Một số phương pháp tính thể tích hình chóp

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình Hình học 12 phần thể tích khối đa diện, có toán tính thể tích khối chóp phần quan trọng Các năm gần đây, đề thi tốt nghiệp THPT đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuyên có câu tính thể tích khối đa diện chủ yếu tính thể tích khối chóp Tuy nhiên thời lượng học chương trình lại Ở chương trình chuẩn có tiết, chương trình nâng cao có tiết Bên cạnh nội dung sách giáo khoa chưa phân dạng toán cụ thể Chẳng hạn để tính thể tích khối chóp, chương trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, đưa ví dụ minh họa là: “Tính thể tích khối tứ diện có cạnh a” SGK dừng lại ví dụ mà thêm ví dụ khác, không nêu rõ bước giải toán mà hình chóp hình chóp Điều gây khó khăn lớn với hầu hết học sinh làm tập tính thể tích khối chóp khác II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.Thực trạng: Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy trường THPT Đặng Thai Mai, với phần đa số học sinh thuộc trung bình, nhận thấy phần lớn em không hứng thú học hình không gian có phần tính thể tích khối chóp Các em gần bỏ qua phần học mang tính chất đối phó Điều dẫn đến em không đạt yêu cầu giải toán thể tích khối chóp 2.Kết thực trạng Tôi cho tiến hành khảo sát ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1, 12C2, 12C3 trường THPT Đặng Thai Mai tính thể tích khối chóp sau thể tích khối đa diện với toán sau: “Tính thể tích khối chóp S.ABC SA, AB, AC đôi vuông góc có độ dài a” Kết thu sau: Lớp Sĩ số Vẽ hình Xác định đường Tính thể tích cao Trình bày 12C1 45 15(33,3%) 13(28,9%) 10(22,2%) (15,6%) 12C2 47 11(23,4%) 9(19,1 %) 6(12,8%) (8,5%) 12C3 43 12(27,9%) 7(16,2%) 5(11,6%) (7 %) Từ bảng ta thấy có đến 67% không vẽ hình, 71% học sinh không xác định đường cao hình chóp, 77% không tính thể tích 84% trình bày lập luận chưa xác Từ thực trạng trên, để giúp em tiếp thu dễ dàng toán tính thể tích khối chóp, tìm tòi, nghiên cứu, xếp, phân loại dạng toán tính thể tích khối chóp gần giống với dạng toán Đại số qua sáng kiến kinh nghiệm : “Một số phương pháp tính thể tích khối chóp” Với sáng kiến kinh nghiệm mong muốn học sinh trang bị cách tương đối đầy đủ toàn diện phương pháp tính tính thể tích khối chóp Giúp học sinh để có nhìn sâu toán tính thể tich khối chóp nói riêng toán thể tích khối đa diện nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày cao kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh Đại học, Cao đẳng B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lí luận: - Các tính chất quan hệ vuông góc, quan hệ song song không gian, công thức tính diện tích tam giác, tứ giác: - Một số dạng tính thể tích khối chóp: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V= B.h ( B diện tích đáy, h chiều cao) Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ cạnh với cạnh khối chóp khác biết thể tích công thức: VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '  VSABC SA.SB.SC (A’,B’,C’ nằm cạnh SA,SB,SC hình chóp S.ABC) Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ công uuur uuur uuur thức thể tích khối chóp ABCD: V=  AB, AC  AD 2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện: Bài giảng thực qua tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn tập phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình Cung cấp cho học sinh dạng toán tính thể tích khối chóp (phương pháp, ví dụ minh họa tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) : Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V= B.h (1) ( B diện tích đáy, h chiều cao) Dạng sử dụng trường hợp sau: Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (chính cạnh bên vuông góc với đáy) - Tính đường cao diện tích đáy Từ áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).SA=a, tam giác ABC vuông B BA=BC= b Tính thể tích khối S chóp S.ABC Lời giải: Ta có SA  (ABC) nên SA C a đường cao hình chóp S.ABC S ABC b b2  BA.BC  2 A b B 3 Ta tích khối chóp S.ABC là: V= SA.S ABC = a b  ab (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a, tam giác ABC có A=  AB=b, AC=c Tính thể tích khối S chóp S.ABC Lời giải: Ta có SA  (ABC) nên SA đường cao hình chóp