RÈN LUYỆN kỹ NĂNG GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN để GIẢI các bài TOÁN LIÊN QUAN đến hàm hợp, góp PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ôn tập THI tốt NGHIỆP THPT tại TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc mơn Tốn THANH HĨA, NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .2 2.2 Thực trạng .3 2.3 Giải vấn đề .3 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên giải toán hàm hợp .8 2.3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm hợp 2.4 Một số tập trắc nghiệm vận dụng 31 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 35 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 35 3.1 Kết luận 35 3.2 Kiến nghị .35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong công đổi toàn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng khơng phải thay đổi phương pháp hoàn tồn lạ mà phải q trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f ( x ) hàm hợp f (u ); (u  u ( x )) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Hàm f ( x ) việc biểu diễn dạng cơng thức cịn thể qua đồ thị, bảng biến thiên việc dựa vào đồ thị, bảng biến thiên hàm số f ( x ) để tìm tính chất hàm hợp giúp ta giải nhiều tốn khó Như biết, năm 2017 năm Bộ GD&ĐT đưa hình thức trắc nghiệm vào thi mơn tốn kỳ thi THPT Quốc gia.Vì giáo viên học sinh nhiều bỡ ngỡ với cách dạy, cách học, cách làm thi trắc nghiệm Trong tài liệu chuyên sâu phương pháp dạy, học, kỹ thuật làm thi trắc nghiệm hạn chế…, nhiên sau bốn năm thực việc dạy việc học có phần khởi sắc Nhiều quan điểm trước thi trắc nghiệm khơng cịn hay tốn học, khơng có tính tư logic, khơng phát huy khả trình bày hiểu chất tốn học sinh Do đó, cơng tác giảng dạy, phải liên tục cập nhật, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với xu hướng đề sau bốn năm lĩnh hội trực tiếp tiếp cận với phương pháp cho phù hợp với cách đề tơi cảm thấy thi trắc nghiệm mơn tốn khơng phản ứng giáo viên dạy toán lúc ban đầu Theo quan điểm cá nhân thấy với cách thi trắc nghiệm dạng kiến thức khai thác sâu, thiết kế nhiều dạng tập Đối với dạng toán hàm số trước thi tự luận xoay xoay lại câu khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ý câu hỏi phụ mảng kiến thức nhiều kiến thức hàm mà học sinh học Với việc thi trắc nghiệm kiến thức hàm số khai thác triệt để, mở rộng nhiều hướng, đặc biệt đề thi năm vừa qua xuất câu hàm hợp mức vận dụng, vận dụng cao Tuy nhiên SGK chưa cải cách kịp người thầy học sinh nhiều lúng túng với dạng toán hàm số mở rộng cho phù hợp với cách đề trắc nghiệm nay, đặc biệt dạng toán lên quan đến hàm hợp Đây yêu cầu mẻ học sinh, để giải dạng tốn học sinh cần phải nắm vững kiến thức hàm số, đạo hàm ứng dụng Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài “Rèn luyện kỹ ghép bảng biến thiên để giải toán liên quan đến hàm hợp, góp phần nâng cao chất lượng ơn tập thi tốt nghiệp THPT trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải tốt toán vận dụng, vận dụng cao hàm số f  u( x )  biết hàm số f ( x ) đồ thị bảng biến thiên hàm số f ( x ) 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu vận dụng số lý thuyết chương trình SGK lớp 12 để giải toán đơn điệu, cực trị hàm f  u( x ) ; số nghiệm phương trình f  u( x )  g (m) biết hàm số f ( x ) đồ thị bảng biến thiên hàm số f ( x ) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: -Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nghị Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực " Mọi người cần phải học toán dùng tốn sống hàng ngày Vì mà Tốn học có vị trí quan trọng tất lĩnh vực đời sống xã hội Hiểu biết Tốn học giúp cho người ta tính tốn, suy nghĩ, ước lượng, có cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận lôgic, giải vấn đề nảy sinh, học tập sống hàng ngày Ở trường phổ thơng, học tốn hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn áp dụng xác kiến thức, kỹ bản, khám phá