x − a trong trong đó a là hằng số dơng mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:.
Trang 2x 1
−
= +
x x v
1 4
Trang 4( )
b
x a
P x e dx
b a
b a
b x a
'
( ) ( )
Trang 6∫
Trang 7x − a (trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác
thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Trang 8hoÆc ;
cos
a x
x = e th× u = 2
Trang 9e e
Trang 10x 1
−
= +
Trang 11x x v
1 4
Trang 12P x e dx
b a
b a
b x a
Trang 13( ) ( )
Trang 15B c
bx ax
b ax A c bx ax
n mx
+ +
+ + +
+
= + +
+
2 2
2
) 2 (
+)Ta cã I= ∫β
α
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
+ +
+ + +
+
= + +
b ax A
+ +
+
∫ 2
) 2 (
P x
Q x
= ∫ víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x
• NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc
• NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c trêng hîp:
Trang 173 2
3
t dt dx
2
x dx
Trang 19t x
t
−
= +
Trang 202 1
x t
+ +
cos
dx x
Trang 21− +
c x b
x a
dx C
dx c x b
x a
x b x a
B dx
A
cos sin
cos sin
sin cos
Tích phân ∫ dx tính đợc
c x b
x a
x b x a
+ + +
= +
+
−
cos sin
sin cos
Trang 22+) Nếu R ( sin ,cos x x )là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
R ( − sin , cos x − x ) = R ( sin ,cos x x )thì đặt t = tgx hoặc t = cot gx, sau đó đa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t
+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:
R ( − sin ,cos x x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = cos x
+) Nếu R ( sin ,cos x x )là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
R ( sin , cos x − x ) = − R ( sin ,cos x x )thì đặt t = sin x
Trang 231 2
0 3
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng
Ví dụ 15:Tính = ∫ −
1
0
2 3
x I
1
0
2 3
1
1−x ⇔t = −x ⇔x = −t
Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0
Trang 24Vậy 15
2 5
3
) 1
(
1
0
5 3
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 16: Tính
2 2
Trang 26x f
2
1 1
) (
Chøng minh: §Æt t= -x ⇒ dt= - dx
Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= 1
t t
a a
+ Khi x= - α th× t = α ; x =α th× t =- α
− +
= +
= +
a dt
a
t f a dx
a
x f
t t
t
1
1 1 1
) ( 1
) (
Trang 27
∫ ∫ ∫
+
= +
a
t f dt
t
1
) ( )
a
x f
2
1 1
) (
VÝ dô 19 : TÝnh tÝch ph©n:
1 4
4 4
1
1
4
1 2
2 1
2 1
t dx
x
t t
1
2 dt x dx I
t dt
1 5
2
1 2
1
5 1
4.Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n 0;
Trang 29VÝ dô 21: TÝnh tÝch ph©n:
2 0
sin
1 cos
dx x
)
π
dx x x
x I
sin
)
π
dx x
x x
x x
0
sin)
π
dx x x I
π
dx x x
I d
∫ +
=4
01 cos2)
π
dx x
x I
f
Trang 30∫ +−
=2
4
2sin
1
cossin
)
π
π
dx x
x x
2cos
)
π
dx x
x
x I
tan)
π
π
dx x x
x I
π
dx x x I k
) 1 (
)
x x
dx I
11
1
x x
I d
∫ +
= 3
1 3
)
x x
dx I
=5
3
22
=
0
1
3 2
)1(
) 1 ln(
x
x I
x I d
1
3
.ln
1)
=32
2)
)
π
dx x x e
I