các phương pháp tính tích phân

29 412 0
các phương pháp tính tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Những kỹ năng làm bài thi môn Toán - [www.facebook.com/thayhuy.vn] Định hướng đề: Khi nhận được đề thi nhất thiết phải đọc qua một lượt tất cả các bài tập trong đề để phân loại các câu hỏi. Phải xác định được bài nào khó, bài nào dễ. Khi làm bài phải làm từ câu dễ nhất đến câu khó nhất. Như vậy sẽ nắm chắc điểm của những bài đó và tạo sự tự tin để làm tiếp những bài khó hơn. Tạo sự thoải mái, có cảm giác "sẽ làm được" trong phòng thi là yếu tố rất qua trọng để giúp các em hoàn thành tốt nhất bài thi. Phải luôn tâm niệm "mình đang đi thi chứ không phải đang làm bài tập trên lớp" do đó cần làm được bài nào chắc điểm bài đó. Không nên làm ngay những bài khó vì sẽ chiếm thời gian của những bài khác. Điều này đồng nghĩa với việc chỉ vì một hoặc hai điểm của bài đó mà mất tám chín điểm ở những bài khác. Không làm tắt: Nhiều học sinh khá, giỏi thường mất điểm ở những bài dễ chỉ vì tính tài tử. Khi giải các bài toán nên viết tất cả các bước cơ bản để thực hiện bài toán đó trong bài làm. Vì nếu bỏ qua một vài phép trung gian nhiều khi sẽ không được chấm mức điểm tối đa cho những bài đó mặc dù kết quả cuối cùng chính xác. Chú ý đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa; sau khi giải phải kiểm tra kết quả thu được. Nhận dạng bài tập: Khi đứng trước một bài toán cụ thể cần phân biệt chính xác thuộc dạng toán nào. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học thường được mở rộng từ các bài toán cơ bản đã có trong SGK và hình thức câu hỏi có thể thay đổi chút ít. Nhưng nếu chúng ta nắm chắc phương pháp giải các dạng toán cơ bản thì dễ dàng tìm ra lời giải ở các đề thi. Không nên làm trước vào giấy nháp: Giấy nháp là công cụ để hỗ trợ tính toán. Vì vậy với những bài toán đã định hướng được cách giải thì không nên giải hoàn toàn trên giấy nháp rồi mới ghi vào giấy thi. Làm như vậy vừa mất thời gian vừa dễ sai sót. Bởi vì khi giải trực tiếp bài toán là "viết ra những gì trong đầu" nên rất chủ động. Còn khi chép lại (kể cả những gì mình vừa viết) lại trở thành thụ động vì vậy rất dễ chép nhầm hoặc bỏ sót. Do đó ở những bài toán này chỉ sử dụng giấy nháp ở những phần cần tính toán. Những tính toán lặt vặt không làm vào bài thi, hãy tính ra giấy nháp, một bài thi chỉ 6-8 mặt giấy là vừa, có người làm đến 12 mặt giấy thì quá nhiều. Trong hoàn cảnh trời nắng nóng, tìm mãi không thấy đáp số, dễ gây ức chế cho người chấm bài. Có thể làm nhảy cóc: Trong một câu hỏi có thể có nhiều câu hỏi nhỏ (ví dụ ở câu 2 có câu 2a, 2b, 2c). Đối với những câu kiểu này thì phần lớn những kết quả của ý trước sẽ trở thành điều kiện cho ý sau. Tuy nhiên nếu không làm được ý trước vẫn có thể thừa nhận kết quả để làm ý sau. Như vậy vẫn được tính điểm cho những ý làm được. Khi bị bế tắc ngay ở ý đầu tiên không nên bỏ qua luôn mà phải xem kỹ những ý tiếp theo có thể làm được không. Thứ tự các câu hỏi được giải là theo khả năng giải quyết của từng học sinh, không nên bị lệ thuộc vào thứ tự trong đề bài. Cẩn trọng với lời giải: Giải một bài toán không phải chỉ là các con số và kết quả tính toán mà lời giải cũng có ý nghĩa quan trọng. Lời giải không chỉ là liên kết giữa các phép toán mà còn chứng tỏ tư duy của người làm bài đó có chính xác, có thực sự hiểu bài toán hay không. Vì vậy lời giải cần phải viết cô đọng rành mạch nhưng không cộc lốc. Những bài thi có lời giải như vậy sẽ nhận được cảm tình của người chấm. Tiếp nữa là đừng dùng hai thứ mực, đừng dùng bút