số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đổi ý tưởng liên quan, Giải tốn địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học tốn giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp Kiến thức mơn Tốn cịn ứng dụng, phục vụ cho việc học mơn học khác Vật lí, Hóa học, Sinh học, Do đó, trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn Tốn để đáp ứng yêu cầu đổi giai đoạn phải tập trung vào việc hình thành phát triển lực chung lực chuyên biệt mơn Tốn như: Năng lực tư (gồm: tư lôgic; tư phê phán; tư sáng tạo; khả suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính tốn (gồm: lực sử dụng phép tính; lực sử dụng ngơn ngữ tốn; lực mơ hình hóa; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn) 2.2 Thực trạng Trong q trình dạy học trường THPT Như Thanh nhiều năm tơi nhận thấy việc học mơn tốn học sinh khó khăn, đặc biệt toán hàm số f (u ); (u  u( x )) biết hàm số đồ thị bảng biến thiên hàm số f ( x ) Các em đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính khó khăn ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng học tập mơn Tốn, dẫn đến em khơng có hứng thú việc học mơn Tốn Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hàm số hợp biết đồ thị bảng biến thiên hàm số f ( x ) , em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào cách giải mà giáo viên cung cấp chưa chủ động việc giải toán dạng Kết khảo sát số lớp chọn khối A trường có 10% học sinh hứng thú với dạng toán 2.3 Giải vấn đề Năm học 2019-2020 năm học thứ tư mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm, tình hình dịch bệch Covid-19 nên BGD lần giới thiệu đề minh họa đề minh họa lần có tốn sau: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: 5 � phương trình f  sin x   là: � � � � 0; Số nghiệm thuộc đoạn � A B C D (Trích câu 46 đề minh họa lần năm 2020) Đây toán tương đối khó với em học sinh phổ thơng, kể học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn bái tốn việc tìm mối liên hệ hai bảng biến thiên hàm f  x  hàm f  u  Sau lời giải toán Giải � x  a � �; 1 � x  b � 1;0  � Dựa vào bảng biến thiên, ta có: f  x   � � x  c � 0;1   � � x  d � 1; � � � sin x  a � �; 1  1 � sin x  b � 1;0    � Như f  sin x   � � sin x  c � 0;1     � � sin x  d � 1; �   � 5 � nên phương trình  1 phương trình   vơ � � � � 0; Vì sin x � 0;1 , x �� � 5 � 0; nghiệm Ta cần tìm số nghiệm    3 � � � � 5 � � 5 � � g '  x   cos x, x �� 0; � � � � � � � 0; Đặt g  x   sin x, x �� �  x � Cho g '  x   � cos x  � � Ta có bảng biến thiên: 3 � x � Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: phương trình   có nghiệm � 5 � 0; , phương trình  3 có nghiệm � � � � � 5 � 0; � � � � Vậy, phương trình cho có tất nghiệm Để giải tốn địi hỏi học sinh phải có khả huy động kiến thức trung gian lực tổng hợp, điều không dễ dàng học sinh kể học sinh giỏi Trong đề minh họa lần năm học 2019-2020 Bộ GD&ĐT có tốn sau: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A B C D 11 (Trích câu 46 đề minh họa lần năm 2020) Giải  x    3x  x  f �  x  3x  Ta có: g � � x0 � x  2 � � 3x  x  g� �� x  x  a, a   x  � � � � � �f  x  3x   x  x  b,  b  � �3 x  x  c, c  � x0 � x  2 �  x   x  x h�  x  � � Đặt h  x   x  3x Ta có: h� Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta suy ra: +) Phương trình: x3  3x  a, a  : có nghiệm đơn +) Phương trình: x3  3x  b,  b  : có nghiệm đơn +) Phương trình: x3  3x  b,  b  : có nghiệm đơn +) Mặt khác, x  x  2 nghiệm đơn Suy số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  Vậy, chọn C Cũng đề minh họa lần Bộ GD& ĐT năm học 2019-2020 có câu 45 tương tự câu 46 đề minh họa lần sau: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn   ; 2  phương trình f  sin x    A B C D Trong năm học 2018-2019, đề thi thức mã đề 101 có tốn sau: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f  x  3x   A B là: C D (Trích câu 48 mã đề 101 đề thi THPTQG năm 2018-2019) Như vây, tốn liên quan đến hàm hợp ln xuất nhiều đề thi thức năm học qua đề minh hoạ Bộ GD& ĐT năm học 2019-2020 Trong sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào giải u(x)� toán liên quan đến hàm hợp f � � �khi biết hàm số đồ thị bảng biến thiên hàm số f (x) 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Các kiến thức bản: Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.3.