SKKN các PHƯƠNG PHẤP TÍNH TÍCH PHÂN

CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI LỜI NÓI ðẦU Ngày phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Toán học, tích phân ñược ứng dụng rộng rãi ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, ñối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng Ngoài phép tính tích phân ñược ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12, ñược phổ biến tất trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ hai chương trình học ðại cương Hơn kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân có ñề thi môn Toán khối A, khối B khối D Bên cạnh ñó, phép tính tích phân nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ nghiên cứu sinh Với tầm quan trọng phép tính tích phân, mà viết số kinh nghiệm giảng dạy tính tích phân khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 ñể em ñạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học giúp cho em có tảng năm học ðại cương ðại học Trong phần nội dung chuyên ñề ñây, xin ñược nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập ñề nghị ñề thi Tốt nghiệp THPT ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng năm ñể em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân phần cuối chuyên ñề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên ñề không tránh khỏi thiếu sót, mong ñược góp ý chân tình quý Thầy Cô Hội ñồng môn Toán Sở Giáo dục ðào tạo tỉnh ðồng Nai Nhân dịp xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho cảm ơn quý thầy cô tổ Toán trường Nam Hà, ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho hoàn thành chuyên ñề Tôi xin chân thành cám ơn./ Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI MỤC LỤC Lời nói ñầu Mục lục I Nguyên hàm: I.1 ðịnh nghĩa nguyên hàm I.2 ðịnh lý I.3 Các tính chất nguyên hàm I.4 Bảng công thức nguyên hàm số công thức bổ sung II Tích phân: II.1 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh II.2 Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập ñề nghị Tính tích phân phương pháp ñổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại ðịnh lý phương pháp ñổi biến số loại 13 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 14 Bài tập ñề nghị số 14 Bài tập ñề nghị số 15 Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16 II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 16 Bài tập ñề nghị số 21 Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 22 II.5 Phương pháp tích phân phần III 10 23 Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28 Kiểm tra kết tích phân máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 Bài tập ñề nghị số 8: 100 BTñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 34 Phụ lục 40 Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I NGUYÊN HÀM: I.1 ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm số F(x) ñược gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K với x∈K F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số f(x) = 3x2 R b) Hàm số F(x) = lnx nguyên hàm hàm số f(x) = (0;+∞) x I.2 ðỊNH LÝ: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a;b) thì: a) Với số C, F(x) + C nguyên hàm f(x) khoảng ñó b) Mọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K ñều viết dạng F(x) + C với C số Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) cần tìm nguyên hàm ñó cộng vào số C tùy ý Tập hợp nguyên hàm hàm số f(x) gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay gọi tích phân bất ñịnh) Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C ( C ∈ ℝ ) VD2: a) ∫ 2xdx = x +C b) ∫ sinxdx = - cosx +C c) ∫cos x dx =tanx +C I.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 1) ' ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ ) 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C VD3: a) ∫ (5x - 6x + 8x )dx = x - 2x + 4x +C b) ∫ 6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos x +C Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI I.4 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP 1/ ∫ du = u + C 1/ ∫ dx = x + C 2/ ∫ x α dx = x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x 4/ ∫ e x dx = e x + C 3/ ∫ 5/ ∫ a x dx = NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP 2/ ∫ uα du = ( α ≠ -1) 3/ ∫ (x ≠ 0) uα +1 +C α +1 ( α ≠ -1) du = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) u 4/ ∫ eu du = eu + C ax +C lna ( < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = au +C lna ( < a ≠ 1) / ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C π dx du π = ∫ (1+ tan x ) dx = tanx + C (x ≠ + k π ) 8/ ∫ = ∫ (1+ tan2u ) du = tanu + C (u ≠ + kπ ) 2 cos x cos u dx du 9/ ∫ = ∫ (1 + cot x ) d x = -cotx + C (x ≠ k π ) 9/ ∫ = ∫ (1+ cot 2u ) du = -cotu + C (u ≠ kπ ) 2 sin x sin u 8/ ∫ CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP: 1/ ∫ dx = x + C x 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α 1/ a m a n = a m+n (x ≠ 0) ( ax + b ) a α +1 CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: α +1 + C (a ≠ 0) am = a m-n ; n = a -n n a a 3/ m 1 3/ ∫ dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a 4/ ∫ e ax+b dx = e ax +b + C (a ≠ 0) a kx a 5/ ∫ a kx dx = + C ( ≠ k ∈ R, < a ≠ 1) k.lna 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ tanx dx = - ln cosx + C (x ≠ 2/ π 9/ ∫ cotx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) + kπ ) a = am ; n m an = a m CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a CÔNG THỨC HẠ BẬC: 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) b CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG cos ( a - b ) + cos ( a + b )  2 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b )  3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b )  1/ cosa.cosb = Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II TÍCH PHÂN: II.1 ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH: Giả sử hàm số f(x) liên tục khoảng K, a b hai phẩn tử K, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi tích phân từ a ñến b f(x) Ký hiệu: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)- F(a) a a II.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx = a a 2/ b ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx b b 3/ a b ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx a b 4/ a b b ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b 5/ (k ≠ 0) a c a b ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a với c∈(a;b) c b / Nếu f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ a b b a a / Nếu f (x ) ≥ g(x ), ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx b / Nếu m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a t / t biến thiên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx nguyên hàm f (t ) G (a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ðể tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1f1(x ) + + km fm (x ) a Trong ñó: ki ≠ (i = 1,2, 3, , m ) hàm fi (x ) (i = 1,2, 3, , m ) có bảng nguyên hàm VD4: Tính tích phân sau: Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) GV: NGUYỄN DUY KHÔI 2 -1 -1 = (2 - 2.2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/ 2/ bảng nguyên hàm 3x -6x + 4x - 2x + 2) I = ∫ dx x Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ bảng nguyên hàm 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 ⇒ I= ∫ dx = (3x -6x + + )dx ∫1 x2 x x2 = (x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = - 2ln2 x x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 Nhận xét: Câu ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết phân tích phân số dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/ bảng nguyên hàm công thức 3/ bổ sung 2 x -5x +3   ⇒ I= ∫ dx = ∫  x − +  dx x +1 x +1  0   x2 2 =  -6x +9ln | x +1 | = -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 4) I = ∫ e x (2xe-x +5 x e-x -e-x ) dx Nhận xét: Câu 4: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn áp dụng tính chất sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ bảng nguyên hàm  5x 1 ⇒ I = ∫ e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x + -x  = ln5  ln5  0 1 x -x x -x -x x π π 5) I = ∫(4cosx +2sinx - )dx =(4sinx - 2cosx - 2tanx) = 2 - - 2+2 = cos x 0 Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/, 7/ 8/ bảng nguyên hàm Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) = - -3 + = -1- Nhận xét: Câu ta cần áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ , 7/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π 12 7) I = ∫ sin (2x - π )dx Nhận xét: Câu học sinh sai sử dụng nhầm công thức 2/ bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, ñã xem u = sin 2(2x - π ) (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp) Với câu trước hết phải hạ bậc sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π π π 12  π  12 ⇒ I = ∫ sin (2x - )dx = ∫  - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx 0  0 12 π π  π 1 1 π =  x + cos4x  12 =  + cos 2  12   1  π 1  - 0 + cos0  = 24 - 16    π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức dấu tích phân có dạng tích ta chưa áp dụng ñược công thức bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến ñổi tích thành tổng áp dụng tính chất sử dụng công thức 6/ bảng nguyên hàm phần công thức bổ sung π π 16 16 ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = =  1 cos8x + cos4x dx = sin8x + sin4x ( )   ∫ 8  π 16  1 1 π π  11 2 sin + sin − sin + sin = + 1+  =     8 4  8  16   ( ) 9) I = ∫x -1dx -2 Nhận xét: Câu biểu thức dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối cách xét dấu biểu thức x2 – [-2;2] kết hợp với tính chất 5/ tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1dx = -2 ∫ (x GV: NGUYỄN DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x -1 ) dx + ∫ ( x -1 ) dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2   -1  1 3 3 3x +9 dx x 4x -5 Nhận xét: Câu 10 ta không thực phép chia ña thức ñược câu 3, mặt khác biểu thức mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức 3x+9 A B = + = dấu tích phân sau: (phương pháp hệ số x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 bất ñịnh) 3 3x +9   ⇒ I= ∫ dx = ∫  dx = ( 4ln |x -5 |-ln |x +1 |) x - 4x -5 x -5 x +1  2 = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln 27 10) I = ∫ Chú ý 2: ðể tính I = ∫ a'x + b' dx ax + bx + c (b2 - 4ac ≥ 0) ta làm sau: TH1: Nếu b2 - 4ac = , ñó ta có phân tích ax +bx + c = a(x + ⇒ I= ∫ b ) 2a b ba' ba' )+ b' b' dx dx 2a 2a dx = a' 2a + ∫ ∫ b b a x+ b a a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a a'(x + TH2: Nếu b2 - 4ac > ⇒ ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Ta xác ñịnh A,B cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x ) , ñồng hai vế ⇒  Ax1 + Bx = -b' A(x - x1 )+ B(x - x ) A B I= ∫ dx = ∫( + )dx a (x - x1 )(x - x ) a x - x x - x1 Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Chú ý 3: TH1: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x - a1 )(x -a2 ) (x -an ) A1 A2 An P(x) = + + + (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) TH2: ðể tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 ) (x -a2 )k (x -an )r m A1 A2 Am P(x) = + + + + (x - a m ) (x -a1 )m(x -a2 )k (x -an )r (x - a ) m (x - a ) m -1 P(x) dx với P(x) Q(x) hai ña thức: TH3: ðể tính I = ∫ Q(x) * Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) lấy P(x) chia cho Q(x) * Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) tìm cách ñưa dạng Nhận xét: Ví dụ gồm tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh áp dụng bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược toán với phép biến ñổi ñơn giản nhân phân phối, chia ña thức, ñồng hai ña thức, biến ñổi tích thành tổng Qua ví dụ nhằm giúp em thuộc công thức nắm vững phép tính tích phân BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính tích phân sau: 1) I = ∫(x x + 2x + 1)dx 2x x + x x - 3x + 2) Ι = ∫ dx x x -3x -5x +3 3) I = ∫ dx x -1 5) I = 4) I = ∫ (x + x - ) dx -2 π π 12 ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx π 16 7) I = ∫ cos 2xdx 8) I = ∫x + 2x -3 dx -2 dx 9) I = ∫ x -5x +6 10) I = ∫ dx x +1+ x x + 2x +6 11) I = ∫ dx (x - 1)(x - 2)(x - 4) x +1 12) I = ∫ dx (x -1)3 (x +3) xdx 13) I = ∫ x -6x +5 x dx 14) I = ∫ (1+ x )2 Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1: b Ta có ý: Tích phân ∫ f(x)dx phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a b mà a không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Tức là: b b b a a a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = Trong số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp công thức hay qua bước phân tích ta không giải ñược Ta xét trường hợp sau: VD5: Tính tích phân sau: 1) I = 2 dx -x2 ∫ Phân tích: Biểu thức dấu tích phân có chứa bậc hai, ta không khử phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa bậc hai 2 dạng A , ñó ta liên tưởng ñến công thức: 1-sin x = cos x = cosx , ñó: π π ðặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;   2 ðổi cận: x= 2 π ⇒ 2sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π 2sint = ⇒ t = π π π 2cost.dt 2cost.dt π π =∫ = ∫ dt = t = ( t ∈ 0;  ⇒ cost > ) 2  6 -2sin t 2(1-sin t) 0 6 ⇒ I= ∫ Trong VD ta thay ñổi sau: I = ∫ ñược kết I = π Kết bị sai hàm số f (x) = dx Học sinh làm tương tự -x2 không xác ñịnh x= 2-x2 Do ñó ñề dạng Giáo viên cần ý: hàm số f (x) xác ñịnh [a;b] 2) I = ∫ - x dx Trang 10 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π x I1 = ∫ 2e dx = 2e x GV: NGUYỄN DUY KHÔI π = 2e -2 π I2 = ∫ 2excos2x.dx du = -2.sin2xdx u = cos2x ⇒  ðặt:  x  v = 2e x dv = 2e dx π ⇒ I2 = 2e cos2x x + ∫ 4e xsin2xdx = -2 + Β Β = ∫ 4e x sin2xdx du = 2.cos2xdx u = sin2x  ⇒  ðặt:  x  v = 4e x dv = e dx  π ⇒ B = 4e sin2x x π − ∫ 8e cos2xdx = 4e − 4I x π ⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e − 4I π π  1 ⇔ I2 = -2 + 4e ⇔ I2 =  -2 + 4e     π π  14 π4 12 1 I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e − 5  Nhận xét: Ở ví dụ học sinh phải tính tích phân phần hai lần, tính lần hai biểu thức xuất tích phân I cần tính ban ñầu nên ta gọi dạng tích phần phần lặp Trong dạng tập làm học sinh cần lưu ý dấu sử dụng công thức tích phân phần π π 4 x dx Từ ñó suy ra: B = ∫ x.tan xdx (ðH NN Khối B 2000) A = ∫ cos x 0 u = x du = dx  ðặt  dx ⇒  v = tanx dv = cos x π π π ⇒ A = x.tanx - ∫ tanxdx = π + ∫ d(cosx) cosx Trang 26 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π = π + ln cosx = π GV: NGUYỄN DUY KHÔI - ln2 π π π 4 π π π2 dx - ∫ xdx = - ln2 ⇒ B = ∫ x.tan xdx = ∫ x.( -1)dx = ∫ x 2 cos x 32 cos x 0 0 I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Khối D 2004)  (2x - 1)dx = (2x - 1)dx x ( x - 1) du = u = ln(x - x) x2 - x ⇒  ðặt:   dv = dx  v = x - (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñể khử mẫu số) 3 2x - ⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫ dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + x 2 Nhận xét: Trong dạng tập tích phân phần có chứa ln(u(x)) thường xuất phân số nên rèn luyện cho học sinh khéo léo kết hợp thêm tính chất nguyên hàm ∫ f(x)dx = F(x)+C với C số thích hợp ta ñơn giản ñược phân số ñể cho bước tính tích phân ñơn giản Một ví dụ tương tự: I = ∫ 2xln(x - 2)dx 3 π    2  ∫ I = sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); Nhận xét: Ở ví dụ học sinh phải nhận xét ñược bước ñầu phải ñổi biến số ðặt u = x ⇒ u = x ⇒ 3u = dx ðổi cận: x u π π    2 π π 2 ⇒ I = ∫ 3u sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta biến ñổi ñể học sinh dễ nhận dạng tích 0 phân phần dạng Nhận xét: ðến ñây tích phân có dạng tích phân phần Do ña thức bậc hai nên ñể tính I, học sinh phải tính tích phân phần lần: u = 3x du = 6xdx ⇒ ðặt  v = sinx dv = cosx.dx Trang 27 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π ⇒ I = 3x 2sinx − ∫ 6xsinx dx = 0 GV: NGUYỄN DUY KHÔI 3π − I1 π I1 = ∫ 6xsinx dx u = 6x du = 6dx ⇒ ðặt  dv = sinxdx v = -cosx π π ⇒ I1 = −6x.cosx + ∫ 6cosx dx = 6x.sinx 0 ⇒I=− π 2 = 3π 3π 3π + I1 = − 3π 4 2 Nhận xét: Qua ví dụ trên, ñể tính tích phân ñôi học sinh phải áp dụng hai phương pháp ñổi biến số loại tích phân phần Ví dụ tương tự: (phối hợp hai phương pháp) π2 π2 a) I = ∫ sin x dx b) I = ∫ x.ln(1+ x )dx 0 π π cosx sin2x.dx ∫ c) I = d) I = ∫ e e4 cos lnx dx x ln tanx dx e) I = ∫ π cos x f) I = ∫ e x dx BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 6: Tính tích phân sau: a) I = π π ln2 -x ∫ xe dx b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx 0 c) I = ∫(2x -4)sin2xdx π d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx 2 f) I = xdx ∫ π sin x π g) I = ∫ 2xln (x +1)dx h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx π x i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx 2 j) I = ∫(x + sin x)cosxdx (TNTHPT – 2005) Tính tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học) π a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997) b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.Học 1997) Trang 28 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π    4 π c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998) ∫ d) I = cos xdx (ðH DLNN-T.Học 1998) 0 π e) I = lnx ∫1 x dx (ðH Huế 1998) f) I = ∫ x (2cos x -1 )dx (ðH TCKT 1998) ln ( x +1 ) g) I = ∫ dx (ðH Cñoàn 2000) h) I = x 10 ∫ xlg xdx (ðH Y Dược 2001) π    2  ∫ i) I = e sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln xdx (ðH KTế HDương 2002) e x +1 lnxdx (ðHCð Dự bị 2-2003); l) I = ∫ x e2x + x +1 dx (ðHCð D.bị 2003) x -1 ( k) I = ∫ ) m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð Dự bị 2-2003); n) I = ∫ ( x + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003) III Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIO fx570-MS Trong số trường hợp số tích phân phức tạp ñã giải ñược kết chưa ñánh giá ñược ñộ xác kết ñúng hay sai, ñó ta sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS ñể kiểm tra kết Ví dụ với ñề thi π sin2x +sinx dx ta sử dụng máy tính sau: 1+3cosx Khối A năm 2005 I = ∫ + Với kết qủa giải tay 34 ta chuyển sang số thập phân ≈ 1,259259… 27 + ðối với tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế ñộ Rad + Quy trình bấm máy CASIO fx-570MS sau: ( ∫ dx ( sin ( ÷ ALPHA X ) ) , X , ALPHA ( SHIFT π ) X + + cos ÷ ) sin ALPHA = Và kết qủa máy tính 1,2593 So với kết gần ñúng ñồng nghĩa với ñáp số giải tay ñã ñúng Trang 29 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 7: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá trị bằng: A B C -2 D C -1 D e Câu 2: ∫ x -1 dx có giá trị bằng: A B Câu 3: Chọn mệnh ñề ñúng: A π 3π ≤ dx ≤ ∫ π - 2sin x π B ≤ dx ≤ ∫ π - 2sin x π 3π C ≤ 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π D ≤ 4 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π e Câu 4: lnx dx có giá trị bằng: x ∫ A 1 B C -1 D e C 201 D C e D - e C D Câu 5: ∫ (x + ) dx có giá trị bằng: A π 211 B 211 201 Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá trị bằng: A e - B π Câu 7: ∫ + 3cosx sinx dx có giá trị bằng: A Câu 8: ∫x Câu 9: ∫ π (2x -1 )dx B ∫ x + x +1 A 3ln2 π C π D π 3 có giá trị bằng: x - x -1 A ln ( 4x + )dx Câu 10: dx có giá trị bằng: + x +1 A B B ln C ln D ln có giá trị bằng: B 2ln3 C ln4 D ln6 Trang 30 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” dx Câu 11: ∫ có giá trị bằng: x + 2x + -1 A ln (2 + ) Câu 11: -3x +6x +1 ( 4x +6 )dx x - 2x +3 ∫ C ln ( + ) D ln ( - ) có giá trị bằng: π A Câu 12: B ln ( +5 ) dx ∫ GV: NGUYỄN DUY KHÔI B π C π 12 D π 15 có giá trị bằng: A 4ln (2 + ) B 6ln (2 + ) C 8ln (2 + ) D 10ln (2 + ) 2 ∫ Câu 13: x x +1 dx có giá trị bằng: 26 A Câu 14: ∫x B dx 28 C 32 D 34 có giá trị bằng: x -3 π A dx Câu 15: ∫ B C B ln2 dx ∫ cosx +1 π 12 D π 36 có giá trị bằng: x +1 A ln Câu 16: π C ln ( +1 ) D ln ( + ) C D C D C -ln2 D 1+ln2 có giá trị bằng: A π Câu 17: B dx ∫ sinx +1 có giá trị bằng: A B π Câu 18: dx ∫ sinx - 2cosx - có giá trị bằng: A -ln2 B ln2 π sinx -cosx  Câu 19: ∫   dx có giá trị bằng:  sinx +cosx  A 1+ π Câu 20: π B -1+ cosx ∫ 11 -7sinx -cos x dx π C - π D -1 - π có giá trị bằng: A - ln B - ln5 C ln D ln Trang 31 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π Câu 21: x +cosx ∫π - sin x dx có giá trị bằng: 2 A ln3 B ln3 C ln3 D ln3 C D π  Câu 22: ∫ ln   dx có giá trị bằng:  1+cosx  1+ sinx π A B 3π π Câu 23: sin4x ∫ sin x +cos x dx 4 có giá trị bằng: A -ln2 B -ln2 C -ln3 D -ln3 - Câu 24: Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa f(-x) + f(x) = cos7x 16 35 A B 32 35 C 24 35 ∫π f(x) dx - bằng: π có giá trị D 12 35 - Câu 25: Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa f(-x) + f(x) = cos4x.sin5x π ∫π f(x) dx - có giá trị bằng: A - B - C D C D C 14 D Câu 26: ∫ x - x dx có giá trị bằng: A B Câu 27: ∫x - 2x - x + dx có giá trị bằng: -1 A B 37 12 41 12 Câu 28: ∫x - 3x + dx có giá trị bằng: -3 A 59 B π Câu 29: ∫ - 4cos x - 4sinx dx A -2 - π π 59 C - 59 D - 59 π  π2 có giá trị bằng:  ∫ - 4cos x - 4sinx dx = ∫ 2sinx - dx 0  B - - π C + - π      D + + π Câu 30: ∫ 2cosx - dx có giá trị bằng: Trang 32 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” A - + ∫( x A + Câu 32: π C - + π D - - π - dx có giá trị bằng: -1 B - - ) Câu 31: π GV: NGUYỄN DUY KHÔI ln2 dx ∫ 1+ 1- x B + ln2 C 4+ ln2 D + ln2 có giá trị bằng: -1 A ln2 B 2ln2 C 3ln2 D 4ln2 C D C D 11 e +1 C e +1 D Câu 33: ∫ ( x - x - )dx có giá trị bằng: -1 A B Câu 34: ∫ ( - x - 1+ x )dx có giá trị bằng: A B Câu 35: ∫ xlnxdx có giá trị bằng: e +1 A e +1 B π Câu 36: ∫ xcosxdx có giá trị bằng: A π +2 B π -2 C π +1 D π -1 Câu 37: ∫ xe xdx có giá trị bằng: A B C D   π2 C  e +1  5    π2 D  e +1  5  π Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá trị bằng:   π2 A -  e +1  5    π2 B -  e +1  5  π Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá trị bằng: A π (e + ) B π (e - ) C eπ +1 ) ( D eπ - ) ( C 3e -5 D -3e 2 Câu 40: ∫ e 2x (x - ) dx có giá trị bằng: A -3e B 3e -5 ex Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá trị bằng: Trang 33 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 1 1 A ( eπ +1 ) B − ( eπ +1 ) C ( eπ - ) D (-eπ +1 ) 2 2 e Câu 42: ∫ sin (lnx ) dx có giá trị bằng: A e Câu 43: ∫ e x (sin1- cos1 )e+1 B (sin1- cos1 )e -1 2 π e (1+ x ) A D (cos1-sin1)e+1 B x (1+ x ) C e D e2 π C e D dx có giá trị bằng: A 0 3π B eπ 1+ x e Câu 45: ∫ e x (cos1- sin1 )e+1 1+ sinx dx có giá trị bằng: 1+cosx A e Câu 44: ∫ e x C dx có giá trị bằng: e-2 B e+ 2 C e -1 D e+1 BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 8: (100 Bài ðề thi ðH) e + 3ln x ln x x 1.