Tính giá trị của M.n A... Tìm môđun nhỏ nhất của z... Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Áp dụng tính chất này ta có vế tr
Trang 1Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP z 1 z2 z 1 Tính giá trị của M.n
A 13 3
39
13 4
¾ Cách 1:
Re( )z là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1 z z 1
Đặt t z 1, ta có: 0 z d d 1 z 1 z 1 2 t > @0;2
2
z z z z z z z z z z z t
Xét hàm số: 2 > @
3 , 0;2
f t t t t Xét 2 TH:
4
Maxf t ; Minf t 3 13 3
4
M n
¾ Cách 2:
z r cosxisinx a bi
Do
2
2 2
1
1
z z z z
r a b
° ®
¯
P 2 2cos x 2cosx 1 , đặt t cosx > 1;1@ f t 2 2 t 2t 1
TH1: 1;1
2
t ª º
3
2 2
2
maxf t f
f t
minf t f t
°
© ¹
¯
TH1: 1;1
2
ª º
« »¬ ¼
t
2 2
t
§ ·
4
Maxf t ; Minf t 3 13 3
4
M n
Trang 2Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 22 z i2 Tính module số phức w M mi
A w 2 314 B w 1258 C w 3 137 D w 2 309
¾ Cách 1:
2
P x
2
P x
z i x y x § · f x
f ' x 8 x 3 8 P 4x 11 0 x 0,2P 1,6 y 0,1P 1,7
Thay vào f x ta được: 2 2 33
0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0
13
P
P
ª
¬
¾ Cách 2:
( ) : 4 ' x 2y 3 P 0
Tìm P sao cho đường thẳng ' và đường tròn C có điểm chung
Vậy MaxP 33 ; MinP 13
w 33 13 i w 1258
Bài 3: Cho số phức z x yi x y, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i 5 và biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn nhất Tính z
¾ Giải:
2 2
5
y
°
®°¯ ® ¯ Chú ý: BĐT Bunhiacopxky: 2 2 2 2
axbyd a b x y
Trang 3Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b
x y
Bài 4: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z 2 4i z 2i và m min z Tính module số phức w m x y i
¾ Cách 1:
z 2 4i z 2i x y 4
2 2
x y
t
min z 2 2, Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6
2
i
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: 2
2 2
2
x y
t
Dấu “=” xảy ra khi x y
¾ Cách 2:
z 2 4i z 2i y 4 x
z x y x x x t
min z 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6
i
Bài 5: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z i 1 z 2i Tìm môđun nhỏ nhất
của z
1 2
min z
¾ Cách 1:
z i 1 z 2i x y 1
Trang 4 2 2 1
x y
t
z x y t
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: 2
2 2
2
x y
t
Dấu “=” xảy ra khi x y
¾ Cách 2:
z i 1 z 2i y x 1
z x y x x §x · t
2
min z
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z3 3z z z z Tính M m
A 7
13
15 4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
¾ Cách 1:
Ta có z2 1 z z 1
z3 3z z z z2 3 z2 t2 1 t2 1
2
1
t ¨ ¸ t
4
minP ; maxP 3 khi t 2
4
M n
¾ Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
Trang 5 3 3 2 2 2
z
4
t
P z z z z Đến đây các bạn tự tìm max nhé
Bài 7: Cho các số phức a b c z, , , thỏa az2 bz c 0 az 0 Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho Tính giá trị của biểu thức
P z z z z z z
A P 2 c
a
B P c
2
c P
a
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
Khi đó P 4 z z1 2
Ta lại có: z z1 2 c P 4 z z1 2 4 c
Bài 8: Cho 3 số phức z z z1 , , 2 3 thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A z1z22 z2 z3 2 z3z12 là số thuần ảo
B z1z22 z2 z3 2 z3z12 là số nguyên tố
C z1z22 z2 z3 2 z3z12 là số thực âm
D z1z22 z2 z3 2 z3z12 là số 1
Chứng minh công thức:
9 z1z2 2 z2z3 2 z3z12 z12 z2 2 z3 2 z1 z2 z3 2
Ta có: z2 z z và z1 z2 zn z1 z2 zn Áp dụng tính chất này ta có
vế trái:
Trang 6
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1z2 2 z2z32 z3z12 3 là số
nguyến số
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và z z 1
z
z ?
Phạm Minh Tuấn
Ta có: z2 1 z z
Đặt z cosx i sin ,x x>0;2S@z2 cos2x i sin 2x
2 2
1 cos 2
2
1
2
ª
«
«¬
x
x z
x
Giải 2 phương trình lượng giác trên với x>0;2S@nên ta chọn được các giá trị
; ; ; ; ; ; ;
6 6 6 6 3 3 3 3
x
Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z2 z3 1999 và
1 2 3 0
z z z z Tính 1 2 2 3 3 1
1 2 3
z z z z z z P
z z z
Trang 7
B P 1999 P 5997
Giải:
2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
P
Mặc khác:
2 1
1 2 2
2 2 3
3
1999
1999
1999
z
z
z z
z
°
°
°°
°
°
°
°¯
Suy ra
1 2 3
1999 1999 1999 1999 1999 1999
1999
1999 1999 1999
P
z z z
Ö P 1999
Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1 2 Tính Min, Max của r
3
z z
;
Áp dụng: Cho số phức z thỏa mãn
3 3 2
1 2 2
i
i Gọi M và n lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 3i Tính M m
Trang 8Áp dụng Công thức trên với 1 3 3 2 ; 2 1 2 , 3 3 3 ; 3
1 2 2
i
i
Bài 12: Dạng Tổng quát: Dạng: z z z1 2 z z z1 2 k với z1 a bi z; 2 c di z; x yi
Ta có:
2 2
2 1
4 2
Min z
z
và
1 2
k Max z
z
Chứng minh công thức:
1
2
2
k
z
1 2
k Max z
z
Mặc khác:
z z z z z z k ax by c ay bx d ax by c ay bx d
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2 2
1 1
2
2
2 2
2 2
1
2 4
z
Áp dụng:
Trang 9Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1 4 Gọi m min z và M max z , khi đó M n.
bằng:
Cho số phức z thỏa mãn 2 2
4
Gọi m min z và M max z , khi
đó M n bằng:
Bài 13: Cho các số phức z z z thỏa mãn 1, 2, 3 1 2 3 1 3
2 2
z z z i Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P z1 2 z2 2 z3 2
B min 1
3
Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 3 2 2 2
Mặc Khác: 1 2 3 1 3 1 2 3 1 1 2 3 1
2 2
z z z i z z z z z z
Suy ra P t3 Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 z3 1
Bài 14: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn
3
1
1 2
z
P z z i z§¨© z · ª¸ ¬¹ z i z i º¼ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:
Trang 10B 3 và 1 D 2 và 0
3
1 2
z
2 2
P x y xy, Đặt t xy
2
1 0
x y
t § ·
4
¬ ¼
Bài 15: Cho các số phức z thỏa mãn z Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1
P z z z
Ta có: z 1 z 1
P z z z z z z z t z z z z
Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn 6 1
2 3
z i iz
d
Gọi M max z
2
3
max z
4
2
6
2 3
z i
iz
Trang 11
Bài 17: Cho z a bi a b , , thỏa z2 4 2 z và 2 2
P b a Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 2 2
2
2
B 2 2
4
4
Đề Đặng Thúc Hứa
Giải: 2 2 2 2 2 2 2
Chọn b 0 a44a216 0 a 1 i 3 z 1 i 3
Suy ra P 4
Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A:
2 2
P § i ·
Bài 18: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i Gọi 1 M max z , 1 i m min z 1 i
Tính giá trị của biểu thức 2 2
M n .
26
M m
20
M m
P z i x y P (2) với P !0
Lấy (1)-(2) ta được:
2
10 6 4
Thay vào (1) :
4
Trang 12Để PT (*) có nghiệm thì:
40 12P 4.52 P 4P 52 0 14 2 13 P 14 2 13
Vậy M 14 2 13 , m 14 2 13 M2m2 28
Bài 19: Cho số thức z ** thỏa mãn z3 13 2
z
z
Khẳng định nào sau đây đúng?
2
M
2
M
3
M M M
Giải:
3 3
z
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ d
Mặt khác:
Suy ra:
3
d , đặt t z 1 0
z
t , ta được:
2
z
Bài 20: Cho số phức z thỏa mãn 2017
z i i i Khi đó số thức w có z 1 i
phần ảo bằng:
( ) 2z 1
( ) 2z
( ) 2z 2
Trang 13Giải: Chọn D
1009
1008
2
ª º
ª º
w i i i i
Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn 2 42
z
đúng:
2 z
Giải: Chọn B
2 42
2 42
2 42
z
z
z
...Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1 2 Tính Min, Max r
3
z z
;
Áp dụng: Cho số phức. ..
6 6 3 3
x
Vậy có số phức thỏa điều kiện đề cho
Bài 10: Cho số phức z z z1, ,2... z3z12 là số< /sub>
nguyến số
Bài 9: Có số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 z