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định K Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (hay tăng) K x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (hay giảm) K x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2  Định nghĩa 2: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  a; b  (có thể a �; b �) điểm x0 � a; b  a Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x � x0  h; x0  h  x �x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x0 b Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x � x0  h; x0  h  x �x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định tập D a Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f  x  tập D f  x  �M f  x với x thuộc D tồn x0 �D cho f  x0   M Kí hiệu M  max D b Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x  tập D f  x  �m f  x với x thuộc D tồn x0 �D cho f  x0   m Kí hiệu m  D 2.3.1.2 Các tính chất Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K ( x) > 0, " x �K hàm số y = f ( x) đồng biến K + Nếu f � ( x) < 0, " x �K hàm số y = f ( x) nghịch biến K + Nếu f � Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K Nếu   f� ( x) �0, " x �K (hoặc f �( x) �0, " x �K ) f �x  số hữu hạn điểm hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) K Định lý 2:: Giả sử hàm số f có cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm  x0   x0 f � Định lý 3: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \  x0  , với h  a Nếu f '  x   khoảng  x0  h; x0  f '  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực đại hàm số f  x  b Nếu f '  x   khoảng  x0  h; x0  f '  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f  x  2.3.1.3 Một số mệnh đề Cho hàm số y  f ( x ) liên tục tập D Ta có: Mệnh đề 1: Số nghiệm phương trình f ( x )  g ( x ) số giao điểm hai đồ thị hàm số y=f(x) y=g(x) Mệnh đề 2: Số nghiệm phương trình f ( x )  m số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) đường thẳng y  m (cùng phương với trục ox ) Mệnh đề 3: Phương trình f ( x)  m có nghiệm x �D f  x  m m ax f  x  x�D x�D 2.3.1.4 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số - Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Đồ thị hàm số  C  : y  f  x  a  suy từ đồ thị  C  cách tịnh tiến đồ thị  C  theo phương trục hoành đoạn a Nếu a  tịnh tiến đồ thị  C  qua phải a đơn vị a  tịnh tiến đồ thị  C  qua trái a đơn vị - Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Đồ thị hàm số  C  : y  f  x   b suy từ đồ thị  C  cách tịnh tiến đồ thị  C  theo phương trục tung đoạn b Nếu b  tịnh tiến đồ thị  C  xuống b đơn vị b  tịnh tiến đồ thị  C  lên b đơn vị - Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Đồ thị hàm số �f ( x ) x > (C3 ) : y = f ( x ) = � � suy từ đồ thị hàm số  C  cách: � �f ( - x ) x �0 + Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm bên phải trục Oy bỏ phần  C  nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  nằm bên phải trục Oy qua Oy - Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  Đồ thị hàm số �f ( x ) f ( x ) > (C3 ) : y = f ( x ) = � suy từ đồ thị hàm số  C  cách: � � - f ( x ) f ( x ) �0 � + Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị  C  nằm trục Ox 2.3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên giải toán hàm hợp Ta thường gặp bái toán sau liên quan đến hàm hợp: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục � có đồ thị (bảng biến thiên) hình vẽ cho trước Tìm khoảng đồng biến (nghịch biến), số cực trị hàm số g(x) = f � u ( x) � u ( x) � = k Để giải yêu