Phương pháp 1: Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản a. Kiến thức sử dụng + Nếu với mọi thì + Các công thức về đạo hàm cần ghi nhớ. b.Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với mọi Tính tích phân Nhận xét: Từ giả thiết ta có: biểu thức vế trái có dạng Từ đó ta có lời giải. Lời giải: Ta có Do Nên ta có: Khi đó Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn với mọi và Tính tích phân Nhận xét: Từ giả thiết ta có: biểu thức vế trái có dạng Từ đó ta có lời giải. Lời giải: Ta có Do Nên ta có: (vì không âm trên ). Khi đó Ví dụ 3. Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn với mọi Biết tính Lời giải: Do đồng biến trên đoạn Ta có: do và và Vì Khi đó
Phương pháp 1: Biến đổi đưa nguyên hàm a Kiến thức sử dụng (x) = f (x) với x �K F (x) = �f (x)dx + Nếu F � + Các công thức đạo hàm cần ghi nhớ g u� v + uv�= (uv)� g- g � u� v - uv� �� u� � � = � � � � v� v2 �� g u� u = ( u)� g nun- 1u�= (un )� � u� �� 1� � =� � � � � u� u �� b.Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm f (x) � số liên tục [1;2] đoạn thỏa mãn f (1) = , x2.f � (x) = (1- 2x2).f 2(x) với x �[1;2] Tính tích phân I = �f (x)dx Nhận xét: Từ giả thiết ta có: f� (x) f (x) = 1- 2x2 x � � 1� � , biểu thức vế trái có dạng u�= � � Từ ta có lời � � � � � u � u� giải � � � f� (x) 1- 2x2 �= - � Lời giải: Ta có x2.f � � (x) = (1- 2x2).f 2(x) � = � � � � � x2 � f (x) x2 � f (x)� �- �1 � 1 1 � � =� - 2� dx � = - - 2x +C Do f (1) = � C = Nên ta có: � � � � � f (x) f (x) x � x � 2x2 + x = � f (x) = f (x) x 2x + 2 x d(1+2x2) d x = Khi I = �f (x)dx = � �1+ 2x2 = ln 1+ 2x + x 1 Ví dụ Cho hàm f (x) số liên tục, 1 = (2ln3 - ln3) = ln3 4 không âm � thỏa mãn f (x).f � (x) - 2x f 2(x) + = với x �� f (0) = Tính tích phân I = �f (x)dx Nhận xét: Từ giả thiết ta có: f (x).f � (x) f 2(x) + = 2x, biểu thức vế trái có dạng uu� u2 + = uu� u2 + Từ ta có lời giải (x) - 2x f 2(x) + = � Lời giải: Ta có f (x).f � � f 2(x) + = � 2x dx � f (x).f � (x) f (x) = 2x � ( � f 2(x) + = 2x ) f 2(x) + = x2 +C Do f (0) = � C = Nên ta có: f 2(x) + = x2 + � f 2(x) + = (x2 + 1)2 � f 2(x) = x2(x2 + 2) � f (x) = x x2 + (vì f (x) khơng âm �) Khi 1 I =� f (x)dx = �x x2 + 2dx = � x x2 + 2dx = 0 1 1 �2 � 2 x + 2d( x + 2) = ( x + 2) x + � � = (3 - 2) � 2� 3� 0 Trang Ví dụ f (x) đồng biến, có đạo hàm đoạn [1;4] thỏa mãn Cho hàm số x + 2x.f (x) = [f � (x)]2 với x �[1;4] Biết f (1) = , tính I = �f (x)dx f� (x) Lời giải: Do f (x) đồng biến đoạn [1;4] �" 0, x [1;4] Ta có: (x) �0, " x �[1;4] x + 2x.f (x) = [f � (x)]2 � x(1+ 2.f (x)) = [f � (x)]2, x �[1;4] f � � f (x) > - f� (x) (x) = x 1+ 2f (x) � = x � ( 1+ 2f (x))� = x f � 1+ 2f (x) 2 � 