LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn DẠNG 2. PP ĐẶT ẨN PHỤ Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t. Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t. Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 1. 7 3 1 3 2 0 1 x dx I x = + ∫ 2. 5 20 2 4 ( 4) I x x dx = − ∫ 3. 1 15 8 3 0 1 3 I x x dx = + ∫ 4. 4 1 1 3ln ln e x x I dx x + = ∫ 5. 3 2 5 1 ln ln 1 e x I dx x x = + ∫ 6. 2 2 5 2 2 1 1 x I dx x x − − + = + ∫ H ướ ng d ẫ n gi ả i: 1. Đặ t 2 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 xdx t dt x t x t x t = + = ⇔ + = ⇒ = − Đổ i c ậ n : 2 7 7 2 2 3 2 3 2 5 2 4 1 3 32 2 0 0 1 1 1 0 1 . 3 ( 1) 3 3 3 141 ( ) 2 2 10 4 20 7 2 1 1 x t x dx x xdx t t t t I dt t t dt t x t x x = ⇒ = − → = = = = − = − = = ⇒ = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Đặ t 4 4 dx dt x t x t = − = ⇒ = + Đổ i c ậ n : 1 5 1 1 1 22 21 20 20 21 20 2 4 0 0 0 0 4 0 4 109 ( 4) ( 4) 4 5 1 22 21 462 x t t t I x x dx t t dt t dt t dt x t = ⇒ = → = − = + = + = + = = ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Đặ t 7 7 8 8 2 2 8 24 2 12 1 3 1 3 1 3 tdt x dx tdt x dx x t x t t x = ⇒ = + = ⇔ + = ⇒ − = Đổ i c ậ n : 0 1 1 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 2 1 2 2 2 2 5 3 15 8 8 8 7 4 2 3 0 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 29 1 3 1 3 . . . ( ) . 12 3 36 36 5 3 270 t t t I x x dx x x x dx t tdt t t dt − → = + = + = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ 4. 4 1 1 1 3ln ln 1 3ln ln (ln ) e e x x I dx x xd x x + = = + ∫ ∫ Đặ t 2 2 3 (ln ) 2 1 3ln 1 3ln 1 ln 3 d x tdt x t x t t x = + = ⇔ + = ⇒ − = Đổ i c ậ n : 2 2 2 2 5 3 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 116 1 3ln ln (ln ) . . ( ) . 3 2 3 3 9 45 27 135 e x t t t t I x xd x t tdt t t dt x t = ⇒ = − → = + = = − = − = = ⇒ = ∫ ∫ ∫ 5. 3 3 2 2 5 1 1 ln ln (ln ) ln 1 ln 1 e e x x I dx d x x x x = = + + ∫ ∫ Đặ t 2 2 (ln ) 2 1 ln 1 ln ln 1 d x tdt x t x t x t = + = ⇔ + = ⇒ = − Tài liệu bài giảng: 12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Đổi cận : 3 2 2 2 2 2 2 5 3 4 2 5 3 1 1 1 1 1 1 ln ( 1) 2 2 76 (ln ) 2 ( 2 1) 2 . 5 3 15 2 ln 1 e x t x t t t t I d x dt t t dt t t x e t x = ⇒ = − → = = = − + = − + = = ⇒ = + ∫ ∫ ∫ 6. Đặ t 2 2 2 2 2 1 1 1 xdx tdt x t x t x t = + = ⇔ + = ⇒ = − Đổ i c ậ n : 2 3 3 3 2 2 2 6 2 2 2 2 2 5 5 5 2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 x t x t t I dx dt dt dt t t t x t x x − − = − ⇒ = + − + → = = = = + − − − = − ⇒ = + ∫ ∫ ∫ ∫ 5 3 3 3 5 5 5 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 ln 3 5 ln ln 2 1 2 1 2 1 2 3 1 5 1 dt dt t dt t t t t − − − = + − = + = − + − − + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: 1. ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 0 0 0 2 2 8 2 2 4 2 2 1 3 3 2 2 xdx I x dx x x x x = = + − = + − + = − + + ∫ ∫ 2. 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ( 7) ( 1) ( 1) 1 6 1 1 ( 1) 6 7 7 7 7 x x dx x dx x x dx x dx I x d x x x x x − − − − − = = + = − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 3 2 2 2 1 2 4 2 1 6 6 3 3 x I I ′ ′ = − − = − với 3 2 1 ( 1) 7 x dx I x − ′ = − ∫ Để tính 3 2 1 ( 1) 7 x dx I x − ′ = − ∫ ta đặt 2 1 1 x t x t − = ⇒ = + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 6 6 2 1 2 3ln 2 2 3ln(2 3) 6 6 6 t dt t I dt t t t t − ′ ⇒ = = + = + = + − − − + ∫ ∫ Do đó: 2 32 2 48ln(2 3) 3 I = − − 3. 6 3 2 1 2 1 4 1 I dx x x = + + + ∫ Đổi biến 2 4 1 4 1 2 t x t x tdt dx = + ⇒ = + ⇒ = ( ) 5 5 5 5 3 2 2 3 3 3 3 ( 1) ( 1) 1 1 3 ln 1 ln 2 1 ( 1) ( 1) 1 12 2 + + ⇒ = = − = + + = − + + + + + + ∫ ∫ ∫ tdt d t d t I t t t t t t 4. 10 4 5 2 2 1 2 ln 1 = − − = + ∫ dx I x x (đổi biến 1 t x = − ) 5. 1 8 3 5 0 1 = − ∫ I x x Đổi biến 3 2 3 2 1 1 2 3 t x t x tdt x dx = − ⇒ = − ⇒ = − ( ) ( ) 1 0 1 6 5 3 2 2 2 6 4 2 5 1 0 0 2 2 2 2 1 2 3 3 3 7 5 3 ⇒ = − − = − + = − + = ∫ ∫ t t t I t t dt t t t dt 6. 1 6 0 3 2 . 2 1 1 + = + + ∫ x I dx x (đổi biến 2 1 1 t x = + + ) 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 7 3 1 1 1 2 2 4 2 3 1 2 2 3 2 2 2 2 − − + − + + − = = = + − + + + + + + ∫ ∫ ∫ x x x I dx dx x x x dx x x x ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 2 2 2 1 2 5 2 2 2 6 2 2 3 3 3 x x x − = + − + − + = − LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn 8. ( ) 2 3 2 2 3 7 5 3 1 2 5 2 2 2 8 0 1 1 2 1 1 7 5 3 = + = + = − = − + = ∫ ∫ t x t t t I x x dx t t dt 9. ( ) ( ) 1 1 1 2 9 0 0 0 1 1 1 1 1 1 = = = − + − − − − ∫ ∫ ∫ x x x x x x x x e e I dx d e e d e e e e ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 2 0 2 2 1 2 1 1 2 3 3 x x e e e e = − + − = − + 10. ( ) ln3 10 3 0 1 = + ∫ x x e I dx e . Đặt 2 1 1 2 x x x t e t e tdt e dx = + ⇒ = + ⇒ = 2 2 2 10 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ⇒ = = = − = − ∫ ∫ tdt dt I t t t 11. 11 1 3 2ln 1 2ln − = + ∫ e x I dx x x Đặt 2 1 2ln 1 2ln 1 t x t x tdt dx x = + ⇒ = + ⇒ = ( ) 2 2 2 2 3 2 11 1 1 1 4 10 2 11 4 4 3 3 3 − ⇒ = = − = − = − ∫ ∫ t t I tdt t dt t t 12. 4 12 0 2 1 1 2 1 + = + + ∫ x I dx x Đặ t ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 1 t x t x dx t dt = + + ⇒ − = + ⇒ = − ( ) 4 4 4 2 12 2 2 2 1 1 1 2 2 ln 2 ln 2 2 − ⇒ = − = − + = − + = + ∫ ∫ t t I t dt t dt t t t t 13. ( ) ( ) 1 1 1 3 2 2 2 2 13 2 2 0 0 0 1 1 4 2 2 4 4 = − = + − − − ∫ ∫ ∫ x x x x I xe dx xd e d x x x 4 1 4 3 2 2 2 2 3 0 3 2 2 1 1 4 1 1 1 2 8 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 32 61 6 3 3 3 4 2 3 4 12 x x e t e xe dt t t t e e − = − − = + − − + = − − = + − ∫ Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: a) 2 1 2 x x dx + ∫ b) 3 0 3 4 4 x dx x − − ∫ c) 3 3 4 3 4 4 x dx x − − − ∫ Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a) 3 2 0 1 1 x dx x + + ∫ b) 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ c) 3 3 2 0 1 x x dx + ∫ Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: a) 7 3 3 0 1 3 1 + + ∫ x dx x b) 2 3 0 8 4 xdx − ∫ c) 1 2 0 1 x x dx + ∫ Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn a) 1 0 1 3 2 dx x − ∫ b) 5 1 2 2 1 − ∫ x x dx c) 2 2 0 4 x x dx − ∫ Ví dụ 7: Tính các tích phân sau: a) 2 32 3 0 8 x x dx − ∫ b) 2 2 3 3 0 1 x dx x+ ∫ c) 4 2 0 9 x x dx + ∫ Ví dụ 8: Tính các tích phân sau: a) 4 0 1 1 dx x + ∫ b) 1 0 1 1 dx x + ∫ c) ( ) 2 3 0 1 1 x dx x − + ∫ Ví dụ 9: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 32 5 2 4xx dx b) ∫ − 2 3 2 2 1xx dx c) ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx Ví dụ 10: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 2 1 3 1xx dx b) 2 2 1 2013 + ∫ x dx 6. 2 2 1 2013 + ∫ dx x Ví dụ 11: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 1 0 22 1 dxxx b) ∫ − 1 0 32 )1( dxx c) ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x Ví dụ 12: Tính các tích phân sau: a) ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x b) ∫ + 1 0 32 )1( x dx c) ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx Ví dụ 13: Tính các tích phân sau: a) ∫ − +++ 1 1 2 11 xx dx b) ∫ + 3ln 0 1 x e dx c) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 Ví dụ 14: Tính các tích phân sau: a) ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx b) ∫ − ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x c) 3 2 2 0 cos2 2 3 tan cos cos π + ∫ x x x dx x Ví dụ 15: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 2ln 0 3 )1( x x e dxe b) ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe c) ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx . − = + − ∫ Ví dụ 3: Tính các tích phân sau: a) 2 1 2 x x dx + ∫ b) 3 0 3 4 4 x dx x − − ∫ c) 3 3 4 3 4 4 x dx x − − − ∫ Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a) 3 2 0 1 1 x dx x + + ∫ . 3 3 2 0 1 x x dx + ∫ Ví dụ 5: Tính các tích phân sau: a) 7 3 3 0 1 3 1 + + ∫ x dx x b) 2 3 0 8 4 xdx − ∫ c) 1 2 0 1 x x dx + ∫ Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN. ) 2 3 0 1 1 x dx x − + ∫ Ví dụ 9: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 32 5 2 4xx dx b) ∫ − 2 3 2 2 1xx dx c) ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx Ví dụ 10: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 2 1 3 1xx dx