cầu Số nghiệm phương trình f � � � � � toán phương pháp ghép bảng biến thiên ta làm sau: Bước 1:Tìm tập xá định hàm g ( x )  f  u ( x )  , giả sử D   a1 ; a2  � a3 ; a4  � � an 1 ; an  Ở a1 �; an � Bước 2: Xét biến thiên u  u( x ) hàm y  f (x) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan  x; u  u( x)   u; g  f (u ) Bảng thường có dịng, giả sử có dạng: x a1 u  u( x ) u1 b1 b2 …… bk a2 ……… an 1 an u2 ……… un 1 un có nghiệm? B 12 C Phương trình f  x3  3x   A (Trích câu 45 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2020) Giải D Cách Đặt: t  x  3x � t '  x   3x  t '  x   � x  �1 Từ bảng biến thiên, suy ra:  Với giá trị t  2 , cho ta giá trị x  Với giá trị 2  t  , cho ta ba giá trị x  Với giá trị t  , cho ta giá trị x Khi f  x3  3x   � f  t   23 Theo đồ thị,  t0 , t1 , t2  2 , suy phương trình có ba nghiệm x  2  t3 , t4  , suy phương trình có sáu nghiệm x  t5 , t6 , t7  , suy phương trình có ba nghiệm x Vậy suy phương trình có 12 nghiệm Cách (phương pháp ghép bảng biến thiên) Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên ghép sau: � 1 1 x u  x  3x � a 0 2 b 2 f (u) � � � 3 3 3 � � � g  f (u ) 3 2 0 0 0 � 3 3 Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y  3 � cắt đồ thị hàm số g  f  x  3x  12 điểm phân biệt Vậy, phương trình cho có 12 nghiệm phân biệt 24 Qua ví dụ dạng khẳng định phương pháp ghép bảng biến thiên, trực quan dễ hiểu so với cách giải tự luận Điều tạo điều kiện cho em học sinh tiếp cận dạng toán cách tự nhiên, dễ hiểu giải tốt dạng toán đề thi u(x)� = g(m) ; ( m ��) Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình f � � � có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước biết hàm số đồ thị bảng biến thiên hàm số f (x) Với dạng ta thường gặp dạng toán sau đây: Cho hàm số đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f  x Tìm m để phương trình f� u(x)� = g(m) ; ( m ��) có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước � � Sau minh họa số ví dụ dạng Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục � có đồ thị hình bên:   Có số ngun m để phương trình f x  x  3  m có nghiệm thực thuộc đoạn  0; 4 ? A B Giải C D Cách Đặt t  x  x  3  x  x  x , x � 0; 4 � x  1� 0;   � x  12 x   � � t�  3x  12 x  , t � Bảng biến thiên: x  � 0;  � Dựa vào bảng biến thiên, ta có x � 0; 4 � t � 0; 4 Phương trình trở thành f  t   m 25 t 0 � Suy t 3 � Với t  � m  f    Khi phương trình f  t   � � phương trình t  có nghiệm, phương trình t  có nghiệm, dẫn đến f  t   có nghiệm (khơng thỏa yêu cầu toán) t 1 � Suy t4 � Với t  � m  f    Khi phương trình f  t   � � phương trình t  có nghiệm, phương trình t  có nghiệm, dẫn đến f  t   có nghiệm (khơng thỏa u cầu toán) Với t � 0;  Phương trình f  t   m có nghiệm t � 0;  phân biệt �0m4 Khi phương trình f  t   m có nghiệm t � 0;  , nghiệm  t � 0;  có nghiệm x � 0; 4 phân biệt Do f x  x  3   m có nghiệm x � 0; 4 (thỏa yêu cầu toán) Vậy  m  Vì m nguyên nên m � 1; 2;3 Vậy có giá trị m nguyên thỏa yêu cầu toán Cách (phương pháp ghép bảng biến thiên) Đặt t  x  x  3  x  x  x , x � 0; 4 � x  1� 0;   � x  12 x   � � t�  3x  12 x  , t � x  � 0;  � Ta có bảng biến thiên ghép: Yêu cầu tốn �  m  Vì m nguyên nên m � 1; 2;3 Vậy có giá trị m nguyên thỏa yêu cầu toán Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình 3ff( (x)) = m có nghiệm phân biệt x �[ 5;0] 26 A B C D Giải Cách � �1;3� � t �� f ( t ) �� 0;4� Đặt t = f (x), x �-� �5;0� � � � � Phương trình cho có dạng f ( t) = m �1;3� ,t �� � m � � � 0;4 phương trình cho vô nghiệm � � � t =- � f ( x) = - ( 1) m � m = 0: f t = � ( ) �t = � � TH2: � f x = ( 2) � � � �( ) TH1: [ 5;0] Phương trình (1) Có nghiệm, (2) có nghiệm miền x �[ 5;0] Do phương trình ban đầu có nghiệm x �� t =- � f ( x) = a �( - 1;0) ( 3) � � � � � t =3 f x = b �( 2;3) ( 4) � � � �( ) [ 5;0] Phương trình (1) Có nghiệm, (2) có nghiệm miền x �[ 5;0] Do phương trình ban đầu có nghiệm x �m m TH3: < < hay 0