1+ 2f (x) = � xdx � 1+ 2f (x) = x x +C Vì f (1) = 3 � + = +C � C = 2 3 � 4� � �� f (x) = x3 + x + � 1+ 2f (x) = x x + � 1+ 2f (x) = � x x + � � � � � 3 3� 9 18 � 4 � �1 7� 16 � � � 1186 � � � Khi I = �f (x)dx = � x + x + � dx = � x4 + x + x� = � � � � � � � � � � 9 18� 18 45 18 � 45 � 1 � Ví dụ f (x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai đoạn [0;2] thỏa mãn Cho hàm số � 2[f (x)]2 - f (x).f � (x) + [f � (x)]2 = với x �[0;2] ff(0) = 1, (2) = e6, Biết tính tích phân I =� (2x + 1).f (x)dx - Nhận xét: Từ giả thiết ta có: � f (x).f � (x) - [f � (x)]2 [f (x)]2 � � f� (x) � = 2, biểu thức vế trái có dạng � �, Từ ta có � f (x) � � � lời giải � (x) Lời giải: Do f (x) đồng biến đoạn [0;2] nên ta có ff(0) �� � (x) + [f � (x)]2 = � Ta có 2[f (x)] - f (x).f � � f� (x) =� 2dx = 2x +C � f (x) � f (x).f � (x) - [f � (x)]2 [f (x)] ff(2) (x) e6 � f� (x) � =2� � � = � f (x) � � � f� (x) �f (x) dx = �(2x +C )dx � ln f (x) = x +Cx +C Mà � f (x) �e6 nên ta có: ln f (x) = x +Cx +C � � C1 = C =1 �f (0) = � � � �� Do � � � � � � + C + C = C f (2) = e � � �1 = � � � � ln f (x) = x2 + x � f (x) = ex +x 0 2 (2x + 1)f (x)dx = � (2x + 1)ex +xdx = � ex +xd(x2 + x) = ex Khi I = � - Ví dụ -2 -2 +x - = 1- e2 (x).ef (x)- x - Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai � thỏa mãn 3f � 2x f 2(x) =0 x.f (x)dx với x �� Biết f (0) = 1, tính tích phân I = � (x).ef (x)- x - Lời giải: Ta có 3f � 2x f (x) = � 3f � (x).f 2(x).ef (x) 2 � = 2xe x +1 � � ef (x) � = 2xe x +1 � � � � Trang � ef (x) =� 2xe x dx = � ex +1 +1 d(x2 + 1) = ex Do f (0) = � e = e +C � C = � ef (x) Ví dụ +C = ex +1 � f 3(x) = x2 + � f (x) = x2 + 7 Khi I = � x.f (x)dx = � x.3 x2 + 1dx = +1 3 �2 45 � x + 1d(x2 + 1) = � (x + 1) x2 + 1� = � � � 20 8 f (x) Cho hàm số có đạo hàm cấp hai đoạn [0;1] thỏa mãn f (x) + (x + 1).f � (x) = với x �[0;1] Biết f (5) = , tính tích phân I = �f (x)dx f (x) + (x + 1).f � (x) = 1, vế trái biểu thức có dạng Nhận xét: Từ giả thiết ta có: (x + 1)� u� v + uv� = (uv)� Từ ta có lời giải (x) = � (x + 1)� f (x) + (x + 1).f � (x) = � [(x + 1)f (x)]� = Lời giải: Ta có f (x) + (x + 1).f � � (x + 1)f (x) = � dx = (x + 1)f (x) = x +C Vì f (5) = 7 � = +C � C = 6 � (x + 1)f (x) = x + � f (x) = x +2 x +1 1 � � x +2 � � � dx = � 1+ dx = (x + ln x + 1) = 1+ ln2 � Khi I = �f (x)dx = � � � � x +1 � x + 1� � 0 (x).f (x) + u(x).f � (x) Đặt v(x) = u� (x) Nhận xét: Với u(x) biểu thức cho trước ta có [u(x).f (x)]�= u� (x) (*) Như biểu thức có dạng v(x).f (x) + u(x).f � (x) ta có ta [u(x).f (x)]�= v(x).f (x) + u(x).f � Khi ta có tốn tổng qt cho ví dụ sau: thể biến đổi đưa dạng [u(x).f (x)]� Cho A(x), B (x), g(x) biểu thức biết Tìm