Một số phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn

Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần tích phân đã được yêu cầu rộng hơn khó hơn trước đặc biết là các bài toán tích phân về hàm h

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA

MỤC LỤC Trang

2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân 20

Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nóthường xuyên có mặt trong các kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần tích phân

đã được yêu cầu rộng hơn khó hơn trước đặc biết là các bài toán tích phân về hàm hợp, hàm ẩn, đòi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về tích phân vững chắc và

tư duy linh hoạt hơn mới giải được các bài toán dạng này

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiến thức vững chắc về tính tích phân đặc biệt là tích phân của hàm hợp,hàm ẩn và tháo

gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu

đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp

tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn”.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm hợp, hàm ẩn nói riêng

- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng cao chất lượng dạy học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là phương pháp tính tích phân của một số hàm hợp, hàm ẩn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm

và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệthống theo từng mức độ từ dễ đến khó

Người ta dùng kí hiệu F x( )b a để chỉ hiệu số F b( ) F a( ) Như vậy Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

2.1.3 Phương pháp đổi biến số

Tính tích phân ( )

b

a

I �g x dx Giả sử g x( ) được viết dưới dạng f u x u x ( ) ( ) �

,trong đó hàm số u x( )có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp

 ( )

f u x xác định trên K và a b, là hai số thuộc K Khi đó

  ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u b b

f u x u x dx�  f u du

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay

cho x Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

u x v x dx�  u x v x  v x u x dx�

� � (trong đó u x v x( ), ( )có đạo hàm liên tục trên K và a b, là hai số thuộc K ).

2.2 Thực trạng của đề tài

Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử của các trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng đểlấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tính tích phân của hàm hơp, hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:

2.3 Các giải pháp tổ chức thực hiện

Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành bốn phần

Phần 1 Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

Phần 2 Phương pháp đổi biến số

Phần 3 Phương pháp tính tích phân từng phần

Phần 4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

3 3

Ví dụ 4.Cho hàm số f x  không âm trên đoạn 0;1 , có đạo hàm liên tục trên đoạn

I �f x x

Lời giải:

Xét trên đoạn 0;1 , theo đề bài:��2f x    1 x2 ��f x�   2 1x�� f x ��

Nhận xét: Nếu u x( )là biểu thức cho trước thì ta có u x f x( ) ( )� � u x f x( ) ( ) u x f x( ) ( ) �

Đặt v x( ) u x� ( ) ta được u x f x( ) ( )� v x f x( ) ( ) u x f x( ) ( )� (*) Như vậy nếu biểu thức

có dạng v x f x( ) ( ) u x f x( ) ( ) � ta có thể biến đổi đưa về dạng u x f x �( ) ( ) .Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 7 như sau:

Cho A x B x( ); ( ); g x( )là các biểu thức đã biết Tìm hàm số f x( ) thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x f x B x f x� g x (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) � u x f x( ) ( )�g x( )

Trong đó u x( )được chọn sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ).

I �f x dx

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x( ) Ta có

2020 2020

ln ( )u x dx ln ( )u x 2020 ln x c ln ( )u x lnx c

x

Bài 3 Chof x( )có đạo hàm trên Rvà thỏa mãn 3( ) 2 1 2

I  �x f x dx

Bài 4 Cho f x( ) liên tục và có đạo hàm trên � \ 1;0 thỏa mãn

2 ( 1) ( ) ( )

x x f x�  f x x x, x�� \ 1;0 và f(1)   2ln 2 Tính 2

1 ( )

u b b

x I

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 2;1

2 1

1

0 ( )

2 0

3 2

f x dx

2 0

ln( 1) 1

Ví dụ 9 Cho hàm số f x( ) liên tục trên � và thỏa mãn 3

2 d

Tính tích phân 1  

0 d

I �f x dx

Lời giải:

Ví dụ 5 Cho hàm số f x  có đạo trên �, thỏa mãn 2f x   f x�   2x  �� 1, x và

f x  f  x x  x  ��x Tính tích phân

2

0 '( )

Ta có

2 0

4 10 '( ) ( ) | ( ) 2 (2)

( ) ln 1

Xét  

3

2 1

( ) ln

1

( ) 1 ( ) ln

( )

1 1

Bài 7 Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và thỏa

trước hết ta biến đổi 2

0 cos ( )x f x dx

I �f x dx

Nhận xét : Giả thiết chứa

2 ( )

f x x

f x x

2 1 1

Ví dụ 6 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn  0; 2 Biết f(2) 7  và

3

f x dx

0 ( )

1 ( )d

11

1 4 0

7 ( )

11

1 0

( )

Bài 7 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và thỏa mãn f  1  0,

I �f x x

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019, tôi được nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B2 Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôithấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng họctoán được nâng lên rõ rệt

Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau:

Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn

về bản chất biến đổi trong việc tính tích phân của hàm ẩn , cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tự hình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạtđược mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương lai của đất nước Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Như

vậy với đề tài "Một số phương pháp tính tích phân của hàm hơp, hàm ẩn" đã

giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướng biếnđổi và có kinh nghiệm trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy học

Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng

nghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý ,

bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

3.2.1 Đối với tổ chuyên môn :

Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tính tích phân Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài giảng

3.2.2 Đối với trường :

Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợ nhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

3.2.3 Đối với sở giáo dục :

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội

bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN dochính bản thân mình viết, không saochép nội dung của người khác

Trần Thanh Minh

4 Tài liệu tham khảo

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh

( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên)

[2] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy

Đoan ( Chủ biên)

[3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG của các

trường trên cả nước

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Tỉnh…)

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

sinh qua các bài toán về

phương trình vô tỉ

Ngành GD cấptỉnh