Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao phạm minh tuấn file word có lời giải chi tiết

Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M.n 13  Cách 1: A B 39 C 3 D 13 Re(z) phần thực số phức z, Im(z) phần ảo số phức z, z = ⇔ z.z =  Đặt t = z + , ta có: = z − ≤ z + ≤ z + = ⇒ t ∈ [ 0; 2] ( )  t = ( + z ) + z = + z.z + z + z = + Re( z ) ⇒ Re( z ) = t2 − 2  z − z + = z − z + z z = z z − + z = t −  Xét hàm số: f (t ) = t + t − , t ∈ [ 0; 2] Xét TH: ⇒ Maxf (t ) = 13 ; Minf (t ) = ⇒ M n = 13 4  Cách 2:  z = r (cos x + i s inx) = a + bi  z.z = z =  Do z = ⇒   r = a + b =  P = + cos x + cos x − , dặt t = cos x ∈ [ −1;1] ⇒ f (t ) = + 2t + 2t −  1  TH1: t ∈  −1;   2 max f (t ) = f (1) =  f '(t ) = +2>0⇒ 1 + 2t min f (t ) = f  ÷ =    1   TH2: t ∈  ;1 2    13 f '(t ) = − = ⇔ t = − ⇒ max f (t ) = f  − ÷ = + 2t  8 13 13 ⇒ Maxf (t ) = ; Minf (t ) = ⇒ M n = 4 Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị 2 biểu thức P = z + − z − i Tính module số phức w = M + mi A w = 314  Cách 1: B w = 1258  P = 4x + y + ⇒ y = C w = 137 D w = 309 P − 4x − 2 P − 4x − 2   z − − 4i = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = ⇔ ( x − ) +  − ÷ − = f ( x)    f '( x) = 8( x − 3) − 8( P − x − 11) = ⇔ x = 0, P − 1, ⇒ y = 0,1P + 1, http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao  P = 33 2  Thay vào f ( x) ta được: ( 0, P − 1, − 3) + (0,1P + 1,7 − 4) − = ⇔   P = 13  Cách 2:  z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = : (C ) 2  ( ∆ ) : 4x + y + − P =  Tìm P cho dường thẳng ∆ đường tròn (C) có điểm chung ⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33  Vậy MaxP = 33; MinP = 13  w = 33 + 13i ⇒ w = 1258 Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z + + z − A Pmax = B Pmax = 10  Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki: ( C Pmax =  P = z + + z − ≤ (12 + 2 ) z + + z − D Pmax = ) = 10 ( z + 1) = 2 Bài 4: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z − − 4i = z − 2i m = z Tính module số phức w = m − ( x + y )i A w = B w = C w = D w =  Cách 1:  z − − 4i = z − 2i ⇔ x + y = ( x + y) 42 =2 2 x + y = x = ⇔ ⇒ w = 2 − 4i ⇒ w =  z = 2 , Dấu “=” xảy  y = x = y ( x + y )2 Chú ý: Với x, y số thực ta có: x + y ≥ Dấu “=” xảy x = y  Cách 2:  z − − 4i = z − 2i ⇔ y = − x  z = x2 + y ≥ =  z = x + y = x + (4 − x )2 = 2( x − 2) + ≥ 2 x + y = x = ⇔ ⇒ w = 2 − 4i ⇒ w =  z = 2 Dấu “=” xảy  x = y =   Bài 5: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z + i + = z − 2i Tìm mơđun nhỏ z A z = B z = C z = D z =  Cách 1:  z + i + = z − 2i ⇔ x − y =  x2 + y2 ≥ ( x − y)2 = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao  z = x2 + y2 ≥ 1 = 2 Chú ý: Với x, y số thực ta có: x + y ≥ ( x − y )2  Cách 2:  z + i + = z − 2i ⇔ y = x − 1 1  z = x + y = x + ( x − 1) =  x − ÷ + ≥ = 2 2   Vậy z = Bài : Cho số phức z thoả mãn z = Gọi M m giá trị lớn nhỏ biểu thức 2 2 P = z + z + z − z + z Tính M + m A B 13 C D 15 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn  Cách 1:  Ta có: z = ⇔ z.z =  Đặt t = z + z ∈ [ 0; 2] ⇒ t = ( z + z )( z + z ) = z + z.z + z = + z + z 2  z + 3z + z = z z + + z = t + = t + 3  P = t − t + ≥  t − ÷ + ≥  2 4  Vậy P = ; max P = t = 15  M +n=  Cách 2: Cách bạn Trịnh Văn Thoại  P = z + 3z + z − z + z = z + 3z + z z ( − z + z = z2 + + z − z + z = z + z ) +1 − z + z Đến bạn tự tìm max Bài 7: Cho số phức a, b, c, z thoả az + bz + c = 0(a ≠ 0) Gọi z1 z2 hai nghiệm  P = z + z + 1− z + z ≥ phương trình bậc hai cho Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 − ( z1 − z2 A P = B P = c a ) c a c D P = a C P = c a  Giải: ( ) ( )  Ta có: z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z = z1 + z 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao  Khi đó: P = z1 z2 c c ⇒ P = z1 z = a a Bài 8: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Mệnh đề  Ta lại có: z1 z2 = đúng? 2 A z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số ảo 2 2 2 2 B z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số nguyên tố C z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số thực âm D z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 số  Chứng minh công thức:  2 2 2 z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 2  Ta có: z = z.z z1 + z2 + + z n = z1 + z2 + + zn Áp dụng tính chất ta có vế trái : ( ) ( ) ( = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z2 + z3 ) z2 + z3 + ( z3 + z1 ) z3 + z1 ) = z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z3 + z3 z2 + z3 z1 + z1 z3 2 ( ) ( ) ( = z1 + z2 + z3 + z1 z1 + z2 + z3 + z2 z1 + z2 + z3 + z3 z1 + z2 + z3 ( = z1 + z2 + z3 + ( z1 + z2 + z3 ) z1 + z2 + z3 2 2 2 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 ) ) 2 2  Áp dụng công thức chứng minh suy ra: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = số nguyên tố z z Bài 9: Có số phức z thoả mãn hai điều kiện z =  +  = ? z z A B C D  Giải:  Ta có: z = = z.z  Đặt z = cos x + i sin x, x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ z = cos x + i sin x  cos x =   z z +z = ⇔ cos x = ⇔   =1 ⇔ z z.z cos x = −   Giải phương trình lượng giác với x ∈ [ 0; 2π ] nên ta chọn giá trị z   + z  π 5π 7π 11π π 2π 4π 5π  x= ; ; ; ; ; ; ;  6 6 3 3   Vậy có số phức thoả điều kiện đề cho Bài 10: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn đồng thời hai điều kiện z1 = z2 = z3 = 1999 z1 + z2 + z3 ≠ Tính P = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 z1 + z2 + z3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao C P = 999,5 D P = 5997 A P = 1999 B P = 19992  Giải  z z + z z + z z   z z + z z + z z   P =  2 3 ÷ 2 3 ÷ z1 + z2 + z3  z1 + z2 + z3    19992 z =  z1   19992  Mặc khác: z1 = z2 = z3 = 1999 ⇔ z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 1999 ⇒  z2 = z2   19992  z3 = z3   19992 19992 19992 1999 1999 1999 + +  z1 z2 + z2 z3 + z3 z1   z1 z2 z2 z3 z3 z1   Suy P =  ÷ 2 1999 1999 1999  z1 + z2 + z3   + +  z1 z2 z3   P = 1999  Tổng quát: z1 = z2 = z3 = k ⇒ z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = k z1 + z + z3 Bài 11: Cho số phức z thoả mãn  ÷ ÷ = 19992 ÷ ÷  − 2i z − − 2i = Gọi M m giá trị lớn + 2i giá trị nhỏ biểu thức P = z = = 3i Tính M.m A M n = 25 B M n = 20 C M n = 24 D M n = 30  Dạng tổng quát: Cho số phức z thoả mãn z1 z − z2 = r Tính Min, Max z − z3 Ta có Max = z2 r r z − z3 + ; Min = − − z3 z1 z1 z1 z1  Áp dụng Công thức với z1 = − 2i ; z2 = + 2i, z3 = + 3i; r = ta + 2i Max = 6; Min = Bài tập áp dụng: 1) Cho số phức z thoả mãn z − + 2i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M m A M n = B M n = C M n = D M n = + 2i z − = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2) Cho số phức z thoả mãn 1− i z + i Tính M m 1 A M n = B M n = C M n = 10 D M n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao 3) Cho số phức z thoả mãn z − i n +1 = i n với n ∈ ¥ Gọi M m giá trị lớn i+2 giá trị nhỏ z − + i Tính M m A M n = 20 B M n = 15 C M n = 24 D M n = 30 Bài 12: Cho số phức z thảo mãn z + + z − = Gọi m = z M = max z , M n bằng: A B C 3 D  Giải:  Dạng Tổng quát: z1 z + z2 + z1 z − z = k với z1 = a + bi; z2 = c + di; z = x + yi  Ta có: Min z = k − z2 2 z1  Chứng minh công thức: Max z = k z1  Ta có: k = z1 z + z2 + z1 z − z2 ≥ z1 z + z2 + z1 z − z2 = z1 z ⇔ z ≤ k k Suy Max z = z1 z1  Mặc khác: ( ax − by + c )  z1 z + z2 + z1 z − z2 = k ⇔ + ( ay + bx + d ) + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d ) + ( ay + bx − d ) = k  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: k = ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) + 2 ( + ) ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d ) = 4( a + b ) ( x + y ) + 4( c + d ) k − 4( c + d ) k −4 z = Suy z = x + y ≥ 2z 4( a + b ) ≤ 2 2 2 2 2  ( ax − by − c ) 2   2 2 2 2  42 − m =  =  ADCT ta có: z1 = 1; z2 =1; k = ⇒  M = =  2 + iz − = Gọi m = z M = max z , Bài 13: Cho số phức z thoả mãn iz + 1− i 1− i M n bằng: A B 2  ADCT Câu 12 ta có: z1 = 1; z2 = C  m = ;k = ⇒  1− i  M = Bài 14: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z z3 = 2 D 1 + i Tính giá trị nhỏ biểu thức 2 P = z1 + z + z3 A Pmin = C Pmin = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao B Pmin = D Pmin =  Giải:  Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P ≥ 3 z1 z2 z3 ⇔ z z z =1⇔ z z z =1 + i 3 2  Suy P ≥ Dấu “=” xảy z1 = z2 = z3 =  Mặc khác: z1 z2 z3 = Bài 15: Cho số phức z = x + yi với x, y số thực không âm thoả mãn ( P = z2 − z + i z2 − z z −3 = biểu thức z − + 2i )  z(1 − i) + z(1 + i) Giá trị lớn giá trị nhỏ P là: A -1 C B -1 D  Giải: z −3 = ⇔ z − = z − + 2i ⇔ x + y =  z − + 2i x+ y  P = 16 x y − xy , Đặt t = xy ⇒ ≤ t ≤  ÷ =    1  