hàm số f (x) thỏa mãn A(x).f (x) + B (x).f � (x) = g(x) (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta biến đổi (**) [u(x).f (x)]�= g(x) � u� (x) = A(x) u� (x) A(x) u� (x) A(x) � � = �� dx = � dx Trong u(x) chọn cho: � � u ( x ) = B ( x ) u(x) B (x) u(x) B(x) � � Suy ln u(x) = G (x) +C với G (x) nguyên hàm A(x) , từ ta chọn biểu B(x) thức u(x) Ví dụ Cho hàm số f (x) có đạo hàm đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 2018 2018f (x) + x.f � (x) = 2x2018 với x �[0;1] Tính tích phân I = �f (x)dx Nhận xét: Trước hết ta tìm biểu thức: u(x) Ta có: 2018 � ln u(x) = � dx � ln u(x) = 2018ln x +C � ln u(x) = ln x2018 +C nên ta chọn u(x) = x2018, x ta có lời giải sau: =2018x2017 f (x) + x2018f � (x) = x2017[2018f (x) + xf � (x)] = x2017.[2x2018 ] = 2x4035 Lời giải: Ta có [x2018.f (x)]� Khi x2018 f (x) = � 2x4035dx = x2018f (x) = x4036 +C 2018 Trang Do f (1) = 1 x4036 x2018 � = + C � C = � x2018f (x) = � f (x) = 2018 2018 2018 2018 2018 � x2019 � � x2018 � � dx = � = Khi I = �f (x)dx = � � � � � 2018 2019.2018� 2018.2019 � 0 Ví dụ Cho hàm số f (x) có đạo hàm đoạn [1;2] thỏa mãn (x + 1)f (x) + xf � (x) = 2ex x.f (x)dx với x �[1;2] Biết f (1) = e, tính tích phân I = � Nhận xét: Trước hết ta tìm biểu thức: u(x) Ta có: x +1 ln u(x) = � dx � ln u(x) = x + ln x +C � ln u(x) = lnex + ln x +C � ln u(x) = ln xex +C nên ta x chọn u(x) = xex , từ ta có lời giải sau: =(xex )� f (x) + xex f � (x) = (ex + xex )f (x) + xex f � (x) = ex [(x + 1)f (x) + xf � (x)] Lời giải: Ta có [xex f (x)]� � [xex f (x)]� = ex (2ex ) � xex f (x) = � 2e2x dx � xex f (x) = e2x +C Do f (1) = e � ee = e2 + C � C = � xex f (x) = e2x � f (x) = 2 ex x xf (x)dx = � ex dx = ex = e2 - e Khi I = � Ví dụ 1 Cho hàm số f (x) liên tục có đạo hàm �\ {- 1;0} thỏa mãn x.f (x)dx x(x + 1)f � (x) + f (x) = x2 + x với x ��\ {- 1;0} f (1) = - 2ln2 Tính tích phân I = � Nhận xét: Trước hết ta tìm biểu thức: u(x) Ta có: � 1 � x x � � � ln u(x) = � dx � ln u(x) = � + dx � ln u(x) = +C nên ta chọn u(x) = � , từ � � � � x(x + 1) x x + 1� x +1 � x +1 ta có lời giải sau: � � � x Lời giải: Ta có �x f (x)�= f (x) + f� (x) = [f (x) + x(x + 1)f � (x)] � � x +1 x +1 (x + 1)2 � � (x + 1) � �x � �� f (x)�= (x2 + x) � � � x + ( x + ) � � � � �x � x x x � f (x)�= � f (x) = � dx � � x +1 x +1 x +1 � � (x + 1) � � x � x � � f (x) = � 1dx � f (x) = x - ln x + +C � � � � x + 1� x +1 x +1 � � Do f (1) = - 2ln2 � (- 2ln2) = 1- ln2 + C � C = - 2 � � x3 � � xf (x)dx = � [(x - 1- (x + 1)ln(x + 1)]dx = � - x� Khi I = � �� � �3 � � 1 2 2 �(x + 1)ln(x + 1)dx = - I 1 (x + 1)ln(x + 1)dx Với I = � � � du = � � u = ln( x + ) � � x +1 �� Đặt � � � dv = (x + 1)dx � x2 1 � � � v= + x + = (x + 1)2 � � 2 � Trang 2 � � � 12 1� x2 � � � I = �(x + 1)2 ln(x + 1)�- � (x + 1)dx � I = ln3 - 2ln2 - � - x� = ln3 - 2ln2 - � � � � � � 2 2 2 � � � � 1 Khi I = 4 � 5� 31 � - I1 = - � ln3- 2ln2 - � = - ln3 + 2ln2 � � � � 12 3 � 4� � Phương pháp 2: Biến đổi đổi biến số a Kiến thức sử dụng u(b) b + Công thức: (x)dx = �f [u(x)]u� a �f (u)du u(a) + Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x b b b Như tích phân không phụ thuộc vào biến, tức �f (x)dx = �f (u)du = �f (t)dt = a a a b.Ví dụ áp dụng Cho hàm số f (x) liên tục � thỏa mãn 2018f (x) + f (- x) = ex với x �� Ví dụ 1 Tính tích phân I = �f (x)dx - Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) f (- x) nên ta biến đổi tạo biểu thức cách đặt x = - t, từ ta có lời giải � x = - 1� t = Lời giải: Đặt x = - t � dx = - dt, đổi cận: � � � x = 1� t = - � � - Khi đó: I = - 1 �f (- t)dt = �f (- t)dt � I = �f (- x)dx - 1 - 1 Vì 2018I + I = 2018�f (x)dx + �f (- x)dx - - 1 [2018f (x) + f (- x)]dx � 2019I = � ex dx = ex Nên 2019I = � - Ví dụ - 1 - = e- e2 - �I = e 2019e � �2 � � � � ;1� thỏa mãn 2f (x) + 3f � = 5x với � Cho hàm số f (x) liên tục đoạn � � � � � � � 3 x � � � � f (x) � � x ��;1� Tính tích phân I = � x dx � � � � �2 � � � � Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) f � nên ta biến đổi tạo biểu thức cách đặt x = , � � � � 3x � � 3t từ ta có lời giải � � x = �t =1 � � 2 Lời giải: Đặt x = � dx = - dt, đổi cận: � � 3t 3t � x = 1� t = � � � Khi đó: I = - �2 � �1 � ff� � � � � 3t �t2 � 3� 3t �2 � �2 � � � � � � � � � f� � � � � � 3t � 3x � � � dt = � dt = � dx t x 2 3 Trang �2 � �2 � � � � � ff� (x) + f � � � 1 � � � � � 3x � 3x � � � � 5x Ta có: 2I + 3I = f (x) dx + d x � I = d x = d x = �x �x � x �x �5dx = � I = 2 2 Ví dụ 1 3 Cho hàm f (x) số liên tục [0;2] đoạn thỏa mãn 3f (x) - 4f (2 - x) = - x2 - 12x + 16 với x �[0;2] Tính tích phân I = �f (x)dx Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) f (2 - x) nên ta biến đổi tạo biểu thức cách đặt x = - t, từ ta có lời giải � x = 0� t = Lời giải: Đặt x = - t � dx = - dt, đổi cận: � � � x = 2� t = � � 2 �f (2- t)dt = �f (2- t)dt � I = �f (2- x)dx Khi đó: I = - 2 2 [3f (x) - 4f (2 - x)]dx � - I = � (- x2 - 12x + 16)dx Ta có: 3I - 4I = 3�f (x)dx - 4�f (2 - x)dx = � 0 0 � x3 � 16 16 � � � - I =� - 6x2 + 16x� = � I = � � � � 3 � �0 Cho hàm số f (x) liên tục � thỏa mãn f (x) = 4xf (x2) + 2x + với x �� Ví dụ Tính tích phân I = �f (x)dx Nhận xét: Giả thiết chứa f (x) f (x2) nên ta biến đổi tạo biểu thức cách đặt x = t 2, từ ta có lời giải � x = 0� t = � Lời giải: Đặt x = t2 � dx = 2tdt, đổi cận: � � x = 1� t = � � 1 xf (x2)dx Khi đó: I = �f (t2)2tdt � I = 2� 0 Ta có: 1 1 I - 2I = �f (x)dx - 4� xf (x2)dx = � [f (x) - 4xf (x2)]dx = � (2x + 1)dx = (x2 + x) = � - I = � I = - Ví dụ 0 0 Cho hàm số f (x) liên tục � thỏa mãn f (x3 + 2x - 2) = 3x - với x �� 10 Tính tích phân I = �f (x)dx � x = � t + 2t = � t = Lời giải: Đặt x = t + 2t - � dx = (3t2 +2)dt, đổi cận: � � � x = � t + 2t = 12 � t = � � Ta có: 2 2 � � 135 9t � � I = �f (t + 2t - 2)(3t +2)dt = � (3t - 1)(3t2+2)dt = � (9t - 3t2 + 6t - 2)dt = � - t + 3t2 - 2t � = � � � � �4 � 1 1 Trang Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [ - 1;5] thỏa mãn [f (x)]2019 + f (x) + = x với x �[ - 1;5] Tính tích phân I = �f (x)dx Lời giải: Đặt t = f (x) � t 2019 +t + = x � dx = (2019t 2018 +1)dt, đổi cận: � x = � t 2019 + t + = � t = - � � � x = � t 2019 + t + = � t = � � 1 � � 2019 2020 � t(2019t2018 + 1)dt = � (2019t2018 + t)dt = � t + t � = Khi đó: I = � � � � � 2020 � � � - - - Biết số thực t �0 phương trình 4x3 + tx - = có nghiệm dương Ví dụ 7 x = x(t), với x(t) hàm số liên tục theo t [0; +�) Tính tích phân I = � [x(t)]2dt � t = � 4x3 - = � x = � - 4x3 8x3 + � Lời giải: Đặt t = � dt = dx, đổi cận: � � t = � 4x3 + 7x - = � x = x x2 � � � 2 �x Ta có: I = - 8x3 + x 1 dx = � (8x3 + 4)dx = (2x4 + 4x) = 2 31 Phương pháp 3: Phương pháp tính tích phân phần a Kiến thức sử dụng b + Công thức: b (x)dx = (u(x).v(x)) �u(x)v� a a b (x)dx, �v(x).u� (trong u, v có đạo hàm liên a tục K a, b hai số thuộc K ) b.Ví dụ áp dụng Ví dụ f (x)dx � 1+ x f (x) liên tục, có đạo hàm � thỏa mãn f ( 3) = Cho hàm số = Tính tích phân I = �f � (x)ln(x + 1+ x2 )dx � � du = dx � u = ln(x + 1+ x2 ) � � � � �� Lời giải: Đặt � + x � � dv = f � (x)dx � � v = f (x) � � � Khi đó: I = (f (x)ln(x + 1+ x2 )) Ví dụ Cho hàm số (x) + 1) x + 1dx = �(f � 3 - f (x) � 1+ x dx = 3ln(2 + 3) - f (x) liên tục, có đạo hàm � thỏa mãn 2ff(3) - (0) = 18 f (x) 302 Tính tích phân I = � dx 15 x +1 � � � du = dx u = x + 1) � � � � �� Lời giải: Đặt � 2 x + � dv = ( f � (x) + 1)dx � � � v = f (x) + x + � � � Trang Khi đó: 302 = [( f (x) + x + 1)) x + 1)) 15 � f (x) x + 1� � � + dx � � ��2x + � � � 3 = 2ff(3) - (0) + - Ví dụ I 302 I 14 76 - � x + 1dx � = 25 - �I = 20 15 15 Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm đoạn [1;3] thỏa mãn ff(3) = (1) = 3 xf � (x) f (x) + ln(x) �x + dx = Tính tích phân I = � (x + 1)2 dx � � 1� � � u = f (x) + ln x � du = � f� (x) + � dx � � � � � � � � f (x) + ln(x) � x� � � � � I = d x , Lời giải: Xét đặt � � � (x + 1)2 � dv = dx � x � � � � v=+ 1= (x + 1) � � x +1 x +1 � Khi đó: �x � I =� ( f (x) + ln x)�� � x +1 � � Ví dụ � xf � (x) � (1) � + dx = [ff(3) + ln3]�� � x + x + 1� � Cho hàm số � 