S.ABC S ABC  bc sin  AB AC sin   2 c Thể tích khối chóp S.ABC là: C a A  b B V = SA.S ABC = a bc sin   abc sin  (đvtt) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.Góc SC đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: S Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA đường cao hình chóp S.ABCD Mặt khác AC= AB2  AC  a A D AC hình chiếu vuông góc SC mặt phẳng (ABCD) nên góc SC mặt phẳng (ABCD) góc SCA B C Suy SCA =600 SA=AC.tanSCA= a tan600= a Diện tích đáy ABCD SABCD=AB2=a2 Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: 1 a3 V= SA.S ABCD  a 6.a  (đvtt) 3 Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết: a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a b) Cạnh đáy AB=a , AD=a, góc AC với mặt phẳng (SBC) 300 Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề vuông góc với mặt đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (chính cạnh chung hai mặt bên vuông góc với mặt đáy) - Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy SA =a, đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc A=120 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: Vì (SAB) (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA đường cao hình chóp S.ABCD S A B Ta có SABCD=2SACD mà 1 a2 a2 DA.DC.sin D   2 a  S ABCD  S ABCD  D C Suy thể tích khối chóp S.ABCD 1 a a3 V  SA.S ABCD  a  3 12 (đvtt) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Các mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp Lời giải: Vì (SAB) (SAD) vuông S góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay A D SA đường cao hình chóp Ta có: SABCD=AB2=a2, B C AC= AB2  BC  a SA  AC (vì SA  (ABCD) ), suy AC hình chiếu vuông góc SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA 300 Xét tam giác SAC vuông A có SA=AC.tanSCA = a 2.tan 300  a 6 1 a a3 a  Suy thể tích khối chóp S.ABCD : V  SA.S ABCD  (đvtt) 3 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a Các mặt phẳng (SAB), (SAC) vuông góc với mặt phẳng(ABC).Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCMN Lời giải: Vì (SAB) (SAD) vuông S góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA C đường cao hình chóp S.BCMN Vì AB  BC (giả thiết) nên N A SB  BC (định lí ba đường vuông góc) M B Và góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SBA Suy SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = a Mặt khác MN// BC nên MN đường trung bình tam giác ABC S BCMN  3 3a S ABC  BA.BC  4 2 Thể tích khối chóp S.BCMN: V= SA.S BCMN  a 3 (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC=a, hai mặt phẳng (SAC) (SAB) vuông góc với đáy.Góc tạo SC mặt đáy 600.Tính thể tích khối chóp Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng qua đỉnh (không chứa mặt bên) vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (nằm giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc với mặt đáy) - Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A , AB=AD=2a, CD =a, góc SC (ABCD) 600.Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Lời giải: Vì (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI S đường cao hình chóp S.ABCD IC hình chiếu vuông góc SC Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc B A SC mặt phẳng (ABCD) góc SCI I 600 =60 Theo định lí Pitago ta có: C D IC  ID2  DC  a  a  a  SI=IC tan SCI= a 2.tan 600  a Tứ giác ABCD hình thang cân nên ta có SABCD= S ABCD  ( AB  CD ) AD (2a  a )2a   3a 2 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SI S ABCD  a 6.3a  a (đvtt) Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M trung điểm AB, hai mặt phẳng (SMC) (SMB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Lời giải: S Vì (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI B A đường cao hình chóp S.ABCD 600 M N Gọi N trung điểm BC ta có C D MN đường trung bình hình vuông ABCD nên MN  BC suy SN  BC góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc SNM= 450 Ta có MN=a SM=MN.tanSNM=a.tan450=a SABCD=AB.AD=a2 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SM S ABCD  a3 (đvtt) Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD=1200 Gọi O giao điểm AC BD, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc hai mặt phẳng SA (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Lời giải: Vì (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO đường cao hình chóp S.ABCD AO hình chiếu vuông góc SA S xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SA mặt phẳng (ABCD) góc SAO = 600 Ta có OAB = 600 nên AO = AB.cos600  a D C O A B SO=AO.tan SAO= a a tan 600  2 SABCD=AB.AD.sinBAD =a2.sin1200 = a2 a a a3  (đvtt) 2 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SO.S ABCD  Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a.Gọi M, N trung điểm AB AD H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH= a Tính thể tích khối chóp S.CDMN Trường hợp 4: Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy giao mặt bên với mặt đáy ) - Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân có đáy lớn AB = 2a, AD =CD =a hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) vuông góc với nhau, tam giác SAB Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: Gọi H trung điểm AB SH  AB suy SH  (ABCD) hay SH đường cao hình chóp.SH=SA.sin600= 2a  a Gọi K hình chiếu vuông góc D AB a a KD  AD  AK  a     2 2 2 SABCD= KD.( AB  CD)  3a Thể tích khối chóp S.ABCD: 10 1 3a 3a  V= SH S ABCD  a (đvtt) 3 4 S B H K A C D Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a SA=a,SB= a mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN Lời giải: Gọi H hình chiếu S AB ta có SH  (ABCD) hay SH đường cao hình chóp S.BMDN S Mặt khác tam giác SAB có SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2) Nên vuông S suy 1 a    SH  SH SA SB A H M N SBMND= MN DB  2a C Thể tích khối chóp S.BMDN: B D a a3 2a  (đvtt) 3 V= SH S BMND  Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a SA=SB mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Góc SC mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: 11 Gọi I trung điểm AB suy SI  AB SI  (ABCD) hay SI đường cao hình chóp S.ABCD S Góc SC mặt phẳng (ABCD) góc SCI =450 Xét tam giác vuông SCI vuông cân I A B I Có SI =IC= CB2  BI  a2  a2  a , C SABCD=AB2=4a2 Thể tích khối chóp S.ABCD: D V= SI S ABCD  4a (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB b) AB=2a, AD=a tam giác SAB cân S, góc SC mặt đáy 450 Trường hợp 5: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (chính cạnh bên ) - Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC SA, AB, AC đôi vuông góc, SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC Lời giải: 12 SA  AB  SA  ( ABC ) SA  AC Ta có  S nên SA đường cao hình chóp S.ABC S ABC a2  AB AC  2 a C Thể tích khối chóp S.ABC là: 3 a A V = SA.S ABC = a a  a (đvtt) a B Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABC SA, AB, AC đôi vuông góc, SA=a, AB=AC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC S Lời giải: SA  AB  SA  ( ABC ) SA  AC  Ta có  C nên SA đường cao hình chóp S.ABC S ABC A b2  AB AC  2 B 3 Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC= SA.S ABC = a b  ab (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABC SA,AB,AC đôi vuông góc, SA=a, AB=b, AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC Trường hợp 6: Khối chóp đa giác Phương pháp: - Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm đa giác đáy ) - Tính đường cao diện tích đáy.Từ áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa 13 Ví dụ 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC biết cạnh bên a ,góc tạo cạnh bên mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Lời giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO  (ABC) nên SO đường cao hình chóp Xét tam giác SOA vuông O có góc SA mặt phẳng (ABC) góc S SAO =450.Suy AO=SA.cosSAO=a , SO=SA.sin SAO=a Gọi M trung điểm BC ta có : AM= AO  3a AM , AB  a sin 600 SABC= AM BC  B A 3a M O C Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SO.S ABC  a (đvtt) Ví dụ 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD biết cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: Gọi O tâm hình vuông ABCD, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO đường cao hình chóp Gọi M trung điểm cạnh BC OM  BC SM  BC, góc mặt phẳng S (SBC) mặt phẳng (ABCD) góc SMO =600 Xét tam giác SOM vuông O có a SO=OM.tan600=  D a C M O A B 14 SABCD=AB2=a2 