xoá vì như vậy có thể coi là đánh dấu bài. Nếu viết sai, các em cứ gạch đi viết lại. Cẩn thận khi biến đổi hệ phương trình: Trong những năm gần đây luôn có các bài giải hệ phương trình trong các đề thi đại học. Khi biến đổi một hệ, chúng ta nên chú ý không nên biến đổi cả hệ mà nên biến đổi lần lượt từng phương trình sau đó kết hợp để được kết quả của cả hệ. Làm như vậy sẽ có hai điều lợi: Bản thân sẽ dễ dàng kiểm soát được các bước thực hiện bài toán, không bị nhầm lẫn. Thứ hai người chấm cũng hiểu được các bước thực hiện một cách dễ dàng hơn và dễ dùng ba-rem chấm điểm. Làm được đến đâu viết đến đó: Với những bài khó, nếu chỉ làm được một phần mà chưa làm được trọn vẹn thì cũng nên viết vào bài làm. Vì những phần làm được nếu đúng theo ba-rem chấm thi vẫn được điểm. Không nộp bài khi chưa hết giờ: Nếu làm xong bài sớm cũng không nên nộp bài mà cần kiểm tra lại. Rất nhiều học sinh khi về nhà kiểm tra lại mới phát hiện được những chỗ làm sai. Khi làm một lúc rất nhiều bài toán thì rất dễ mắc sai sót. Trước hết phải thử lại phép tính. Thứ hai là phải kiểm tra lại ngữ pháp, diễn đạt. Nếu còn nhiều thời gian các em có thể làm lại phần bài thi khác thật rõ ràng, rành mạch. Cuối bài phải kết luận: Cuối mỗi bài toán nên có một câu kết luận. Có thể là viết lại đáp số hoặc trả lời câu hỏi của đề bài để người chấm thi biết được thí sinh đã kết thúc bài đó hay chưa và có cảm tình hơn khi chấm bài.

CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− Đặt x = |a| sint; với ; 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x = |a| cost; với [ ] 0;t π ∈ 2 2 x a− Đặt x = a sint ; với { } ; \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x = a cost ; với [ ] 0; \ 2 t π π   ∈     2 2 a x+ Đặt x = |a|tant; với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   hoặc x = |a|cost; với ( ) 0;t π ∈ a x a x + − hoặc a x a x − + Đặt x = acos2t ( ) ( ) x a b x− − Đặt x = a + (b - a)sin 2 t 2 2 1 a x+ Đặt x = atant; với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ Giải: Đặt x = cost, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = - sint dt Đổi cận: x 2 2 4 π t 1 0 Khi đó: 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ = 0 2 2 4 1 os .c t sint dt cos t π − − ∫ = 4 2 0 sin .sint t dt cos t π ∫ = 2 4 2 0 sin t dt cos t π ∫ = 4 2 0 1 1 dt cos t π   −  ÷   ∫ = ( ) tan 4 0 t t π − = 1 4 π − . (vì 0; 4 t π   ∈     nên sint 0 sin sint t≥ ⇒ = ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ Giải: Đặt x = asint, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = acostdt Đổi cận: x 0 a t 0 2 π Khi đó: 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ = ( ) 2 2 2 2 2 0 sin 1 sin .a t a t acostdt π − ∫ = 2 4 2 2 0 sina tcos tdt π ∫ = 4 2 2 0 sin 2 4 a tdt π ∫ = ( ) 4 2 0 1 4 8 a cos t dt π − ∫ = 4 1 sin 4 2 8 4 0 a t t π   −  ÷   = 4 16 a π Bài 3: Tính 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt x = sint, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = costdt Đổi cận: x 0 1 t 0 2 π Khi đó: 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ = 2 2 2 0 sin 1 sin .t t costdt π − ∫ = 2 2 2 0 1 sin 4 tcos tdt π ∫ = 2 2 0 1 sin 2 4 tdt π ∫ = = ( ) 2 0 1 1 4 8 cos t dt π − ∫ = 1 1 sin 4 2 8 4 0 t t π   −  ÷   = 16 π Bài 4: Tính 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt t = 2 1 x− ⇔ t 2 = 1 - x 2 ⇒ xdx = -tdt Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ = 1 2 2 0 1I x x xdx= − ∫ = ( ) 1 2 0 1 . .t t tdt− ∫ = ( ) 1 2 4 0 t t dt− ∫ = 3 5 1 0 3 5 t t   −  ÷   = 2 . 