SKKN một số phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: TTCM SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm 2.3.2 Phương pháp đổi biến số 11 2.3.3 Phương pháp tính tích phân phần 15 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân 20 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 26 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 27 3.1 Kết luận 27 3.2 Kiến nghị 27 TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng ứng dụng rộng rãi thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, giải tốn học,… Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 thường xuyên có mặt kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào thi mơn tốn phần tích phân yêu cầu rộng khó trước đặc biết tốn tích phân hàm hợp, hàm ẩn, địi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức tích phân vững tư linh hoạt giải toán dạng Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức vững tính tích phân đặc biệt tích phân hàm hợp,hàm ẩn tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục , chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn” Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc tính tích phân nói chung tích phân hàm hợp, hàm ẩn nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn - Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân hàm hợp, hàm ẩn cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chương Nguyên hàm - Tích phân chủ yếu phương pháp tính tích phân số hàm hợp, hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Các kiến thức Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f liên tục K a , b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F (b ) F ( a ) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu b f ( x ) dx Trong trường hợp a b , ta gọi b f ( x ) dx tích phân a a f đoạn a; b Người ta dùng kí hiệu F ( x ) ba để hiệu số F (b ) F ( a ) Như Nếu F nguyên hàm f K b f ( x ) dx F ( x ) ba F (b ) F ( a ) a 2.1.2 Tính chất Giả sử f , g liên tục K a , b , c ba số thuộc K Khi ta có 1) f (x ) dx ; 2) b f (x ) dxa f (x ) dx ; 3) b f (x ) dx c f (x ) dx c f (x ) dx a 4) a a b b f (x ) g ( x ) dx a b f (x ) dx a b a a b a a g ( x ) dx ; 5) kf (x ) dx k f (x ) dx với k R a Chú ý b b F (x) f (x) với x K F ( x )f (x ) dx 2.1.3 Phương pháp đổi biến số Tính tích phân I b g ( x ) dx Giả sử g ( x) viết dạng f u ( x ) u (x) a ,trong hàm số u ( x) có đạo hàm K , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp f u ( x) xác định K a , b hai số thuộc K Khi b f u ( b) u ( x ) u (x ) dx f (u ) du u( a) a Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x Như tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức b f (x ) dx a b f (u ) du a b f (t ) dt a 2.1.4 Phương pháp tính tích phân phần b Cơng thức u ( x ) v (x ) dx u ( x ) v ( x ) a b b a v ( x )u (x ) dx (trong u ( x ), v ( x) có đạo hàm liên a tục K a , b hai số thuộc K ) 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia đề thi thử trường THPT toàn Quốc , học sinh thường gặp số câu tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc tính tích phân nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn, thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi số SL % 12B1 45 0% Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % 13,3 26 57,7 10 22,4 6,6% % % % 12B2 46 1,8 17,3 22 47,8 11 24,3 