P = 16t − 8t , t ∈ 0;  ⇒ MaxP = 0; MinP = −1  4 Bài 16: Cho số phức z thoả mãn z = Tính giá trị nhỏ biểu thức 2 P = + z + + z + 1+ z3 A Pmin = B Pmin =  Giải:  Ta có: z = ⇒ − z = C Pmin = D Pmin = ( )  P = + z + + z + + z3 = + z + −z + z + 1+ z3 ≥ + z − z 1+ z + 1+ z3 = Bài 17: Cho số phức z thoả mãn 6z − i ≤ Tìm giá trị lớn z + 3iz C max z = 3 B max z = D max z =  Giải: 6z − i 2 ≤ ⇔ z − i ≤ + 3iz ⇔ z − i ≤ + 3iz + 3iz A max z = ( z − i ) ( z − i ) ≤ ( + 3iz ) ( + 3iz ) ⇔ ( z − i ) ( z − i ) ≤ ( + 3iz ) ( + 3iz ) ⇔ z z ≤ 1 ⇔ z≤ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 18: Cho z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ đúng? ( P =( z ) − 4) A P = z − B ) thoả z + = z P = 8(b − a ) − 12 Mệnh đề sau C P = ( z − ) 2 D P = ( z − )  Giải:  z + = z ⇔ ( a − b + ) + ( 2ab ) − ( a + b ) = 2  Chuẩn hoá b = ⇒ a + 4a + 16 = ⇒ a = −1 − i ⇒ z = −1 − i ⇒ P =  Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P =  −1 − i − ÷ = ⇒ Nhận   Bài 19: Cho số phức z thoả mãn z − − 3i = Gọi M = max z + + i , m = z + + i Tính giá trị 2 biểu thức ( M + n ) A M + m2 = 28 B M + m2 = 24  Giải: C M + m2 = 26 D M + m = 20  z − − 3i = ⇔ ( x − ) + ( y − 3) = (1) 2  Đặt P = z + + i ⇒ ( x + 1) + ( y − 1) = P  Lấy (1)-(2) ta được: y = (2) với P > P + 10 − x Thay vào (1):  P + 10 − x   ( x − 2) +  − ÷ = ⇔ 52 x − ( 40 + 12 P ) x + ( P − P + 52 ) =    Để PT (*) có nghiệm thì: (*) ∆ = ( 40 + 12 P ) − 4.52 ( P − P + 52 ) ≥ ⇔ 14 − 13 ≤ P ≤ 14 + 13  Vậy M = 14 + 13 , m = 14 − 13 ⇒ M + m = 28 1 Bài 20: Cho số phức z ∈£ * thoả mãn z + ≤ M = max z + Khẳng định sau z z đúng? C < M < A −1 < M < B < M < D M + M + M <  Giải: 3 1 1 1   z + ÷ = z + +  z + ÷ ⇔ z + =  z + ÷ −  z + ÷ z z z z  z z    1 1   ⇔ z + =  z + ÷ − 3 z + ÷ ⇔ z z z   3 1 1    z + ÷ − 3 z + ÷ ≤ z z   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao 3 1 1 1   −3 z +  Mặc khác:  z + ÷ −  z + ÷ ≥ z + z z z z   1  Suy ra: z + − z + ≤ , đặt t = z + ≥ , ta được: z z z  t − 3t − ≤ ⇔ ( t − ) ( t + 1) ≤ ⇒ t ≤ ⇒ z + ≤ ⇒ M = z Bài 21: Cho số phức z thoả mãn ( z − + 1) ( − i ) = ( + i ) bằng: A ℑ( z ) = 21008 − B ℑ( z ) = 21008 −  Giải:  2017 Khi số thực ω = z + − i có phần ảo C ℑ( z ) = 21008 D ℑ( z ) = 21008 − ( z − + 1) ( − i ) = ( + i ) 2017 ⇔ ( z − + 1) ( − i ) (1 + i) = ( + i ) 2018 1009 1009 ( + i )  2i ] [   ⇔z= + 3−i = + − i = 22008 i + − i ( − i ) (1 + i )  ω = 22008 i + − i + − i = + ( 21008 − ) i ⇒ ℑ( z ) = 21008 − ( ) Bài 22: Cho số phức z thoả mãn − 5i z = < z 53 B b < 50 C b < 55 D b < 51 Bài 38: Cho số phức z thoả mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 z3 ; z2 + z3 z1 ; z3 + z1z2 số thực Tính ( z1 z2 z3 ) 2017 A B −22017 C ±1 D 22017 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải số tập số phức mức độ vận dụng cao ( ) Bài 39: Cho số phức z thoả mãn đồng thời z + z = z + z = + i z Khẳng định sau đúng? < z