skkn các PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Chun đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN PHẦN 2: TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A Phương pháp: Phương pháp phân tích việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng hạng tử mà ngun hàm hạng tử nhận từ bảng ngun hàm phép biển đổi đơn giản biết, sau áp dụng định nghĩa B Ví dụ: dx I = ò 2x e - ex VD1: Tính tích phân Giải : Biến đổi I dạng = ò( e x - dx I=ò x x = e (e + 1) [(e x + 1) - e x ]dx ò0 ex (ex + 1) )dx e + x = ex + - e x ò0 ( ex - ex + )dx = ò (e- x - + ex )dx ex + - x x = (- e - x + ln e + ) = VD2: Tính tích phân sau: TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH x − 2x I=∫ dx; x a/ b/ x J = ∫ (3x − e )dx Giải: 2 2 1   I = ∫  − ÷dx =  ln | x | + ÷ = (ln + 1) − (ln1 + 2) = ln − x x   1 x a/ Ta có: x 3  J =  x − 4e ÷ = (24 − 4e) − (0 − 4) = 28 − 4e 2 0 b/ Ta có: VD3: Tính tích phân: x5 I = ∫ dx x +1 Giải: 2 Từ x = x (x + 1) − x(x + 1) + x 1 Ta được: x  1  1  I = ∫  x3 − x + ÷dx =  x − x + ln(x + 1)] = ln − 2 x +1 4 0 0 π/ VD4: Tính ∫ sin x dx cos x + sin x Giải: sin x  cos x − sin x  (A + B)cos x + (A − B)sin x = A + B ÷= cos x + sin x  cos x + sin x  Ta có: cos x + sin x A + B = ⇔ A=B=−  A −B =1 Đồng đẳng thức, ta được:  TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Vậy: π/ ∫ π/ sin x  cos x − sin x    dx = ∫  − − dx = − x − ln(cos x + sin x)   cos x + sin x 2(cos x + sin x     π/ π =− C.Bài tập: Tính: π 1) tg x − ∫ π sin x π dx 2) π ∫ 3) π ∫ ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx tg2x dx 4) ∫ | x-2 | dx 3π 4 5) ∫ ∫ x − x + dx 6) ∫ −4 | x2-4 | dx 7) π cos x + dx II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1: Tính I = ∫ f ( x)dx a với giả thiết hàm số f(x) liên tục [a;b] A Phương pháp: +) Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x) dx (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục tập xđ t) x=b t = u (b ) ⇒ t = u (a ) +)Đổi cận : x = a +) Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b u (b ) a u(a) I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt CHÚ Ý: (tiếp tục tính tích phân mới) , ln x) +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( x đặt t = lnx +, Khi f(x) có chứa n u(x) thường đặt t = u(x) +, Khi f(x) có mẫu số thường đặt t = mẫu TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Nhìn chung ta phải nắm vững cơng thức vận dụng hợp lý B Ví dụ: e2 I= VD1 Tính tích phân e Giải Đặt dx ò x ln x dx x t = ln x Þ dt = x = e Þ t = 1, x = e2 Þ t = 2 Þ I= ò dt = ln t t = ln Vậy I = ln p cos x dx cos x) ò (sin x + I= VD2: Tính tích phân Hướng dẫn: p I= cos x dx = cos x)3 ò (sin x + ĐS: I= p ò (t an x + 1) dx cos2 x Đặt t = t an x + VD3:Tính tích phân: dx I=ò (1 + x) 2x + Hướng dẫn: Đặt t = 2x + ĐS: I = ln I= VD4 Tính tích phân ò 3- x dx 1+ x Hướng dẫn: TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH 3- x t dt Þ L 8ò 1+ x (t + 1)2 t = Đặt ĐS: p I= 3+ ; đặt t = t an u L Chú ý: I= Phân tích 3- x dx 1+ x ò VD5:: Tính tích phân : I= , đặt t = + x tính nhanh x3dx ∫ + x2 Giải: 3t dt 3t dt = 2xdx ⇒ dx = 3 2x Đặt t = x + ⇒ t = x + 1, đó: x= ⇒ t =  x= ⇒ t = Đổi cận: x3dx Ta có: + x2 x3 3t 2dt = 3t(t − 1)dt = 3(t − t)dt 2xt =  t5 t2  141 I = 3∫ (t − t)dt =  − ÷ = 10   1 Khi đó: C.Bài tập: Tính tích phân sau: π 1) ∫ cos x sin xdx π 5) ∫ sin 2x(1 + sin π ; 2) ∫ cos xdx π x)3dx ; 6) ∫ cos x π ; 3) sin 4x ∫0 + cos2 xdx e dx ; 7) ∫ 1 ; + ln x dx x ; ∫x − x dx 4) π 8) ∫ cos xdx TRẦN THỊ NHUNG e TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH 1 + ln x dx x 9) ; ∫ ∫ 10) ∫ x (1 − x ) dx 11) x dx ; 12) tg x dx cos 2x π cos x + sin x ∫0 + sin x dx 13) ; π + sin x π ∫ 20) cos x + sin x 17) ln(tgx) dx ∫ π sin x dx −x 15) ln e + 2e − ln dx ∫ ; x π ; 18) ∫ (1 − tg x)dx ; 19) dx sin x + sin x + cos x x sin x π sin x dx ∫ ( + sin x ) 16) ; sin x − cos x ∫ 14) π ∫ ; cos x ∫ − 5sin x + sin π π π ∫ 23) 1 + x − π π sin x cos x dx ∫ 21) + cos x ; dx ; + ln x ln x dx ∫ x 24) ; e dx ; 22) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx ; π − sin x dx ∫ + sin x 25) 2) DẠNG 2: b A Phương pháp: I = ∫ f ( x)dx a với giả thiết hàm số f(x) liên tục [a;b] Cách thực hiện: ' +) Đặt x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ (t )dt ( φ (t ) hàm số lựa chọn thích hợp: ảnh φ (t ) nằm tập xác định f φ ' (t ) liên tục.) x=b t=β ⇒ t =α +) Đổi cận : x = a +) Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: * Nếu f(x) có chứa: é- pp ù ê ; ú (a x ) x = a sin t Ỵ ë2 ú û, x = a cos t với t Ỵ [ 0; p] +, đặt với t ê 2 n - pp ÷ ỉ tỴ ç ; ç è 2÷ ø, x = a cot t với t Ỵ ( 0; p) 2 n +, (a + x ) đặt x = a t an t với +, ( x2 - a ) n đặt x= a a x= sin t cos t +, a+ x a- x ; a - x a + x đặt x = a cos 2t +, (x - a)(b - x) đặt x=a+(b-a)sin2t B Ví dụ I= VD1 :Tính tích phân ò Giải dx - x2 p pù x = sin t, t Ỵ é - ; Þ dx = cos t dt ê ë 2ú û Đặt x = Þ t = 0, x = p Þ I= cos t dt = - sin t ò p = p Þ t = ò dt = t p = Vậy I= p cos t ò cos t dt p p - 0= 6 p I= VD2: Tính tích phân ò - x dx TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Hướng dẫn: Đặt x = sin t ĐS: I = p I= VD3:Tính tích phân dx x2 ò1 + Hướng dẫn: ỉ p pư x = t an t, t Ỵ ç - ; ÷ Þ dx = (t an x + 1)dt ÷ ç ÷ ç è ø 2 Đặt x = Þ t = 0, x = Þ t = p Þ I= t an t + dt = t an t ò1 + Vậy 3- I= VD4:Tính tích phân ò dx x + 2x + I= p p p ò dt = p Hướng dẫn: 3- I= ò dx = x + 2x + 3- dx ò + (x + 1) Đặt x + = t an t p I= 12 ĐS: VD5: Tính tích phân : I=∫ 2 x2 1− x dx Giải: TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Đặt x = sint, đó: dx = costdt x2 dx − x2 Lại có: = x= ⇒ t =  π  x= ⇒ t = với Đổi cận: sin t.cos tdt sin t.cos tdt sin t cos tdt = = = (1 − cos2t)dt cos t cos t − sin2 t π/ Khi đó: π/ 1  I = ∫ (1 − cos2t)dt =  t − sin 2t ÷ 