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SO.S ABCD  a3 (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ cạnh với cạnh khối chóp khác biết thể tích công thức: VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '  VSABC SA.SB.SC (A’,B’,C’ nằm cạnh SA,SB,SC hình chóp S.ABC) Phương pháp: - Tính thể tích khối chóp S.ABC - Lập tỉ số cạnh từ suy thể tích khối chóp S.A’B’C’ Một số ví dụ minh họa Ví dụ 17: Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B’ D’ trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích hai phần A Lời giải: Ta có D' VAB 'CD ' AB ' AC AD ' 1    VAB 'CD '  V VABCD AB AC AD 4 B' D  VBCDD' B ' V  V  V 4 B C 15 Ví dụ 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt đáy SA =2a Gọi B’,D’ hình chiếu A SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: Ta có AB’  SB AB’  CB (CB  (SAB) suy AB’  SC Tương tự AD’  SC suy SC  AC’ S Do tính đối xứng nên ta có C' D' VS.AB’C’D’=2VS.AB’C’.Mặt khác VS AB 'C ' SB '.SC ' SB.SB ' SC.SC '   VSABC SB.SC SB SC  B' D A SA2 SA2 4a 4a   SB SC 5a 6a 15 O C Suy VS.AB’C’= B VS ABC mà 15 3 VS.ABC= SA.S ABC  2a a  a3 nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V = a 16a  (đvtt) 15 45 Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh , đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO= 2 (O tâm hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M trung điểm cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ công uuur uuur uuur thức thể tích khối chóp ABCD: V=  AB, AC  AD Phương pháp: (2) - Chọn hệ trục tọa độ Đề vuông góc Oxyz phù hợp - Tọa độ hóa toán - Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp 16 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a , SA=a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Tính thể tich khối tứ diện ANIB Lời giải: E Dựng hệ trục tọa độ Oxyz Sao cho O trùng với A,Ox Trùng với tia AD,Oy trùng H A với tia AB,Oz trùng với tia B OS F Trong hệ trục ta có G D C A(0;0;0), D(a ;0;0), B(0;a;0), C(a ;a;0), S(0;0;a) Khi M( uuur uur MI= IB  IM   IB  I ( a a a a ; ; ) Ta có ;0;0), N( 2 2 uuur a a a uuur a a a a a ; ;0) NA ( ;  ; ), NB ( ; ; ) 2 2 2 uur a a a uuur uuur  a2 a2  , NI ( ;  ; )   NA , NB    ;0;  2   Thể tích khối tứ diện ANIB : V 3 uuur uuur uur  NA, NB  NI  a  a  a (đvtt)   12 36 Ví dụ 20: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm A’C’ I giao điểm AM AC Tính thể tich khối tứ diện ABCI 17 Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz cho O trùng với B, Ox trùng với tia BC, Oy trùng với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi ta có A(0;a;0), 2 B(0;0;0),C(2a;0;0).Do A’M= AC  IH  AA '  4a Kẻ HN//BC HP//AB 2a 2a 2a 2a 4a HN  BC  , HP  AB   I( ; ; ) 3 3 3 uur  2a a 4a  uur  2a 2a 4a   IA   ; ;   , IB   ;  ;   ,  3   3  uur  4a 2a 4a  uur uur  4a 2a  IC  ;  ;   ,  IA, IB     ;0;  3     A' C' M B' Thể tích khối tứ diện ABCI: V 3 uur uur uur  IA, IB  IC  16a  8a  4a (đvtt)   9 H C A P N Bài tập áp dụng: B Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N, P trung điểm cạnh AB, AD A’D’ Tính theo a thể tích khối chóp C’.MNP 18 C.KẾT LUẬN 1.Kết nghiên cứu: Sau áp dụng phương pháp vào ba lớp nêu, cho học sinh kiểm tra qua ba toán sau: Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) (SAD) vuông góc với đáy Góc tạo (SCD) mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên (SAB)vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB=2a, tam giác SAB cân S, góc SC với mặt đáy 600, khoảng cách AB (SCD) a Kết thu sau Lớp Sĩ số Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8,5 5-6,5 3-4,5 0-2,5 12C1 45 5(11,1%) 23(51,1%) 16(35,6%) 1(2,2%) 0(0 %) 12C2 47 6(12,8%) 20(42,6%) 19(40,4%) 2(4,2%) 0(0 %) 12C3 43 4(9,3%) 17(39,5%) 9(20,9 %) 2(4,7 %) 1(2,3 %) Kết cho thấy chất lượng từ trung bình trở lên đạt 97% có 21% đạt giỏi Như thấy hiệu rõ rệt thực phương pháp vào dạy học Điều đặc biệt quan trọng mà phương pháp đem lại tạo niềm tin thân, say mê hứng thú cao em giải toán tính thể tích khối chóp nói riêng toán hình học không gian nói chung 2.Ý kiến đề xuất: - Với khả năng, kinh nghiệm thân hạn chế, việc áp dụng phương pháp hệ thống tập đưa chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp quý vị độc giả góp ý để SKKN hoàn thiện 19 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Hình học 12, sách Hinh học 12NC-NXB Giáo dục Sách Bài tập Hình học 12, sách Bài tập Hình học 12NC-NXB Giáo dục Đề Tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng Một số phương pháp giải toán sơ cấp-NXB ĐHQG Hà Nội 20 MỤC LỤC Nội dung Phần A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng Kết thực trạng GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lí luận 2.Các biện pháp để tổ chức thực Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức Trang 1 1 3 3 V= B.h Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ cạnh với cạnh khối chóp khác biết thể tích B 15 VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '  VSABC SA.SB.SC Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương 16 pháp tọa độ công thức thể tích khối chóp ABCD: uuur uuur uuur V=  AB, AC  AD C D KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 20 21 [...]... (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=b, AC=c .Tính thể tích khối chóp S.ABC Trường hợp 6: Khối chóp đa giác đều Phương pháp: - Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ) - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa 13 Ví dụ 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết... pháp để tổ chức thực hiện Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức Trang 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 V= B.h Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích B 15 VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '  VSABC SA.SB.SC Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương 16 pháp tọa độ và công thức thể tích khối chóp ABCD: uuur uuur uuur 1 V=  AB,... (A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC) Phương pháp: - Tính thể tích khối chóp S.ABC - Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’ Một số ví dụ minh họa Ví dụ 17: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích hai phần đó A Lời giải: Ta có D' VAB 'CD ' AB... nhau thuộc mặt đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ) - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC Lời giải: 12 SA  AB  SA  ( ABC ) SA  AC Ta có  S nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC S ABC... 2a a 2  a3 3 nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V = 2 8 a 3 16a 3  (đvtt) 15 3 45 Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 5 , đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO= 2 2 (O là tâm của hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công... 3  D a 3 2 C M O A B 14 SABCD=AB2=a2 1 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SO.S ABCD  a3 3 (đvtt) 6 Bài tập áp dụng: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức: VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC... a2  AB AC  2 2 a C Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 3 1 3 1 2 a A 1 6 V = SA.S ABC = a a 2  a 3 (đvtt) a B Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=AC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC S Lời giải: SA  AB  SA  ( ABC ) SA  AC  Ta có  C nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC S ABC A 1 b2  AB AC  2 2 B 1 3 1 3 1 2 1 6 Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC=... cho học sinh kiểm tra qua ba bài toán sau: Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc tạo bởi (SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB)vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB=2a, tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC... tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công uuur uuur uuur 1 thức thể tích khối chóp ABCD: V=  AB, AC  AD 3 Phương pháp: (2) - Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp - Tọa độ hóa bài toán - Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp 16 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2 , SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)...  a2  a2  a 2 , C SABCD=AB2=4a2 Thể tích khối chóp S.ABCD: D 1 3 V= SI S ABCD  4a 3 2 (đvtt) 3 Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết a) AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai đường