u cầu tốn 3.4.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện u( x) f (0) = f ' ( x).e f ( x ) − x −1 = x Tính ∫ f ( x)dx A C − B D Hướng dẫn: ' Từ giả thiết ta có f ' ( x).e f ( x )− x −1 = x ⇔ f ' ( x).e f ( x ) = xe x +1 ⇔ ( e f ( x ) ) = xe x +1 ' Suy [e f ( x ) ] = xe x +1 2 2 Lấy nguyên hàm vế e f ( x ) = ∫ xe x +1dx = e x +1 + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = x + Tính f ( x)dx = ∫ ( x + 1)dx = ∫ 0 Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f f (0) = f ' ( x ).e A B ( x ) − x −1 − 2x = Tính f ( x) 45 C ∫ xf ( x)dx 11 D 15 Hướng dẫn: f Từ giả thiết ta có f ' ( x).e [ ] ( ) ' ( x ) − x −1 − 2x = ⇔ f ( x) f ' ( x).e f ( x ) = xe x +1 f ( x) ' Suy e f ( x ) = e x +1 Lấy nguyên hàm vế e f ( x ) = e x +1 + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) = x + ⇒ f ( x) = x + 3 Tính ∫ xf ( x)dx = ∫ x x + 1dx = 45 Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (0;+∞) thỏa mãn điều kiện   x3  Tính ∫ f ( x)dx f (1) = f ( x) = x ln  xf ' ( x) − f ( x )  A 12 ln 13 − 13 B 13 ln 13 − 12 C 12 ln 13 + 13 D 13 ln 13 + 12 Hướng dẫn:     x3 f ( x) x3    f ( x ) = x ln ⇔ = ln Từ giả thiết  xf ' ( x) − f ( x )   xf ' ( x) − f ( x)  x     14 ⇔e f ( x) x x3 xf ' ( x) − f ( x) = ⇔ e xf ' ( x ) − f ( x ) x3 Lấy nguyên hàm vế e f ( x) x f ( x) x = f ( x) x '  f ( x)  =x⇔ e  x  f ( x) x '  f ( x)  = x ⇔  e x  = x   x2 +C x2 +1 x2 +1 ⇒ f ( x) = x ln 2 2x   x + du = 5 x +1 u = ln  x +1 dx Đặt  ⇒ Tính I = ∫ f ( x)dx = ∫ x ln 2 1 dv = xdx v = x +   2 x +1 x +1 ⇒I= ln − xdx = 13 ln 13 − 12 Chọn B 2 ∫1 Có f (1) = ⇒ C = ⇒ e = Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện π  f (0) = f ' ( x) + e f ( x ) = + e x Tính f   2 π A π B C ( ) D π Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có f ' ( x).(1 + e f ( x ) ) = + e x ⇔ f ' ( x) + f ' ( x).e f ( x ) = + e x ' Suy ( f ( x) + e f ( x ) ) = + e x Lấy nguyên hàm vế f ( x) + e = ∫ (1 + e )dx = x + e + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) + e f ( x ) = x + e x (*) Ta có hàm số f (t ) = t + e t có f ' (t ) = + e t > nên đồng biến R Từ (*) ⇒ f ( x) = x f ( x) x x π  π Tính f   = Chọn D 2 Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f (0) = f ( x ) f ' ( x) − xe − f = Biết I = ( x ) + x + x +1 −1+ 4089 a ∫ (4 x + 1) f ( x)dx = b phân số tối giản Tính a − 3b A 6123 B 12279 Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có: f ( x ) f ' ( x) − xe − f [f ] ' ( x) − x e f [ ( x )− x ( x ) + x + x +1 ) ( ) ' = ⇔ f ( x) e f = (2 x + 1) ' e x ] ( ' C 6125 ( x) −ef D 12273 ( x) = (4 x + 1).e x + x +1 − e2x + x +1 +1 ' Suy e f ( x )− x = e x +1 Lấy nguyên hàm vế e f ( x ) − x = e x +1 + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ f ( x) − x = x + ⇒ f ( x) = x + x + 3 15 Tính I = −1+ 4089 ∫ (4 x + 1) f ( x)dx = a = 12285 12285 ⇒ ⇒ a − 3b = 12273 Chọn D b = 3.5 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm logarit tự nhiên 3.5.1 Công thức ( ln u ( x) ) ' = u ' ( x) u ( x) (6) 3.5.2 Phương pháp u ' ( x) + Chuyển giả thiết dạng u ( x) = g ( x) + Sử dụng công thức (6) ta có [ ln u ( x)] ' = g ( x) + Lấy nguyên hàm hai vế ln u ( x) = ∫ g ( x)dx ⇔ u ( x) = e ∫ + Suy hàm số cần tìm thực yêu cầu tốn 3.5.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) ln nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục [1;2] thỏa mãn điều kiện f (1) = f ' ( x) − f ( x) = Tính f (2) A e B e C e D Hướng dẫn: g ( x ) dx f ' ( x) Từ giả thiết ta có f ' ( x) − f ( x) = ⇔ f ( x) = Suy [ ln f ( x)] ' = Lấy nguyên hàm vế ln f ( x) = ∫ 3dx = 3x + C Có f (1) = ⇒ C = −3 ⇒ ln f ( x) = 3x − ⇒ f ( x) = e x −3 Tính f (2) = e Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) đồng biến có đạo hàm liên tục [ − 1;0] thỏa mãn điều kiện f (0) = f ' ( x) − x(1 + f ( x)) = , ∀x ∈ [ − 1;0] Tính f (1) A e + B e − C e D e − Hướng dẫn: f ' ( x) Từ giả thiết ta có f ' ( x) − x(1 + f ( x)) = ⇔ f ' ( x) = x(1 + f ( x)) ⇔ + f ( x) = x ⇔ [1 + f ( x)] ' + f ( x) = 2x Suy [ ln(1 + f ( x))] ' = x Lấy nguyên hàm vế ln(1 + f ( x)) = ∫ xdx = x + C Có f (0) = ⇒ C = ⇒ ln(1 + f ( x)) = x ⇒ + f ( x) = e x ⇒ f ( x) = e x − Tính f (−1) = e − Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) ln dương có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn điều kiện f (0) = f ' ( x) + xf ( x) = e x f ( x) , ∀x ∈ [ 0;2] Tính f (2) A e e + B e e − C e e −5 D e − Hướng dẫn: 2 16 f ' ( x) x x x Từ giả thiết có f ' ( x) + xf ( x) = e f ( x) ⇔ f ' ( x) = (e − x) f ( x) ⇔ f ( x) = e − x Suy [ ln f ( x)] ' = e x − x x x Lấy nguyên hàm vế ln f ( x) = ∫ ( e − x ) dx = e − x + C Có f (0) = ⇒ C = −1 ⇒ ln f ( x) = e x − x − ⇒ f ( x) = e e − x −1 ⇒ f (2) = e e −5 Tính f (−1) = e − Chọn C x 2 3.6 Bài tập tự luyện Câu 1: Cho hàm số f(x) ln dương có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn f (1) = [ f ( x) + − x ] f ' ( x) = x[1 + f ( x)], ∀x ∈ [ 0;1] Tính ∫ f ( x)dx B A 2 C D Câu 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f (1) = x [ f ' ( x)] + 27[ f ( x) − 1] = Tính f ( 2) A B C − D − Câu 3: Cho hàm số f(x) ln dương có đạo hàm liên tục (0;+∞) thỏa x5 f ( x) + x Tính f ( 2) + f (3) mãn ∫ dx = f ' ( x) = 20 x f ( x) A 110 B 90 C 20 D 25 Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f ' ( x).e f ( x ) − x − x = Tính f (1) A ln B ln C D e Câu 5: Cho hàm số f(x) không âm có đạo hàm liên tục [ 0;3] thỏa mãn điều kiện f (0) = f ' ( x) − x f ( x) = e.x Tính f (3) A e10 B e10 − C e10 + e D e10 − e 17 III KẾT LUẬN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách phân loại dạng toán tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư lí luận với thực tiễn Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ơn tập dạng tốn phương pháp, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi thử trường THPT Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi lớp12 trường lớp 12A, 12B, 12D năm học 2019 - 2020 Với toán hệ thống tập tự luyện trên, lớp chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết, thời gian làm 20 phút Kết thu cụ thể thể bảng sau: Nhóm Số học sinh có lời Số học sinh có lời Số học giải 0-2 câu giải 3-5 câu sinh câu 1-2 câu 3-4 câu câu NHÓM I Lớp 12A 15 3 Lớp 12D 20 Lớp 12K 15 NHÓM II Lớp 12A 15 10 Lớp 12D 20 15 Lớp 12K 15 10 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Đề tài tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng chất lượng, nội dung hình thức, mong hội đồng KH nghành xét duyệt phổ 18 biến rộng rãi giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy học tập Bài viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 5/ 07/ 2020 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Nguyễn Văn Vương 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thức thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020 Bộ GD & ĐT Tuyển tập tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019, 2020 Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn tốn 2019-2020, thầy Mẫn Ngọc Quang, thầy Nguyễn Bảo Vương, thầy Đặng Việt Đông Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019, 2020 thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đồn Trí Dũng Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn tốn năm 2017, 2018, 2019, 2020 trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Hùng Vương, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, trường THPT tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang Chánh,… Tổng ôn chuyên đề tích phân thầy Nguyễn Bảo Vương Chuyên đề giải tốn tích phân hàm ẩn Tạ Đức Huy 20 ... tốt toán ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài: ? ?Khai thác số quy tắc tính đạo hàm đạo hàm hàm hợp để giải toán nguyên hàm – tích phân cho phương trình đạo. .. quy tắc tính đạo hàm đạo hàm hàm hợp để giải tốn ngun hàm – tích phân cho phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao đề thi THPTQG? ?? GIẢI PHÁP 3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm tích 3.1.1 Cơng thức... .2 Giải pháp……………………………………………….………3 3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm tích? ??………….…………… 3.2 Khai thác quy tắc đạo hàm thương………… ………… 3.3 Khai thác quy tắc đạo hàm hàm thức….…………… 10 3.4 Khai thác quy