15 Bài 5: Tính 2 5 ln e e dx I x x = ∫ Giải: Đặt t = lnx ⇒ dt = dx x Đổi cận: x e e 2 t 1 2 Khi đó: 2 5 ln e e dx I x x = ∫ = 2 5 1 dt t ∫ = 4 2 1 15 . 1 4 64t   − =  ÷   Bài 6: Tính ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ Giải: Đặt t = x 4 + 1 ⇒ dt = 4x 3 dx 3 4 dt x dx⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Khi đó: ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ = 2 4 5 1 2 1 1 31 . 1 4 20 20 t dt t   = =  ÷   ∫ Bài 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx ⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 1 2 5 5 0 0 1 sin 6 I xcoxdx t dt π = = = ∫ ∫ . Bài 8: Tính 12 4 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Ta có: 12 12 0 0 sin 4 tan 4 4 x xdx dx cos x π π = ∫ ∫ Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4 4 dt dt in xdx xdx⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 12 π t 1 1 2 Khi đó: 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2. 1 4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t cos x t t π π = = = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 9: Tính 2 5 0 I cos xdx π = ∫ Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 2 5 4 2 0 0 0 1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx π π π = = − ∫ ∫ ∫ Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 4 0 0 0 0 1 2 5 1 sin 1 1 2 . 0 3 5 18 t t I cos xdx x coxdx t dt t t dt t π π π π   = = − = − = − + = − + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 10: Tính 4 4 0 1 I dx cos x π = ∫ Giải: Đặt t = tanx ; 2 1 dt dx cos x ⇒ = Đổi cận: x 0 4 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) 1 3 4 4 2 2 4 2 0 0 0 1 1 1 4 1 tan 1 . 0 3 3 t I dx x dx t dt t cos x cos x π π   = = + = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 11: Tính 3 2 2 6 s cos x I dx in x π π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 6 π 2 π t 1 2 1 Khi đó: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 2 2 1 (1 s ) 1 1 1 1 1 . 1 s s 2 2 cos x in x t I dx cosxdx dt dt t in x in x t t t π π π π − −     = = = = − = − − =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 12: Tính 2 3 3 0 sinI xcos xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 4 6 2 2 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 1 1 sin sin 1 sin 1 . 0 4 6 12 t t I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt π π   = = − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 13: Tính 2 2 sin 0 sin 2 x I e xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sin 2 x ; s 2dt in xdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 2 1 2 sin 0 0 1 sin 2 1. 0 x t t I e xdx e dt e e π = = = = − ∫ ∫ Bài 14: Tính 2 2 0 sin 2 1 x I dx cos x π = + ∫ Giải: Đặt t = 1 + cos 2 x ; s 2 s 2dt in xdx in xdx dt ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 2 π t 2 1 Khi đó: ( ) 1 2 2 2 0 2 1 2 sin 2 ln ln 2. 1 1 x dt dt I dx t cos x t t π = = − = = = + ∫ ∫ ∫ Bài 15: Tính 4 3 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Đặt t = tanx ; ( ) ( ) 2 2 2 1 tan 1 1 dt dt x dx t dt dx t ⇒ = + = + ⇒ = + Đổi cận: x 0 4 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 3 2 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 tan 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 . 0 2 2 2 2 2 d t t t t t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t π +   = = = − = − = − =  ÷ + + + +   = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 16: Tính 1 0 1 1 I dx x = + ∫ Giải: Đặt t = x ; 2 2t x dx tdt⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 . 