Chuyên đề tích phân luyện thi đại học, luyên thi quốc gia và ôn thi học sinh giỏi môn toán. Dùng cho ôn thi đại học, ôn thi kỳ thi quốc gia, ôn thi học sinh giỏi Tuyển chọn công phu, đã được kiểm tra trên nhiều nhóm học sinh, đáp án và lời giải chuẩn 100% File word lời giải chi tiết
CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Bài 1. Tính các tích phân sau : ( ) 2 2 1 . 2 1a x x dx+ + ∫ 2 2 3 1 1 3 . x b x e dx x + + + ÷ ∫ 2 2 1 1 . x c dx x − ∫ 2 2 1 . 2 x d dx x − + ∫ ( ) 2 4 1 2 2 4 . x e dx x − − + ∫ 2 2 1 1 1 . e f x x dx x x + + + ÷ ∫ ( ) ( ) 2 1 . 1 1g x x x dx+ − + ∫ ( ) 2 2 3 1 .h x x x x dx+ + ∫ ( ) 4 3 4 1 . 2 4i x x x dx+ − ∫ 2 2 3 1 2 . x x k dx x − ∫ 2 1 2 5 7 . e x x l dx x + − ∫ 8 3 2 1 1 . 4 3 m x dx x − ÷ ∫ GIẢI ( ) 2 2 3 2 1 2 1 8 1 19 . 2 1 4 2 1 1 1 3 3 3 3 a x x dx x x x + + = + + = + + − + + = ÷ ÷ ÷ ∫ 2 2 7 4 2 3 1 3 3 1 7 4 1 1 3 1 1 8 1 1 7 3 . 3ln 3ln 2 3ln 2 3 3 3 3 3 3 3 x x e e b x e dx x x e e e x + + − + + = + + = + + − + = + + ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ln ln 2 1 ln 2 2 2 x c dx dx x x x x x − = − = + = + − = − ÷ ÷ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . ln 2 ln 6 ln3 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 d x x d dx x x x − − − + = = + = − = + + ∫ ∫ ( ) 2 4 1 1 1 1 8 4 6 2 7 3 2 2 2 2 2 2 2 4 8 16 16 1 . 8 4 16ln 7 x x x e dx dx x x dx x x x x x x − − − − − − − − + + + = = + + = + + = ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 . ln 3 3 3 e e e f x x dx x x x e x x x e + + + = + − + = + − + ÷ ÷ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 3 2 1 1 1 2 8 2 3 . 1 1 1 5 5 g x x x dx x dx x x + + − + = + = + = ÷ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 1 4 3 5 3 2 2 3 3 3 32 2 1 1 1 1 2 3 71 8 2 9 3 . 3 5 4 60 5 4 h x x x x dx x x x dx x x x + + = + + = + + = + + ÷ ÷ ∫ ∫ ( ) 4 4 4 1 4 1 1 3 5 3 4 3 32 4 2 4 1 1 1 2 3 16 . 2 4 2 4 2. 3 4 5 i x x x dx x x x dx x x x + − = + − = + − = ÷ ÷ ∫ ∫ 2 2 2 2 3 2 1 11 2 1 2 2 . ln ln 2 3 x x k dx dx x x x x x − = − = + = − ÷ ÷ ∫ ∫ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 1 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( ) 2 1 1 1 2 5 7 2 5 . 7 4 5ln 7 4 7 8 e e e x x l dx dx x x x e e x x x + − = + − = + − = − + ÷ ∫ ∫ 8 8 2 1 2 3 3 3 2 1 1 1 1 1 . 4 4 2 125 3 3 3 m x dx x x dx x x x − − = − = − = ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ Bài 2. Tính các tích phân sau 2 1 . 1a x dx+ ∫ 5 2 . 2 2 dx b x x+ − − ∫ ( ) 2 2 3 1 .c x x x x dx+ + ∫ 2 2 0 . 1 xdx d x− ∫ 2 2 3 3 0 . x e dx x ∫ 4 2 0 . 9f x x dx+ ∫ GIẢI ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 2 2 1 1 1 2 2 . 1 1 1 1 3 3 2 2 3 3 a x dx x d x x+ = + + = + = − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 3 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 . 