CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

TRUNG TĐM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THĂNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giâo dục” TÍCH PHĐN A.. m 1 dx a n mx n cos sin Trong ñó Fx là một nguyên hàm của hàm số fx, a gọi là cận

Trang 1

TRUNG TĐM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THĂNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giâo dục”

TÍCH PHĐN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ VÀ VÀ VÍ DỤ MINH HỌAVÍ DỤ MINH HỌAVÍ DỤ MINH HỌA::::

I ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM

1 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM:

(u + v)’ = u’ + v’ (u.v)’ = u’ v + v’ u

HQ: Nếu k lă hằng số thì (k.u)’ = k u’

2 BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP:

ĐẠO HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP

ĐẠO HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP ĐẠO HÀM HÀM SỐ HỢP: u = u(x) ĐẠO HÀM HÀM SỐ HỢP: u = u(x)

x n

x

1

1 '

−

=

(eu)’ = u’.eu(au)’ = u’.au.lna

u u

1

' '

−

=

Công th ứ c c ầ n nh ớ :

2 2

2

) ' ' '

(

' ' )

' ' ( 2 )

' ' ( ' ' '

c b bc x c a ac x

b a ab y

c x b x a

c bx ax

y

+ +

− +

−

=

⇒ + +

+ +

=

Trang 2

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TR Ầ N CAO VÂN – ð À N Ẵ NG * ð T: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 40- Ths Nguy ễ n V ă n B ả

2

2 2

) ' ' (

' ' '

2 '

' '

c b bc x ac x

ab y c

x b

c bx ax

y

+

− + +

=

⇒ +

+ +

2

) (

'

d cx

bc ad y

d cx

b ax

+

=

II NGUYÃN HAÌM:

1 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp

tương ứng (dưới ñây u = u(x))

u

1

1α

α α

u u

ln (0 < a ≠ 1)

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp

1 dx

(α ≠ –1)

+ a ln ax b C

1 dx

∫ + = − cos( ax +b )+C

a

1 dx

) b ax sin(

Trang 3

C

e a

1 dx

C a ln

a m

1 dx

a

n mx n

( cos

( sin

Trong ñó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), a gọi là cận dưới của tích phân và b gọi là cận trên của tích phân

III DÙNG ðỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN:

1 Áp dụng các công thức nguyên hàm và hệ quả:

2

4

1 sinsin

Trang 4

Ví dụ 5: Tính tích phân :

2 2 0

sin4

cos2

12

1(2

2cos1

dx x dx

x dx

x I

0 0

f x

b

β α

Trang 5

+

=+

−

β α

)(

1)

(

)(

1)

(

1

b ax d b

ax a

b ax

b ax d a

dx b ax

k k

−

=

Cách 2: ðổi biến bằng cách ñặt: t = ax + b

II Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:

TH1: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x = x 1 và x = x 2

Dạng 1: ∫β + +

α

dx b x a

x )( )(

−

= +

dx b x a x

a x b

x a b

dx b x a x

1 1

1 )

)(

(

) (

1 )

n mx

B x

x

A a

dx x x x x a

n mx dx

c bx

ax

n mx

+

α

β α

β

α

) (

1 )

) x ( f 2

Trang 6

f x

dx

β α

−

∫

2 1

4 0

2 2(2 1)

4 0

2 2(2 1)

2 0

Trang 7

1(

8

dx x

x

x I

=

−+

1

(

])3)(

3)(

1(

8[

)9)(

1(

8

dx x

C x

B x

A

dx x

x x

x dx

x x

x I

Xét

)3)(

3)(

1(

)3)(

1(

)3)(

1(

)3)(

3

(

33

1)

3)(

−+

+++

++

=+

−+

x x

x

x x

C x

x B x

x

A

x

C x

B x

A x

x

Trang 8

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

) 3 )(

3 )(

1 (

3 3

9 )

2 4

( )

(

) 3 )(

3 )(

1 (

) 3 2

( )

