Chuyên đề tích phân ôn thi đại học (Gia sư Thành Được)

[...]... Một số ứng dụng của tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích : Cho hai hàm số f x & f x  liên tục trên đoạn a, b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là : Trang 21 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn x  a x  b ;    y  f x   y  g x  Được tính như sau : b S   f x   g x  dx a 2)Tính thể tích : Nếu diện tích S x  của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa... 0  1  cos 2 x dx 0 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b , thì ta có : b b  udv  uv   vdu b a a a Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u  ln x hay u  loga x *ưu tiên 2 : Đặt u  ?? mà có thể hạ bậc BÀI TẬP Tính các tích phân sau : Trang 11 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn...   x  2 x  1  x  2 x  1 dx   3 5 2 1   Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel   Dạng 1:  R x, ax 2  bx  c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ 2 a  0     2ax  b    ax 2  bx  c  1      4a         0   Trang 15 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2  R x, ax  bx  c dx   S t ,... I 7   Trang 13 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max : b Muốn tính I   f x  dx ta đi xét dấu f x  trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I   max  f x , g x dx ta đi xét dấu f x   g x  trên đoạn a, b a b Muốn tính I   min f x , g x dx ta đi xét dấu f x   g x  trên đoạn a, b a Tính các tích phân sau : 2 4 b) I1 ... y  dx với a, b là hoành độ các điểm đầu cung 2 a 4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân Trang 22 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Hình1a hình1b hình1c hình1d BÀI TẬP Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a) Phương trình đường tròn có dạng : x2  y2  R2... dx x x2  1 d) I 4   1  x 2 dx b) I 2   4 x  x 2 dx d) I 5   1  x2 1 1  x2  1 Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f x   0 x a, b   f x dx  0 a b b a a Nếu f x   g x  x a, b   f x dx   g x dx Trang 19 c) I 3   dx d) I 6  x dx 2 4  3 1 1  x2  1 dx Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn b Nếu m  f x   x a, b  mb  a    f x dx  M b  a  a Trong... 1 0  2 Ta đi tính tích phân  x sin xdx 0 u  x  du  dx Đặt :  dv  sin xdx  v   cos x    2  2   x sin xdx   x cos x 02   cos xdx   x cos x 02  sin 02  1 Vậy : 0 0 1 Thế vào (1) ta được : I1   x.e x dx   2 8 4 0 1  u  ln x  du  dx c) Đặt :  x dv  dx  v  x  e e Vậy : I 3   ln xdx  x ln x 1   dx  x ln x 1  x 0  1 e 1 e e 1 Tính các tích phân sau :   a)...    t 3   5 dt     36 ln t  4   C 4 t t  t       x  x2  4    4   4  36 ln x  x 2  4   C 4  2 x x 4   64  Tính các tích phân sau : 1 a) I1   x  x 2 dx 1 2 8 dx dx x 1 x 3 b) I 2   Trang 18  Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Bài làm : 1 I1   x  x 2 dx  1 2 1 1 2 1  2 x  1 dx 2 1 2 1 2 Đặt : 2 x  1  sin t  dx  cos tdt 1  x  2  t  0... dvdt Trang 23 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol y  x 2 , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm A(1,4) và hệ số góc là k Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất Bài làm (hình 1b) Phương trình đường thẳng có dạng y  k x  1  4 Phương trình hoành độ giao điểm x 2  k x  1  4  x 2  kx  k  4  0 Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả... tương ứng ↓↓↓ hình a hình b Trang 25 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn hình c hình d Với mỗi số nguyên dương n ta đặt : Sn  15  25  35   n 5 n6 Tính lim S n n Bài làm : 1 Sn  n 5  1  5  2  5  3  5 n               n   n   n   n    1 i     i 1 n  n  n 5 Xét hàm số f x  x5   0,1 Ta lập phân hoạch đều trên 0,1 với các điểm chia : 0  x0 . Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định :   Cdx0   Cxdx 1 1 1      nC n x dxx n n . 22 11 23 24          x D x C x B x A xx x Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn. dxxI     2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn   ba, , thì ta có :      b a b a b a vduuvu dv Trong lúc tính tính tích phân từng phần