SKKN Một số phương pháp tính thể tích hình chóp

b b S B là diện tích đáy, h là chiều cao Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau: Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy..

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP"

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU.

Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong đó có bài toán tính thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng Các năm gần đây, ở các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuyên có một câu về tính thể tích khối đa diện và chủ yếu là tính thể tích khối chóp

Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít Ở chương trình chuẩn chỉ có 2 tiết, chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết Bên cạnh đó nội dung trong sách giáo khoa chưa phân được các dạng toán cụ thể Chẳng hạn để tính thể tích khối chóp, ở chương trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉ đưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a” SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không

có thêm bất cứ một ví dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà hình chóp không phải là hình chóp đều Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học sinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

1.Thực trạng:

Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, với phần đa số là học sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em đều không hứng thú học hình không gian trong đó có phần tính thể tích khối chóp Các em gần như bỏ qua phần này hoặc chỉ học mang tính chất đối phó Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải các bài toán về thể tích khối chóp

2.Kết quả của thực trạng

Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1, 12C2, 12C3 tại trường THPT Đặng Thai Mai về bài tính thể tích khối chóp ngay sau bài thể tích khối đa diện với bài toán sau:

“Tính thể tích khối chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc và có độ dài đều bằng a”.

Kết quả thu được như sau:

Lớp Sĩ số Vẽ hình

đúng

Xác định được đường cao

Tính đúng thể tích

Trình bày đúng

12C1 45 15(33,3%) 13(28,9%) 10(22,2%) 7

(15,6%)12C2 47 11(23,4%) 9(19,1 %) 6(12,8%) 4 (8,5%)

12C3 43 12(27,9%) 7(16,2%) 5(11,6%) 3 (7 %)

Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 67% không vẽ đúng hình, trên 71% học sinh không xác định được đường cao của hình chóp, trên 77% không tính được thể tích và trên 84% không biết trình bày hoặc lập luận chưa chính xác

Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn các bài toán tính thể tích khối chóp, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các dạng toán tính thể tích khối

chóp gần giống với các dạng toán trong Đại số qua sáng kiến kinh nghiệm :

“Một số phương pháp tính thể tích khối chóp”.

Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn rằng học sinh được trang bị một cách tương đối đầy đủ và toàn diện về phương pháp tính tính thể tích của khối chóp Giúp học sinh để có một cái nhìn sâu hơn về bài toán tính thể tich khối chóp nói riêng và các bài toán thể tích khối đa diện nói chung, đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của

khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

' ' ' ' ' '

.

SA B C SABC

(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích

khối chóp ABCD: V=1 ,

3 uuur uuur uuurAB AC AD 2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện:

b

b S

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)

Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Phương pháp:

- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).

- Tính đường cao và diện tích đáy Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp.

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).SA=a, tam

giác ABC vuông tại B và BA=BC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

Ta có SA⊥(ABC) nên SA

là đường cao của hình chóp S.ABC

1 3

1

ab b

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a,

tam giác ABC có A=α và AB=b, AC=c Tính thể tích khối chóp S.ABC.

1 3

1

abc bc

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông

góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

AC là hình chiếu vuông góc của SC

trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA.

Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=a 2.tan600=a 6

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2

a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a

b) Cạnh đáy AB=a 3, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300

Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy.

Phương pháp:

- Xác định đường cao

(chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp.

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy SA

=a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=1200 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

A

D

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a Các mặt

phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc

300 Tính thể tích khối chóp

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay

SA là đường cao của hình chóp

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B,

AB=BC=2a Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC).Gọi M

là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.BCMN

Lời giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là

đường cao của hình chóp S.BCMN

Vì AB⊥BC (giả thiết) nên

SB⊥BC (định lí ba đường vuông góc)

Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA

Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 2 3a

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và

Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Phương pháp:

- Xác định đường cao (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng

cùng vuông góc với mặt đáy)

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức

(1) để tính thể tích khối chóp.

