Các phương pháp tính tích phân (gia sư Thành Được)

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 22 ax Đặt x = |a| sint; với ;. 22 t      hoặc x = |a| cost; với   0; .t   22 xa Đặt x = a . sint ; với   ; \ 0 . 22 t      hoặc x = . a cost ; với   0; \ . 2 t       22 ax Đặt x = |a|tant; với ;. 22 t      hoặc x = |a|cost; với   0; .t   . ax ax   hoặc . ax ax   Đặt x = acos2t    x a b x Đặt x = a + (b – a)sin 2 t 22 1 ax Đặt x = atant; với ;. 22 t      Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 . x I dx x    Giải: Đặt x = cost, ;. 22 t      .  dx = - sint dt Đổi cận: x 2 2 4  t 1 0 Khi đó: 1 2 2 2 2 1 . x I dx x    0 2 2 4 1 os .c t sint dt cos t     4 2 0 sin .sintt dt cos t    = 2 4 2 0 sin t dt cos t    = 4 2 0 1 1 dt cos t         tan 4 0 tt   = 1 4   . (vì . 0; 4 t      nên sint . 0 sin sintt   ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 . a I x a x dx  Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2 Đặt x = asint ,; 22 t      . dx = acostdt Đổi cận: x 0 a t 0 2  Khi đó: 2 2 2 0 . a I x a x dx    2 2 2 2 2 0 sin 1 sin .a t a t acostdt    2 4 2 2 0 sina tcos tdt      4 2 0 14 8 a cos t dt    4 1 sin4 2 84 0 a tt      4 16 a   Bài 3: Tính 1 22 0 .1I x x dx  Giải: Đặt x = sint ,; 22 t      . dx = costdt Đổi cận: x 0 1 t 0 2  Khi đó: 1 22 0 .1I x x dx  2 22 0 sin 1 sin .t t costdt    2 22 0 1 sin 4 tcos tdt    2 2 0 1 sin 2 4 tdt      2 0 1 14 8 cos t dt    11 sin 4 2 84 0 tt      16   Bài 4: Tính 1 32 0 .1I x x dx  Giải: Đặt t = 2 .1 x  t 2 = 1 – x 2 . xdx = -tdt Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 32 0 .1I x x dx  = 1 22 0 1x x xdx    1 2 0 1 . .t t tdt    1 24 0 t t dt  35 1 0 35 tt     2 . 15  Bài 5: Tính 2 5 . ln e e dx I xx   Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 3 Đặt t = lnx  dt = dx x Đổi cận: x e e 2 t 1 2 Khi đó: 2 5 . ln e e dx I xx   = 2 5 1 . dt t  = 4 2 1 15 1 4 64t     Bài 6: Tính   1 4 34 0 1.I x x dx  Giải: Đặt t = x 4 + 1  dt = 4x 3 dx 3 . 4 dt x dx Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Khi đó:   1 4 34 0 1.I x x dx  = 2 45 1 2 1 1 31 . 1 4 20 20 t dt t      Bài 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx    Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó: 1 2 55 00 1 sin 6 I xcoxdx t dt      . Bài 8: Tính 12 4 0 tanI xdx    Giải: Ta có: 12 12 00 sin 4 tan4 4 x xdx dx cos x    Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin4 4 dt dt in xdx xdx      Đổi cận: x 0 12  Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 4 t 1 1 2 Khi đó: 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin4 1 1 1 1 tan4 . ln ln2. 1 4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t cos x t t             Bài 9: Tính 2 5 0 .I cos xdx    Giải: Ta có:   2 2 2 2 5 4 2 0 0 0 1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx          Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó:       35 2 2 2 2 22 5 2 2 2 4 0 0 0 0 1 25 1 sin 1 1 2 . 0 3 5 18 tt I cos xdx x coxdx t dt t t dt t                        Bài 10: Tính 4 4 0 1 .I dx cos x    Giải: Đặt t = tanx ; 2 1 dt dx cos x  Đổi cận: x 0 4  t 0 1 Khi đó:     1 3 44 22 42 0 0 0 1 1 1 4 1 tan 1 . 0 33 t I dx x dx t dt t cos x cos x                Bài 11: Tính 3 2 2 6 . s cos x I dx in x     Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x 6  2  Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 5 t 1 2 1 Khi đó: 11 3 2 2 22 2 2 2 2 11 6 6 2 2 1 (1 s ) 1 1 1 1 1 1 s s 2 2 cos x in x t I dx cosxdx dt dt t in x in x t t t                             Bài 12: Tính 2 33 0 sin .I xcos xdx    Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó:       11 46 22 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 1 1 sin sin 1 sin 1 0 4 6 12 tt I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt                   Bài 13: Tính 2 2 sin 0 sin2 . x I e xdx    Giải: Đặt t = sin 2 x ; s2dt in xdx Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó: 2 1 2 sin 00 1 sin2 1 0 x t t I e xdx e dt e e        Bài 14: Tính 2 2 0 sin2 . 1 x I dx cos x     Giải: Đặt t = 1 + cos 2 x ; s 2 s 2dt in xdx in xdx dt      Đổi cận: x 0 2  t 2 1 Khi đó:   12 2 2 0 2 1 2 sin2 ln ln2 1 1 x dt dt I dx t cos x t t            Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 6 Bài 15: Tính 4 3 0 tan .I xdx    Giải: Đặt t = tanx ;     22 2 1 tan 1 . 1 dt dt x dx t dt dx t         Đổi cận: x 0 4  t 0 1 Khi đó:       2 1 1 1 1 1 32 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 tan 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln2 1 ln2 . 0 2 2 2 2 2 dt t t t t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t                                Bài 16: Tính 1 0 1 . 1 I dx x    Giải: Đặt t = x ; 2 2t x dx tdt    Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó:     1 1 1 0 0 0 1 11 2 2 1 2 ln 1 2 1 ln2 . 0 11 1 t I dx dt dt t t tt x                  Bài 17: Tính 1 3 34 0 1.I x x dx  Giải: Đặt t = 3 4 3 4 3 2 3 11 4 x t x x dx t dt       Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 11 3 3 4 3 4 00 1 3 3 3 1. 0 4 16 16 I x x dx t dt t      Bài 18: Tính 0 2 1 1 . 24 I dx xx     Giải: Ta có:     00 2 2 2 11 11 . 24 13 dx dx xx x      Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 7 Đặt 1 3tanxt với   2 ; . 3 1 tan . 22 t dx t dt          Đổi cận: x -1 0 t 0 6  Khi đó: 0 6 2 10 1 3 3 3 6 2 4 3 3 18 0 I dx dt t xx           Bài 19: Tính 1 3 8 0 . 1 x I dx x    Giải: Ta có:   11 33 2 8 4 00 . 1 1 xx dx dx x x     Đặt 4 tanxt với   32 1 ; . 1 tan . 2 2 4 t x dx t dt          Đổi cận: x 0 0 t 0 4  Khi đó:   11 3 3 2 44 2 82 4 0 0 0 0 1 1 tan 1 1 4 1 4 1 tan 4 4 16 1 0 x x t I dx dx dt dt t xt x                 Bài 20: Tính 1 1 ln . e x I dx x    Giải: Đặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x        Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó:   22 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 33 1 e xt I dx t tdt t dt x           Bài 21: Tính   1 0 ln 2 . 2 x I dx x     Giải: Đặt   ln 2 . 2 dx t x dt x       Đổi cận: x 1 1 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 8 t ln2 0 Khi đó:   1 0 ln2 22 0 ln2 0 ln 2 ln 2 ln 2 0 2 2 2 x t I dx tdt tdt x            Bài 22: Tính 2 2 0 1 sin cosx I dx x     Giải: Đặt sin tanxt với   2 ; 1 tan . 22 t cosxdx t dt          Đổi cận: x 0 2  t 0 4  Khi đó: 2 2 4 4 22 0 0 0 1 tan . 1 sin 1 tan 4 cosx t I dx dt dt xt              Bài 23: Tính 2 3 1 . sin I dx x     Giải: Đặt 2 2 12 tan 1 tan . 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t           Ta tính: 2 2 1 1 2 1 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t    Đổi cận: x 3  2  t 3 3 1 Khi đó:   1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3 3 sin 3 2 3 I dx dt t xt          Bài 24: Tính   1 1 . 1 ln e I dx xx    Giải: Đặt 1 ln . dx t x dt x     Đổi cận: x 1 e Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 9 t 1 2 Khi đó:   2 11 2 1 ln ln2 1 1 ln e dt I dx t x x t       Bài 25: Tính 3 1 5 0 . x I x e dx  Giải: Đặt 3 2 2 3. 3 dt t x dt x dx x dx     Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 3 1 1 1 5 0 0 0 11 1 1 1 1 1 . 00 3 3 3 3 3 3 x t t t t e I x e dx te dt te e dt e          Bài 26: Tính 15 2 2 42 1 1 . 1 x I dx xx      Giải: Ta có: 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 2 42 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 x x x dx dx dx xx x x x x                    Đặt 2 11 1.t x dt dx xx         Đổi cận: x 1 15 2  t 0 1 Khi đó: 1 2 0 . 1 dt I t    Đặt   2 tan 1 tan .t u dt u du    Đổi cận: x 0 1 t 0 4  Vậy 1 2 44 22 0 0 0 1 tan 4 1 1 tan 4 0 dt u I du du u tu              Bài 27: Tính 2 3 1 . 1 dx I xx    Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 10 Ta có: 22 2 3 3 3 11 . 11 dx x dx x x x x    Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 . 3 tdt t x t x tdt x dx x dx         Đổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó:       2 2 3 3 2 2 3 3 3 11 22 2 2 1 1 1 . 3 1 3 1 1 11 33 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln 3 3 1 3 2 3 3 21 22 2 2 1 21 dx x dx dt I dt t t t x x x x t tt t                                          Bài 28: Tính 2 3 2 0 3 . 21 x I dx xx    Giải: Ta có:   22 33 2 2 00 33 . 21 1 xx dx dx xx x     Đặt 1t x dt dx    Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó:             3 32 2 2 3 3 33 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 1 31 33 . 21 1 3 9 1 3 3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln3 8 1 22 t t t t xx I dx dx dt dt x x t t x t t t dt t t tt                                          Bài 29: Tính ln2 2 2 0 3 . 32 xx xx ee I dx ee     Giải: Đặt xx t e dt e dx   Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó: [...]... công thức tính tích phân từng phần ta được: 1 1 1 1 I  2  tcost   2 costdt  2  tcost   2  sin t   2  sin1  cos1 0 0 0 0 B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1 2 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt u  ln x  Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt dv  u  P  x     dv   1 Bài 1: Tính I   xe2 x dx... cosx 3 3 0 0 0 0 0 0 3 1 Bài 3: Tính I   x 2e x dx 0 u  x du  2 xdx  Đặt   x x dv  e dx v  e  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 2 x 2 x 1 x I   x e dx  x e  2 xe dx  e  2 xe x dx 0 0 0 0 2 24 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 1 J   xe x dx 0 Tiếp tục tính: u  x du  dx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 x x 1 J... tdt 21 0 26 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn dx  u  ln t du   t  dv  dt v  t  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 2 2 2 ln tdt  t ln t   dt  2ln 2  1  1 1 1 1 I   x ln  x 2 1dx  ln 2  Vậy 0 1 2  2 Bài 9: Tính I   cosx ln  sin x  dx  6 cosx  u  ln  sin x  du  dx  Đặt   sin x dv  cosdx  v  sin x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:... dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 t t 1 t t 1 t 1  te dt  te 0   e dt  te 0  e 0  1 0 0 Vậy I = 2 e Bài 7: Tính I    4 x  1 ln xdx 1 dx  u  ln x  du   x  dv   4 x  1 dx v  2 x 2  x   Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: e e e e 2 I    4 x  1 ln xdx   2 x  x  ln x    2 x  1 dx  2e2  e   x 2  x   e2  2 1 1 1 1 1 Bài 8: Tính I  ... 3 Bài 10: Tính I    xdx sin 2 x 4 u  x du  dx  dx    v   cot x dv  sin 2 x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần    3 3 xdx  1 3 I   2   x cot x   cot xdx    ln sin x   3 3  sin x 4 4 4  3     94 3 36   1 ln 3 2 2 4  2 Bài 11: Tính I   e x cos xdx 0 u  cosx du   sin xdx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng...  2x 2 0 cos 2 2 2 0 0 0 2    x x co s 2 2 2sin 2 sin x x 2 2 e x dx  tan x e x dx I2   e dx    2 x 1  cosx 0 0 0 2cos 2 2 Tính: I1  2 28 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn  2 Vậy I  e C TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP  2 sin x dx sin x  cosx Bài 1: Tính I   0 Giải: x  2 Đặt Đổi cận:  t  dx  dt x 0 t  2  2 0 Khi đó:   sin   t  2  0 I    2     sin   t... 1 2x 2x dv  e dx v  e  2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 1 2x 1 1 2x 1 2 1 2x 1 2 1 2x 1 1 2 1 2 e2  1 2x I   xe dx  xe  e dx  e   e d  2x   e  e  e   e  1  0 2 0 2 2 2 40 2 4 4 4 0 0  3 x dx cos 2 x 0 Bài 2: Tính I   u  x du  dx  Đặt  dx   dv  v  tan x  co s 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:     4 3   x  3 sin x  3 3...  2 2  x2 2 28  xdx  2 2 8 0 0 2  2 29 Tính  xcos 2 xdx 0 du  dx u  x    1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:   2   1 12 cos 2 x 1 xcos 2 xdx  x sin 2 x 2   sin 2 xdx  0  2   2 20 4 2 0 0 0  2 I   x sin xdx  2 Vậy 0 2 4 16 25 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn  2 Bài 6: Tính I   esin x sin 2 xdx 0 Giải:   2 2 I ... du   sin xdx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 27 Gia sư Thành Được  www.daythem.com.vn   2 2 I   e cos xdx  e cosx 2   e x sin xdx 0 0 0 x x I1  2 I1   e x sin xdx 0 Tính u  sin x du  cosxdx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần    2  2 I1   e sin xdx  e sin x 2   e co s xdx e sin x 2  I 0 0 0 0 x... 65: Tính I  4 1   sin x  cosx   2 dx 12 Giải:  I 1   sin x  cosx     4 2 dx  12 1 2 1  3  dx   cot  x   4   2 4  2 2   sin  x    12 4 12  4  1 1 Bài 66: Tính I   sin xdx 0 27 Đặt t  x  dx  2td Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 1 I  2 t sin tdt 0 23 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn u  t du  dt   Đặt dv  sin tdt v  cosx Áp dụng công thức tính tích . Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 22 ax Đặt x = |a| sint; với. 1 4   . (vì . 0; 4 t      nên sint . 0 sin sintt   ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 . a I x a x dx  Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2 Đặt x = asint ,; 22 t      . tdt    1 24 0 t t dt  35 1 0 35 tt     2 . 15  Bài 5: Tính 2 5 . ln e e dx I xx   Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 3 Đặt t = lnx  dt = dx x Đổi