2 0 VD6: Tính tích phân : I= 2/ ∫ = π − dx x x2 − Giải: Đặt cos t , : dx = − dt sin t sin t x= π  x= ⇒ t =   π x= ⇒t= 3  Đổi cận: cos tdt π / π π/ sin t = ∫ dt = t π / = ∫ π/ π/ sin t −1 sin t Khi đó: π/ − VD7: Tính tích phân : I=∫ a a+x dx, (a > 0) a−x Giải: TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Đặt x = a.cos2t, đó: dx = −2a.sin 2tdt π  x= -a ⇒ t =  x=0 ⇒ t = π  Đổi cận: a+x a + a.cos2t dx = (−2a.sin 2tdt) = cot t (−2a.sin 2tdt) a−x a − a.cos2t Lại có: = −4a.cos2 t.dt = −2a(1 + cos2t)dt π/ π/ Do đó:    π I = −2a ∫ (1 + cos2t)dt = −2a  t − sin 2t ÷ = a  − ÷   π/  4 π/ VD8: Tính tích phân : I= π/ cosdx π / sin x − 5sin x + ∫ Giải: Đặt x = sint, đó: dt = cosxdx π  x= ⇒ t =  x= π ⇒ t =  Đổi cận: cosdx dt dt = = Ta có: sin x − 5sin x + t − 5t + (t − 2)(t − 3) B  [(A + B)t − 2A − 3B]dt  A = + ÷dt = (t − 2)(t − 3)  t −3 t −2 A + B = A = ⇔  −2A − 3B =  B = −1 Từ đó:  10 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) I= Ví dụ Tính tích phân ò( x - x - ) dx - Giải Cách I= ò( x - x - ) dx = - òx - x2 =- 0 + - x2 òx2 1)dx - - dx - 1 ò xdx + ò xdx + ò (x - =- dx - - ò (x - 1)dx 1 ỉx ỉx ÷ ç + ç x - x÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ =0 è2 ø- è ø Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 0 – – I= + – + + ò( - x + x - ) dx + - ò( x + x - ) dx + =- x - + ( x2 - x ) ò( x - x + ) dx 1 + x 12 = Vậy I = Dạng b I= Để tính tích phân b ò max { f(x), a g(x) } dx J = ò { f(x), g(x) } dx a , ta thực bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) > max { f(x), g(x) } = f(x) { f(x), g(x) } = g(x) + Nếu h(x) < max { f(x), g(x) } = g(x) { f(x), g(x) } = f(x) I= Ví dụ Tính tích phân ò max { x + 1, 4x - } dx 34 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Giải ( ) Đặt h(x) = ( x + ) - 4x - = x - 4x + Bảng xét dấu x h(x) + I= – + ò( x + ) dx + ò ( 4x - ) dx + Vậy ò( x + ) dx = 80 80 I= I= Ví dụ Tính tích phân ò { , x - x } dx Giải x Đặt h(x) = - ( - x ) = + x - x Bảng xét dấu x h(x) I= – ò 3x dx + ò + x ( - x ) dx = Vậy I= ln ỉ x2 ÷ + ç 4x = + ÷ ç ÷ è ø ln + ln III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VƠ TỈ 1.Tích phân dạng: ∫ dx ax + bx + c (với a ≠ 0) Cách làm: Biến đổi ax + bx + c dạng ,sau thực phép đổi biến tương ứng ta đưa việc tính tích phân hàm hữu tỉ a) a + t 2 2 b) a − t ỉ p pư Ỵ ç - ; ÷ ÷ ç ÷ ç ( 0;p) ) è 2ø Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u (hoặc u ∈ é p pù Ỵ ê- ; ú ê 2û ú(hoặc u Ỵ [ 0;p] Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u ë 35 TRẦN THỊ NHUNG c) t − a 2 ìï pü a a Ỵ í ïý Ỵ 0; p [ ] ï ï Cosu Sinu ï ï ỵ þ Đặt t = (hoặc t = ) với u (hoặc u Chú ý cơng thức: dx ∫ TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH x2 + a = ln x + x + a +C é p pù ê- ; ú ê ë 2ú û- { 0} ) (C số tuỳ ý) Chứng minh: Đặt t = x + Từ ta có : dt = t  ⇒ dt = 1 + x2 + a  dx x + a Vậy : Với hàm hợp: ∫ du Ví dụ 1:Tính I = ∫ I = ∫ 1 dx x + a =∫ t.dx x2 + a dt = ln t + C = ln x + x + a + C t (ĐPCM) = ln u + u + a + C u +a ∫   dx x2 + a  = x (*)Trong u = u(x) dx 2x − x dx − ( x − 1) x =1 ⇒ t = p ⇒ x=2 t= Đặt x-1 = Sint Khi : dx = Costdt Π I = ∫ Π cos tdt − sin t = ∫ dt = t Ví dụ 2:Tính J = ∫ Π p = dx 4x + 4x − Thơng thường với tích phân dạng (a) (c) ta sử dụng cơng thức (*) lời giải dễ dàng ngắn gọn 36 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH áp dụng cơng thức (*) ta có: J = dx ∫ 4x + 4x − = dx ∫ (2 x + 1) − 3 d (2 x + 1)  + 45   ln ln x + + x + x − ∫ 2 (2 x + 1) −  + 21  2 = = = 1+ 2 ∫ 4x − 4x + Ví dụ 3: Tính K = 1+ 2 dx ∫ = dx (2 x − 1) + Cách 1: Áp dụng cơng thức (*) ta có: 1+ 2 dx ∫ K= ( x − 1) + 2 ln x + + x − x + = 1+ 2 = ln + Cách 2: Đặt 2x - = tan t Chú ý: Nếu mẫu thức khai ta giải tốn cách đơn giản sau: dx ∫ Ví dụ 4:Tính M = −2 M= 4x − 4x + dx ∫ 2x − −2 = dx d (1 − x) ∫−21 − x = − −∫2 − x = − ln − x = 2.Tích phân dạng: ∫ −2 ln =-2 ( Ax + B) dx ax + bx + c Với a.A ≠ Cách làm: Tách tích phân cho thành hai tích phân có chung mẫu ax + bx + c ,một tích phân có tử đạo hàm tam thức bậc hai,một tích phân có tử số ( Ax + B )dx 2ax + b M dx ∫ ax + bx + c ∫ ax + bx + c dx + ∫ ax + bx + c Tức tách: = 37 TRẦN THỊ NHUNG Ví dụ 1:Tính Ta có: TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH I= I= ∫ (2 x + 2) + x + 2x − dx   (2 x + 2)dx 6dx +∫ ∫  2  x + 2x − x + x − = = −1 x + 2x + ( x + 2)dx ∫ −1 =2 +C ( x + 2)dx ∫ Ta có: J = x + 2x − x + x − + ln x + + x + x − = Ví dụ 2:Tính J = ( x + 4)dx ∫ ∫ −1 x + 2x + = (2 x + 2)dx ∫ (2 x + 2) + −1 ∫ x + 2x + dx dx x + x + + −1 x + 2x + 2  x + x + + ln x + + x + x +   −1 = = 3.Tích phân dạng: ∫ (αx + β ) Cách làm: Đặt Ví dụ 1:Tính I = dx αx + β = ∫ ( x + 1) − + ln(1 + 2) ax + bx + c (Với α a ≠ ) t chuyển tích phân cần tính tích phân dạng (a) dx x + 2x + Đặt x + = t Khi x = 0⇒ t = 1 x = ⇒t = dt Và dx = - t Ta có: I = ∫ dt t2 +1 ln t + t + = 1 ln = 2(1 + 2) 1+ 38 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH dx ∫ ( x − 1) Ví dụ 2:Tính J = x2 +1 t +1 Đặt x-1 = t ⇔ x = t Khi x = t=1 x = t = dt dx = - t ∫ Tích phân cần tính là: I = = ∫ −  t + 1   +1 t  t  =  1 dt +   2  1 t +  +  2 = ln Ví dụ 3:Tính K = ∫ (1 + e ∫ (1 + t ) Ta có: K = Đặt ln t + 1 ∫ 2 dt t +t + + t + t + 12 2  + 10   ln  +  1 = e x dx x ) − e x + e2x Đặt t = ex ⇒ dt = exdx.Khi : dt t2 x=0 ⇒ t=1 x = ln2 ⇒ t = dt 1− t + t2 dt du = − (1 + t ) ⇒ u = + t ta có: dt = − du u2 t= −1 u 39 TRẦN THỊ NHUNG 1  du −  2  ∫ 3 Vậy K = TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH 1  u −  +  12  = Π Π ∫ Π Ta có : N = 3 ln = Sin x + Π Π cot gxdx Sin x + 2 =N= ∫t Đặt t = Sin x : N = cos xdx ∫ Sinx Π Sin x + dt t2 + ln u + u + = 4.Tích phân dạng: cot gxdx ∫ Ví dụ 4:Tính N = 1  ln u − +  u −  + 2  12  Lại đặt u = t N = du u2 + ∫ 2=  2 +3   ln  +  = f ( x)dx ∫ ax + bx + c Với a ≠ bậc f(x) ≥ 2,f(x) đa thức Cách làm:Tách ∫ f ( x)dx ax + bx + c = g(x) ax + bx + c + λ∫ dx ax + bx + c Với g(x) đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x) Tìm hệ số g(x) số λ phương pháp hệ số bất định Ví dụ 1:Tính M = Tách : ( x + 1)dx ∫ x + 2x + ( x + 1)dx ∫ x + x + = ( Ax + B ) x + x + + λ∫ dx x + 2x + Lấy đạo hàm hai vế ta có: x2 +1 x + 2x + = λ ( Ax + B )( x + 1) A x + x + + x + 2x + + x + 2x + 2 40 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH A= Đồng hệ số ta có : ; B = − ;λ = 2 dx x−3 x + 2x + ∫ x + 2x + Vậy M = + x−3 x + x + ln x + + x + x + + C = + Ví dụ 2:Tính N = Ta có : ∫ ∫ x3 − x + x + 2x + x3 − x + x + 2x + dx dx 2 = ( Ax + Bx + C ) x + x + + λ∫ dx x + x + (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) quy đồng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D Đồng hệ số ta có: A= 3A = ⇔ 5A+2B =0 ( 4A+3B+C =-1 C= 2B +C+D =1 D= ) 2x − 5x + x + x + Vậy có: M = ( B= - + ∫ dx x + 2x + 2 ) 2x − 5x + x + x + ln x + + x + x + + C =6 + Ví dụ 3:Tính P = x( x − 1) ( x + 1) −1 x + 2x + ∫ dx Để áp dụng ví dụ ta làm sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu hai tích phân: 0 x( x − 1) ( x + 1) x3 − x dx ∫1 x + x + ∫1 x + x + dx − − P= = = 41 TRẦN THỊ NHUNG P= = TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH x3 − x + ∫ x + 2x + −1 ∫ dx - ( dx x + 2x + = N −1 ∫ −1 dx x + 2x + = ) x − x + x + x + + ln x + + x + x + ( ) −1 = − + ln + = 5.Tích phân dạng: ∫ dx n (ax + b) m (cx + d ) n −m với m, n ∈ N * , a.c ≠ m  ax + b  t=   cx + d   ta đưa tính tích phân hàm hữu tỉ Cách làm:Đặt n Ví dụ :Tính I = ∫ dx (3 x + 1) (5 x + 4) Ta thấy m = 3; n = đặt t =  3x +     5x +   3x +  ⇒ t2 =    5x +  7dx dx 2dt  3x +  ⇒ 2tdt = 3. ⇒ =  2 (5 x + 4) 21 t  x +  (5 x + 4) x=0⇒t = Khi x =1⇒ t = 27 1 Vậy ta có: I = ∫ ∫ dx ( x + 4) (3 x + 1) (5 x + 4) = 27 − t dt 21 ∫1 = dx − = 73 t  3x +     5x +  27 2dt ∫ 21t = t = 27 =7 42 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH ∫ 6.Tích phân dạng: ax + b dx cx + d Cách làm: Cách 1: Đặt Với ( a.c ≠ 0) ax + b cx + d t= Cách 2: Đặt t = cx + d Với cách đặt ta đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản 1+ x ∫0 − x dx Ví dụ :Tính J = Ta thực theo cách đặt 2: Đặt t = − x ⇒ dt = − dx 3− x dx ⇒ 3− x = −2dt 2 Khi x = −t + ⇒ + x = − t Vậy J = ∫ 1+ x dx 3− x = − ∫ − t dt Đặt t = Siny t= 3⇒ y= Khi Π t= 2⇒y= Π Π dt = 2.Cosydy Vậy : J = Π − ∫ − 4Sin y 2Cosydy Π = Π + Cos y ∫ 2Cos ydy = ∫ dy Π Π = 7.Tích phân dạng: = ∫ R[ x; n ( y + 2Sin2 y ) Π Π Π + 3−2 = ] u ; m u dx k Cách làm: Đặt t = u Với k BCNN m n 43 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Ví dụ1 :Tính I = 1− x +1 ∫1+ −1 x +1 dx 6 Đặt t = x + ⇒ t = x + 1(t ≥ 0) ⇒ 6t dt = dx I= ∫1+ −1 = 1− x +1  ∫  − 6t ∫ 6t dx x +1 = 1− t3 dt 1+ t2 + 6t + 6t − 6t + 6t + + Tích phân dễ dàng tính x +1 − Ví dụ2 :Tính J = ∫x + 2x + x + + 6t  − dt t + t +1 dx Đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx ∫x J= = x +1 − 2 + 2x + x + +  A ∫  t + + t dx 2(t − 2)tdt ∫1 t + t = = 2t − dt +1 ∫t Bt + C  dt − t + 1 Đồng hệ số ta có: A = −2; B = 2; C = −2 2 Vậy J = − ln t + + ∫t 2t − dt − t +1 =  1 dt −  d (t − t + 1) 2 2 ln + ∫ − ∫ 2 ln + ln t − t + + L t − t +1 1 t − t +1 = = Tính L cách đặt 8.Tích phân dạng: ∫ t− Π ln − = tgu 2 Ta có đáp số là: I = 3 x r (a + bx p ) q dx (p,q,r phân số) a)Nếu q ngun đặt x= ts với s BCNN mẫu số r p r +1 p s b)Nếu p ngun đặt a + bx = t với s mẫu phân số q 44 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH r +1 −p s c) Nếu p +q ngun đặt ax + b = t với s mẫu số phân số q Ví dụ1 :Tính I = dx ∫ x ( x − 1) Viết tích phân cần tính dạng sau: I = Vì q=-3 ngun nên đặt x= t4 ta có 4t dt tdt ∫ t (t − 1) ∫ (t − 1) I= = =  1  4∫  − −  dt t − 1 (t − 1) (t − 1)  = ∫ −3     x − + x ∫   dx x ( x − 1) =  dx − dx=4t3dt =   1 − + − ln t −  + C 2(t − 1) t −1  =  x dx ∫ 2 Ví dụ :Tính J = (a − x ) a − x Ta có: J = ∫x (a − x ) −3 ( a > 0) r +1 +1 = =3 dx p Vì ngun nên đặt a-x2 = t2 ⇒ x = ( a − t ) ⇒ −2 xdx = 2tdt ⇒ xdx = −tdt Vậy J = −∫ (a − t ) 2 t3 tdt t − 2at + a dt ∫ t3 =- a2 − t + 2at + +C t = Ví dụ :Tính N = ∫ ax − x dx Ta có: N = ∫ ax − x dx = ∫ x (a − x ) dx r +1 1 + q =1 r = ; p = 2; q = −2 p 3 Do ngun nên ta đặt ax − = t hay 45 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH a a 3at dt 2 − = t ⇔ x = ⇒ dx = − x2 t3 +1 (t + 1) Vậy N = a − 1dx 2 ∫ x  3at  3a t dt t − dt −   ∫ 2 ∫  (t + 1)  = = (t + 1) = at a dt a   − ∫ td   ∫  t +  = 2(t + 1) t + (Tích phân dễ dàng tính được) = BÀI TẬP Bài:1 Tính tích phân sau: e2 2 x + - 7x dx ∫1 x A= ∫ B= -2 ∫2 x -1 dx x C= ln 2dx Bài2: Tính tích phân sau: π 3 cos x ∫ e sin xdx A= e ln x dx ∫ B= x C= ∫ dx x x +4 2 ∫1+ D= x dx x -1 Bài3: tính tích phân sau: π e sin(ln x) ∫1 x dx I= J= ∫ π sin L= π dx x cot x π ln dx ∫ln e x + 2e− x − sin xdx ∫ 2 M= cos x + sin x 10 ∫ lg xdx K= ∫x N= dx -9 sin x dx x)2 ∫ (1 + cos C= Bài 4:ính tích phân sau: dx ∫0 - x A= ln D= ∫ 1- e x dx + ex Bài 5:Tính tích phân sau: e ln x ∫1 x dx A= B= ∫ dx x +3 ∫x E= π ∫ 16 - x dx C= dx −1 x sin x dx ∫ B*= + cos x ln x dx C*= x ∫ 46 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH x2 − F =∫ dx −1 + x 3x − x ∫ dx E= x eπ ∫ cos(ln x)dx D= * Bài 6:Tính: π ∫ A= π cos xdx B= ∫ x ∫ xe dx cos3 xdx C= x e ∫ D= x dx E= ∫ x ln xdx e ln x + ∫1 x dx F= x ∫1+ x ∫ x + x dx G= ∫ x + xdx x ∫ x + dx H= I= J= dx Bài A= C= ∫ dx ( x + 1) ( x − 1) x2 + 1+ x ∫ 1+ x ∫ E= D= dx x ( x − 1) F= ∫ I= ∫ ∫ ( x − 1) 1+ x + x2 xdx + 2x − x x +1 − x −1 ∫ x +1 + x −1 dx (2 x − 1)dx dx G= + x + x + (Đặt ∫ B= x dx x + 2x + = x + t ) H= ∫ ( x + 1) x + dx x −1 x +1 ∫ x + 3x + (2 x + 1)dx T= x − x + Bài 8: Tính −2 P= x − x + 3x + ∫ x+ −5 x + 3x + − dx L= ∫ −3 dx − x − 3x + 47 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH 48