(A2004) T1 = ∫ dx 2.(B2004) T2= ∫ dx x + x − 1 ( π ) 3.(D2004) T3 = ∫ ln x2 − x dx 2 sin x + sin x 4.(A2005) T4 = ∫ dx + 3cos x sin x.cos x 5.(B2005) T5 = ∫ dx + x cos 6.(D2005) ∫  esin x + cos x  cos xdx  0 T7 = ∫ sin x tan xdx x4 − x +1 T9 = ∫ dx x +4 T8 = ∫ ecos x sin xdx x+2 10 T10 = ∫ dx x +1 11 T11 = ∫ (tan x + esin x cos x)dx 13 T13 = ∫ x2 − x + m dx a Tính T13 với m = b Tính T13 theo m với m < -3 15.(CðSP Bắc Ninh 2004) e 12 T12 = ∫ x2 ln xdx π π π π T15 = ∫ tan x π cos x + cos2 x dx π π x5 + x3 14.(CðSPA04) T14 = ∫ dx x2 + 16 (CðSP Bình Phước 2004) π x sin x T16 = ∫ dx + cos x Trang 34 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 17 (CðSP Kon Tum 2004) dx T17 = ∫ x 01+ e 19 (CðSP Hà Nam A2004) 18 (CðSP Hà Nam A2004) 1+ x T18 = ∫ dx x 20 (Cð GTVT 2004) T19 = ∫ x tan xdx 21 (Cð KTKT I A2004) x4 dx T21 = ∫ x +1 T20 = ∫ ( x + − x − )dx −3 22 (Cð A2004) dx T22 = ∫ x2 + x + 23 (Cð KTKH ðà Nẵng 2004) T23 = ∫ + x2 x2dx 25 (Cð XD số 3- 2005) x −3 dx T25 = ∫ x + + x + −1 27 (Cð KTKT I - 2005) 24 (Cð 2005) T24 = ∫ x3 x2 + 3.dx 26 (Cð GTVT 2005) T26 = ∫ x5 − x2 dx 28 (Cð TCKT IV - 2005) T27 = ∫ e3x sin5 xdx 29 (Cð Truyền hình A2005) T28 = ∫ x2 + 1.x5dx 30 (Cð SP TP HCM 2005) − 2sin x T29 = ∫ dx + sin x 31 (Cð KTKT Cần Thơ A2005) dx T30 = ∫ −1 x + x + 32 (Cð Sp Vĩnh Long 2005) x +1 T32 = ∫ dx 3x + 34 (Cð SP Sóc Trăng A2005) π π π e ln x T31 = ∫ dx 1x 33 (Cð SP Bến Tre 2005) π cos3x T33 = ∫ dx sin x + 35 (Cð SP Sóc Trăng 2005) π x.sin x T35 = ∫ dx sin x.cos2 x 37 (Cð Công Nghiệp Hà Nội 2005) π2 T37 = ∫ x cos x.dx π sin xdx T34 = ∫ sin x + 2cos x.cos2 x 36.(Cð Cộng ñồng Vĩnh Long A05) e T36 = ∫ x ln xdx 38 (Cð SP Hà Nam 2005) x3 + x + x + T38 = ∫ dx x + Trang 35 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 39 (Cð KT TC 2005) xdx T39 = ∫ ( x + 3)3 41 (Cð SP Hà Nội 2005) π sin 2004 x T41 = ∫ dx sin 2004 x + cos2004 x 43 (Cð KTKH ðà Nẵng 2005) π GV: NGUYỄN DUY KHÔI 40 (Cð SP Vĩnh Phúc 2005) e dx T40 = ∫ x − ln x 42 (Cð SP Kon Tum 2005) π 4sin x T42 = ∫ dx + cos x 44 (Cð SP Quảng Nam 2005) dx T43 = ∫ (sin x + cos x ) cos x T44 = ∫ x(e x + x − 1)dx 45 (Cð Y tế Thanh Hoá 2005) ln2 T45 = ∫ x5e x dx 46 (Cð SP Quảng Bình 2005) x2 + x T46 = ∫ dx ( x + 1)2 47 (Cð SP Quảng Ngãi 2005) 48 π dx T48 = ∫ x + x3 x T47 = ∫ (1 + tan x tan )sin xdx 49 51 ln8 T49 = ∫ e x + 1.e2 x dx ln3 T51 = ∫ x − xdx π T53 = ∫ (2 x − 1)cos xdx ln3 e x dx 55 (2002) T55 = ∫ (e x + 1)3 53 50 52 π2 ∫ x sin xdx e3 ln x T52 = ∫ dx x ln x + T50 = x3dx 54 (2002) T54 = ∫ x2 + 56.(2002)T56 = ∫ x(e2 x + x + 1)dx −1 π 57 58 (2002) T58 = x T59 = ∫ dx + cos x 60 T60 = ∫ x3 − x dx 62 ln5 e2 x dx T62 = ∫ ln2 e x − π 59 dx ∫ x x2 + 26 T57 = ∫ − cos3 x sin x cos5 xdx π − 2sin x 61 (B2003) T61 = ∫ dx + sin x Trang 36 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”   T63 = ∫  cos3 x + dx x +1 − x   65 (D2003) T65 = ∫ x − x dx 67 (Cð SP Vĩnh Phúc A2002) 63 π T67 = ∫ sin x sin x sin xdx π GV: NGUYỄN DUY KHÔI T64 = ∫ x3e x dx x2 66 T66 = ∫ dx ( x + 1) x + 68 (Cð SP Hà Tĩnh A, B2002) 64 π T68 = ∫ cos x(sin x + cos x)dx 69 (Cð SP Hà Tĩnh AB2002) T69 = ∫ cos5 xdx 70 (Cð SP KT I 2002) 1 Cho In = ∫ x (1 − x )n dx Jn = ∫ x(1 − x )n dx Với n nguyên dương 0 a Tính Jn chứng minh bất ñẳng thức In ≤ 2(n + 1) I b Tính In+1 theo In tìm lim n+1 n→∞ I n 71 (Cð SP Quảng Ngãi 2002) π ( 72 (Cð SP Nha Trang 2002) ) T71 = ∫ cos x − sin x dx 73 (Cð KTKT Hải Dương A2002) e T73 = ∫ x2 ln xdx 75 (Cð KTKT Thái Bình 2002) x7 T72 = ∫ dx 21 + x − x 74 (Cð KT Hà Tây 2002) e ln x T74 = ∫ dx x3 76 (Cð SP KT Vinh 2002) π 3x3 4cos x − 3sin x + T75 = ∫ dx T76 = ∫ dx 4sin x + 3cos x + x + x + 0 77.(Cð A, D2003) 78 (Cð M, T 2003) x +1 T77 = ∫ x.3 − xdx T78 = ∫ dx 3x + 79 (Cð GTVT 2003) 80.(Cð GTVT2003) π x T79 = ∫ x2 + x e− x dx T80 = ∫ sin dx 0 81 (Cð GTVT II 2003) Cho hai hàm số f(x), g(x) xác ñịnh, liên tục nhận ( ) 1  giá trị ñoạn [0 ; 1] Chứng minh:  ∫ f ( x) g ( x)dx  ≤ ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx 0  Trang 37 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI dx 2x + 1 83 (Cð TCKT IV 2003) Cho số nguyên dương m, n với m số lẻ Tính theo m, n 82 (Cð GTVT II 2003, tham khảo) T82 = ∫x π tích phân: T83 = ∫ sin n x.cos m xdx 84 (Cð TCKT IV tham khảo 2003) a Cho f(x) hàm liên tục ñoạn [0 ; 1] CMR: b Bằng cách ñặt x = π π 2 π 2 0 ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx − t , tính tích phân: π 2003 sin xdx 2003 sin x + cos 2003 x I=∫ π cos 2003 xdx sin 2003 x + cos 2003 x J=∫ 85 (Cð Khí tượng thuỷ văn A2003) T85 = ∫x + x dx 86 (Cð Nông - Lâm 2003) x3 T86 = ∫ dx x + x + 87 (Cð SP Phú Thọ A2003) ln(1 + x) T87 = ∫ dx + x 88 (Cð SP KonTum A2003) Bằng cách ñặt x = π π − t , tích tích phân: sin x ∫ sin x + cos x dx 89 (Cð SP Tây Ninh 2003) T88 = eπ a Tính tích phân: T89= ∫ cos(ln x)dx t b Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số F(t) ñịnh bởi: F(t) = x cos x 2dx ∫ 90 (Cð SP Trà Vinh D2003) π a T90 = ∫ x sin xdx π b T90 = ∫ sin x cos3 xdx Trang 38 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI ( 91.(Cð Cộng ñồng Tiền Giang 2003) Chứng minh nếu: y = ln x + x + ñạo hàm: y ' = ) x2 + Sử dụng kết này, tính tích phân: T91 = ∫ x + 4dx 92 (ðH Quốc Gia Hà Nội & HV Ngân Hàng A2001- 2002) Tìm họ nguyên hàm: x2 − T92 = ∫ dx x + x + x − 3x + ( )( ) 93 (ðH Quốc Gia Hà Nội & HV Ngân Hàng D2001 - 2002) Tìm họ nguyên hàm: π T93 = ∫ tan( x + )cot( x + π )dx 94 (ðH SP Hà Nội B, M, T ; HV CTQG HCM; PV BC & TT 01 - 02) T94 = ∫ x3 − x dx 95 (ðH SP Hà Nội II A2001- 2002) Chứng minh bất ñẳng thức: x sin x ∫ + x sin x dx ≤ − ln 96.(ðHSP Vinh D, M, T2001-2002) π T96 = ∫ − sin xdx 97 (ðH SP Vinh A, B 2001- 2002) π a T97 = ∫ π 1+ cos x (1 + sin x ) ln + cos x b T97 = dx ∫π − ( 98 (ðH Ngoại Ngữ 2001- 2002) T98 = ∫ − x − x ) x sin x dx cos x dx 99 (ðH BK Hà Nội A2001- 2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường có phương trình: y = − − x x + y = 100 (ðH GTVT 2001 - 2002) π T100 = ∫ 5cos x − 4sin x ( cos x + sin x ) dx Trang 39 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên ñề trên, nêu số tập minh họa tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, phương pháp tích phân phần Các tập ñề nghị ñề thi Tốt nghiệp THPT ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng năm trước ñể em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân, bên cạnh ñó hướng dẫn học sinh kiểm tra kết giải có kết ñúng hay sai máy tính cầm tay CASIO fx-570MS phần cuối chuyên ñề số câu hỏi trắc nghiệm tích phân ðể phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 ñể em ñạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi Tuyển sinh ðại học giúp cho em có tảng năm học ðại cương ðại học Tuy nhiên với kinh nghiệm hạn chế nên dù có nhiều cố gắng trình bày chuyên ñề không tránh khỏi thiếu sót, mong ñược góp ý chân tình quý Thầy Cô Hội ñồng môn Toán Sở Giáo dục ðào tạo tỉnh ðồng Nai Một lần xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho cảm ơn quý thầy cô tổ Toán trường Nam Hà, ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho hoàn thành chuyên ñề Tôi xin chân thành cám ơn./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 Sách giáo viên giải tích 12 Tuyển tập chuyên ñề kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương ðạo hàm tích phân - Võ ðại Mau & Võ ðại Hoài ðức Chuyên ñề tích phân ñại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa & Nguyễn Vũ Thanh Các dạng toán giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Khoa Trắc nghiệm khách quan giải tích tích phân - ðoàn Vương Nguyên Trang 40 [...]... 3x 2sinx dx ta biến ñổi như trên ñể học sinh dễ nhận dạng tích 2 0 0 phân từng phần dạng 1 Nhận xét: ðến ñây tích phân tiếp theo có dạng 1 của tích phân từng phần Do ña thức là bậc hai nên ñể tính I, học sinh phải tính tích phân từng phần 2 lần: u = 3x 2 du = 6xdx ⇒ ðặt  v = sinx dv = cosx.dx Trang 27 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π 2 ⇒ I = 3x 2sinx 2 − ∫ 6xsinx dx = 0 0 GV: NGUYỄN... 2003) 0 II.5 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a;b] thì: hay hay b ∫ u(x).v'(x)dx = [u(x).v(x) ] b a a b ∫ u(x).dv = [u(x).v(x) ] b a a b b b a a a b − ∫ v(x).u'(x).dx a b − ∫ v(x).du a ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du Trang 23 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI a) Phương pháp tính tích phân từng phần:... dạng 1 của tích phân từng phần ∫ P ( x ) enxdx do ñó hướng học sinh ñặt u = P(x) nhưng do P(x) là tam thức bậc hai nên ta tính tích phân từng phần hai lần Tù ñó rút ra nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) là ña thức bậc k thì tính tích phân từng phần k lần π 4 x 2 4 I = ∫ 4e cos xdx 0 Nhận xét: Dạng 3 của tích phân từng phần là tích phân có dạng ∫ e sin(nx)dx x nhưng biểu thức trong dấu tích phân của... (ðH BKHN 1995) II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2: (Dạng nghịch) b Nếu tích phân có dạng ∫ f u(x)  u'(x)dx a ðặt: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx ðổi cận: x = b ⇒ u2 = u(b) x = a ⇒ u1 = u(a) u2 ⇒ I = ∫ f (u )du u1 a) Một số dạng cơ bản thường gặp khi ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch) Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích phân bằng tích phân ñổi biến số loại 1... dùng phương pháp ñổi biến số dang 1: 1 a * Hàm số trong dấu tích phân chứa a 2 - b2 x 2 hay ta thường ñặt x = sint b a 2 -b 2 x 2 1 a * Hàm số trong dấu tích phân chứa b2 x 2 - a 2 hay ta thường ñặt x = bsint b2 x 2 - a 2 1 a * Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 ta thường ñặt x = tant 2 2 b a +b x a * Hàm số trong dấu tích phân chứa x(a - bx) ta thường ñặt x = sin 2t b BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân. .. nghiệm nên ta không phân tích biểu thức trong dấu tích phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3  π π 2 ðặt x = a.tant ⇒ dx = a (1+ tan t )dt , t ∈  - ;  c) Khi gặp dạng ∫ αa 2  2 2 ðổi cận:  π π x = β ⇒ t = β’ ∈  - ;   2 2  π π x = α ⇒ t = α’ ∈  - ;   2 2 Trang 12 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo: 1+ 2 VD8: Tính tích phân sau: I = ∫... a xcos(nx)dx hay a xcos(nx)dx thì phải sử dụng tích phân từng phần ñến hai lần VD 11: Tính các tích phân sau: π 3 1 I = ∫(3x -1)cos3xdx 0  ðặt: du = 3dx u = 3x -1  ⇒  1 v = sin3x dv = cos3xdx  3 π π π 3 3 2 ⇒ I = 1 (3x -1)sin3x - ∫ sin3xdx = 0+ 1 cos3x = 3 3 3 0 0 0 3 1 2 I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx 0 Trang 24 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI  dx u = ln(x +1) du... 2 Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tốt nghiệp) Trang 21 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 2 2 a) I = ∫ sin 5 x.dx (TNTHPT Năm 93-94) x2 b) I = ∫ 0 dx (TNTHPT Năm 95-96) x3 + 2 1 π 2 ∫ c) I = 2 ∫ 2 x + 2.x dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I = cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99) 2 3 0 1 π π 6 2 e) I = ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01) f) I = ∫(x+sin2x)cosx.dx (TNTHPT 04-05) 0 0 3 Tính. .. )dx Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau : π π 4 sin 4x 1) I = ∫ dx 4 4 sin x + cos x 0 2 2) I = ∫ ln(1+ tanx)dx 0 Giải π 2 VT = ∫ f (sinx )dx 0 ðổi cận x = 0 ⇒ t = ðặt x = π 2 ;x= π 2 π 2 - t ⇒ dx = -dt ⇒t =0 Trang 14 CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI π 2  π  ⇒ VT = − ∫ f  sin  − t  dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm) 2  π  0 0 2 Áp dụng phương pháp... xét: Qua ví dụ trên, ñể tính tích phân ñôi khi học sinh phải áp dụng cả hai phương pháp ñổi biến số loại 2 và tích phân từng phần Ví dụ tương tự: (phối hợp hai phương pháp) π2 π2 4 a) I = ∫ sin x dx b) I = ∫ x.ln(1+ x 2 )dx 0 0 π π cosx sin2x.dx 0 ∫ c) I = 0 3 2 d) I = ∫ e e4 1 cos lnx dx x 4 ln tanx dx e) I = ∫ 2 π cos x f) I = ∫ e x dx 0 4 BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 6: 1 Tính các tích phân sau: a) I = π π ln2 ... II Tích phân: II.1 ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh II.2 Các tính chất tích phân II.3 Tính tích phân phương pháp phân tích Bài tập ñề nghị Tính tích phân phương pháp ñổi biến số 10 II.4 II.4.1 Phương. .. 2:(Dạng nghịch) Trong số trường hợp tính tích phân phương pháp phân tích hay tính tích phân tích phân ñổi biến số loại không ñược ta thấy biểu thức dấu tích phân có chứa: Lũy thừa ta thử ñặt u... )2 Trang CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI II.4 TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1: b Ta có ý: Tích phân ∫ f(x)dx phụ thuộc