0 1 1 1 t I dx dt dt t t t t x   = = = − = − + = −  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ Bài 17: Tính 1 3 3 4 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt t = 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 x t x x dx t dt− ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 1 3 3 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 . 0 4 16 16 I x x dx t dt t= − = = = ∫ ∫ Bài 18: Tính 0 2 1 1 2 4 I dx x x − = + + ∫ Giải: Ta có: ( ) ( ) 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 4 1 3 dx dx x x x − − = + + + + ∫ ∫ Đặt 1 3 tanx t+ = với ( ) 2 ; . 3 1 tan 2 2 t dx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x -1 0 t 0 6 π Khi đó: 0 6 2 1 0 1 3 3 3 . 6 2 4 3 3 18 0 I dx dt t x x π π π − = = = = + + ∫ ∫ Bài 19: Tính 1 3 8 0 1 x I dx x = + ∫ Giải: Ta có: ( ) 1 1 3 3 2 8 4 0 0 1 1 x x dx dx x x = + + ∫ ∫ Đặt 4 tanx t= với ( ) 3 2 1 ; . 1 tan 2 2 4 t x dx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 0 0 t 0 4 π Khi đó: ( ) 1 1 3 3 2 4 4 2 8 2 4 0 0 0 0 1 1 tan 1 1 . 4 1 4 1 tan 4 4 16 1 0 x x t I dx dx dt dt t x t x π π π π + = = = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 20: Tính 1 1 ln e x I dx x + = ∫ Giải: Đặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x = + ⇒ = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 . 3 3 1 e x t I dx t tdt t dt x − + = = = = = ∫ ∫ ∫ Bài 21: Tính ( ) 1 0 ln 2 2 x I dx x − = − ∫ Giải: Đặt ( ) ln 2 2 dx t x dt x − = − ⇒ = − Đổi cận: x 1 1 t ln2 0 Khi đó: ( ) 1 0 ln 2 2 2 0 ln2 0 ln 2ln 2 ln 2 . 0 2 2 2 x t I dx tdt tdt x − = = − = = = − ∫ ∫ ∫ Bài 22: Tính 2 2 0 1 sin cosx I dx x π = + ∫ Giải: Đặt sin tanx t= với ( ) 2 ; 1 tan 2 2 t cosxdx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 0 2 π t 0 4 π Khi đó: 2 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan 1 sin 1 tan 4 cosx t I dx dt dt x t π π π π + = = = = + + ∫ ∫ ∫ Bài 23: Tính 2 3 1 sin I dx x π π = ∫ Giải: Đặt 2 2 1 2 tan 1 tan 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t   = ⇒ = + ⇒ =  ÷ +   Ta tính: 2 2 1 1 2 1 . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t = = + + Đổi cận: x 3 π 2 π t 3 3 1 Khi đó: ( ) 1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3. 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t π π = = = = − = ∫ ∫ Bài 24: Tính ( ) 1 1 1 ln e I dx x x = + ∫ Giải: Đặt 1 ln dx t x dt x = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 1 1 2 1 ln ln 2. 1 1 ln e dt I dx t x x t = = = = + ∫ ∫ Bài 25: Tính 3 1 5 0 x I x e dx= ∫ Giải: Đặt 3 2 2 3 3 dt t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 3 1 1 1 5 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 3 3 3 3 x t t t t e I x e dx te dt te e dt e= = = − = − = ∫ ∫ ∫ Bài 26: Tính 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x I dx x x + + = − + ∫ Giải: Ta có: 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x dx dx dx x x x x x x + + +   + +  ÷ +   = = − +   − + − +  ÷   ∫ ∫ ∫ Đặt 2 1 1 1t x dt dx x x   = − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 1 1 5 2 + t 0 1 Khi đó: 1 2 0 1 dt I t = + ∫ Đặt ( ) 2 tan 1 tant u dt u du= ⇒ = + Đổi cận: x 0 1 t 0 4 π Vậy 1 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan . 4 1 1 tan 4 0 dt u I du du u t u π π π π + = = = = = + + ∫ ∫ ∫ Bài 27: Tính 2 3 1 1 dx I x x = + ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx x x x x = + + ∫ ∫ Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 tdt t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dx x dx dt I dt t t t x x x x t t t t   = = = = − =  ÷ − − +   + +     − − + = − − + = = − = =  ÷  ÷  ÷ + + −     − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 28: Tính 2 3 2 0 3 2 1 x I dx x x = + + ∫ Giải: Ta có: ( ) 2 2 3 3 2 2 0 0 3 3 2 1 1 x x dx dx x x x = + + + ∫ ∫ Đặt 1t x dt dx = + ⇒ = Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 3 2 1 1 3 9 1 3 3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln 3 8 1 2 2 t t t t x x I dx dx dt dt x x t t x t t t dt t t t t − − + − − = = = = = + + +     = − + − = − + + = − − − + − + − = −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 29: Tính ln2 2 2 0 3 3 2 x x x x e e I dx e e + = + + ∫ Giải: Đặt x x t e dt e dx= ⇒ = Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) ln2 ln 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 3 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 3 4 9 4 27 2 2ln 1 ln 2 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln 1 1 1 2 2 3 4 3 16 x x x x x x x x e e e t I dx e dx dt dt e e e e t t t t dt dt t t t t + + +   = = = = − =  ÷ + + + + + + + +   = − = + − + = − − − = − = − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 30: Tính ( ) 4 1 1 dx I x x = + ∫ Giải: Đặt 2 2x t dx tdt= ⇒ = Đổi cận: x 1 4 t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 4 2 ln ln 1 2 ln ln 2ln . 1 3 2 3 dx tdt dt I dt t t t t t t x x t t   = = = = − =  ÷ + + +   +   = − + = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 31: Tính ( ) 1 3 2 0 1I x dx= − ∫ Giải: Đặt sin , 0; 2 x t t dx costdt π   = ∈ ⇒ =     Đổi cận: x 0 1 t 0 2 π Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 3 3 2 2 3 4 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 1 2 1 1 sin . . 2 1 1 1 1 1 1 sin 2 1 1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4 2 4 4 2 8 4 2 2 2 8 0 1 1 8 8 8 cos t I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt t cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt dt co π π π π π π π π π π π π π +   = − = − = = = =  ÷   = + + = + + = + + + = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 1 sin 4 3 4 . . 2 8 16 8 4 8 16 16 0 t s tdt π π π π π π π = + + = + = ∫ Bài 32: Tính 2 3 6 I cos xdx π π = ∫ Giải: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 3 2 2 2 6 6 6 6 sin 2 . 1 sin 1 sin sin sin 3 6 1 1 1 5 1 3 2 24 24 x I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x π π π π π π π π π π   = = = − = − = − =  ÷   = − − + = ∫ ∫ ∫ ∫ [...]... sin1 − cos1) 0 0 0 0 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt 2 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt  u = P ( x )    dv =  u = ln x  dv = 1 2x Bài 1: Tính I = ∫ xe dx 0  du = dx u = x  ⇒ Đặt  1 2x 2x  dv = e dx v = e  2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1... công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 1 1 tet dt = tet − ∫ et dt = tet − et = 1 ∫ 0 0 0 0 0 Vậy I = 2 ) e Bài 7: Tính I = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx 1 dx  u = ln x   du = ⇒ x Đặt   dv = ( 4 x + 1) dx v = 2 x 2 + x   Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: e e e e 2 I = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx = 2 x + x ln x − ∫ ( 2 x + 1) dx = 2e 2 + e − x 2 + x = e 2 + 2 1 1 1 1 ( 1 ( ) ( ) ) 2 Bài 8: Tính I =...  x x  dv = e dx v = e  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 2 x 2 x 1 x I = ∫ x e dx = x e − 2 ∫ xe dx = e − 2∫ xe x dx 0 0 0 0 2 1 x Tiếp tục tính: J = ∫ xe dx 0 u = x  du = dx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 J = ∫ xe x dx = xe x − ∫ xe x dx = 1 0 0 0 Vậy I = e - 2 1 −3 x Bài 4: Tính I = ∫ ( 3 x + 1) e dx 0 du = 3dx u = 3 x + 1... u = ln t du = ⇒ t Đặt   dv = dt v = t  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 2 2 2 ln tdt = t ln t − ∫ dt = 2 ln 2 − 1 ∫ 1 1 1 1 ( ) 2 Vậy I = ∫ x ln x + 1 dx = ln 2 − 0 1 2 π 2 Bài 9: Tính I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx π 6 cosx  u = ln ( sin x ) dx  du = ⇒ sin x Đặt   dv = cosdx  v = sin x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: π π π 2 2 2 I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx = sin x... = e x cos xdx ∫ 0 u = cosx du = − sin xdx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần π π π 2 2 I = ∫ e x cos xdx = e x cosx 2 + ∫ e x sin xdx 0 0 0 1 4 2 43 I1 π 2 Tính I1 = e x sin xdx ∫ 0 u = sin x du = cosxdx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần π π π 2 π 2 x x x x I1 = ∫ e sin xdx = e sin x 2 − ∫ e co s xdx =e sin x 2 − I... Tính I = ∫ 0 ) x dx cos 2 x u = x  du = dx  Đặt  dx ⇒  v = tan x  dv = co s 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: π π π π π 4 π 3 x π 3 3 sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3 π 3 I=∫ dx = x tan x 3 − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ln cosx 3 = − ln 2 2 cos x 3 cosx 3 cosx 3 3 0 0 0 0 0 0 1 2 x Bài 3: Tính I = ∫ x e dx 0 u = x  du = 2 xdx  ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e  Áp dụng công thức tính. .. tan 2 − ∫ tan e x dx = e 2 − ∫ tan e x dx 2 0 cos 2 x 2 2 2 0 0 0 2 π π π x x co s 2 2 2sin 2 sin x x 2 2 e x dx = tan x e x dx e dx = ∫ Tính: I 2 = ∫ ∫ 2 x 1 + cosx 0 0 0 2cos 2 2 x π Vậy I = e 2 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP π 2 sin x dx sin x + cosx Bài 1: Tính I = ∫ 0 Giải: π − t ⇒ dx = − dt 2 Đổi cận: 0 x π 2 t 0 π 2 Khi đó: π  π π sin  − t ÷ 0 2 2 2  co s t co s x  I = −∫ dt = ∫ dt =... 2 2 2 1 1− t 0 0 2 0 I =∫ 1 1 1 = − ln = ln 3 2 3 2 1 x + sin x dx Bài 56: Tính I = ∫ cos 2 x 0 Giải: 1 1 1 x + sin x xdx sin x I =∫ dx = ∫ +∫ dx 2 2 Ta có: cos x cos x 0 cos 2 x 0 0 1 2 4 14 2 43 4 3 I1 I2 π 3 Tính I1 = xdx ∫ cos 2 x 0 u = x du = dx  ⇒ Đặt  1  dv = cos 2 x dx v = tan x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: π π π π π 3 π 3 3 xdx π 3 sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3... = in x ln ( sin x ) π π π 6 6 6 π 3 Bài 10: Tính I = ∫ π 4 xdx sin 2 x u = x  du = dx  Đặt  dx ⇒  v = − cot x  dv = sin 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần π 2 − sin x π 6 π 2 1 = ( ln 2 − 1) π 2 6 π π 3 xdx π 1 3 I = ∫ 2 = − x cot x + ∫ cot xdx = − + ln sin x π π 3 3 π sin x 4 4 4 π 3 π 9−4 3 1 3 = + ln π 36 2 2 4 ( π 3 ) π 2 Bài 11: Tính I = e x cos xdx ∫ 0 u = cosx du = − sin... thức tính tích phân từng phần: 1 I = ∫ ( 3 x + 1) e −3 x 0 1 1 1 1 1 1 1 1 −3 x 1 −3 x 1 −3 x −3 x 1 dx = − ( 3x + 1) e + ∫ e dx = − ( 3 x + 1) e − ∫ e d e −3 x = − ( 3x + 1) e −3 x − e −3 x = 0 0 0 30 0 3 0 3 3 3 ( π 2 Bài 5: Tính I = x sin 2 xdx ∫ 0 π 2 π 2 1 − cos 2 x 2 dx = Ta có: I = ∫ x sin xdx = ∫ x 2 0 0 π 2 π π  2 12 ÷  ∫ xdx − ∫ xcos 2 xdx ÷ 20 0 ÷   π x2 π2 xdx = 2= ∫ 2 8 0 0 Tính . CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− Đặt x = |a| sint; với ; 2 2 t π π   ∈ −     . 1 4 2 43 14 2 43 Tính: 1 1 0 1 1 1 ln 2 ln 1 0 2 1 2 2 dt J t t = = + = + ∫ Tính: ( ) 2 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 ln 2 ln 1 0 2 1 4 1 4 4 d t tdt J t t t + = = = + = + + ∫ ∫ Tính: 1 4 3 2 0. x π = ∫ Đặt 2 1 tan u x du dx v x dv dx cos x =  =   ⇒   = =    Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: ( ) ( ) 3 3 3 3 1 2 0 0 0 0 3 sin 3 3 tan tan ln 3 3 3 3 3 0 0 3 1 ln 3

Ngày đăng: 07/08/2014, 10:33

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan