1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

13 495 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 2,12 MB

Nội dung

Tính giá trị của M.n A... Tìm môđun nhỏ nhất của z... Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Áp dụng tính chất này ta có vế tr

Trang 1

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP  z 1 z2  z 1 Tính giá trị của M.n

A 13 3

39

13 4

¾ Cách 1:

Re( )z là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z œ 1 z z 1

™ Đặt t z 1, ta có: 0 z  d  d 1 z 1 z  Ÿ  1 2 t > @0;2

2



z   z z  z z z z z  z z  z  t 

™ Xét hàm số: 2 > @

3 , 0;2

f t t t  t Xét 2 TH:

4

Maxf t ; Minf t 3 13 3

4

M n

Ÿ

¾ Cách 2:

™ z r cosxisinx a bi

™ Do

2

2 2

1

1

z z z z

r a b

­

° Ÿ ®

¯

™ P 2 2cos  x 2cosx 1 , đặt t cosx > 1;1@ Ÿ f t 2 2  t  2t 1

™ TH1: 1;1

2

t ª º

3

2 2

2

maxf t f

f t

minf t f t

­

°

© ¹

¯

™ TH1: 1;1

2

ª º

 « »¬ ¼

t

2 2

t

§ ·

4

Maxf t ; Minf t 3 13 3

4

M n

Ÿ

Trang 2

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3 4i 5 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 22  z i2 Tính module số phức w M mi

A w 2 314 B w 1258 C w 3 137 D w 2 309

¾ Cách 1:

2

P x

2

P x

z  i œ x  y œ x §    ·  f x

™ f ' x 8 x  3 8 P 4x 11 œ 0 x 0,2P 1,6 Ÿ y 0,1P 1,7

™ Thay vào f x ta được: 2 2 33

0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0

13

P

P

ª

¬

¾ Cách 2:

™ ( ) : 4 ' x 2y  3 P 0

™ Tìm P sao cho đường thẳng ' và đường tròn C có điểm chung

™ Vậy MaxP 33 ; MinP 13

™ w 33 13  iŸ w 1258

Bài 3: Cho số phức z x yi x y,  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3 4i 5 và biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn nhất Tính z

¾ Giải:

™

2 2

5

y

 

°

Ÿ®°¯    œ ® ¯ Ÿ Chú ý: BĐT Bunhiacopxky: 2 2 2 2

axbyd a b x  y

Trang 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b

x y

Bài 4: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z  2 4i z 2im min z Tính module số phức w m  x y i

¾ Cách 1:

™ z  2 4i z 2i œ  x y 4

2 2

x y

 t

™ min z 2 2, Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6

2

i



Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: 2

2 2

2

x y

 t

Dấu “=” xảy ra khi x y

¾ Cách 2:

™ z  2 4i z 2i œ y 4 x

z x  y x  x x  t

™ min z 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6

i



Bài 5: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z  i 1 z 2i Tìm môđun nhỏ nhất

của z

1 2

min z

¾ Cách 1:

™ z  i 1 z 2i œ  x y 1

Trang 4

™ 2 2 1

x y

 t

z x y t

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: 2

2 2

2

x y

 t

Dấu “=” xảy ra khi x y

¾ Cách 2:

™ z  i 1 z 2i œ y x 1

z x  y x  x §x ·  t

2

min z

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z3  3z  z z z Tính M m

A 7

13

15 4

Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

¾ Cách 1:

™ Ta có z2 œ1 z z 1

™ z3 3z z z z2  3 z2 t2  1 t2 1

™

2

1

  t ¨ ¸  t

4

minP ; maxP 3 khi t 2

4



M n

¾ Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại

Trang 5

™ 3 3 2 2 2

z

4

    t

P z z z z Đến đây các bạn tự tìm max nhé

Bài 7: Cho các số phức a b c z, , , thỏa az2 bz c 0 az 0 Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho Tính giá trị của biểu thức

P z z  z z  z  z

A P 2 c

a

B P c

2

c P

a

1  2  1  2 1  2 1  2  1  2 1  2 2 1  2 2

™ Khi đó P 4 z z1 2

™ Ta lại có: z z1 2 Ÿ c P 4 z z1 2 4 c

Bài 8: Cho 3 số phức z z z1 , , 2 3 thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A z1z22  z2 z3 2 z3z12 là số thuần ảo

B z1z22  z2 z3 2 z3z12 là số nguyên tố

C z1z22  z2 z3 2 z3z12 là số thực âm

D z1z22  z2 z3 2 z3z12 là số 1

™ Chứng minh công thức:

9 z1z2 2 z2z3 2 z3z12 z12 z2 2 z3 2 z1 z2 z3 2

™ Ta có: z2 z zz1   z2 zn    z1 z2 zn Áp dụng tính chất này ta có

vế trái:

Trang 6

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

™ Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1z2 2 z2z32  z3z12 3 là số

nguyến số

Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và z z 1

z

z  ?

Phạm Minh Tuấn

™ Ta có: z2 1 z z

™ Đặt z cosx i sin ,x x>0;2S@Ÿz2 cos2x i sin 2x

™

2 2

1 cos 2

2

1

2

ª

«



«¬

x

x z

x

™ Giải 2 phương trình lượng giác trên với x>0;2S@nên ta chọn được các giá trị

; ; ; ; ; ; ;

6 6 6 6 3 3 3 3

x

™ Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho

Bài 10: Cho các số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z2 z3 1999 và

1 2 3 0

z z z z Tính 1 2 2 3 3 1

1 2 3

z z z z z z P

z z z

 

Trang 7

B P 1999 P 5997

Giải:

™ 2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

P

™ Mặc khác:

2 1

1 2 2

2 2 3

3

1999

1999

1999

z

z

z z

z

­

°

°

°°

°

°

°

°¯

™ Suy ra

1 2 3

1999 1999 1999 1999 1999 1999

1999

1999 1999 1999

P

z z z

Ö P 1999

Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1  2 Tính Min, Max của r

3

z z

;

Áp dụng: Cho số phức z thỏa mãn 

 



3 3 2

1 2 2

i

i Gọi M và n lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 3 3i Tính M m

Trang 8

Áp dụng Công thức trên với 1 3 3 2 ; 2 1 2 , 3 3 3 ; 3

1 2 2

i

i

Bài 12: Dạng Tổng quát: Dạng: z z z1  2  z z z1  2 k với z1 a bi z; 2 c di z; x yi

Ta có:

2 2

2 1

4 2

Min z

z



1 2

k Max z

z

Chứng minh công thức:

1

2

2

k

z

1 2

k Max z

z

Mặc khác:

z z z   z z z  œ k ax by c    ay bx d    ax by c    ay bx d  

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 2

1 1

2

2

2 2

2 2

1

2 4

z



Áp dụng:

Trang 9

Cho số phức z thỏa mãn z   1 z 1 4 Gọi m min zM max z , khi đó M n.

bằng:

Cho số phức z thỏa mãn 2 2

4

  Gọi m min zM max z , khi

đó M n bằng:

Bài 13: Cho các số phức z z z thỏa mãn 1, 2, 3 1 2 3 1 3

2 2

z z z  i Tính giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P z1 2  z2 2  z3 2

B min 1

3

Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 3 2 2 2

Mặc Khác: 1 2 3 1 3 1 2 3 1 1 2 3 1

2 2

z z z  i œ z z z œ z z z

Suy ra P t3 Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 z3 1

Bài 14: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn 

 

3

1

1 2

z

P z z i z§¨© z · ª¸ ¬¹ z  i z i º¼ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:

Trang 10

B 3 và  1 D 2 và 0

3

1 2

z

 

2 2

P x y  xy, Đặt t xy

2

1 0

x y

t §  ·

4

¬ ¼

Bài 15: Cho các số phức z thỏa mãn z Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

P   z z  z

Ta có: z Ÿ  1 z 1

P   z z  z   z z z  z t  z z z  z

Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn 6 1

2 3

z i iz

 d

 Gọi M max z

2

3

max z

4

2

6

2 3

z i

iz





Trang 11

Bài 17: Cho z a bi a b  , ,  thỏa z2  4 2 z và 2 2

P b a  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 2 2

2

2

B 2 2

4

4

Đề Đặng Thúc Hứa

Giải: 2 2 2 2 2 2 2

Chọn b Ÿ0 a44a216 0 Ÿ  a 1 i 3 Ÿ  z 1 i 3

Suy ra P 4

Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A:

2 2

P  § i  · Ÿ

Bài 18: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i Gọi 1 M max z  , 1 i m min z  1 i

Tính giá trị của biểu thức 2 2

M n .

26

M m

20

M m

P   Ÿz i x  y P (2) với P !0

Lấy (1)-(2) ta được:

2

10 6 4

Thay vào (1) :

4

Trang 12

Để PT (*) có nghiệm thì:

40 12P 4.52 P 4P 52 0 14 2 13 P 14 2 13

Vậy M 14 2 13 , m 14 2 13 ŸM2m2 28

Bài 19: Cho số thức z  ** thỏa mãn z3 13 2

z

z

 Khẳng định nào sau đây đúng?

2

M

2

M

3

M M M

Giải:

3 3

z

œ  ¨  ¸  ¨  ¸ œ ¨  ¸  ¨  ¸ d

Mặt khác:

Suy ra:

3

   d , đặt t z 1 0

z

 t , ta được:

2

z

Bài 20: Cho số phức z thỏa mãn 2017

z i  i i Khi đó số thức w   có z 1 i

phần ảo bằng:

( ) 2z 1

( ) 2z

‚

( ) 2z 2

Trang 13

Giải: Chọn D

1009

1008

2

ª  º

ª º

w i    i i  i

Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn 2 42

z

đúng:

2  z 

Giải: Chọn B

2 42

2 42

2 42

z

z

z

...

Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1  2 Tính Min, Max r

3

z z

;

Áp dụng: Cho số phức. ..

6 6 3 3

x

™ Vậy có số phức thỏa điều kiện đề cho

Bài 10: Cho số phức z z z1, ,2...  z3z12 là số< /sub>

nguyến số

Bài 9: Có số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 z

Ngày đăng: 28/04/2017, 14:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w