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A ,

AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600.Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

60 0

I A

B S

60 0 N M

A

B S

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

đường cao của hình chóp S.ABCD

IC là hình chiếu vuông góc của SC

Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc

giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI

=600.Theo định lí Pitago ta có:

IC= ID +DC = a +a =a ⇒SI=IC tan SCI=a 2.tan 60 0 =a 6

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M là trung

điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là

đường cao của hình chóp S.ABCD

O

Gọi N là trung điểm của BC ta có

MN là đường trung bình của hình

vuông ABCD nên MN⊥ BC suy ra SN ⊥BC và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNM= 450

Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a SABCD=AB.AD=a2

Lời giải:

Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

AO là hình chiếu vuông góc của SA

xuống mặt phẳng (ABCD) nên

SABCD=AB.AD.sinBAD =a2.sin1200 = 2 3

Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.

Phương pháp:

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa

mặt bên đó với mặt đáy )

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức

(1) để tính thể tích khối chóp.

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn là AB =

2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau, tam giác SAB đều Tính thể tích khối chóp S.ABCD

H A

C

B S

D K

N

M A

C

B S

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a SA=a,SB=a 3

và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH⊥(ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp S.BMDN

Mặt khác tam giác SAB có

SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)

Nên vuông tại S suy ra

2

a SH

I A

C

B S

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a SA=SB và mặt

phẳng (SAB) vuông góc với đáy Góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI ⊥AB và SI ⊥(ABCD)

hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD

b) AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 450.

Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai

đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy.

Phương pháp:

- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ).

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

để tính thể tích khối chóp

Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,

SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Lời giải:

AC SA

AB SA

1 3

1

a a

AB SA

AC AB

1 3

1

ab b

- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ).

- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)

M A

C

B S

O

M

C D

S

O

Lời giải:

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO⊥(ABC)

nên SO là đường cao của hình chóp Xét tam giác SOA vuông tại O có góc

giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc

SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,

SO=SA.sin SAO=a Gọi M là trung điểm

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt

đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Xét tam giác SOM vuông tại O có

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của

khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

D' B'

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và

AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích hai phần đó

Ví dụ 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc

với mặt đáy và SA =2a Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Lời giải: Ta có AB’⊥SB và AB’⊥CB (CB⊥(SAB) suy ra AB’⊥SC

Tương tự AD’⊥SC suy ra SC⊥AC’

H

F A

C D

B E

nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V=2. 8 . 3 16 3

a = a (đvtt)

Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 5, đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=2 2(O là tâm của hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a và

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC,

I là giao điểm của BM và AC Tính thể tich khối tứ diện ANIB

Lời giải:

Dựng hệ trục tọa độ Oxyz

Sao cho O trùng với A,Ox

Trùng với tia AD,Oy trùng

với tia AB,Oz trùng với tia

Thể tích khối tứ diện ANIB :

Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với B, Ox trùng với tia BC, Oy trùng

với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi đó ta có A(0;a;0), B(0;0;0),C(2a;0;0).Do A’M=

H

P N

Thể tích khối tứ diện ABCI:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N, P lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, AD và A’D’ Tính theo a thể tích khối chóp C’.MNP

C.KẾT LUẬN 1.Kết quả nghiên cứu:

Sau khi áp dụng phương pháp trên vào ba lớp đã nêu, tôi đã cho học sinh kiểm tra qua ba bài toán sau:

Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt

phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc tạo bởi (SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp

Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên

(SAB)vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB=2a, tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC với mặt đáy bằng 600, khoảng cách giữa AB và (SCD) bằng a 3.Kết quả thu được như sau

9-10

Điểm7-8,5

Điểm5-6,5

Điểm3-4,5

Điểm0-2,512C1 45 5(11,1%) 23(51,1%) 16(35,6%) 1(2,2%) 0(0 %)

2.Ý kiến đề xuất:

- Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKN này được hoàn thiện hơn