3� � + ln x + � = + ln3 - ln2 � 1� � � � f (x) liên tục, có đạo hàm đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 1 xf (x) (x) + x]ln(1+ x2)dx = 2ln2 - Tính tích phân I = � dx �[f � 1+ x2 0 � 2x � du = dx � � u = ln(1 + x ) � � � + x � � [ f ( x ) + x ]ln(1 + x )d x = 2ln2 , Lời giải: � đặt � � � dv = [f � (x) + x]dx � x � � � v = f (x) + + � � 2 � 1 � � � x2 + 1� � � � � Khi đó: 2ln2 - = � � f ( x ) + ln(1 + x ) � � �� � � � � � � � 2ln2 - = � � xf (x) 2xf (x) � � [ f (1 ) + )ln2 dx � + x d x = � � � �� � � 1+ x2 1+ x � � 0 1 �xdx 1 ln2 - 2I � I = - ln2 2 4 Phương pháp 4: Tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân a Kiến thức sử dụng b + Nếu f (x) �0 với x �[a;b] �f (x)dx �0, dấu xảy � f (x) = 0, " x �[a;b] a b Hệ quả: �f (x)dx = � f (x) = với x �[a;b] a b.Ví dụ áp dụng Trang Ví dụ Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục [0;1] Biết �xf (x)dx = 1 2018 �[f (x)] dx = Tính tích phân I = �[f (x)] dx 0 Nhận xét: Giả thiết chứa [f (x)]2 xf (x) nên tạo bình phương dạng [f (x) - ax]2 Ta chọn a cho 1 �[f (x) - ax] dx = � � - 2a + 2 �([f (x)] - 2axf (x) + a x )dx = � 1 2 �[f (x)] dx - 2a�xf (x)dx + a �x dx = 0 0 a3 = � a = Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có: �[f (x) - 3x] dx = � 1 2 2 �([f (x)] - 6xf (x) + 9x )dx = �[f (x)] dx - 6�xf (x)dx + 9�x dx 0 0 � - + = � f (x) = 3x 1 [f (x)]2018dx = 32018 � x2018dx = Khi đó: Nên I = � Ví dụ Cho hàm số p 32018 2019 � p� � p� � � f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục đoạn � 0; � f� �= 0, � � 2� Biết � � � � � � � p p p (x)]2dx = p � cosx.f (x)dx = Tính tích phân I = �f (x)dx �[f � 0 (x)]2 f (x) nên tạo bình phương dạng, trước hết ta biến đổi Nhận xét: Giả thiết chứa [f � p �cosx.f (x)dx (x) cách đặt: để tạo biểu thức f � � � u = f (x) du = f � (x)dx p � �� , p = (f (x)sin x) � � � dv = cosxdx � v = sin x � � � � p (x)sin x dx �f � p � �f � (x)sin x dx = p (x).sin x nên ta tạo bình phương dạng [f � (x)]2 f � (x) - a sin x]2 Đến ta hai biểu thức [f � Ta chọn a cho p (x) �[f � p a sin x]2dx = � p (x)] �[f � 2a sin x.f � (x) + a2 sin2 x]dx = 0 p p 2 �� [f � (x)] dx - 2a� sin xf � (x)dx + a � sin xdx = � x + ap + 2 0 � � pa2 a � = � p� + 1� = � a = - Từ ta � � � � � � � có lời giải Lời giải: Xét p p �cosx.f (x)dx = , đặt p Khi p = (f (x)sin x) 2 Ta có: p � � u = f (x) du = f � (x)dx � �� , � � � dv = cosxdx � v = sin x � � � � p p (x)sin x dx �f � � �f � (x)sin x dx = - 0 p (x) + 2sin x] dx = � � [f � (x)] + 4sin x.f � (x) + 4sin �[f � p 2 x]dx = p - 2p + 4p (x) = - 2sin x =0� f� � � p� � � f (x) = 2cosx +C mà f � = � C = nên ta có: f (x) = 2cosx � � � � 2� � � Trang p p 0 Ta có: I = f (x)dx = cosx dx = � � Ví dụ Cho hàm số � f� (x) � �dx = 169 �� �x � 105 � - 1� f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] Biết f (- 1) = - , 10 �(x - 1).f (x)dx = - 103 Tính tích phân I = �f (x)dx 420 � f� (x) � Nhận xét: Giả thiết chứa � � f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, trước hết ta �x � � � biến đổi �(x - 1).f (x)dx để đưa f � (x) cách đặt: - � du = f � (x)dx � � � u = f (x) � � � 10 103 x � � � � � � x2 , � � =� - x� f (x)� (x - 2x)f � (x)dx � � - 2� � � dv = (x - 1)dx � � � v= - x 420 � � � � � � � � - � �� (x2 - 2x)f � (x)dx = - 169 105 � f� (x) � (x) nên ta tạo bình phương dạng Đến ta hai biểu thức � �và (x2 - 2x)f � �x � � � � � f� (x) � - a(x3 - 2x2)� �x � � � � � f� (x) � � a ( x x ) ��x �dx = � � � Ta chọn a cho � � � � � f� (x)� f� (x) 2 2� � � � � a ( x x ) + a ( x x ) dx = � �� � �x � � x � � � � � � 1 � 169 169 169 f� (x) � f� (x) - 2a + a = � a = Từ ta � �� �dx - 2a� (x3 - 2x2) dx + a2 � (x3 - 2x2)2dx � �x � 105 105 105 x � � 0 có lời giải 103 (x - 1).f (x)dx = , đặt Lời giải: Xét � 420 - � du = f � (x)dx � � u = f (x) � � � � x2 , � � dv = (x - 1)dx � v= - x � � � � 0 � � � 10 169 103 � x2 � � �� � (x2 - 2x)f � (x)dx = � Khi � =� x f ( x ) ( x x ) f ( x )d x � � � � � � � 105 � 420 � 2- �2 � � - - � � f� (x) � �� �x - (x - 2x )�dx = � � � Ta có: � � � � � � f� (x) � � � �- 2(x3 - 2x2) f (x) + (x3 - x2)2 � � dx = � � �� � � � x � � �x � � � 1 � f� (x) � 169 169 169 � � � �� dx - 2� (x - 2x).f (x)dx + � (x3 - 2x2)2dx = - + =0 �x � 105 105 105 � � 0 � f� (x) 1 = x3 - 2x2 � f � (x) = x4 - 2x3 � f (x) = x5 - x4 +C x Mà f (- 1) = - 1 � C = nên ta có: f (x) = x5 - x4 10 � �1 � 4� � � � � � x x d x = x x � = Khi đó: I = �f (x)dx = � � � � � � � � � � � � 30 10 �0 15 � � 0 1 Trang 10 Ví dụ f (x) liên tục, có đạo hàm liên tục đoạn [0;2] Biết f (2) = Cho hàm số [f � (x)]2 = 21x4 - 12x - 12xf (x) với x �[0;2] Tính tích phân I = �f (x)dx Lời giải: Từ giả thiết ta có: (x)]2dx = � [21x4 - 12x - 12xf (x)]dx �[f � 2 2 �� [f � (x)]2dx = � (21x4 - 12x)dx - 12� xf (x)dx � � [f � (x)]2dx = 0 0 552 - 12� xf (x)dx (*) (x)]2 f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, trước hết ta Đến ta có hai biểu thức [f � � du = f � (x)dx � � u = f (x) � � �� x , xf (x)dx để tạo f � (x) cách đặt � biến đổi � � dv = xdx � v= � � � � � 2 � � 12 x2 �� xf (x)dx = � f ( x ) x f ( x )d x = 14 (x)dx, vào (*) ta được: Khi � �x f � � � 2� 2 � � 0 0 � 12 � 2 � � �dx = 552 - 12 � � � f ( x ) 14 x f ( x )d x � � 2� � �� � � � 0 � � 2 Mà �9x dx = 288 nên ta có: (**) � 2 288 f� (x)� x2f � (x)dx + =0 �� � �dx - 6� (**) 2 (x)]2dx - 6� x2f � (x)dx + � 9x4dx = �[f � 0 � (x) �[f � 3x2 ]2dx = � f � (x) = 3x2 � f (x) = x3 +C mà f (2) = � C = - � f (x) = x3 - (x3 - 1)dx = Khi đó: I = �f (x)dx = � 0 1 Ví dụ f (x) liên tục đoạn [0;1] Biết Cho hàm số �f (x)dx = Biết �x.f (x)dx = �[f (x)] dx = 13 Tính tích phân I = � [f (x)]3dx Nhận xét: Giả thiết chứa [f (x)] , xf (x) f (x) nên ta tạo bình phương dạng [f (x) + ax + b]2 Ta chọn a, b cho �[f (x) + ax + b] dx = � �( [f (x)] + 2axf (x) + 2bf (x) + 2abx + a x ) 2 + b2 dx = 0 � � 1 2 2 �[f (x)] dx + 2a�xf (x)dx + 2b�f (x)dx + 2ab�xdx + �(a x +b )dx = 0 0 13 a2 + 2a + 4b + ab + + b2 = � a2 + (3b + 7)a + 3b2 + 12b + 13 = Để có a D = (3b + 7)2 - 4(3b2 + 12b + 13) �0 � - 3(b + 1)2 �0 � b = - � a = - 2, từ ta có lời giải Lời giải: Ta có: �[f (x) - 2x - 1] dx = � � 1 �( [f (x)] - ) 4xf (x) - 2f (x) + 4x + 4x2 + dx = 0 2 �[f (x)] dx - 4�xf (x)dx - 2�f (x)dx + 4�xdx + �(4x + 1)dx = 0 0 0 Trang 11 = 13 - - + + + = � f (x) = 2x + 1 [f (x)]3dx = � (2x + 1)3 dx = 10 Khi đó: I = � Ví dụ Cho p hàm f (x) số p p liên tục liên p p �f (x)dx = + 1, �sin x.f (x)dx = + �[f (x)] dx = 0 tục đoạn � p� � 0; � � 2� thỏa � � mãn p 3p + Tính tích phân I = �f (x)cosxdx Nhận xét: Giả thiết chứa [f (x)] , sin x.f (x) f (x) nên ta tạo bình phương dạng [f (x) + a sin x + b]2, ta chọn a, b cho p �[f (x) + a sin x + b] dx = p � �( [f (x)] + 2a sin xf (x) + 2bf (x) + 2absin x + a 2 ) sin2 x + b2 dx = 0 p � p p p �[f (x)] dx + 2a�sin xf (x)dx + 2b�f (x)dx + 2ab�sin xdx + �(a 2 � p 0 sin2 x + b2)dx = 0 � � � � 3p p p pa2 pb2 � � � � � + + 2a � + + b + + ab + + = � p(a + 1)2 + 8(a + 1)(b + 1) + 2p(b + 1)2 = � � � � � � � � � � � 4 4 � � � Để có a D �= 16(b + 1)2 - 2p2(b + 1)2 �0 � (16 - 2p2)(b + 1)2 �0 � b = - � a = - Từ ta có lời giải Lời giải: Ta có: p �[f (x) - p sin x - 1]2dx p � p 2 ) 2sin xf (x) - 2f (x) + 2sin x + sin2 x + dx = 0 p p p �[f (x)] dx - 2�sin xf (x)dx - 2�f (x)dx + 2�sin xdx + �(sin 2 = �( [f (x)] - � � 3p p � + - 2.� + 1� � � � � � 4 � � 0 x + 1)dx = 0 � � p 3p � 2� + 1� = � f (x) = sin x + � �+ + � � � � � p Khi đó: I = (sin x + 1)cosx dx = � Trang 12 ... 2 31 Phương pháp 3: Phương pháp tính tích phân phần a Kiến thức sử dụng b + Công thức: b (x)dx = (u(x).v(x)) �u(x)v� a a b (x)dx, �v(x).u� (trong u, v có đạo hàm liên a tục K a, b hai số thuộc... � Phương pháp 2: Biến đổi đổi biến số a Kiến thức sử dụng u(b) b + Công thức: (x)dx = �f [u(x)]u� a �f (u)du u(a) + Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ số thay cho x b b b Như tích. .. = � � � � � 2020 � � � - - - Biết số thực t �0 phương trình 4x3 + tx - = có nghiệm dương Ví dụ 7 x = x(t), với x(t) hàm số liên tục theo t [0; +�) Tính tích phân I = � [x(t)]2dt � t = � 4x3 -