3 4

( )

9 (

2

2 2

2

+

− +

−

− +

+ +

=

+

− +

−

− +

+ +

+

−

=

x x

x

C B

A x

C B

x C B

A

x x

x

x x

C x

x B x

IV PHỈÅNG PHẠP TÊNH TÊCH PHÁNPHỈÅNG PHẠP TÊNH TÊCH PHÁNPHỈÅNG PHẠP TÊNH TÊCH PHÁN::::

1 Phương pháp đổi biến số: Giả thiết rằng các hàm số dưới dấu tích

phân liên tục trên đoạn lấy tích phân

Trang 9

Các dạng toán phải nhân thêm lượng liên hiệp:

Dạng 1 I = ∫β + ± +

α

dx b ) x ( p a

) x ( p

1

Dạng 2 I = ∫ ± [ ] +

β α

dx b )

x ( p )

x ( p

2 f (cos ).sinx xdx

β α

e +c

Trang 10

3

2 ( ).( 'u u)

I f e u e dx

β α

x x

f I

k k

1 1

ln ).

Ví dụ 1: Tính tích phân: I =∫3 ++

7

0 3

1 3

1

dx x

5

( 3

1 )

2 (

3

1 2

1

t t ln t 1 2 ln 22

Trang 11

Ví dụ 3: Tính tích phân: I =∫2 + −+

01 4 cos

2sinsin

π

dx x

x x

1 14 )

7 2 2

( 2 1

9 2

2

3

dt t

t dt

t

t t

15ln

143

465

Trang 12

Trang 13

) ( ' )

(

) (

x G v

dx x f du dx

x g dv

x f u

a

vdu v

u dx x g x f

G x

f( ) ( ) ( ) '( )

c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần:

Xét P(x) là một ña thức biến x, ta có các dạng toán áp dụng công thức tích phân tứng phần sau ñây

II Phương pháp nguyên hàm từng phần:

a) Công thức tổng quát:

∫udv =uv−∫vdu

b) Dạng tường minh của phương pháp tích phân từng phần:

Trong thực hành ta thường gặp bài toán dạng sau:

I = ∫[ f ( x ) g ( x )] dx

Trong ñó g(x) là hàm dễ tìm nguyên hàm

Cách giải:

Trang 14

)(')

(

)(

x G v

dx x f du dx

x g dv

x f u

, G(x) là một nguyên hàm của g(x) Khi ñó:

dx du

xdx cos dv

x u

Ta có:

1 2

x

cos

2

xdx sin x

sin x xdx cos

x

I

2

2 2 2

0

0 0

−

=+

Trang 15

e v

dx du

dx e dv

x u

e

e xe

dx e xe

dx xe

0 x 1

0

x 1

0 x 1

dx x

t

dt du

⇒ J = −∫2

1

2 1ln

Trang 16

3

1ln

13

1(2 1)

3

dx x

) 2 )(

1

(

dx x

| x sin

π

dx gx x

10.∫2

0

2 3

cossin

π

xdx

2 3 0sin xcos 2xdx

π

∫

Bài 2: Tính các tích phân:

Trang 17

62

2

3 2 9

2 2

cossin

π

dx x x

)tan1

(

π

dx x

5 6

cos

π

dx x x

x

5

2

2 0

2

osinx+

c x

dx x

π

xdx x

1

ln ln

1

6

3

2 ln ln

e

x dx

π

xdx x

e

dx x

ln(x dx 9 ∫1 +

0

)1( x e x dx

π

dx e

x x 12 ∫2 +

0

2 2

) cos 2

(

π

dx e

x x

Trang 18

13 ∫1 +

0

3 2

) 3 (x e x dx 14 π∫ −

x

1

2 ln

x

1

2 ) 1 (

ln

20 ∫2 −

0

3dx xe

x

21 ∫e x x dx

1

2)ln(

Bài 8: ðề thi ñại học khối A- 2003:

Tính tích phân: ∫

+

3 2

5

24

1

dx x

Bài 10: ðề thi ñại học khối B - 2003:

sin21

π

Bài 11: ðề thi ñại học khối A - 2005:

Tính tích phân: I = x dx

x x

∫2 + +

0 1 3cos

sin2

sin

π

Trang 19

x

x x

∫2 +

cos 2

sin

π

Bài 13: ðề thi ñại học khối D - 2005:

Tính tích phân I = ( e x cos x ) cos xdx

0

tancos 2

x x

cos)1(cos

Tính tích phân: ∫ + − −

5 ln

3 ln

x x

3 e

2 e

Trang 20

Bài 21: ðề thi ñại học khối D - 2007:

Tính tích phân x ln x dx

e

0

2 3

1 3

ln3

1

32

Tính tích phân x sin x (x ) cos xdx

4 0

1inx

π

+ ++

1os

π+

Trang 21

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA:

BĂI TOÂN 1: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi ñường cong y = f(x), trục

hoănh vă hai ñường thẳng: x = a, x = b

= ∫b

a

dx x f

ðể tính tích phđn năy, ta thực hiện:

+ Tìm nghiệm x1, x2, của phương

trình f(x) = 0 trín ñoạn [a; b]

+ Lập bảng xĩt dấu Dựa vă dấu của

f(x) trín câc khoảng ñể tính diện tích S

2 1 ( 2

2 2

dx x

x dx x

x dx

x

x S

3

4 ln 2 ) 2

3 ln 2 1 ( ) 2 ln 2 1 ( )

ln 2 ( ) ln

Trang 22

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :

(C) : y = x 1+ x2 , trục Ox và ñường thẳng x = 1

Giải :

+ Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (C) với trục hoành :

00

0

2

1

| 1

BÀI TOÁN 2: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi hai ñường cong

y = f(x),y = g(x) và hai ñường thẳng

x = a, x = b

= ∫b −

a

dx x g x f

Trang 23

S = |x ( x)|dx | x x|dx

1

1 3 1

2 4

( )

2 4

( )

(

1

0

2 4

0

1

2 4

1

0

3 0

BÀI TOÁN 3: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi hai ñường cong y = f(x),

1

)]

()([)]

()(

x g x f

dx x x

x x

0

2 3

0

2 2

6 2

) 4 (

2

Bảng xét dấu:

x 0 3 2x2-6x + 0 - 0 +

Do ñó:

3

2)

26(

3

0

2 3

Trang 24

727– 583 TR Ầ N CAO VĐN – ð Ă N Ẵ NG * ð T: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 62- Ths Nguy ễ n V ă n B ả

BBBB BÀI TẬP VẬN BÀI TẬP VẬN BÀI TẬP VẬN DỤNG:DỤNG:DỤNG:

Băi 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi câc ñường:

Trang 25

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

f dx

π π

π

) 2

ln 2

1 ( )

ln 2

(

) 1

1 1

( 1

2

1 2

+

= +

=

x x

x

dx x

x

dx x

x dx

y V

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi câc ñường y = x − 1 ex vă x = 2 khi quay quanh trục Ox

Trang 26

dx e x

dx y

1

2 2

1

2

)1(

ππ

e v

dx du

dx e dv

x u

2 2

211

ππ

π

ππ

)4

14

32

1()(

4

1)

1(

2

1

4

1)

1(2

12

1)

1(2

1

2 4

5 2

4 4

2

1

2 4

2

1 2 2

1 2

e e

e

e e

e dx

e e

BÀI TOÁN 2: Thể tích vật thể tròn xoay

sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi ñường cong

(C): y = f(x) và y = g(x) khi xoay quanh trục Ox

+ Tìm nghiệm x1 và x2 của phương

)()

(

x

dx x

g x

x x

x

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:

10

3)

(

|

|)

0

4 4

2 1

0

ππ

π

= ∫ x x dx ∫ x x dx ∫ x x dx

V

Trang 27

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	308,1 KB