2 2 2 2 7 7 3 3 8 4 4 3 6 2 2 dx b x x dx x x x x = + + − = + + − = + − + − − ∫ ∫ ( ) 2 2 2 1 4 3 5 2 2 3 3 3 3 32 2 1 1 1 1 2 3 7 7 8 2 3 . 2 3 5 4 3 20 5 2 c x x x x dx x x x dx x x x + + = + + = + + = − + + ÷ ÷ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 . 1 1 1 1 xdx d d x x x = − − = − − = − ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 3 22 3 3 33 3 3 3 3 0 0 0 1 9 1 . 1 1 1 2 2 1 x e dx x d x x x − = + + = + = + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 4 4 34 2 2 2 2 0 0 0 1 2 . 9 9 9 9 3 3 f x x dx x d x x+ = + + = + = ∫ ∫ Bài 3. Tính các tích phân sau 0 . sin 2 6 a x dx π π + ÷ ∫ ( ) 2 3 . 2sin 3cosb x x x dx π π + + ∫ ( ) 6 0 . sin 3 os2xc x c dx π + ∫ 4 2 0 t anx . cos d dx x π ∫ 3 2 4 . 3tane xdx π π ∫ ( ) 4 2 6 . 2cot 5f x dx π π + ∫ 2 0 . 1 sinx dx g π + ∫ 2 0 1 osx . 1+cosx c h dx π − ∫ 2 2 2 0 . sin cosi x xdx π ∫ ( ) 3 6 . t anx-cotxk dx π π − ∫ 2 2 sin 4 . sin 4 x l dx x π π π π − − ÷ + ÷ ∫ 3 4 0 . osm c xdx π ∫ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 2 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIẢI ( ) 0 0 1 1 . sin 2 os 2 3 3 0 6 2 6 2 a x dx c x π π π π + = − + = − − = ÷ ÷ ∫ ( ) 2 2 2 2 3 3 1 3 3 . 2sin 3cos 2cos 3sin 6 2 2 18 b x x x dx x x x π π π π π + + = − + + = − + ÷ ∫ ( ) 6 6 0 0 1 1 2 3 . sin 3 os2x os3x+ sin 2 3 2 4 c x c dx c x π π + + = − = ÷ ∫ ( ) ( ) ( ) 4 4 1 3 2 2 4 2 0 0 0 t anx 2 2 . t anx t anx t anx cos 3 3 d dx d x π π π = = = ∫ ∫ ( ) 3 3 2 3 2 4 4 4 1 . 3tan 3 1 3 t anx-x 3 3 3 os 4 e xdx dx c x π π π π π π π = − = = − − ÷ ∫ ∫ ( ) ( ) 4 4 4 2 4 2 2 6 6 6 6 1 2 . 2cot 5 2 1 5 3 3 cot 3 1 sin sin 4 f x dx dx dx x x x x π π π π π π π π π − + = − + = − = − = + − ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 0 1 2 . = . tan 1 x 1 sinx 2 x 1 tan 1 tan 2 2 dx x g d π π π ÷ = − = ÷ ÷ + ÷ + + ÷ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2sin 1 osx 1 4 2 . 1 2tan 1+cosx 2 2 2cos os 2 2 x c x h dx dx dx x x x c π π π π π ÷ − − = = − = − = ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 os4x 1 1 1 1 . sin cos sin 2 sin 4 4 4 2 8 4 8 2 4 c i x xdx xdx dx x x π π π π π − = = = − = + ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 3 3 3 6 6 6 6 sin 2 2 os2x . t anx-cotx ln sin 2 0 sin 2 sin 2 d x c k dx dx x x x π π π π π π π π − − − − − = − = = − = ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 sin osx+sinx osx-sinx 4 . ln osx+sinx ln 2 osx+sinx osx+sinx sin 4 x d c c l dx dx c c c x π π π π π π π π π π − − − − − ÷ = = = = − ÷ + ÷ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 4 4 4 0 0 0 1 1 1 1 3 1 1 . os 3 4cos2 os4x 3 2sin 2 sin 4 2 3 7 8 8 4 8 4 4 32 m c xdx x c dx x x x π π π π π = + + = + + = + − = + ÷ ÷ ∫ ∫ Bài 4. Tính các tích phân sau : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 3 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( ) 1 1 2 1 0 0 0 1 . ln ln 2 x x x x x x x x x x d e e e e e a dx e e e e e e e − − − − − + − + = = + = + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 1 . ln ln ln 2 ln 2 ln ln ln x d x x x x b dx dx x x x x x x x x x + + + = = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 0 0 0 0 2 2 4 . 2 2 3 2 2 x x x x x x x e e e c dx dx e dx e x e e e − + − = = − = − = − + + ∫ ∫ ∫ ( ) ln 2 ln2 ln2 0 0 0 1 . ln 1 ln3 ln 2 1 1 x x x x x d e e d dx e e e + = = + = − + + ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ln ln 2 x x x x e e e dx e dx e x e e x x − − = − = − = − − ÷ ÷ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 . 1 2 2 2 2 x x x x e e e e f dx dx = = = − ÷ ÷ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 osx osx osx 2 0 0 0 . sinxdx=- osx 1 c c c g e e d c e e π π π = − = − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 1 1 1 . 2 2 2 x x x e h dx d e e e e x = = = − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 1 1 1 1 ln 2 2 . 1 ln ln 1 1 ln 2 2 1 3 3 e e e x i dx x d x x x + = + + = + = − ∫ ∫ ( ) ( ) 2 1 1 1 ln 1 1 . ln ln ln 2 2 e e e x k dx xd x x x = = = ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 1 1 0 0 1 1 . 1 2 2 x x l xe dx e e= = − ∫ ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 . 1 ln 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 1 1 1 1 x x x x x x x e e e m dx dx dx x e e e e e e + − = = − = − + = − + + = + ÷ + + + + ∫ ∫ ∫ II. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. Dạng 1 .( Đặt ẩn phụ ) Bài 1. Tính các tích phân sau ( ) ( ) 1 1 1 19 19 20 21 0 0 0 1 1 1 1 1 . 1 1 20 21 20 21 420 a x x dx x x dx x x − = − = − = − = ÷ ∫ ∫ ( ) 1 3 3 2 0 . 1 x b dx x+ ∫ . Đặt : ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 3 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 7 1 2 2 2 2 16 1 t x xdx t x dt xdx dt t t t x − = + ⇒ = ⇔ = = + = − ÷ + ∫ ∫ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 4 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 1 5 4 2 2 0 0 . 1 1 x x xdx c dx x x = + + ∫ ∫ . Đặt : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ; 1. 1 1 1 1 1 2ln 2 1 2 2 ln 2 2 2 2 4 x t dt xdx x t t dt t dt t t t t t + = ⇒ = = − − − ⇔ = − + = − + = ÷ ÷ ∫ ∫ 1 0 . 2 1 xdx d x + ∫ . Đặt : 2 1 1 2 1 . 1 1; 1 3 2 2 1 t t x dt dx x x t x t x − = + ⇒ = ∨ = = → = = → = + Do đó : ( ) 2 3 1 3 3 1 0 1 1 1 1 1 . 2 2 3 3 2 1 t xdx d dt t t x − = = − = ÷ + ∫ ∫ 1 2 0 . 1e x x dx− ∫ . Đặt : 2 2 2 1 1 ; 0 1; 1 0t x x t xdx tdt x t x t= − ⇒ = − ⇔ = − = → = = → = Do đó : 1 1 0 1 2 2 2 3 0 0 1 0 1 1 . 1 3 3 e x x dx t dt t dt t − = − = = = ÷ ∫ ∫ ∫ 1 3 2 0 . 1f x x dx− ∫ . Đặt : 2 2 2 1 1 ; 0 1; 1 0t x x t xdx tdt x t x t= − ⇒ = − ⇔ = − = → = = → = Vậy : ( ) ( ) 1 1 1 0 1 3 2 2 2 2 3 2 4 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 4 4 x x dx x x xdx t tdt t t dt t t − = − = − − = − = − = ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 2 3 2 2 2 5 5 . 4 4 dx xdx g x x x x = + + ∫ ∫ . Đặt : 2 2 2 4 4; ; 5 3; 2 3 4t x x t xdx tdt x t x t= + ⇒ = − ⇔ = = → = = → = Vậy : ( ) 4 2 3 4 4 2 2 2 3 3 3 5 1 1 1 1 1 1 3 2 1 9 ln ln ln ln 2 1 1 2 1 2 5 3 2 10 1 4 xdx tdt t dt t t t t t x x − = = − = = − = ÷ ÷ − + + − + ∫ ∫ ∫ 3 5 3 2 0 2 . 1 x x h dx x + + ∫ . Đặt : 2 2 2 1 1; . 0 1; 3 2t x x t xdx tdt x t x t= + → = − ∨ = = → = = → = Vậy : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 5 3 3 4 2 2 0 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1 15 ln ln 2 4 4 1 1 x x xdx t t x x dx dt t dt t t t t x x + − + + = = = − = − = − ÷ ÷ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ln2 ln2 ln2 0 0 0 1 . ln 1 ln3 ln 2 1 1 x x x x x d e e i dx e e e + =¬ = + = − + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ln3 ln3 ln3 1 1 2 2 3 0 0 0 . 1 1 2 1 4 2 2 1 x x x x x e dx k e d e e e − + + = + = − + ∫ ∫ 1 2 ln . 2 e x l dx x + ∫ . Đặt : 2 2 ln 2 ln ; 2 ; 1 2, 3 dx t x t x tdt x t x e t x = + → − = ⇒ = = → = = → = Vậy : 3 3 3 2 1 2 2 ln 1 3 3 2 2 . 2 3 3 e x dx t tdt t x + − = = = ÷ ∫ ∫ 1 1 3ln . ln e x m xdx x + ∫ . Đặt : 2 3 1 3ln 1 3ln ;2 ; 1 1; 2 dx t x t x tdt x t x e t x = + ↔ − = = = → = = → = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 5 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Vậy : ( ) 2 2 2 2 4 2 5 3 1 1 1 1 1 1 3ln 1 2 2 2 1 1 116 ln ln . 1 3ln . 3 3 9 9 5 3 135 e e x dx t xdx x x t tdt t t dt t t x x + − = + = = − = − = ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 sin 2 . os 4sin x n dx c x x π + ∫ . Đặt : 2 2 2 2 2 os 4sin os 4sin ; 2 3sin 2 ; 0 0; 2 2 t c x x t c x x tdt xdx x x x t π = + ⇒ = + ⇔ = = → = = → = Vậy : 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 sin 2 2 1 2 2 4 . 3 3 3 3 os 4sin x dx tdt dt t t c x x π = = = = ÷ + ∫ ∫ ∫ 3 2 2 0 osxsin . 1 sin c x o dx x π + ∫ . Đặt : 2 2 1 sin sin 2 ;sin 1; 0 1; 2 2 t x dt xdx x t x t x t π = + ⇒ = = − = → = = → = Vậy : ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 osxsin 1 sin .sin 2 1 1 1 1 1 ln 2 1 ln 1 sin 2 1 sin 2 2 2 2 t dt c x x xdx dx dt t t x x t t π π − − = = = − = − = ÷ + + ∫ ∫ ∫ ∫ 6 2 2 0 sin 2 . 2sin os xdx p x c x π + ∫ . Đặt : 2 2 5 2sin os sin 2 ; 0 1; 6 4 t x c x dt xdx x t x t π = + ⇒ = = → = = → = Vậy : 5 6 4 5 4 2 2 1 0 1 sin 2 5 ln ln 2sin os 4 xdx dt t x c x t π = = = + ∫ ∫ 2.Dạng 2. Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp dổi biến số dạng 2 1 2 2 0 . 1 dx a x− ∫ . Đặt : 2 2 1 sin ostdt;x=0 t=0;x= ; 1 1 sin ost 2 6 x t dx c t x t c π = ⇒ = → → = − = − = .( Do ( ) 1 6 6 2 6 0 2 0 0 0 ostdt 0; 6 cost 6 1 dx c t dt t x π π π π π ∈ ⇔ = = = = − ∫ ∫ ∫ . 1 3 2 0 . 4 x b dx x− ∫ Đặt : 2 2sin 2cos ; 0 0; 1 ; 4 2cos 6 x t dx tdt x t x t x t π = ⇒ = = → = = → = − = ( ) ( ) ( ) 3 1 3 6 6 6 6 2 2 3 2 0 0 0 0 0 2sin .2cos 1 2 8 sin sin 8 1 os ost 8 os cos 3 3 2cos 3 3 4 t tdt x dx t tdt c t d c c t t t x π π π π ⇔ = = = − − = − = − ÷ − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 . 4c x x dx− ∫ . • Đặt : 2 2sin 2cos ; 1 ; 2 ; 4 2cos 6 2 x t dx tdt x t x t x t π π = ⇒ = = → = = → = − = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 6 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Vậy : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 6 6 6 1 2 3 4 4sin .2cos .2cos 4sin 2 2 1 os4t 2 sin 4 2 3 2 x x dx t t tdt tdt c dt t t π π π π π π π π π − = = = − = − = − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 0 . 3 dx d x + ∫ • Đặt : ( ) 2 2 2 1 3 tan 3 ; 0 0; 3 ; 3 3 1 tan os 3 x t dx dt x t x t x t c t π = ⇒ = = → = = → = + = + • ( ) 3 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 9 os 3 1 tan dx dt dt t x c t t π π π π = = = = ÷ ÷ + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 . 1 1 2 1 2 dx e dx I J x x x x = − = − ÷ + + + + ∫ ∫ • Tính : 1 2 0 1 dx I x = + ∫ . Đặt : ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 0 2 2 0 0 1 tan ; 0 0, 1 ;1 1 tan os 4 4 os 1 tan x t dx dt x t x t x t c t dt J dt dt t c t t π π π π π = ⇒ = = → = = → = + = + ⇒ = = = = + ∫ ∫ • Tính : 1 2 0 3 dx J x = + ∫ . Đặt : 2 3 tan 3 . 0 0; 3 os 3 dt x t dx x t x t c t π = ⇒ = = → = = → = • Vậy : ( ) 1 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 9 os 3 1 tan dx dt I dt t x c t t π π π π = = = = = ÷ ÷ + + ∫ ∫ ∫ • Do đó : I-J= 3 4 9 π π − 1 4 2 0 f. 1 xdx x x+ + ∫ . • Đặt : 1 1 2 4 2 2 0 0 1 1 2 ; 0 0; 1 1 1 2 1 2 xdx dt x t dt xdx x t x t I x x t t = ⇒ = = → = = → = ⇒ = = + + + + ∫ ∫ • Tính : 1 2 2 0 1 1 3 2 2 I dt t = + + ÷ ÷ ∫ . Đặt : 2 1 3 3 tan 2 2 2 os t u dt du c u + = ⇒ = • ( ) 2 2 2 1 3 3 1 tan ; 0 ; 1 2 2 4 6 3 t u t u t u π π ⇔ + + = + = → = = → = ÷ ÷ ÷ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 7 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • ( ) 3 3 3 2 2 6 6 6 3 2 3 2 3 3 3 3 3 9 2 os 1 tan 4 I du du u c u u π π π π π π π = = = = ÷ ÷ + ∫ ∫ 0 2 1 . 2 2 dx g x x − + + ∫ . • Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 0; 0 os 4 dt x x x x t dx x t x t c t π + + = + + ⇒ + = → = = − → = = → = • Vậy : 0 4 4 4 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 1 ost 2 2 os 1 tan os 1 tan 2 2 dx dt dt dt t t c x x c t t c π π π − = = = + + + − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ • 4 4 0 0 tan 1 tan 1 1 1 8 2 2 tan 2ln 2ln 2ln tan 0 2 4 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 2 2 2 8 t t d t t t π π π π π + + ÷ ⇔ − − = = = = ÷ ÷ ÷ − + − − ∫ 2 2 3 1 1 . x h dx x − ∫ • Đặt : 2 2 1 1 ost ost 2 ; 1 sin sin sint 2 4 x t c c x dx dt x t t x t π π = → = = ⇒ = − → − = = → = . ; sin , ost>0 4 2 t t c π π ∈ ⇒ • Vậy : 2 2 2 2 2 3 3 2 1 3 4 4 1 ost 1 ost 1 os2t 1 1 2 . . sin 2 sint sin 2 2 2 8 1 sin x c c c dx dt dt t t x t t π π π π π π π − + + = − = − = − − = ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 3 2 0 . 1 dx i x+ ∫ • Đặt : ( ) 3 2 2 3 0 0 1 tan ; 1 os os 1 4 x t dt x t dx x c t c t x t π = → = = → = → + = = → = • ( ) ( ) 1 4 4 4 2 0 3 2 0 0 0 3 1 2 . ost sin 1 os 2 1 os dx dt c dt t c t x c t π π π ⇒ = = = = + ∫ ∫ ∫ 2 3 2 2 . 1 dx k x x − ∫ • Đặt : 2 2 2 1 ost ost 6 ; ; 1 2 sin sin sint 3 3 x t c c x dx dt x t t x t π π = → = = → = − → − = = → = Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 8 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Vậy : ( ) 2 3 3 3 3 2 2 6 2 6 6 1 ost 1 ost sin 3 6 6 1 . sin sint dx c dt dt t c t x x t π π π π π π π π π = − = − = − = − − = − ÷ − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 0 . 1 x l dx x− ∫ . • Đặt : 2 x=0 t=0 sin ostdt ; 1 ost 2 x= 2 4 x t dx c x c t π → = ⇒ = ⇔ − = → = • Vậy : 2 2 2 2 4 4 4 2 0 0 0 0 sin 1 os2t 1 1 2 ostdt= sin 2 ost 2 2 2 8 1 x t c dx c dt t t c x π π π π − − = = − = ÷ − ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 0 0 . 2 1 1m x x x dx x x dx− = − − ∫ ∫ • Đặt : 2 0 1 sin 2 1 sin ; 2 ost ostdt 2 2 x t x t x t x x c dx c x t π π = → = − = + − = ⇒ ⇔ → − = = = → = • ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 0 - 2 2 2 1 os2t 1 1 1 2 1 1 1 sin ost.costdt= os ost sin 2 os 2 2 2 3 3 c x x dx t c c td c t t c t π π π π π π − − + − − = + − + − = ÷ ÷ ∫ ∫ ∫ III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1. Tính các tích phân sau 4 0 . sin 2a x xdx π ∫ ( ) 2 2 0 . sin osxdxb x x c π + ∫ 2 2 0 . osxdxc x c π ∫ 2 4 0 . os xd xc dx π ∫ 3 2 4 . tane x xdx π π ∫ ( ) 1 2 0 . 2 x f x e dx− ∫ ln 2 0 . x g xe dx ∫ 1 . ln e h x xdx ∫ ( ) 3 2 2 . lni x x dx− ∫ 2 3 0 . sin 5 x k e xdx π ∫ 2 osx 0 . sin 2 c l e xdx π ∫ 3 1 . ln e m xdx ∫ 3 2 1 . ln e o x xdx ∫ 2 1 ln . e e x p dx x ∫ ( ) 0 2 3 1 . 1 x q x e x dx − + + ∫ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 9 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIẢI 4 0 . sin 2a x xdx π ∫ • Đặt : 4 4 4 0 0 0 1 1 1 1 sin 2 os2x os2xdx= sin 2 4 1 2 2 4 4 sin 2 os2x 0 2 u x du dx x xdx xc c x dv xdx v c π π π π = → = → = − + = = → = − ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 0 0 0 1 1 . sin osxdx cos sin osxdx=I+ sin 1 2 3 3 0 b x x c x xdx xc x I π π π π + = + = + ∫ ∫ ∫ Ta có : ( ) 2 2 2 0 0 0 cos sinx sin sinxdx= osx 1 2 2 2 2 0 0 I x xdx xd x x c π π π π π π π = = = − + = − ∫ ∫ ∫ Thay vào (1) : ( ) 2 2 0 1 2 sin osxdx 1 2 3 2 3 x x c π π π + = − + = − ∫ 2 2 0 . osxdxc x c π ∫ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 osxdx sinx sinx 2 sin 2 osx 2 cos osxdx 0 0 x c x d x x xdx xd c x x c π π π π π π π = = − = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] 2 2 2 sinx 2 2 0 4 0 π π π π = − = − = 2 4 0 . os xd xc dx π ∫ • Đặt : 2 1 2 . 0 0; 4 2 2 t x dt dx tdt dx x t x t x π π = → = → = = → = = → = • Vậy : ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 os x 2 ostdt= 2 sin 2 sin 4 sin sin (1) 2 2 2 2 0 xc dx t c t d t t t t tdt J J π π π π π π π π = = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ • Tính : ( ) 2 2 2 0 0 0 4 sin 4 ost 4 cos ostdt 4 0 sin 4 2 2 0 0 J t tdt td c t t c t π π π π π = = − = − + = − + = − ∫ ∫ ∫ • Vậy thay vào (1) ta có : 2 2 4 0 os x 4 2 xc dx π π = + ∫ Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 10 [...]... Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 25 • • • • CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Thuộc các công thức góc có liên quan đặc biệt : Đối,bù ,phụ hơn kém nhau 1góc bẹt Lẻ sin thì đặt cosx=t , và lẻ cos thì đặt sinx=t Còn chẵn sin,chẵn cos thì đặt tanx =t Đặc biệt chú ý đến hai cận để có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 Ngoài ra còn chú ý đến một số công thức tính tích phân như : π 2 π 2 0 0 b ∫ f (s inx)dx=... + ln 2 2007 4 − 1) 2 dx • Phân tích : f ( x) = x4 ( x 2 − 1) 2 = x4 −1 + 1 ( x 2 − 1) 2 = x2 +1 1 2 + = 1+ 2 + 2 2 x − 1 ( x 2 − 1) x −1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 1 1 x 1 − 2 ÷ x = J+K 2 23 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3 1 1 x −1 3 − =1 + ln 2 + ln 3 ÷dx = x + ln x −1 x +1 x +1 ÷ 2 2 3 1 Tính : K = ∫ 2 2 dx 2 ( x − 1) Tính J = ∫ 1 + • Phân tích : g ( x) = (x 1 − 1)... + x − 3 x ÷ 0 = J + 3 0 0 • Phân tích : f ( x) = 1 dx = cos 2t dt dx • Tính : J = ∫ 1 + x 2 Đặt : x = tan t ⇒ 0 x = 0 → t = 0, x = 1 → t = π 4 1 π 4 π 4 π dx 1 π π 2 =∫ dt = ∫ dt = t 4 = ⇒ I = + • Do đó : J = ∫ 2 2 2 1+ x 4 4 3 0 0 cos t ( 1 + tan t ) 0 0 1 VI TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC * Nhắc nhở học sinh : • Thuộc công thức lượng giác : Công thức cộng góc ,nhân đôi ,nhân ba... = • Phân tích : x + x3 x ( 1 + x 2 ) x 1 + x 2 x ( 1 + x2 ) A + B = 0 A =1 1 x • Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : C = 0 ⇒ B = −1 ⇔ f ( x) = x − 1 + x 2 A =1 C = 0 3 • ⇔ ∫ 1 3 f ( x )dx = 1 x ∫ x − 1+ x 1 2 1 3 ln 3 − ln 2 2 = ÷dx = ln x − ln ( 1 + x ) ÷ 2 2 1 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 17 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 b ∫x 2 0 dx − 5x + 6 1 1 1 1 • Phân tích. .. 3 l ∫ 3 dx x − 3x + 2 2 I= 3x 2 + 3x + 3 3x 2 + 3x + 3 A B C f ( x) = 3 = = + + = 2 2 • Phân tích : x − 3 x + 2 ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 1) x + 2 ( B + C ) x 2 + ( B − 2C + A) x + 2 A − 2 B + C • Đồng nhất hệ số hai tử số ta có : 2 ( x − 1) ( x + 2 ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 19 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH B + C = 3 A = 3 3 2 1 + + A + B − 2C = 3 ⇔ B = 2 ⇒ f ( x) = 2 (... 02403833608 ∫x f 4 0 3 i ∫ 2 (x 1 2 l GIẢI 2 a 1 2 1 ∫ ( x + 2 ) ( x + 3) x3 + 2 x 2 + 4 x + 9 dx ∫ x2 + 4 0 1 0 d c m x dx +1 x4 2 − 1) 2 dx 2 − x4 ∫ 1 + x 2 dx 0 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 dx = cos 2t dt 1 1 ⇒ x − 1 = tan t → • Phân tích : f ( x) = x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x − 1) + 1 x = 0 → t = − π , x = 2 → t = π 4 4 π dt π = ∫ dt = t 4 = • Vậy : I = ∫ f ( x)dx = ∫ 2 2 π 2 π cos t ( 1 +... f ( x) = 1 ( x + 2 ) ( x + 3) 2 2 = ( x + 3) − ( x + 2 ) = 1 1 − 2 2 2 2 ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 3) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 = J −K 21 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 1 A B C J= = + + 2 Phân tích : 2 2 • Tính : ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 2 ) x + 3 x + 2 ( x + 2 ) • g ( x) = 1 ( x + 3) ( x + 2 ) 2 = ( A + B ) x 2 + ( 4 A + 5B + C ) x + 4 A + 6 B + 3C A B... dx = x 2 − J = − J (1) 2 ÷ 1+ x 2 0 2 0 • Phân tích : f ( x) = 1 • Do đó : I = ∫ 0 1 dx = dt dx cos 2t • Tính : J = ∫ 1 + x 2 Đặt : x = tan t ⇒ 0 x = 0 → t = 0, x = 1 → t = π 4 π π π 1 4 4 dx 1 π 1 π =∫ dt = ∫ dt = t 4 = ⇒ I = − • Do đó : J = ∫ 2 2 2 1+ x 4 2 3 0 0 cos t ( 1 + tan t ) 0 0 1 22 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 ∫x f 4 0 x dx +1 1 xdx... 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 0 ⇒I= ∫ − s inxcosx π − 2 π 2 cosx dx + ∫ s inxcosx cosx dx =J + K 0 t = cosx → t 2 = cosx ⇒ 2tdt=-sinxdx * Tính J: Đặt : π x=- → t = 0; x = 0 → t = 1; x = π → t = 0 2 2 1 1 2 51 2 2 4 Do đó : J = ∫ t t.2tdt = 2∫ t dt = 5 t 0 = 5 0 0 * Tính K Giống như trên ,ta có : 0 1 2 1 2 K = ∫ 2t 5 dt = −2∫ t 5 dt = − t 5 = − ⇒ I = J + K = 0 5 0 5 1 0 V TÍCH PHÂN CÁC... 2 k 1 ∫ 4+ x 2 dx 0 24 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 dx = 2 cos 2t dt 2dt 1 ⇒ f ( x) dx = = dt • Đặt : x = 2 tan t → 2 2 cos t.4 ( 1 + tan t ) 2 x = 0 → t = 0, x = 2 → t = π 4 π 4 π 1 1 π f ( x)dx = ∫ dt = 4 = 2 2 8 0 0 2 • Vậy : I = ∫ 0 2 l 1 − x2 ∫ 1 + x 4 dx 1 1 2 − 1÷dx 1− x x • Phân tích : f ( x)dx = 1 + x 4 dx = 2 1 x + 2 ÷ x 2