Chuyen de tich phan on thi dai hoc

TÍCH PHÂN I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong • Giới thiệu cho học sinh cách tính diện tích hình thang cong • Từ suy công thức : xlim →x S ( x ) − S ( x0 ) = f ( x0 ) x − x0 Định nghĩa tích phân • Cho hàm f liên túc khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số : F(b)-F(a) gọi tích phân b f từ a đến b , ký hiệu : ∫ f ( x)dx a b • Có nghĩa : ∫ f ( x)dx = F ( b ) − F ( a ) a b • Gọi F(x) nguyên hàm f(x) F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) : b b ∫ f ( x)dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a • Trong : - a : cận , b cận - f(x) gọi hàm số dấu tích phân - dx : gọi vi phân đối số -f(x)dx : Gọi biểu thức dấu tích phân II Tính chất tích phân Giả sử cho hai hàm số f g liên tục K , a,b,c ba số thuộc K Khi ta có : a ∫ f ( x)dx = a b ∫ a b ∫ a b ∫[ a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ( Gọi tích chất đổi cận ) b c b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b b a a f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx ( Tích phân củ tổng hiệu hai tích phân tổng hiệu hai tích phân ) b b a a ∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx ( Hằng số k dấu tích phân , đưa dấu tích phân ) Ngoài tính chất , người ta chứng minh số tính chất khác : Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] : b ∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] a b b a a Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx ( Bất đẳng thức tích phân ) Nếu : ∀x ∈ [ a; b ] với hai số M,N ta có : M ≤ f ( x) ≤ N Thì : b M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ N ( b − a ) ( Tính chất giá trị trung bình tích phân ) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp , cẩn : • Kỹ : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương nhiều hàm số khác , mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng • Kiến thức : Như trình bày phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc kiến thức Vi phân , công thức phép toán lũy thừa , phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ x +1 c/ ∫ a/ ∫ ( b/ ( x 1+ x ( ) dx = x x4 −1 + x2 ∫ ( x + 1) dx x x − x + ln + x Giải ) dx ( x x4 −1 + ) ) dx ∫ d/ x3 + x − x + dx x4 − 2x2 +  x x2 −1 x2 +  x  x  +  ÷dx = ∫  x x − + ÷dx ∫ 2 2  x +1 x +1 x +1 ÷ x + 1    2 2 x − 1d x − + ∫ d x + = x2 −1 + x2 + = + − 1 2 1 ) ( ⇒∫ ) ( ( ) b/ ( x + − 1) dx =  ( x + 1) − x + +  dx =  − +  dx dx = ∫0 ( x + 1) ∫0 ( x + 1) ∫0  ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)  ∫0  x + ( x + 1) ( x + 1)      1 1 d ( x + 1) d ( x + 1) d ( x + 1) 1 1 ⇒I =∫ − 2∫ +∫ = ln x + + − = ln + x +1 x + ( x + 1) 0 ( x + 1) ( x + 1) c/ ∫ x2 ( x x − x + ln + x ( x 1+ x ⇒I =∫ ( ) dx = ( ln + x )   ln + x   x −1 +  dx =  ∫1  + x ∫1  1+ x x     ( ) ( ( ) d 1+ x =  x ) ( )  ( ) 1+ x ( + ) − ln x − dx + ∫ = − + ln Trang ) ) ( ( Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 )   dx x −1 + 1+ x x   ) ) 3 − x  + ln + x = 1 ( ( ln + x ) ∫ d/ 2 =  ( x − x ) dx  ∫  x − x +  + 2  x3 + x − x + dx = x4 − 2x2 + ∫ d ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = ln ( x − 1) 2 ∫ ( x − 1) dx + 2 ∫ (x 2dx − 1) 2  1 1   ∫  x − − x + ÷ dx + ∫  x − − x + ÷ dx 2 x −1  1 x −1  + ln + − − − ln = x +  2 x +1 2  x −1 x +1 Ví dụ Tính tích phân sau a/ π ∫ 2sin x ( sin x − 1) + cosx c/ ∫ 4− x −1 b/ dx π ∫ 2sin π  2+ x ln  ÷dx  2− x  sin x dx x + 3cos x d/ ∫ s inx+ 1+tanx dx cos x Ví dụ Tính tích phân sau x2 −1 b/ ∫ x x + dx ( ) e2 ln x + dx a/ ∫ x ln x e π π + sin x dx c/ ∫ sin 2 x π d/ ∫ sin x.cosxdx B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng , ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt v (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = ∫ a g (t )dt = G (t ) v (a) v(b) v(a ) v (b) • Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(a) 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu Cách chọn a −x π π   x = a sin t ↔ − ≤ t ≤   x = a cost ↔ ≤ t ≤ π 2 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang x2 − a2  a  π π ↔ t ∈ − ;  x = sin t  2   a π  ↔ t ∈ [ 0; π ] \   x = cost 2  a2 + x2   π π  x = a tan t ↔ t ∈  − ; ÷     x = a cot t ↔ t ∈ ( 0; π ) a+x a−x ∨ a−x a+x x=a.cos2t x=a+ ( b − a ) sin t ( x − a) ( b − x) b Quan trọng em phải nhận dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : β β β 1 1 dx = ∫ du ∫α ax + bx + c dx ( ∆ < ) = α∫  2 aα u +k    b −∆ *   a  x+ ÷ +  ÷ 2a   2a      b −∆ , du = dx ÷ Với :  u = x+ , k = ÷ 2a 2a   β dx ( k ∈Z) * áp dụng để giải toán tổng quát : α∫ 2 k +1 a + x ( ) β * β ∫ + 2x − x2 α dx = ∫ α ( 3) − ( x − 1) dx Từ suy cách đặt : x − = sin t 3/ Một số ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ ∫ − x dx b/ ∫ Giải 1 − 2x c/ dx ∫ π π   a/ Đặt x=sint với : t ∈  − ;   2  x = ↔ sin t = → t =  π • Suy : dx=costdt :   x = ↔ sin t = → t = 2 2 • Do : f(x)dx= − x dx = − sin tcostdt=cos tdt = ( + cos2t ) dt • Vậy : b/ Đặt : x = Trang π 0 ∫ f ( x)dx = ∫ π  π  π −1 ÷ =  − ÷=  2 2 ( + cos2t ) dt =  t + sin 2t   2  π π sin t t ∈  − ;   2 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 + x − x2 dx  x=0 ↔ sint=0 → t=0  • Suy : dx = costdt ⇒  x= ↔ = sin t → t = π  2 2  • Do : 2 ∫ − 2x2 dx = ∫    ÷− x  2 dx = π π π 1 π costdt = dt = t 2= ∫ 20 2 − sin t ∫ c/ Vì : + x − x = − ( x − 1) Cho nên : π π x −1   • Đặt : x − = 2sin t t ∈  − ;  ↔ sin t = ( *)   −1   x = ↔ sin t = = → t =  π ⇒ t ∈ 0;  → cost>0 • Suy : dx= costdt :   6  x = ↔ sin t = − = → t = π  2 1 dx = dx = cos tdt = dt • Do : f(x)dx= + x − x ( − sin t ) − ( x − 1) • Vậy : ∫ π π π f ( x)dx = ∫ dt = t = 0 Ví dụ 2: Tính tích phân sau a/ ∫ 1 b a − x2 b/ ∫ x + x + dx 12 x − x − 5dx dx c/ ∫ x − 4x + d/ * Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa ( ∫ ( a + x2 ) dx ) x + a , a − x , ta sử dụng phương pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t) Ví dụ : Tính tích phân sau ∫ x2 + dx Giải : • Đặt : x + = x − t ⇒ x = t −1 2t  x = → t = −1; x = → t = −  • Khi :  t2 +1  dx = 2t  • Do : ∫ x2 + dx = 1− ∫ −1 −2t t + dt = t + 2t 1− ∫ −1 dt 1− = ln t = − ln t −1 ( ) −1 2 Ví dụ 2: Tính tích phân : I = ∫ x − x dx Giải Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang π  − cos4t  2 2 2 • Do : f(x)dx= x − x dx = sin t − sin tcostdt=sin t cos tdt =  ÷dt   π π 12 1 1π π  = • Vậy : I= ∫ f ( x)dx = ∫ ( − cos4t ) dt =  t − sin 4t ÷ = 8 16   0 • Đặt : t=sinx , suy dt=cosxdx x=0,t=0 ; Khi x=1 , t= II Đổi biến số dạng Quy tắc : ( Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x) • Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt u (b ) b • Bước 4: Tính ∫ f ( x)dx = a ∫ g (t ) dt = G (t ) u(a) u (b) u (a ) u (b) • Kết luận : I= G (t ) u (a) Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ β A DẠNG : I= ∫ α P ( x) dx ax+b ( a ≠ 0) β * Chú ý đến công thức : β m m dx = ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc ∫ α a α ax+b ta chia tử cho mẫu dẫn đến β β β β P ( x) m ∫α ax+b dx = α∫ Q( x) + ax+b dx = α∫ Q( x)dx + mα∫ ax+b dx x3 dx Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ 2x + Giải Ta có : f ( x) = Do : x 27 = x2 − x + − 2x + 8 2x + 2 x3 27  27 13 27 1 1 3 2 dx = ∫1 x + ∫1  x − x + − x + ÷ dx =  x − x + x − 16 ln x + ÷ = − − 16 ln 35 Ví dụ 2: Tính tích phân : I= ∫ x2 − dx x +1 Giải Ta có : f(x)= Trang x −5 = x −1− x +1 x +1 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 ∫ Do : x2 − dx = x +1 β B DẠNG : ∫ ax α   1 ∫  x − − x + ÷ dx =  x  +1   − x − ln x + ÷ = − + ln  ÷ ÷    P( x) dx + bx + c Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt β Công thức cần lưu ý : β u '( x ) ∫ u ( x) dx = ln u( x) α α Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) x + 11 Ví dụ 3: Tính tích phân : I= ∫ x + x + dx Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 3) + B ( x + ) x + 11 x + 11 A B = = + = x + x + ( x + 2)( x + 3) x + x + ( x + 2)( x + 3) Ta có : f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy B=1 + x+2 x+3 1 x + 11   dx = + Vậy : ∫ x + x +  ÷dx = ( 3ln x + + ln x + ) = ln − ln ∫ x+2 x+3 0 Do : f(x)= Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) ( x + 5) + 2x + 2x + 1 Ta có : f(x)= x + x + = x + x + + x + x + = x + x + + x + − x + ( )( ) Do : I= ∫ 2x + 1   x+2  f ( x)dx = ∫  2 + − ÷dx =  ln x + x + + ln x + 5x + x + x +  x+3  0 1 ÷ = ln − ln  Tam thức : f ( x) = ax + bx + c có hai nghiệm kép β Công thức cần ý : β u '( x )dx = ln u ( x ) ( ) ∫ u ( x) α α Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t x3 Ví dụ : Tính tích phân sau : I= ∫ x + x + dx Giải x 3 x dx Ta có : ∫ x + x + dx = ∫ 0 ( x + 1) Đặt : t=x+1 suy : dx=dt ; x=t-1 : x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do : ∫ ( x + 1) x3 dx = ∫ ( t − 1) t2 1 1  1 dt = ∫  t − + − ÷dt =  t − 3t + ln t + ÷ = ln − t t  t1 2 1 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 4x Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I= ∫ x − x + dx Giải 4x 4x Ta có : x − x + = x − ( )  x = ↔ t = −1 x = ↔ t = 1 1 ( t + 1) x x 1 1   Do : ∫ dx = ∫ dx = dt =  + ÷dt =  ln t − ÷ −1 = −2 2 ∫ ∫ 4x − 4x +1 t t t  t  0 ( x − 1) −1 −1  Đặt : t= 2x-1 suy : dt = 2dx → dx = dt ;  Tam thức : f ( x) = ax + bx + c vô nghiệm : b  u = x+  P( x) P ( x) 2a  = ;  2 2 Ta viết : f(x)=  b   −∆   a ( u + k ) k = −∆  a  x + ÷ +  ÷  2a 2a   2a     Khi : Đặt u= ktant x Ví dụ 6: Tính tích phân : I= ∫ x + x + dx Giải x x • Ta có : ∫ x + x + dx = ∫ x + 2 + dx ) 0 (  x = ↔ tan t = • Đặt : x+2=tant , suy : dx= cos 2t dt ; ⇒  x = ↔ tan t =  t2 t tan t − dt  sin t  dx = ∫ = ∫ − ÷dt = ( − ln cost − 2t ) ( 1) • Do : ∫ 2 t1 + tan t cos t t1  cost  ( x + 2) + t1 x t2 1  2  tan t = ↔ + tan t = ↔ cos t = → cost1 = Từ :  1  2 tan t = ↔ + tan t = 17 ↔ c os t = → c ost =  17 17  t2 cost • Vậy : ( − ln cost − 2t ) t = − ( ln cost − 2t2 ) − ( ln cos t1 − 2t1 )  = − ln cost2 + ( t2 − t1 ) 1 cost 1 = ( arctan4-arctan2 ) − ln • ⇔ − ln cost2 + ( t2 − t1 ) = ( arctan4-arctan2 ) − ln 17 17 Ví dụ 7: Tính tích phân sau : I= x3 + x + x + dx ∫0 x2 + Giải x + 2x + 4x + = x+2+ 2 x +4 x +4 2 x + 2x + 4x +  dx  1 2 dx = ∫  x + + = + J (1) • Do : ∫ ÷dx =  x + x ÷ + ∫ 2 x +4 x +4 x +4 2  0 • Ta có : Trang Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Tính tích phân J= ∫ x + dx x = → t =   π π ↔ t ∈ 0;  → cost>0 • Đặt : x=2tant suy : dx = cos 2t dt ;   4  x = → t = π π π 1 14 π dt = ∫ dt = t = • Khi : ∫ dx = ∫ 2 x +4 + tan t cos t 20 0 π • Thay vào (1) : I = + β P( x) dx C DẠNG : ∫ α ax + bx + cx + d Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có nghiệm bội ba β Công thức cần ý : ∫x m dx = α 1 β m −1 1− m x α Ví dụ 8: Tính tích phân : I= x ∫ ( x + 1) dx Giải Cách 1: • Đặt : x+1=t , suy x=t-1 : x=0 t=1 ; x=1 t=2 • Do : x ∫ ( x + 1) 2 t −1 1 1  1 12 dt =  − ÷dt =  − + ÷ = ∫ t t t   t 2t  1 dx = ∫ Cách 2: ( x + 1) − x 1 • Ta có : x + = x + = x + − x + ( ) ( ) ( ) ( )   1  1 1 dx = − dx =  − + =  • Do : ∫ 3 2 ∫ x + x + x + x + x + ( ) ( ) ( ) ( )     0     x4 dx Ví dụ : Tính tích phân : I= ∫ −1 ( x − 1) x Giải • Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 : x=-1 t=-2 x=0 t=-1 • Do : x4 ∫ ( x − 1) −1 dx = −1 ∫ −2 ( t + 1) t3 −1 −1 t + 4t + 6t + 4t + 1  dt = ∫ dt = ∫  t + + + + ÷dt t t t t  −2 −2  −1 1 1  −1 33  1 ⇔ t + + + + dt = t + t + ln t − − •  ÷  ÷ = − ln 2 ∫−2  t t t  t t  −2 2 2 Đa thức : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I= ∫ ( x − 1) ( x + 1) dx Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định ) • Ta có : A ( x + 1) + B ( x − 1) ( x + 1) + C ( x − 1) A B C = + + = x − ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)  A=  1 = A  • Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số : 1 = −2C ⇔  Khi (1)  C = −  2 ( A + B) x + ( A + C ) x + A − B − C ⇒ A − B − C = ⇔ B = A − C −1 = + −1 = − ⇔ 4 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 1  dx = + −  ∫2 ( x − 1) ( x + 1) ∫2  x − ( x + 1) ( x + 1) ÷÷dx   1 1 3 ⇔ I =  ln ( x − 1) ( x + 1) +  = ln = ln 2 ( x + 1)  4 4 3 • Do : Cách 2: • Đặt : t=x+1, suy : x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4 • Khi : I= ∫ 4 dt t − ( t − 2) 1 1  = dt = dt − dt ÷  ∫ 2 ∫ ∫ t ( t − 2) t ( t − 2)  t ( t − 2) t ÷ 3  ( x − 1) ( x + 1) dx = ∫ 4 11  1  1 t−2 4 ⇔ I =  ∫ − ÷dt − ∫ dt ÷ =  ln − ln t ÷ = ln 22 2t −2 t  t  4 t 3 3t − 4t )  3t − 4t −   3t − 4t ( 3t + )  3t − 4t   ( = −  − −  + ÷ Hoặc : ÷=  = t − 2t t − 2t  t − 2t   t − 2t t  t − 2t  t t   3t − 4t     1  3 • Do : I= ∫  t − 2t −  t + t ÷÷dt =  ln t − 2t −  3ln t − t ÷÷ = ln      3 2 1  t − ( t − 4) =  Hoặc : t ( t − 2)  t ( t − 2)  • Do : I=  1 t+2 1 1 2 ÷=  − ÷=  − − 2÷ ÷ 4t −2 t  4t −2 t t    1 2 1 t −2 2 1 1 2 1 1 − − ÷dt =  ln + ÷ =  ln + − ln − ÷ =  ln − ln − ÷  ∫ 3t −2 t t  4 t t  4 2 3 4 6 Ví dụ 11: Tính tích phân sau : I= x2 ∫ ( x − 1) ( x + ) dx 2 Giải Đặt : x-1=t , suy : x=t+1 , dx=dt : x=2 t=1 ; x=3 t=2 2 t + 1) ( t + 2t + dx = ∫ dt = ∫ dt Do : ∫ t ( t + 3) t ( t + 3) ( x − 1) ( x + ) 1 x2 Cách 1; ( Hệ số bất định ) ( At + B ) ( t + 3) + Ct = ( A + C ) t + ( A + B ) t + 3B t + 2t + At + B C = + = Ta có : 2 t ( t + 3) t t +3 t ( t + 3) t ( t + 3) Trang 10 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 3 1 xdx 1 3 Do : ∫ x x − dx = ∫ x − − ∫ x dx =  ln ( x − 1) − ln x ÷ = ln − ln   ( ) 2 x +1 Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I= ∫ x x − dx ( ) Cách 1: A ( x − ) + Bx ( x + ) + Cx ( x − ) x +1 x +1 A B C = = + + = Ta có : x ( x2 − 4) x ( x − 2) ( x + 2) x x − x + x ( x2 − 4) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Khi x=0 : 1= -4A suy : A=-1/4 Khi x=-2 : -1= 8C suy C=-1/8 Khi x=2 : 3= 8B suy : B=3/8       Do : f(x) = −  ÷−  ÷+  ÷ 4 x  8 x−2 8 x+2 Vậy : 1 1 3 x +1 1 1 1  3 dx = − dx − dx + dx =  − ln x − ln x − + ln x + ÷ = ∫3 x ( x − ) ∫ ∫ ∫ 42x x−2 x+2 8  2 = ln − ln − ln 8 Cách 2: Ta có : 2 x +1 1 1 1   x − ( x − 4) = + =  − ÷+  x ( x − ) ( x − ) x ( x − )  x − x +   x ( x − )  1 1 2x 1 ÷=  − + − ÷ ÷ 4 x−2 x+2 x −4 x  4 x +1  1 2x 1 1 x − 4 Do : ∫ x x − dx = ∫  x − − x + + x − − x ÷dx =  ln x + + ln ( x − ) − ln x   ( )   3 x2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau : ∫ x − x + dx )( ) ( Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 1) ( x + ) + B ( x − 1) ( x + ) + C ( x − 1) x2 x2 A B C = = + + = ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x − x + x + ( x − 1) ( x + ) Thay nghiệm mẫu số vào hai tử số : Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy : A=1/2 Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy : B=-1/2 Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy : C=-5/4 Do : 3 x2 1   x −1 3 1 dx = − − dx = ln − ln x +  ÷ I= ∫ x − x +  = ln ) ( ) ∫2  x − x + x +   x +  ( Cách 2.( Nhẩy tầng lầu ) Trang 12 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Ta có : x2 x2 −1 + 1 1 x ( x + 1) − ( x − 1) ( x + ) = = + = + 2 ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) x + ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) x + 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) 1 x  1  1 1   +  − + 1 +  − = ÷− x + 2  ( x − 1) ( x + ) x +  x + 2   x − x +  x +  = Từ suy kết β D DẠNG ∫ ax α R ( x) dx + bx + c Những dạng , gần đề thi đại học cho ( Nhưng không không cho ) , đưa số đề thi thi năm trường đề thi riêng , mong em học sinh ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho thân Sau lấy số ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân sau : a 1 ∫ ( x + 3x + ) + x2 b ∫1 + x3 dx dx Giải 1 a ∫ ( x + 3x + ) dx Ta có :  1  x + x + = ( x + 1) ( x + ) ⇒ f ( x) = = = −   2 ( x + 3x + ) ( x + 1) ( x + )   ( x + 1) ( x + )  1 1   = + − = + − 2 − ÷ Vậy : 2 2  x +1 x +  ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 1) ( x + ) ∫ (x + 3x + ) 2  1   1 x +1  dx = ∫  + − − − − ln  ÷ dx =  − 2 x+2  x + x +    x +1 x + ( x + 2)  ( x + 1)  1 1 ÷0 = + ln  1 + x2 b ∫1 + x3 dx + x2 − x + x2 + x − x + x2 x f ( x ) = = = + Ta có : 1+ x ( + x ) ( − x + x2 ) ( + x ) ( − x + x2 ) ( + x ) ( − x + x2 ) ⇔ f ( x) = x 2x   + ⇒ ∫ + ÷dx 1+ x 1+ x + x3   x +1 Ví dụ Tính tích phân sau a ∫ 1 x2 −1 dx x4 − x2 + x4 + b ∫ x + dx Giải Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 13 a ∫ x2 −1 dx Chia tử mẫu cho x ≠ , ta có : x − x +1 x2 ⇒ f ( x) = x2 + −1 x 1− ∫ f ( x)dx = ∫ 1   1 − ÷dx  x     x + ÷− x   ( 1) x =1 → t = 1   2 Đặt : t = x + ⇒ x + = t − 2, dt = 1 − ÷dx ↔  x = → t = x x  x   Vậy : 3 ∫ ∫t f ( x)dx = dt = −3 ∫ ( t − 3) ( t + 3) dt =   ∫ t− −  ÷dt t+ 3  7−4  = ln + ) 3=  ln − ln ÷ ÷  3 t− I= ln t+ ( 1 x4 + b ∫ x + dx Vì : )  x − = ( x ) − = ( x − 1) ( x + x + 1)   2  x − = ( x ) − = t − 1( t = x ) Cho nên :  1  x4 + x4 − x2 + x2 1 3x   f ( x) = = − ⇒ f ( x)dx = ∫ − dx  x + ( x3 ) + 1 x + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x ) + ∫0   1 1 Vậy : I = arctan x − arctan ( 3x ) = arctan1- arctan3 = π − arctan3 Ví dụ Tính tích phân sau 1 x2 + x2 −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx 0 b ∫x 1 dx +1 Giải 1 x +1 x −1 a ∫ x + dx ∨ ∫ x + 1dx Ta có : 0 1 1− 2 x +1 x , g ( x) = x − = x f ( x) = = Cho nên x + x2 + x + x2 + x2 x2  1   2 t = x + x ⇒ dt =  − x ÷dx, x + x = t − 2, x = → t = 2, x = → t =   Đặt :   1   2 t = x − ⇒ dt =  + ÷dx, x + = t + 2, x = → t = 0, x = → t = x x  x   1+ 2 ⇔∫ 5 5 Vậy : 1  1  t−  dt  f ( x) dx = ∫  dt = − ln ÷=  ÷dt = t −  ∫2 t − t + 2 ∫2  t − t +  2 t+ 2 2 Trang 14 ( )( ) Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 2 dt t +2 ⇔ ∫ g ( x)dx = ∫ ( 1) 3 du ↔ t = → u = 0, t = → u = arctan = u1 cos u u1 u1 2du 2 u1 Do (1) ⇔ ∫ cos 2u + tan u = ∫ du = u = u1 ( ) 0 Đặt : t = tan u → dt = 2 1 b ∫ dx Ta có : F ( x) = = x +1 x +1 1  + x2 + − x2   ÷= 2 x4 +1   x2 + x2 −1  −  ÷ = ( f ( x) − g ( x) )  x4 +1 x4 +1  Đã tính ( phần a) Ví dụ Tính tích phân sau a ∫(x c 1− ∫ x −1 dx − x + 1) ( x − x + 1) b ∫x dx − 4x2 + x7 dx d I = ∫ + x − 2x x2 + dx x4 − x2 + Giải a ∫(x x −1 dx Ta có : − x + 1) ( x − x + 1)   1 − ÷dx 2  x −1  x  x f ( x) = = ⇒ ∫ f ( x )dx = ∫  1   ( x − 5x + 1) ( x − 3x + 1)  x + −  1 x+ − ÷ x + − ÷ ÷ x + ÷  x x −3 x x      1   Đặt : t = x + → dt = 1 − ÷dx , x = → t = 2, x = → t = x  x  1− ( 1) Vậy (1) trở thành : 5 2 1  t −5 1 ∫2 ( t − 5) ( t − 3) = ∫2  t − − t − ÷ dt = ln t − = ( ln − ln 3) = ln dt b ∫x 1 1 1  dx Ta có : f ( x) = x − x + = x − x − =  x − − x − ÷ − 4x + ( )( ) Do :  ∫ f ( x)dx = ∫  x 3 2 1  − ÷dx = I − J − x −1  ( 1) Với : 5 1 2 1  x− 37 − 20 I =∫ dx = ∫ dx = − dx = ln = ln  ÷ ∫ 3 x− x+ 3 x + 3 65 − x+ 3 x −3 x− 2 2 ( )( ) Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 ( ) Trang 15 5 1 1 2 1  x −1   15 J =∫ dx = ∫ dx = ∫  − =  ln − ln ÷ = ln ÷dx = ln x −1 x − 1) ( x + 1)  x −1 x +1  x +1  5 0 ( 2 c 1− ∫ x2 + dx x − x +1 x Học sinh xem lại cách giải ví dụ 2-a Chỉ khác đặt : t = x − , kết x7 x4 x 3dx d I = ∫ + x − 2x dx = ∫ 2 x −1 ( ) ( 1) dt = 3x dx, x = → t = 15; x = → t = 80  Đặt : t = x − ⇒  f ( x)dx = x 3x3dx = ( t + 1) dt =  +  dt  ÷  ( x − 1) t2  t t2   80 1  1  80 16 13 I = + dt = ln t − Vậy :  ÷  ÷ = ln + ∫15  t t   t  15 3 720 β E TRƯỜNG HỢP : R ( x) ∫ Q( x) dx ( Với Q(x) có bậc cao ) α Ở lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp bậc mẫu tới hai bậc tinh ý nhận tính chất đặc biệt hàm số dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn Phương pháp chung , khéo léo cách giải hay Sau đay minh họa số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x x + ( ) b x2 + ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Giải dx a ∫ x x + Nếu theo cách phân tích đồng hệ số hai tử số ta có : ( ) A Bx + Cx + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E ) f ( x) = = + = = x4 + x ( x + 1) x x ( x + 1) A + B = A =1   B = −1 A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A ( x3 C = 0, D =  ⇔ f ( x) = ⇒ ⇔ ⇒ f ( x ) = −   x x4 + x ( x + 1) E = C = 0, D = 0,  A =  E = Nhưng ta tinh ý cách làm sau hay Vì x x3 cách bậc , mặt khác x ∈ [ 1; 2] ⇒ x ≠ Cho nên ta nhân tử mẫu với x ≠ Khi f ( x ) = Trang 16 x3 d ( x ) = x 3dx ⇔ dt = x 3dx Mặt khác 4 x ( x + 1) Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 ( t = x ) , : f ( x) dx = x 3dx dt 1  = =  − ÷ = f (t ) Bài toán trở nên đơn giản 4 x ( x + 1) t ( t + 1)  t t +  nhiều ( Các em giải tiếp ) b x2 ∫ ( x − 1) ( x + 3) dx Nhận xét : * Nếu theo cách hướng dẫn chung ta làm sau : - f ( x) = x2 + A = ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) 3 + B ( x − 1) + C D + x −1 x + 3 - Sau quy đồng mẫu số , đồng hệ số hai tử số , ta có : A = , B = , C = − D =  Do : I = ∫   ( x − 1)  + ( x − 1) + 5 − 32 ( x − 1) 32 ( x + 3) 32  ÷dx ÷   1 5 = − − + ln x − − ln x +  = ln ( x − 1) 32 32  ( x − 1)  32 28 Ví dụ Tính tích phân sau : d ∫ x2 + b ∫ dx x +1 1 x3 (1+ x ) 2 x4 − a ∫ dx x −1 dx e ∫ x + 3x + ( 1+ x ) dx c ∫ x + x ( ) dx f ∫ 3 ( x−x ) x4 dx Giải a     3 x4 − x4 + x2 + x2 + ÷ x2 1 ÷   ∫1 x6 − dx = ∫1  ( x − 1) ( x + x + 1) −   ÷dx = ∫2 x − dx + ∫2    + x3 − − x3 + ÷dx   ( x ) − 1 ÷ ( x ) − 1 ÷      Tính J : J= artanx = artan3-artan2 2 dt = x dx, x = → t = 8; x = → t = 27  Tính K Đặt t = x ⇒  g ( x)dx = x dx = dt = 1  −  dt  ÷  x3 − ( t − 1)  t − t +   27 27 t − 27 117  1  − = ln Do : K= ∫ g ( x)dx = ∫  ÷dt = ( ln t − − ln t + ) = ln  t −1 t +1  6 t + 98 3 1 Tính E= ∫ x3 − dx = ∫ x − x + x + dx )( ) 2 ( Ta có : h( x) = x − ( x − 1) x2 x2 − = = − ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − ( x − 1) ( x + x + 1) Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 17 = ( x − 1) ( x + 1) = x − x + = x −  x + +  x2 −  ÷ x − ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − x + x + x3 −  x + x + x + x +  3x ( x + 1) I = ∫ dx − ∫ dx − ∫ dx 2 x −1 2 x + x +1  Vậy : 1  3 ÷ x+ ÷ + 2    3 1 28 13 = ln ( x − 1) − ln ( x + x + 1) − F = ln − ln − F ( ) 2 3 3  dx = dt   c os t Tính F : Đặt : x + = tan t ⇒  2  x = → tan t = → t = a; x = → tan t = 10 → t = b  3 b Do F= ∫ a dt b b 5 10   cos 2t = ∫ dt = t = b − a  t ant= → t = a = artan ; b = artan ÷ a 3 3  a + tan t ( ) Thay vào (2) ta có kết 2 x2 + x2 + 1 b ∫ x + dx = ∫ ( x + 1) ( x − x + 1) dx = ∫ 2 dx = ∫ ( x + x + 1) ( x − x + 1) dx 1 ( x − 1) − x 1 Ax+B Cx + D Ta có : ( x + x + 1) ( x − x + 1) = x + x + + x − x + A + C ) x3 + ( B − A + C + D ) x + ( A − B + C + D ) x + ( B + D ) ( = x4 − x2 + 1  A = −  A + C =  A = −C C = B − A + C + D = 1 − 2C =    ⇔ ⇔ Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  A − B + C + D = − B + D = D =  B + D =  B + D =   B =  2  1 1− x x +1 dx + ∫ dx ÷ = ( J + K ) ( 1) Vậy : I =  ∫ 2  x + x +1 x − x +1  Tính J= 2 2 −x +1 2x +1− 2x +1 1 dx = − ln x + x + + E ∫1 x + x + dx = − ∫1 x2 + x + dx = − ∫1 x + x + dx + ∫1 2 1  3  x + + ÷  ÷  2    dx ∫ Tính E =     , học sinh tự tính cách đặt : x + = tan t ÷ 2 x+ ÷ + 2    Tính K Trang 18 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 ( 2) K =∫ 2 x +1 2x −1+ 2x −1 1 dx = dx = dx + dx = ln x − x + + F 2 2 ∫ ∫ ∫ x − x +1 x − x +1 x − x +1 20 1  3 x − ÷  ÷ + 2    ( 2) dx ∫ 2   Tính F=   , học sinh tự tính cách đặt : x − = tan t ÷ 2 x− ÷ + 2    4 2 dx 3x  d ( x ) d ( x )   x  32 ÷ = ln  = ∫ dx = ∫  − c ∫ ÷ = ln x ( + x4 ) 31 x + x ÷  + x  17 x (1+ x )   1 2 x x dx = ∫ xdx ( 1) Đặt : t = + x ⇒  x = t − 1; dt = xdx 3 d ∫ 2 ( + x2 ) (1+ x )  x = → t = 1, x = → t = 2 t −1 1 1  1  13 Do I = ∫ dt = ∫  − ÷dt =  − + ÷ = t t t   t 4t  16 1 e ∫ x + 3x2 + (1+ x )  ( + x2 )  1 x2 ÷ x2 dx = ∫  + dx = dx + dx = J + K ( 1) ∫ ∫ 3 ÷  + x ( 1+ x ) ( 1+ x ) ( 1+ x )   Tính J : Bằng cách đặt x = tan t ⇒ J = π   1  ÷dx = E + F ( ) − Tính K= ∫  2 ÷ ( 1+ x ) (1+ x )     dx = cos 2t dt x = tan t ↔  Tính E : Bằng cách đặt  x = → t = 0; x = → t = π  1 π π π     Vậy : E = ∫  + x ÷ dx = ∫  + tan t ÷ cos 2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt   0 0 0 1 1 1 1 cos 4t π = ∫ ( + cos2t ) dt = 40 π 1 1π 1 π +2   t + sin 2t ÷ =  + ÷ = 4 16  4 2 Tính F Tương tự tính E ;   dx = cos 2t dt x = tan t ↔  Bằng cách đặt  x = → t = 0; x = → t = π  π π π     Vậy : F = ∫  + x ÷ dx = ∫  + tan t ÷ cos2t dt = ∫ cos 2t dt = ∫ cos tdt   0 0 0 1 1 1 1 cos 6t Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 19 π π π 1  + cos4t  = ∫ ( + cos2t ) dt = ∫  + 2cos2t + ÷dt = 80 0  π π 1 1 π 3π +  ( + cos 2t + cos4t ) dt =  3t + 2sin 2t + sin 4t ÷ =  + ÷ = ∫ 16 16  64  16   f ∫ 3 ( x−x ) x4 1  x − x3    dx dx = ∫  ÷ dx = ∫  − 1÷ x  x  x x 1 1 x 3 dx  dt = −  1    x Đặt : t =  − 1÷⇒ t + = ⇔  x x   x = → t = 8; x = → t =   3  73 34   24  468 I = − t t + dt = t + t dt = Khi ÷  t + t ÷ = + = 16  + ÷ = ∫8 ( ) ∫0  0 7  4  7 * Chú ý : Còn có cách khác  1 3  − 3÷ 1  1 x ∈ ;1 → x ≠ Vì : Đặt x = ⇒ dx = − dt; f ( x)dx =  t t    t t 1  ÷ t  = −t ( t − t ) 3 1 1 3  dt = dt = −t  − ÷ dt (2) Đặt : u = − ⇔ = − u; du = dt t t t  t  Ví dụ Tính tích phân sau a ∫ 1 a p e p +2 x2 x p+2 +1 ∫ b dx x dx ( x2 + a2 ) 2a x+e c ∫ e dx x d ∫x 2ax − x dx Giải p a e p +2 ∫ x x p p+2 +1 dx ( ĐHTNguyên-98) : Ta có : f ( x )dx = x dx  p2+  x +  ÷   p  e dt = x dx dt  t = x = x ⇒ ⇔ I = - Đặt : ∫  t +1  x = → t = 1; x = e p + → t = e du  u1 u1  dt = cos 2u du π ⇔I=∫ = ∫ du = − u1 - Đặt : t = tan u ⇒  2 π  π cos u ( + tan u ) π t = → u = , t = e → u = u 4  π - Từ : tan u = e ⇒ u = u1 = artan e ⇔ I = − artan e p+2 Trang 20 p +1 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 t ( t −t)  1 dt  − ÷dt = − t  t  a b ∫ x dx (x +a 2 ) a Vậy : I = ∫ dt π  dx=a cos 2t ; x = → t = 0, x = a → t =  3 Đặt : x = atant ⇒  f ( x) = x dx = a tan t a dt = a cos t.tan tdt  cos 2t 2 2   x + a ( ) a 2÷    cos t  π π π π ( − cos t ) sin t dt = sin t sin t f ( x)dx = ∫ a cos t.tan tdt = ∫ a cos t dt = ∫ a dt =a ∫ cos t cos t cos 2t 0 0 3 π   du = − s intdt;t= → u = ; t = → u =  - Đặt : cost=u ⇒   f (t )dt = ( − u ) − du = 1 −  du ( )  2÷  u2  u  Vậy : I = 2 ∫  1 2 3 −4   + −2= −2= −2=  − ÷du =  u + ÷ = u 2 2  u   1  dt = e x dx; x = → t = 1; x = → t = e x+ex x ex x e dx = e e dx c ∫ Đặt : t = e ⇒  ∫0 x ex t  f ( x)dx = e e dx = e dt e t t e e I = f ( x ) dx = Vậy : ∫0 ∫1 e dt = e = e − e 2a d 2a ∫x 2ax − x dx = ∫x a − ( x − a ) dx π π  dx = a.costdt,x=0 → t=- ;x=2a → t= Đặt : x − a = a.sin t ⇒   f ( x)dx = ( a + a.sin t ) a 2cos 2t a.costdt  Vậy : π π  π2   π2  2 + c os2 t   3  2  I = a ∫ ( + sin t ) cos tdt = a  ∫ cos tdt + ∫ cos t sin tdt  = a  ∫ dt − ∫ cos td ( cost )  π π π − − −  − π2   − π2  2  π π  1     π π  π  = a   t + sin 2t ÷ − cos3t  = a   + ÷ = a π 2   −π   2  −   2 π Ví dụ Tính tích phân sau dx a ∫ x −x c ∫ b x3 − x (x + 1) ∫ dx d ∫ x dx (1+ x ) + x3 dx x4 Giải Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 21 3 dx a ∫ x5 − x = ∫ x x − x + x + dx ( )( ) 2 ( 1) A B Cx + D E Xét : f ( x) = x ( x − 1) ( x + x + 1) = x + x + x + x + + x − = A ( x + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x + x + 1) + ( Cx + D ) x ( x − 1) + E ( x + x + 1) x x ( x − 1) ( x + x + 1) B + C + E ) x + ( A + D − C + E ) x + ( E − D ) x − Bx − A ( = x ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :  D =  B + C + E = C = − E A + D −C + E =  E + E + E = C = − 1 − x+    3+ ⇔ B = ⇔  B = ⇒ f ( x) = − + 23 E − D = x x + x +1 x −1 B = E = D    E =  A = −1  A = −1   A = −1   1   3  −3x+3 ÷  1  x −1  1  + ÷dx Vậy : I = ∫  − + ÷dx = ∫  − −  ÷+ x x + x +1 x −1 ÷ x  x + x +  ( x − 1) ÷ 2 2    1 x − 1) ( dx 2x+1  1 3 =  − ln x + x + + ln x − ÷ − ∫ = + ln + arctan  ÷ 2  3 ÷ x 2 2     x x + x +1 2 x + + ÷  ÷  2    1   + arctan − arctan  ÷ 3 3 1 x dx x4 = 3x dx ( 1) 2 ∫ b ∫ ( + x4 ) (1+ x ) = dt = 3x dx, x = → t = 1; x = → t =  Đặt : t = + x ⇒   t −1  1   f ( x) dx =  t ÷dt =  t − t ÷dt      1  1 1  1 Vậy : I = ∫  t − t ÷dt =  ln t + t ÷ =  ln − ÷       1 ( x − 2) c ∫ 2 dx = ∫ 2 xdx ( x + 1) ( x + 1) x3 − x Trang 22 ( 1) Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299  dt = xdx; x = → t = 1; x = → t =  Đặt : t = + x ⇔ x − = t − ⇒  f ( x)dx =  t −  dt =  −  dt  ÷  ÷   t2   t t2   1  1 3 1 3 I = Vậy : ∫1  t − t ÷ dt =  ln t + t ÷ =  ln − ÷ 2 d ∫ 2 + x3 + x3 dx = ∫1 x6 x dx x4 ( 1)  2tdt = x dx; x = → t = 2, x = → t =  3 Đặt : t = + x ↔ t = + x ↔  f ( x)dx = 1 + x3 3x dx = t 2tdt = t dt  x6 ( t − 1) ( t − 1)  Vậy : I= = 2  1 1  2 1 1   ∫  t + +  t − − t + ÷ ÷ dt =  ∫  t + − t − ÷  =    1   + − −  ∫  ( t + 1) ( t − 1)  t − t + ÷÷÷dt 2  1 1 t −   −2t t −1  −  ÷ − − − ln = − ln = + ln 2 −  t + t − t +   ( t − 1) t +1 ÷ 24   ( Ví dụ Tính tích phân sau : ∫x a ∫ c dx b x2 + x5 − x3 x2 + 1 ∫ d dx (x ) − x ) dx x2 + ∫ (1− x ) dx Giải a ∫x dx x +9 = ∫x xdx ( 1) x2 + 5 t = x + ↔ tdt = xdx, x = t − dt dt Đặt : t = x + ⇒  Do : I = ∫ t t − = ∫ t ( t − 3) ( t + 3) ) 4 (  x = → t = 4, x = → t = A ( t − ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t A B C = + + = Ta có : f (t ) = t ( t − 3) ( t + 3) t t − t + t ( t − 9) Đồng hệ số hai tử số cách thay nghiệm vào hai tử số ta có : - Với x=0 : -9A=1 → A = − 9 - Với x=3 : 9B=1 → B = 5 t − 144 1  1     I = − + + dt = ln t − − ln t ( )  = ln t = ln 35 Vậy :   ÷   ∫4  t t − t +    - Với x=-3 : 9C=1 → C = * Chú ý : Nếu theo phương pháp chung đặt : x = 3sin t → dx = 3cos tdt Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 23   x = → = 3sin t ↔ sin t = Khi :  Như ta không sử dụng phương pháp  x = → = 3sin t ↔ sin t = >  b ∫ (x − x ) dx x +1 1 x2 =∫ x +1 dx − ∫ x x +1 dx = J − K ( 1) * Để tính J : π  dx = cos 2t dt , x = → t = 0; x = → t =  Đặt : x = tan t ⇒  Tính tích phân không đơn tan t dt 2  tan t cos t = dt  f ( x)dx = cost + tan t  giản , ta phải có cách khác x2 - Từ : g ( x) = x2 + = x2 + −1 x2 + = x2 + − 1 x2 + 1 ⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x + 1dx − ∫ 0 x2 + - Hai tích phân tính 1  1 x2 +/ Tính : E = ∫ x + 1dx =x x + − ∫ dx = −  ∫ x + 1dx − ∫ dx ÷ 0 x +1 x +1  0 0 = − E + ln x + x + ⇒ E = + ln + ⇔ E = + ln + 2 1 1 x dx = x + = − dx = ln x + x + = ln + * Tính K= ∫ ; ∫ 0 x +1 x2 + 0 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2 + ln + + ln + = + ln + 2 2 3 x − x3 x5 x3 c ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx = J − K ( 1) x +1 x +1 x +1 0 2  x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t =  2 - Tính J: Đặt t = x + ⇒  x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 2t + 1) dt  f ( x)dx = t  x +1 Do : I= 2 1   Suy : J= ∫ ( t − 2t + 1) dt =  t − t + t ÷ = 1 5 38 15  x = t − 1; xdx = tdt ; x = → t = 1, x = → t =  2 - Tính K: Đặt t = x + ⇒  x xdx ( t − 1) tdt = = ( t − 1) dt  f ( x)dx = t x +1  1  Suy : K= ∫ ( t − 1) dt =  t − t ÷ = 3 1 28 48 16 Vậy : I= + = = 15 15 Trang 24 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 ) dx d ∫ (1− x ) π  dx = costdt x=0 → t=0;x=1 → t= dx Đặt : x = sin t →   f ( x )dx = ( − x ) dx = cos 6tcostdt=cos 4tdt  π 2 π π Do I= ∫  − cos2t ÷ dt = ∫ 1 − cos 2t + + cos4t ÷dt = ∫  − cos2t+ cos4t ÷dt   0  4  π 3π 3  =  t − sin 2t + sin 4t ÷ = 32 4  Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 Trang 25 Trang 26 Gv Phạm Minh Tứ - 0968.469.299 [...]... 2 2  3  x − 1 x + 2  x + 1  = Từ đó suy ra kết quả β D DẠNG ∫ ax 4 α R ( x) dx + bx 2 + c Những dạng này , gần đây trong các đề thi đại học ít cho ( Nhưng không hẳn là không cho ) , nhưng tôi vẫn đưa ra đây một số đề thi đã thi trong những năm các trường ra đề thi riêng , mong các em học sinh khá ,giỏi tham khảo để rút kinh nghiệm cho bản thân Sau đây tôi lấy một số ví dụ minh họa Ví dụ 1 Tính