8,8% % % % % Như số lượng học sinh nắm bắt dạng khơng nhiều, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tính tích phân học để áp dụng tính cho hàm ẩn thơng qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tơi đưa bốn phương pháp tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân 2.3 Các giải pháp tổ chức thực Thực đề tài chia nội dung thành bốn phần Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm Phần Phương pháp đổi biến số Phần Phương pháp tính tích phân phần Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng đề tài - Nêu ví dụ áp dụng - Nêu nhận xét trước đưa lời giải cho tập khó Nội dung cụ thể: 2.3.1 Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm a Kiến thức sử dụng * Nếu F ( x ) f ( x ) dx F (x) f (x) với x K * Các công thức đạo hàm: Với u u ( x ), v v ( x ) hàm có đạo hàm K 1) uv ; u v u.v u 2) v v u ,v 0; u v uv 3) u ; ,u u 4) u nnu n 1u , n* b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f x liên tục \ x f x 2x f x thỏa mãn f , xf ' x , x\ Tính tích phân I Lời giải: Ta có x f x 2xf xf ' x f x ' xf x Do xf x x x f 1 Vậy I x 1 xf x c xf c ln x | x 2 x dx x f dx 1dx x Mặt khác f nên Vậy f x dx xf x 2 x 1' x ' x f f x dx 1 x ln x c xf x x c 1f xx x x ln 2 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng 0; x 2x 3x2 , f x xf , x Tính tích phân I thỏa mãn f f (x ) dx Lời giải: Ta có: xf x f x f x xf x 2x 3x 2x 3x xf x f xx 2x 2x xf x f x x2 fx f x 2x dx x f x 2x dx fx x x x 3x C , ta có f 4 C C x Do đó: x f x x 3x f x x 3x2 Vậy I f (x ) dx I dx x4 x 3x Vậy I 43 x 4 1 43 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm đồng thời f x f x f x liên tục đoạn 1;3 , f x f 1 x , x 1;3 , Tính tích phân I f x dx Lời giải: 2 1; Với x f ta có: f x f x 3f x Vì hàm số g t x x 1 f x f x f f x x 2 x x x 2x x3 x x C (lấy nguyên hàm hai vế) 11C C0 1 x f x 1t t t f x 2f 1 3 f f x3 f x Ta lại có f 1 Do đó: x f x Suy ra: x f x 2x * nghịch biến nên * x f x x f x Hàm số thỏa giả thiết toán 3 Do I f x dx Vậy I ln x dx ln không âm đoạn 0;1 , có đạo hàm liên tục đoạn Ví dụ 4.Cho hàm số f x 0;1 thỏa mãn f 1 2f x x f x 2x f x , x 0;1 , Tính tích phân I f x dx Lời giải: Xét đoạn 0;1 2f x.f x 2x x 2f x x2 , theo đề bài: fx x f f x x f x f f x x x x x x x 1.f x 1.f x C Thay x vào f 11CC0 (vì f 1 ) ta được: trở thành: f x x Do đó, f x f (vì f x Ta có f x dx x2 f x f x x2 1.f x f2 x x 1f x x2 1 x 0;1 ) f x x 0 dx x3 x2 3 x2 x2 1.f x Vậy I Ví dụ Cho hàm số f x f (1) x f (x ) 2x , có đạo hàm liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn 2 (x) , x 1;2 Tính tích phân If (x )dx f Lời giải: Ta có x f (x ) 2x 1 f (x ) x Khi I f (x )dx Vậy I 1 f f (x) dx f (x ) Nên ta có f (x ) 2x 1 (x ) f (x ) x x f (x ) 2x c , f (1) x 2 c x 2x f (x) x 2x x d (1 2x ) dx 2 41 12x 1 2x 2 ln 2x 1 2ln ln 4 ln ln Ví dụ Cho hàm số f (x) khơng âm , có đạo hàm đồng thời thỏa mãn f (x ) f (x ) 2x f (x) với x f (0) Tính tích phân I f (x )dx Lời giải: 2x Ta có f (x ) f (x ) 2x f (x ) f (x ) f (x) f (x) (x ) f 2x f ( x ) xdx f ( x ) x c Do f (0) c nên ta có 2 f2(x) x2 f2 (x) x2 f (x) x (vì f ( x ) khơng âm R ) Khi I f ( x )dx 1 2 2 x 2d ( x 2) 2 x x x x2 x x 2dx 3322 Biết f (0) 2021.Tính tích phân I thỏa mãn f (x ) x f (x) 2020 , f (x )dx Lời giải: Ta có f (x ) x f ( x ) 2020 x x Ví dụ Cho f (x) có đạo hàm liên tục 0;1 x 0;1 f(x) x 2 dx x2 x f (x ) x f 1 If (x )dx 2020x 2021 x 2020x 221 Khi x 1 dx 2020 f (x)2020 f (0) 2021 c 2021 f (x ) 2020dxx f (x ) 2020x c , x f (x ) 2020x 2021 f (x) (x ) 2020x 1 dx 2020x ln x x 2020 ln Nhận xét: Nếu u ( x) biểu thức cho trước ta có u ( x ) f ( x ) (x) u(x).f u ( x ) f ( x ) Đặt v ( x ) u (x) ta u ( x ) f (x ) v ( x ) f (x ) u ( x ) f (x) (*) Như biểu thức có dạng v ( x ) f (x ) u ( x ) f (x) ta biến đổi đưa dạng u ( x ) f ( x ) Khi ta có tốn tổng qt cho ví dụ sau: Cho A( x ); B ( x) ; g ( x) biểu thức biết Tìm hàm số f (x) thỏa mãn A(x) f (x) B(x) f (x) g(x) (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**)u ( x ) f (x ) g ( x) u (x ) A( x) Trong u ( x) chọn cho : u ( x ) B ( x) A( x ) u(x) B(x) A( x) u ( x ) G ( x ) c (với G ( x) nguyên hàm biểu thức u ( x) ln 2020 f (x ) x f (x ) x , x 0;1 Tính tích phân u A( x) B ( x) dx ) từ ta chọn B ( x) Ví dụ Cho f (x) có đạo hàm 0;1 thỏa mãn f (1) 2020 (x ) u ( x ) dx u (x ) I 2020 f (x )dx Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức u ( x) Ta có 2020 ln u ( x ) ln u ( x ) ln x 2020 c x dx ln u ( x ) 2020ln x c nên ta chọn u ( x ) x2020 , ta có lời giải sau: Lời giải: Ta có 2020 2020 x 2019 f ( x )x x 2020 2019 f 2020 f ( x ) xf f(x) (x) x 4039 2020 2020 dx x f ( x ) x4040 c , f (1) Khi x f(x) 2x 2020 2020 c x f(x) x 4040 f ( x ) x2020 2020 x 2020 I f ( x )dx 0 2020 2020 x (x) x 2x 1 2020 2020 2020 4039 c 2020 x 2021 dx 2019 2020.2021 2020.2021 2020.2021 có đạo hàm 1; Ví dụ Cho f ( x ) Vậy I x 1; Biết f (1) e Tính tích phân I thỏa mãn ( x 1) f ( x ) x f ( x ) 2ex , x f ( x )dx Nhận xét : trước hết ta tìm biểu thức u ( x ) Ta có x ln u ( x ) x dx ln u ( x ) ln xe x ln u ( x ) x ln u ( x ) ln e x ln x c c nên ta chọn u ( x ) xex , ta có lời giải sau: Lời giải: Ta có xe x f ( x ) e x ln x c xe x f ( x ) xe x f ( x ) x x f ( x ) xf (x ) xe e x xe x f ( x ) xe x f ( x ) x f(x) e e x xe x f ( x ) 2e x dx xe x f ( x ) e x c Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn f (x 2x 2) 3x với 10 x Tính tích phân I f (x )dx Lời giải: Đặt x t 2t dx 3t Ta có I 9t4 t f (t 2t dt , đổi cận : 2t 2) 3t 2t dt t t x x 10 t 3t 3t 2t dt 2 2t t 2t 12 t 9t 3t 2t dt 151 Bài tập tương tự liên tục đoạn 0;1 Bài Cho hàm số f (x) thỏa mãn 4xf (x ) f (1 x ) x2 , x 0;1 Tính tích phân I f (x )dx Bài Cho hàm số f (x) f (x ) f (2 x ) x2 liên tục đoạn 0;2 thỏa mãn f (x ) 12x 16 , x 0;2 Tính tích phân I dx Bài Cho hàm số f (x) liên tục đoạn 0;3 thỏa mãn f (x ) f (3 x) 4, x 0;3 Tính tích phân I dx f (x) Bài Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (x ) f ( x ) cos4 x , x Tính tích phân I f (x )dx Bài Cho hàm số f x liên tục , thỏa mãn 04 tan x f cos2 x d x 2 f 2x d x e f ln x d x Tính tích phân I e x ln x x Bài Cho hàm số f x liên tục xf x 2x , x Tính tích phân I f x 2x10 x6 thảo mãn f x dx Bài Cho hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn f x 6x f x3 3x 15 Tính tích phân I f x dx 2.3.3 Phương pháp tích phân phần a Kiến thức sử dụng b b b Công thức u ( x ) v ( x ) dx u ( x )v ( x ) a v ( x )u ( x ) dx (trong u ( x ), v ( x ) có đạo hàm liên a a tục K a , b hai số thuộc K ) b Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ( x ) dx 44 , f (5) 15 5 Tính tích phân ( x ) dx Lời giải: u x Đặt Ix f du dx dv f ( x ) dx Vậy I 344 Khi I x f (x ) v f(x) 5 f (x ) dx f (5) 1 44 344 5 thỏa mãn f Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm f 1 Tính tích f x f ' x dx phân I ex Lời giải: Ta có: I e x f x f ' x dx Xét e x f ' x dx ; Đặt I2 1 dx I ex.f x e x f ' x dx e x f (x ) 10 e ex f'x x x u du e dv f '(x ) dx v f (x) 1 dx I I ex.fx dx dx e f (1) f (0) I1 e I1 Vậy I f x f x dx I ex I I e I e Vậy I e Ví dụ Cho hàm số f (x) có đạo hàm 2x thỏa mãn f (x ) dx f (2) f (0) 2020 Tính tích phân If (2x )dx 0 Lời giải: 16 Ta có x u 2x f ( x ) dx 2020 , đặt du 2dx v f(x) f (x ) dx 20203 f (2) f (0) 2 f (x ) dx dv f ( x ) dx Khi 2020 (1 2x ) f (x ) 2 2020 2020 2 f (x ) dx f (x ) dx 2020 x t Xét If (2x )dx , đặt t x dt 2dx Đổi cận: x t 2 I f (t ) I dt Vậy I 1010 Khi Ví dụ 4.Cho hàm số f x f x x f x 2020 f (x )dx 1010 có đạo hàm cấp hai 2x , x Tính tích phân I thỏa mãn f f 1 xf x dx Lời giải: du f x dx u f x Đặt dv xdx v x Suy I xf x dx x2 f x 1 0 f Do f x x Vậy I x 20 Đặt t x x x 2x suy u f x Đặt dv dx f x dx I x x 2 2f x 11 f x dx 20 1 f t dt f t dt f x dx x dx v x Vậy I 10 x2 f x dx 2.f du f xf Suy I 2 11 f x dx x2 x 1 xf x dx I II 17 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo , thỏa mãn f x f x x 1, x f Tính tích phân I f x dx Lời giai: Ta có f x e 2x f f x e 2x x x 1, x x e f 2x 2x x 1e 2x e f x 2x e x f x dx e x x dx Ta tính I1 v e x x dx Đặt u x du 2dx ; dv e x dx chọn e x x dx x e x e x dx 2x C 2x e 2 2x 2x 2x f dx e x dx e x 1e x2 2x C f f e x mà f C f x x I1 e2 x Ta có f x dxx e 2x dx 1 2 e 1 x 2x e x e2 x e x x C 2e2 x 3, Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f (0) f (x ) f (2 x ) x 2x 2, x.Tính tích phân I xf '(x ) dx Lời giải: Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta có: xf '(x ) dx xf (x ) |02 2 f (x ) dx (1) Từ f (x ) f (2 x ) x 2x 2, x Thay x vào (1) ta f (0) f (2) f (2) f (0) Xét I f (x ) dx x t 2 t x f (2 t ) dt f (2 x ) dx Đặt x t dx dt I10 f (2 t ) dt Do ta có đổi cận: 2 f (x ) f (2 x ) dx Khi x2 2x dx 22 f (x ) dx 2f (x ) dx 18 Ta có xf '( x ) dx xf ( x ) |02 f ( x ) dx f (2) 10 Vậy I xf '(x ) dx 30 10 Ví dụ Cho hàm số f (x) có đạo hàm , thỏa mãn f (3) f (0) 18 x 1dx 302 I f (x) dx f (x ) 15 0 Tính tích phân Lời giải: x du dx x u Đặt f (x) dv Khi x 1 v f (x ) x (x ) x 302 150 f x I f (3) f (0) 2 x x 302 x 1dx f (x ) 3 Ví dụ Cho dx I 14 25 15 76 I 15 f (x) hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm , thỏa mãn f I f (x ) dx Tính tích phân sin 2xf (sin x )dx Lời giải: Ta có I sin x cos x f (sin x )dx , đặt t s inx dt cos xdx Đổi cận : x t I tf (t ) dt I xf (x ) dx 1 2 x t u x du dx I xf (x) f (x)dx f (x ) dx Đặt: ta có dv f (x ) dx v f (x) 2 Do f (x) hàm số chẵn nên f (x ) dx f (x ) dx Khi I 2 f (x ) dx 2 Vậy I f (x) có đạo hàm đoạn 1;3 thỏa mãn f (3) f (1) , Ví dụ Cho hàm số 3 xf x dx Tính tích phân I f (x ) ln x x 12 dx Lời giải: 19 f ( x ) lnx dx u f ( x ) ln x Xét I , đặt x x Khi I x 2d x dv f(x) f v ln x x 1 3 x x x 1 dx x xf ( x ) ln x dx x (x) 1 x f (3) ln f (1) du ln ln 4 Bài tập tương tự Bài Cho hàm số f (x) có đạo hàm , thỏa mãn f ( 3) f (x ) dx Tính tích phân I f (x )ln x x x dx Bài Cho hàm số f x f x 4f có đạo hàm liên tục 0;2 x 8x 32x 28 , x 0;2 thỏa f , Tính tích phân I f x dx Bài Cho hàm số f x nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 cho f 1 f x f x I 2x 3x f x f x e x x ,x 0;1 Tính tích phân dx Bài Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f (x )dx , f cot1 Tính tích phân I f x tan2 x f x tan x dx Bài Cho hàm số f x f x 4f x 8x có đạo hàm liên tục 0;1 , thỏa mãn f 4, x 0;1 Tính tích phân I f x dx Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục , f 0, f hệ thức f x f x 18x 3x Tính tích phân I x f x 6x thỏa mãn f x , x x e f x dx 20 Bài Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn: (x 4)2 4xf (x ) f (x) f (0) Tính tích phân I f (x )dx 20 Bài Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai , thỏa mãn f2 x x2 f x , x Biết f x 0, x Tính I 2x f " x dx 2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân a Kiến thức sử dụng b Nếu f (x) với x a ; b f (x ) dx , dấu "=" xảy raf (x ) 0, x a; b a Hệ quả: b với x a ; b f (x ) dx 0f (x) a b Ví dụ áp dụng f (x) liên tục, có đạo hàm đoạn 1;2 Biết Ví dụ Cho hàm số f (x ) dx f (x ) dx Tính tích phân I f (x ) dx 1 Nhận xét : Giả thiết chứa f (x) f (x) Ta chọn a cho f ( x ) a dx 2 f ( x ) dx 2a f (x )dx a 22 dx 4a a a Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có f ( x ) 2 dx f(x)2 f (x ) dx Khi I 2af (x ) a dx 1 f (x) 2 nên ta tạo bình phương dạng f (x ) a f(x)2 f (0) 1, f (x ) dx f ( x ) 2dx f (x ) 2x c , mà f (0) c nên 2x dx 8x 12x 6x dx 2x f (x )dx dx 1 f (x ) 2x 4x 3x x 68 Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm đoạn 0;1 Biết xf (x ) dx f (x ) dx Tính tích phân I f (x ) 2020 dx Nhận xét : Giả thiết chứa f (x) Ta chọn a cho f (x ) ax dx 0 xf (x) nên ta tạo bình phương dạng f (x ) ax f (x ) 2axf (x ) a x dx 0 21 f ( x ) 2dx a xf ( x )dx a x dx 2a 0 a2 a Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có f (x ) 3x dx f (x ) 6xf (x ) 9x dx 0 f (x ) 3x Khi I f (x ) 2dx 61 xf (x )dx 91 x dx f (x ) 2020 dx 32020 x 2020dx 0 32020 2021 Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm đoạn 0;1 Biết f (x ) dx x f ( x ) dx Tính tích phân I f (x ) dx 50 Nhận xét : Giả thiết chứa f (x) v f ( x ) nên ta chưa thể tạo bình phương, f ( x ) dx x dx 2tdx trước hết ta biến đổi để khử cách đặt t x t Đổi cận ta có t x 21 11 x f (x ) dt 50 t f (t ) dtt f (t ) dt 0 Đến ta hai biểu thức f (x) x f (x) nên ta tạo bình phương dạng f (x ) ax2 , 1 ta chọn a cho 22 (x ) ax f dx 0f (x ) 2ax 2 f (x ) dx 2a x f (x )dx a 21 x dx 0 Lời giải: Xét x f ( x ) dx , đặt t 2a a2 55 Đổi cận x t t x Vì f (x ) x 21 , t 50 2 1 f (t ) dtt f (t ) dt f (x ) dx 0 1 5 2x f (x ) x dx nên f (x ) x2 Do I f (x ) dx 1 f (x ) dx x 1 f (x )dx x dx x dx f (x) Ví dụ Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn 0; Biết f( ) , 2 2 Từ ta có lời giải x f (x ) dt 2 a x dx 2tdx f dx f (x ) a x (x ) dx cos x f (x ) dx Tính tích phân 20 If (x ) dx Nhận xét : Giả thiết chứa f (x) f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, 22 trước hết ta biến đổi cos x f (x) cách đặt f (x)dx để tạo biểu thức u f(x) dv cos xdx f ( x ) s inx , du f ( x ) dx v s inx 2 2 f ( x ) sin xdx Đến ta hai biểu thức f ( x ) f ( x ) sin xdx f ( x ).s inx nên ta tạo bình phương dạng f ( x ) a s inx Ta chọn a cho f ( x ) a s inx dx 2 f(x)2 a s inx f ( x ) a sin x dx 0 f ( x ) 2dx a sin x f ( x )dx a 2 sin xdx 0 a a4 a 2 Từ ta có lời giải a Lời giải: Xét cos x f ( x ) dx u f(x) , đặt du f ( x ) dx dv cos xdx f ( x ) s inx 2 v s inx f ( x ) sin xdxf ( x ) sin xdx Ta có f ( x ) s inx dx 2 f ( x ) s inx f ( x ) 4sin x dx 0 2 f ( x) dx sin x f ( x )dx sin xdx 02 2 0 f( f ( x ) cos x c mà ) c nên ta có f ( x ) cos x Ta có I Vậy I f ( x ) dx 2 cos xdx Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm đoạn f(x) x dx 169 105 x f (x ) dx 103 420 1; Biết f ( 1) 10 Tính tích phân If (x ) dx 23 Nhận xét : Giả thiết chứa f ( x ) v x 0x trước hết ta biến đổi f ( x ) nên ta chưa thể tạo bình phương, f ( x ) dx để đưa f (x) cách đặt u f(x) dv du f ( x ) dx x dx x2 v x x 2x f (x ) dx 169 105 103 , x f x 420 (x ) x 2x f (x ) dx Đến ta hai biểu thức f (x) x 2x f (x) x a x 2x2 f (x) nên ta tạo bình phương dạng , ta chọn a cho x a f (x ) x 2x 1 169 105 2a Lời giải: 169 169 Xét x f (x ) dx x 420 x f (x ) x dx dv x2 x dx 169 105 105 Mà f ( 1) f x nên f (x ) Khi I f (x ) dx Vậy I 105 2 x 2x f (x) x 5 x x 2x f (x ) x 2x x x4 30 f (x ) 5x 2x c dx dx dx x (x) x 2x 169 2 2x 105 x x 105 c dx , x x 2x f (x ) dx f (x ) f (x )dx 169 x2 1 x f (x ) dx v 2x f (x ) dx 2x 2x dx du dx x 2x 0 f (x) a 21 a 1.Từ ta có lời giải 2x x x 1 f (x ) x Ta có 169 u f (x) 103 , đặt 420 103 2x f (x )dx a 105 a 2x x3 f (x) x x 105 2a x dx 2a x (x ) f (x) f dx x 1 x 10 x 15 15 24 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm đoạn 0; Biết f ( x ) dx I f ( x ) 21x 12 x 12 xf ( x ) , x 0; Tính tích phân Lời giải: 2 f Từ giả thiết ta có (x) dx21x 0 f ( x ) dx 12 x 12 xf ( x ) dx 21x 12 x dx 12 xf ( x ) dx Đặt u f ( x ) 2 552 f ( x ) dx 12 20 f(x) 0 0 x Khi xf ( x ) dx Mà f ( x ) dx 552 12 xf ( x ) dx (*) x2 v 2 du f ( x ) dx dv xdx f (2) x 12 14 12 f x ( x ) dx 14 f 20 ( x ) dx , vào (*) ta 2 x f ( x ) dx 20 9x dx 288 nên ta có (**) f ( x ) dx x f ( x ) dx 288 (**) f ( x ) dx x f ( x ) dx x dx 2 2 2 dx f f (x ) 3x (x ) 3x f (x ) x c mà f (2) c f (x ) x Khi I f (x ) dx x dx Vậy I thỏa mãn Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục đoạn 0;1 f (x ) dx , xf (x ) dx f (x ) dx 13 Tính tích phân I Lời giải: Ta có f (x ) 2x dx f (x ) f (x ) dx 4xf (x ) f (x ) 4x 4x dx f (x ) dx xf (x ) dx f (x ) dx 41 xdx 1 13 f (x ) 2x Khi I 4x dx 0 f (x ) dx 1 2x dx 10 Vậy I 10 Ví dụ Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn 25 f 0, f (x ) 2dx 0 Lời giải: Đặt u f x du f x Ta có x3 dx , dv x dx v 1 0 f x x f (x )dx Tính tích phân f (x )dx x3 3f x dxx f 49x dx 7, f (x ) dx 7, 2.7x 0 f Ta có I ( 7x f (x ) dx 0 (x ) f x 7x 7x4 f x dx 14 7x x dx Ta có x3 C , mà f C )dx Vậy I 5 Bài tập tương tự Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn f 20 x f x dx , f x dx Tính tích phân I 4f 8x x x dx Bài Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1 f x f 4, x 0;1 f Tính I , thỏa mãn f x dx Bài Cho hàm số f x 2 x f x dx 21 , Bài Cho hàm số f x f x dx f 2 x dx Tính I xf x dx ,1 f có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 f f Biết , f x cos x có đạo hàm liên tục đoạn 1;2 thỏa mãn dx Tính I f x dx Bài Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f (0) f (x)d x ; f '(x).cos x dx Tính I f (x)dx Bài Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm liên tục trên[0;1] thỏa mãn f (1) 3, f '(x ) dx x f (x ) dx Tính I f (x )dx 11 11 26 Bài Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn f f x 4f x 8x 32x 28 , x 0;2 Tính I 0, f x dx 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tiễn giảng dạy trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019, nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B2 Sau thử nghiệm dạy nội dung qua việc lồng gép dạy lớp, dạy tự chọn, bồi dưỡng thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Sau áp dụng đề tài khảo sát lại học sinh thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12B1 11 24,6 20 44,4 10 22,2 6,6% 2,2% 45 % % % 12B2 12 26% 21 45,6 10 21,7 4,9% 1,8% 46 % % Như qua kết trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu tơi nhận thấy chất lượng học tập mơn tốn học sinh nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh giỏi tăng lên nhiều Với đề tài đưa trước tổ môn để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất biến đổi việc tính tích phân hàm ẩn , tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Dạy Toán trường THPT trình sáng tạo Mỗi giáo viên tự hình thành cho đường ngắn nhất, kinh nghiệm hay để đạt mục tiêu giảng dạy đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, chủ nhân tương lai đất nước Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia rút số kinh nghiệm nêu Như với đề tài "Một số phương pháp tính tích phân hàm hơp, hàm ẩn" giúp học sinh có hệ thống kiến thức, linh hoạt việc định hướng biến đổi có kinh nghiệm việc tính tích phân nói chung tích phân hàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Cuối dù cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng học hỏi đồng nghiệp song tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý , bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với tổ chuyên môn : 27 Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung phương pháp tính tích phân Khuyến khích học sinh xây dựng tập tốn liên quan đến dạng tập toán giảng 3.2.2 Đối với trường : Cần bố trí tiết thảo luận để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức.Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn 3.2.3 Đối với sở giáo dục : Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau năm sở tập hợp sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội để gửi trường làm sách tham khảo cho học sinh giáo viên Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hoa, 16 thang năm 2020 Tôi xin cam đoan la SKKN chinh ban thân minh viêt, không chep nôi dung cua khac Trần Thanh Minh Tài liệu tham khảo [1] Sach giao khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giao Duc Việt Nam, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chu biên) [2] Sach tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giao Duc Việt Nam Nguyễn Huy Đoan ( Chu biên) [3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG trường nước Danh mục Sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên TT Tên đề tài SKKN Phát triển tư hàm cho học sinh qua tốn phương trình vơ tỉ Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh…) Ngành GD cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B Năm học đánh giá xếp loại 2015 28 29 ... tính tích phân hàm hợp, hàm ẩn là: Phương pháp biến đổi để đưa nguyên hàm bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân 2.3 Các giải pháp. .. thành bốn phần Phần Phương pháp biến đổi đưa nguyên hàm Phần Phương pháp đổi biến số Phần Phương pháp tính tích phân phần Phần Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân Mỗi phần thực... 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chương Nguyên hàm - Tích phân chủ yếu phương pháp tính tích phân số hàm hợp, hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa