CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 1 Chuyên đề 1: Các phơng pháp tính tích phân Các phơng pháp tính tích phânCác phơng pháp tính tích phân Các phơng pháp tính tích phân Thông thng ta gặp các loại tích phân sau đây: +) Loi 1: Tích phân của hàm số đa thức phân thức hữu tỷ. +) Loi 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức +) Loi 3: Tích phân của hàm số lợng giác +) Loi 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit Đối với các tích phân đó có thể tích theo các phơng pháp sau: I) Phơng pháp biến đổi trực tiếp Dùng các công thức biến đổi về các tích phân đơn giản và áp dụng đợc )a(F)b(F)x(Fdx)x(f b a b a = == == == = +) Biến đổi phân thức về tổng hiệu các phân thức đơn giản Ví dụ 1. Tính: 1. = == = 2 1 3 2 dx x x2x I ta có 12ln)21(ln)12(ln x 2 xlndx) x 2 x 1 (I 2 1 2 1 2 =++= +== 2. + ++ + = == = 2 e 1 dx x 4x3x2 J ( ) ++=+= += 2 2 e 1 2 e 1 2/1 7e4e3xln4x3x4dx x 4 3x2 3. = == = 8 1 3 2 3 5 dx x3 1x3x4 K = = = 8 1 8 1 3 3 423/23/1 4 207 xx 4 3 x 3 4 dxx 3 1 xx 3 4 +) Biến đổi nhờ các công thức lợng giác Ví dụ 2. Tính: 1. = == = 2/ 2/ xdx5cosx3cosI ( ) 0 8 x8sin 2 x2sin 2 1 dxx8cosx2cos 2 1 2/ 2/ 2/ 2/ = +=+= 2. = == = 2/ 2/ xdx7sinx2sinJ ( ) 45 4 9 x9sin 5 x5sin 2 1 dxx9cos)x5cos( 2 1 2/ 2/ 2/ 2/ = == 3. = == = 2/ 2/ xdx7sinx3cosK ( ) 0 10 x10cos 4 x4cos 2 1 dxx10sinx4sin 2 1 xdx3cosx7sin 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ = +=+== 4. = == = 0 2 0 xdxcosx2sinH = = + = 0 0 0x4cos 16 1 x2cos 4 1 dx 2 x2cos1 x2sin hoặc biến đổi = == = 0 2 xdxcosx2sinH = = + = 0 0 0x4cos 16 1 x2cos 4 1 dx 2 x2cos1 x2sin 5. + ++ + + ++ ++ ++ + = == = 2/ 6/ dx xcosxsin x2cosx2sin1 G ( ) 1xsin2xdxcos2dx xcosxsin xsinxcos)xcosx(sin 2/ 6/ 2/ 6/ 2/ 6/ 222 === + ++ = 6. = == = 2/ 0 4 xdxsinE ( ) 16 3 x2sin 4 x4sin x3 8 1 dxx2cos4x4cos3 8 1 dx 2 x2cos1 2/ 0 2/ 0 2/ 0 2 = +=+= = 7. = == = 4/ 0 2 xdxtanF ( ) 4 4 xxtandx1 xcos 1 4/ 0 4/ 0 2 == = . Đề xuất: = == = 2/ 4/ 2 1 xdxcotF và = == = 4/ 0 4 2 xdxtanF +) Biến đổi biểu thức ở ngoài vi phân vào trong vi phân Ví dụ 3. Tính: 1. + ++ += == = 1 0 3 dx)1x2(I 10 4 )1x2( 2 1 )1x2(d)1x2( 2 1 1 0 4 1 0 3 = + =++= 2. = == = 2 1 3 dx )1x2( 1 J 0 )1x2( 1 4 1 2 )1x2( 2 1 )1x2(d)1x2( 2 1 1 0 2 1 0 2 2 1 3 = = + == www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 2 3. = == = 3/7 1 dx3x3K 9 16 )3x3( 9 2 )3x3(d)3x3( 3 1 3/7 1 3 3/7 1 2/1 === 4. = == = 4 0 x325 dx H 3 13210 )x325( 3 2 )x325(d)x325( 3 1 1 0 2/1 4 0 2/1 = == 5. + ++ ++ ++ + = == = 2 1 dx 1x1x 1 G 3 123 dx)1x1x( 2 1 dx )1x()1x( 1x1x 2 1 2 1 = += + + = (Nhân cả tử và mẫu với bt liên hợp của mẫu số) Đề xuất C)cax()bax( )cb(a 1 dx caxbax 1 G 33 1 + ++ + + ++ ++ ++ ++ ++ + = == = + ++ ++ ++ ++ ++ + = == = với cb;0a 6. = == = 1 0 dxx1xP =+=+= 1 0 1 0 1 0 5 4 dxx1)x1(dx1)1x(dxx1)11x( 7. = == = 1 0 x1 xdxeQ 2 = 1ee)x1(de 2 1 1 0 x1 1 0 2x1 22 == Đề xuất 15 264 dxx1xQ 1 0 23 1 = == =+ ++ += == = HD đa x vào trong vi phân và thêm bớt (x 2 + 1 - 1). Ví dụ 4. Tính: 1. 0dx)x2sin3x3cos2(I 0 1 = == =+ ++ += == = ; 4 1 xdxcosxsinI 2/ 0 3 2 = == == == = và 1exdxsineI 2/ 0 xcos 3 = == == == = 2. 2lnxdxtanJ 4/ 0 1 = == == == = ; 2lnxdxcotJ 2/ 6/ 2 = == == == = và 2ln 3 2 dx xcos31 xsin J 4/ 0 3 = == = + ++ + = == = (đa sinx, cosx vào trong vi phân) 3. 1cos1dx x )xsin(ln K e 1 1 = == == == = ; 2cos1dx x )xcos(ln K 2 e 1 2 = == == == = và 2dx xln1x 1 K 3 e 1 3 = == = + ++ + = == = {đa 1/x vào trong vi phân để đợc d(lnx)} 4. + ++ + = == = 3ln 1 x x 1 dx e2 e H e2 5 lne2ln 3ln 1 x + =+= + ++ + = == = 2ln 0 x x 2 dx e1 e1 H = + = + + = 2ln 0 2ln 0 x x 2ln 0 x xx 3ln22ln3dx e1 e 2dxdx e1 e2e1 + ++ + = == = 2ln 0 x 3 5e dx H 7 12 ln 5 1 5eln 5 1 x 5 1 5e dxe 5 1 dx 5 1 5e dx)e5e( 5 1 2ln 0 x 2ln 0 x x 2ln 0 2ln 0 x xx = += + = + + = + ++ + = == = 1 0 xx x 4 ee dxe H + =+= + = 1 0 2 1 0 x2 x2 x2 2 1e ln 2 1 1eln 2 1 1e dxe +) Biến đổi nhờ việc xét dấu các biểu thức trong giá trị tuyệt đối để tính = == = b a dx)m,x(fI - Xét dấu hàm số f(x,m) trong đoạn [a; b] và chia [ ] ]b;c[ ]c;c[]c;a[b;a n211 = trên mỗi đoạn hàm số f(x,m) giữ một dấu - Tính +++= b c c c c a n 2 1 1 dx)m,x(f dx)m,x(fdx)m,x(fI Ví dụ 5. Tính: 1. + ++ += == = 2 0 2 dx3x2xI Ta xét pt: 3x1x0 32x x 2 ===+ . Bảng xét dấu f(x) www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 3 Suy ra 4dx)3x2x(dx)3x2x(dx3x2xdx3x2xI 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 0 2 =+++=+++= 2. = == = 1 3 3 dxxx4J tính tơng tự ta có 16dxxx4dxxx4dxxx4J 1 0 3 0 2 3 2 3 3 =++= 3. 2ln 1 4dx42K 3 0 x + ++ += == = = == = 4. = == = 2 0 1 dxx2cos1H 22dxxsin2dxxsin2dxxsin2 2 0 2 0 =+== = == = 0 2 dxx2sin1H {Viết (1 sin2x) về bình phơng của một biểu thức rồi khai căn} 22dxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsin 2/3 4/3 4/3 4/ 4/ 00 =+++++=+= II) Phơng pháp đổi biến số A - Phơng pháp đổi biến số dạng 1: Giả sử cần tính tích phân = b a dx)x(fI ta thực hiện các bớc sau: - Bớc 1. Đặt x = u(t) - Bớc 2. Lấy vi phân dx = u(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt - Bớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = - Bớc 4. Biến đổi = dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa) Cách đặt đổi biến dạng 1. Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa 2 x1 thì đặt ] 2 / ; 2 / [ t ; t sin x = == = hoặc đặt ] ; 0 [ t ; t cos x = == = Ví dụ 1. Tính: 1. = == = 1 2/2 2 2 dx x x1 A ta đặt ]2/;2/[t;tsinx = dx = cost.dt; đổi cận khi x = 2 /2 thì t = 4/ ; khi x = 1 thì t = 2/ . Khi đó 4 4 dt. tsin tsin1 dt. tsin tcos dt.tcos tsin tsin1 A 2/ 4/ 2 2 2/ 4/ 2 2 2/ 4/ 2 2 = == = 2. = == = 1 0 2 2 dx x4 x B ta viết = 1 0 2 2 dx )2/x(12 x B . Đặt ];0[t;tcos)2/x( = tdtsin2dxtcos2x == Đổi cận suy ra ( ) 2 3 3 dtt2cos12tdtcos4)tdtsin2( tcos12 )tcos2( B 2/ 3/ 2/ 3/ 2 3/ 2/ 2 2 =+== = 3. = == = 1 0 22 dxx34xC Trớc hết ta viết = 1 0 2 2 dx 2 x.3 1x2C . Đặt ]2/;2/[t;tsinx 2 3 = đa tích phân về dạng: 12 1 27 32 dt 2 t4cos1 33 4 tdtcostsin 33 16 C 3/ 0 3/ 0 22 += == Chú ý: www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GV Vũ Sỹ Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 4 - NÕu hµm sè chøa 0a,xa 2 > >> >− −− − th× ta viÕt 2 2 a x 1axa         −=− vµ ®Æt       ∈= −∈= ];0[t;tcos a x ]2/;2/[t;tsin a x π ππ - NÕu hµm sè chøa 0b,a,bxa 2 > >> >− −− − th× ta viÕt 2 2 x a b 1abxa         −=− vµ ®Æt        ∈= −∈= ];0[t;tcosx a b ]2/;2/[t;tsinx a b π ππ VÝ dô 2. TÝnh: 1. ∫ ∫∫ ∫ − −− − = == = 2 3/2 2 dx 1xx 1 E {ViÕt tÝch ph©n vÒ d¹ng 2 X1− } ta viÕt ( ) ∫ − = 2 3/2 2 2 dx x/11x 1 E vµ ®Æt [ ] 2/;2/t;tsin x 1 ππ −∈= suy ra 12 dtE 3/ 4/ π π π == ∫ 2. ∫ ∫∫ ∫ − −− − = == = 3/22 3/2 3 2 dx x 4x3 G {ViÕt tÝch ph©n vÒ d¹ng 2 X1− } ta viÕt ( ) ∫ − = 3/22 3/2 3 2 dx x x3/21.x.3 G vµ ®Æt [ ] 2/;2/t;tsin x3 2 ππ −∈= suy ra tÝch ph©n cã d¹ng 16 )336(3 tdtcos 2 33 G 3/ 4/ 2 −+ == ∫ π π π {NÕu tÝch ph©n cã d¹ng bax 2 − th× viÕt vÒ d¹ng 2 X1− } C¸ch ®Æt 2. NÕu tÝch ph©n cã chøa 2 x1 + ++ + hoÆc ( (( ( ) )) ) 2 x1 + ++ + th× ta ®Æt ( (( ( ) )) ) 2/;2/t;ttanx π ππ ππ ππ π − −− −∈ ∈∈ ∈= == = hoÆc ( ) π ;0t;tcotx ∈= VÝ dô 3. TÝnh: 1. ∫ ∫∫ ∫ + ++ + = == = 3 3/1 2 dx x1 1 M ta ®Æt ( ) 2/;2/t;ttanx ππ −∈= suy ra 6 dtM 3/ 6/ π π π == ∫ 2. ∫ ∫∫ ∫ + ++ + = == = 3 1 22 dx x1.x 1 N ta ®Æt ( ) 2/;2/t;ttanx ππ −∈= suy ra 3 3218 dt .tsin tcos N 3/ 4/ 2 − == ∫ π π 3. ∫ ∫∫ ∫ ≠ ≠≠ ≠ + ++ + = == = a 0 222 0a;dx )xa( 1 P ta viÕt ∫       + = a 0 2 24 dx ) a x (1a 1 P vµ ®Æt ;ttan a x = ⇒ 3 4/ 0 2 3 a4 2 tdtcos a 1 P + == ∫ π π 4. ∫ ∫∫ ∫ + ++ ++ ++ + = == = 1 0 2 dx 1xx 1 Q ta viÕt ∫         ++ = 1 0 2 dx ) 2 1 x( 3 2 1 1 3 4 Q vµ ®Æt ( ) 2/;2/t;ttan 2 1 x 3 2 ππ −∈=       + ⇒ 9 3 dt 2 3 3 4 Q 1 0 π == ∫ Chó ý: NÕu gÆp tÝch ph©n chøa 2 bxa + ++ + hoÆc 2 bxa + ++ + th× ta viÕt:                 +=+ 2 2 x a b 1axba hoÆc 2 2 x a b 1abxa         +=+ vµ ta ®Æt ( ) 2/;2/t;ttanx a b ππ −∈= www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 5 Cách đặt 3. Nếu tích phân có chứa xa xa + ++ + hoặc xa xa + ++ + thì ta đặt ta đặt ] 2 / ; 0 [ t ; t 2 cos a x = == = và lu ý vận dụng =+ = tcos2t2cos1 tsin2t2cos1 2 2 Ví dụ 4. Tính: 1. > >> > + ++ + = == = 0 a 0a;dx xa xa I ta đặt ]2/;0[t;t2cosax = suy ra + = 4/ 2/ dt)t2sina2( t2cos1 t2cos1 I 4 4 a = 2. + ++ + = == = 2/2 0 dx x1 x1 J ta đặt ]2/;0[t;t2cosx = suy ra + = 8/ 4/ dt)t2sin2( t2cos1 t2cos1 J = 4 224 tdtcos4J 4/ 8/ 2 + == {có thể đặt t x1 x1 = == = + ++ + suy rra tích phân J về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ} B - Phơng pháp đổi biến số dạng 2: Giả sử cần tính tích phân = == = b a dx)x(fI ta thực hiện các bớc sau: - Bớc 1. Đặt t = v(x) - Bớc 2. Lấy vi phân dx = u(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt - Bớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t = ; khi x = b thì u(t) = b ứng với t = - Bớc 4. Biến đổi = dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa) Cách đặt đổi biến dạng 2. Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa ẩn ở mẫu thì đặt t = mẫu số. Ví dụ 1. Tính: 1. = == = 2/ 0 2 dx xcos4 x2sin I ta có thể đặt t = 4 - cos 2 x suy ra 3 4 ln t dt I 4 3 == 2. + ++ + = == = 4/ 0 22 dx xcos2xsin x2sin J đặt xcos1xcos2xsint 222 +=+= suy ra == 2 2/3 4 3 ln t dt J {có thể hạ bậc để biến đổi tiếp mẫu số về cos2x sau đó đa sin2x vào trong vi phân} Đề xuất: + ++ + = == = 2/ 0 2222 1 dx xcosbxsina xcosxsin J với 0ba 22 >+ 3. + ++ + = == = 2ln 0 x dx 5e 1 K ta đặt 5et x += 5te x = dtdxe x = sau đó làm xuất hiện trong tích phân biểu thức dxe x 7 12 ln 5 1 t 5t ln 5 1 )5t(t dt )5e(e dxe K 7 6 7 6 2ln 0 xx x = = = + = {Có thể biến đổi trực tiếp 7 12 ln 5 1 dx 5e e 5 1 dx 5e 5e 5 1 dx 5e e5e 5 1 K 2ln 0 x x 2ln 0 x x 2ln 0 x xx = + + + = + + = } 4. + ++ + + ++ + = == = 2/ 0 2 dx )4x2cosxsin2( xcosx2sin H ta đặt 4x2cosxsin2t += 21 2 dt t 1 2 1 H 7 3 2 == {đôI khi không đặt cả MS} 5. + ++ + = == = 2/ 0 2 3 dx xcos1 xcosxsin G chú ý rằng tách mũ 3 = 2 +1 đặt xcos1t 2 += 1txcos 2 = dtxdxcosxsin2 = khi đó: 2 2ln1 )tlnt( 2 1 dt t )1t( 2 1 G 2 1 2 1 = = = www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 6 6. ++ = 4/ 0 dx 2xcosxsin x2cos M ta đặt 2xcosxsint ++= dx)xsinx(cosdt = lu ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx) ( ) 3 22 ln12tln2t t dt)2t( dx 2xcosxsin )xsinx)(cosxsinx(cos M 22 3 22 3 4/ 0 + +== = ++ + = + + 7. ++ = 4/ 0 3 dx )2xcosx(sin x2cos N đặt 2xcosxsint ++= suy ra )21(2 1 9 2 3 1 9 1 22 1 )22( 1 t 1 t 1 t dt)2t( N 2 22 3 22 3 23 + =+ + + = = = + + Đề xuất: + = 4/ 0 1 dx 2xcosxsin x2cos M và + = 4/ 0 3 1 dx )2xcosx(sin x2cos N 8. Cách đặt 2. Nếu hàm số chứa căn thức n )x( thì đặt n )x(t = == = sau đó luỹ thừa 2 vế và lấy vi phân 2 vế. Ví dụ 1. Tính: 1. + ++ ++ ++ + = == = 1 0 dx 1x32 3x4 I ta đặt 1x3t += ( ) 1t 3 1 x 2 = tdt 3 2 dx = khi đó đa tích phân về dạng: ( ) 3 4 ln 3 4 27 2 dt t2 6 9 2 dt3t8t4 9 2 dt t2 t13t4 9 2 I 2 1 2 1 2 2 1 3 = + += + = 2. + = 7 0 3 2 3 dx x1 x J ta đặt 3 2 x1t += 1tx 32 = dtt3xdx2 2 = 20 141 dt)tt( 2 3 J 2 1 4 == 3. + = 2 1 2 dx x1x 1 K ta đặt 2 x1t += 1tx 22 = tdtxdx = 5 2 5 2 2 1t 1t ln 2 1 t)1t( tdt J + = = 4. + = 2 1 3 dx x1x 1 H ta đặt 3 x1t += 1tx 23 = tdt2dxx3 2 = nhân cả tử và mẫu số với x 2 ta đợc: 2 12 ln 3 2 1t 1t ln 3 1 1t dt 3 2 x1x xdx H 3 2 3 2 2 2 1 32 + = + = = + = 5. + + = 3 0 2 35 dx 1x x2x G ta đặt 2 x1t += 1tx 22 = tdtxdx = nhóm x 2 .x.(x 2 +2) ta đợc: 5 26 t 5 t t tdt)1t)(1t( dx 1x x.x)2x( G 2 1 5 2 1 22 3 0 2 22 = = + = + + = 6. +++ = 6 1 3 dx 1x91x9 1 M ta đặt 6 1x9t += ( ) 1t 9 1 x 6 = dtt 3 2 dx 5 = luỹ thừa bậc hai và bậc ba ta có: += + += + = + = 3 2 ln 6 11 3 2 dt) 1t 1 1tt( 3 2 1t dtt 3 2 tt dtt 3 2 M 2 1 2 2 1 3 2 1 23 5 Ví dụ 2. Tính: 1. [ĐH.2005.A] + + = 2/ 0 dx xcos31 xsinx2sin P ta đặt xcos31t += )1t( 3 1 xcos 2 = tdt 3 2 xdxsin = nhóm nhân tử sinx ta có: + + = 2/ 0 xcos31 xdxsin)1xcos2( P ( ) 27 34 t 3 t2 9 2 dx1t2 9 2 2 1 3 2 1 2 = +=+= www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 7 2. dx. xsin31 x2sinx3cos Q 2 0 + + = ta đặt xsin31t += )1t( 3 1 xsin 2 = tdt 3 2 xdxcos = áp dụng công thức nhân đôi và nhân 3 ta viết: dx. xsin31 xcosxsin2xcos3xcos4 Q 2 0 3 + + = xdxcos. xsin31 xsin23xsin44 2 0 2 + + = Vậy += 2 1 24 dt)1t14t4( 27 2 Q 405 206 tt 3 14 t 5 4 27 2 2 1 35 = += 3. [ĐH.2006.A] + = 2 0 22 dx xsin4xcos x2sin R ta đặt xsin31t 2 += )1t( 3 1 xsin 22 = tdt 3 2 xdx2sin = . khi đó: 3 2 t 3 2 t tdt 3 2 R 2 1 2 1 === 4. Ví dụ 3. Tính: 1. + = e 1 dx x xln31xln P Ta đặt xln31t += )1t( 3 1 xln 2 = tdt 3 2 x dx = khi đó: ( ) 135 116 dxtt 9 2 P 2 1 4 == 2. + = e 1 dx xln21x xln23 Q Ta đặt xln21t += )1t( 2 1 xln 2 = tdt x dx = . Khi đó: 3 1139 3 t t4dt)t4( t tdt)1t(3 Q 3 1 3 2 1 2 2 1 2 = == = 3. + = 2ln2 2ln x 1e dx R . Ta đặt 1et x += suy ra tdt2dxe x = + + = = 5 3 2 13 13 . 15 15 ln 1t dt2 R 4. + = 3 0 3 x e1 dx S . Ta đặt 3 x et = suy ra 1e e2 ln3 )1t(t dx3 S e 1 + = + = 5. + = 5ln 0 x xx 3e dx1ee X Cách đặt 3. Nếu hàm số chứa các đại lợng x sin , x cos và 2 x tan thì ta đặt 2 x tant = khi đó 2 t1 t2 xsin + = , 2 2 t1 t1 xcos + = Ví dụ 4. Tính: 1. dx. 5xcos3xsin5 1 Q 2/ 0 ++ = Ta đặt 2 x tant = 2 t1 dt2 dx + = và 5 8 ln 3 1 4t 1t ln 3 1 dt 4t5t 1 Q 1 0 1 0 2 = + + = ++ = 2. dx. 2xcos 2 x tan L 3/ 0 + = ta đặt 2 x tant = 2 t1 dt2 dx + = và 9 10 ln3tln 3t tdt2 L 3/1 0 2 3/1 0 2 =+= + = www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 8 3. ++ = 4 0 dx 1x2sinx2cos x2cos V ta đặt xtant = 2 t1 dt dx + = và + + + = + + = 1 0 2 1 0 2 1 0 2 )t1(2 tdt )t1(2 dt )t1(2 dt)t1( V 1 0 2 1 1tln 4 1 V ++= ta tính 8 )t1(2 dt V ytant 1 0 2 1 = = + = suy ra 8 2ln2 dx 1x2sinx2cos x2cos V 4 0 + = ++ = 4. ++ + = 4 0 22 2 dx 1xsinx2sinxcos xtan1 N ta viết ++ + = 4 0 2 dx 1x2sinx2cos xtan1 N và đặt xtant = 2 t1 dt dx + = suy ra 4 2ln23 1tlnt 2 t 2 1 dt 1t t1 2 1 N 1 0 2 1 0 2 + = +++= + + = 5. [ĐH.2008.B] +++ = 4 0 dx )xcosxsin1(2x2sin 4 xsin F ta viết ( ) +++ = 4 0 dx )xcosxsin1(2xcosxsin2 xcosxsin 2 1 F dựa vào mối quan hệ giữa xcosxsin + và xcosxsin ta đặt xcosxsint + = dx)xsinx(cosdt = và 2 1t xcosxsin 2 = khi đó + = + = ++ = ++ = 2 1 2 1 2 2 1 2 22 1 22 1 1t 1 2 1 1t2t dt 2 1 )t1(21t dt 2 1 F Cách đặt 4. Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân. Nếu tích phân có dạng = a a dx)x(fI thì ta có thể viết += a 0 0 a dx)x(fdx)x(fI đặt t = - x để biến đổi = 0 a 1 dx)x(fI Nếu tích phân có dạng = 0 dx)x(fI thì ta có thể đặt t = - x Nếu tích phân có dạng = 2 0 dx)x(fI thì ta có thể đặt t = 2 - x Nếu tích phân có dạng = 2/ 0 dx)x(fI thì ta có thể đặt t = 2 - x Nếu tích phân có dạng = b a dx)x(fI thì ta có thể đặt t = (a + b) - x Ví dụ 4. Tính: 1. = 1 1 2008 xdxsinxI ta viết += 0 1 2008 xdxsinxI BAxdxsinx 1 0 2008 += . Ta đặt t = -x thì A = - B. vậy I = 0. 2. + = 0 2 dx xcos1 xsinx J ta đặt xt = khi đó + + = 0 2 0 2 dt tcos1 tsint dt tcos1 tsin J ta đổi biến tiếp: 2 dt tcos1 tsin J 2 utantcos 0 2 1 = ==== + = và Jdt tcos1 tsint J xt 0 2 2 = === + = .Vậy 4 JJ 2 J 22 == Cách đặt 4. Nếu tích phân có chứa 0a;cbxax 2 >++ thì ta có thể đặt cbxaxxat 2 ++= sau đó tính x theo t và tính dx theo t và dt.{Phép thế ơle} Ví dụ 5. Tính: 1. + = 1 0 2 1xx dx I ta đặt 1xxxt 2 += 1 t 2 t1 x 2 + = 3ln 1t2 dt2 I 2 1 = = 2. + = 1 0 2 1x2x9 dx J ta đặt 1x2x9x3t 2 += )1t3(2 1t x 2 = 2 126 ln 3 1 1t3 dt J 22 1 = = III)Phơng pháp tích phân từng phần www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 9 -Giả sử cần tính tích phân = b a dx)x(fI . Khi đó ta thực hiện các bớc tình: Bớc 1. Viết tích phân dới dạng: == b a b a dx)x(h).x(gdx)x(fI Bớc 2. Đặt = = dx).x(hdv )x(gu = = dx).x(hv dx)x('gdu Bớc 3. áp dụng công thức: hay = b a b a b a du.vv.udv.u Các cách đặt để tích phân từng phần: +Cách đặt 1. Nếu tích phân có dạng = b a dx.axsin).x(PI thì ta sẽ đặt = = dx.axsindv )x(Pu = = a axcos v dx)x('Pdu Nếu tích phân có dạng b a dx.axcos).x(P thì ta đặt = = dx.axcosdv )x(Pu = = a axsin v dx)x('Pdu Nếu tích phân có dạng b a ax dx.e).x(P thì ta đặt = = dx.edv )x(Pu ax = = a e v dx)x('Pdu ax Ví dụ 5. Tính: 1. = 0 dx.x2sin).1x3(I ta đặt = = dx.x2sindv 1x3u = = 2 x2cos v dx3du 2 3 dx.x2cos 2 3 2 x2cos )1x3(I 0 0 =+= 2. += 2/ 0 2 dx.xcos).1x(J ta đặt = += dx.xcosdv 1xu 2 = = xsinv xdx2du 1 2 0 2/ 0 2 J2 4 4 dx.xsin x2xsin)1x(J + =+= ta tính = 2/ 0 1 dx.xsin.xJ bằng cách đặt = = dx.xsindv xu sau đó suy ra 1xdxcosxcosxJ 2/ 0 2/ 0 1 =+= .Vậy 4 4 2 4 4 J 22 = + = 3. += 1 0 x32 dx.e).1xx(L ta đặt = += dx.edv 1xxu x3 2 1 3 1 0 x3 1 0 x32 L 3 1 3 1e dx.e).1x2( 3 1 e)1xx( 3 1 L =+= Tính tiếp = 1 0 x3 1 dx.e).1x2(L đặt = = dx.edv 1x2u x3 9 4e4 L 3 1 = suy ra 27 5e5 L 3 = 4. = 0 2 dx.)xsinx(M ta viết = == 0 0 2 00 2 xdx2cosx 2 1 4 x dx. 2 x2cos1 xdx.xsinxM xét 0dx.x2cosxM xu xdx2cosdv 0 1 === = = = . vậy ta có 4 M 2 = 5. = 4/ 0 2 dx.xsinM ta đổi biến xt = để đa = 2/ 0 tdtsint2M bằng cách đặt = = dt.tsindv t2u 2 M = www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 10 +Cách đặt 2. Nếu tích phân có dạng = b a ax dx.bxsineI thì ta đặt = = dx.edv bxsinu ax = = a e v bxdxcosbdu ax Nếu tích phân có dạng = b a ax dx.bxcoseI thì ta đặt = = dx.edv bxcosu ax = = a e v bxdxsinbdu ax Ví dụ 6. Tính: 1. = 2/ 0 x2 dx.x3sin.eI ta đặt = = dxedv x3sinu x2 = = 2 e v xdx3cos3du x2 1 0 x2 2/ 0 x2 I 2 3 2 e dx.x3cose 2 3 2 e x3sinI == (*). Ta xét = 0 x2 1 dx.x3coseI và đặt = = dxedv x3cosu x2 I 2 3 2 1 dx.x3sine 2 3 2 e x3cosI 0 x2 2/ 0 x2 1 +=+= thay vào (*) ta có: += I 2 3 2 1 2 3 2 e I 13 3e2 I + = 2. = 0 2x dx.)xsin.e(F ta viết = = 0 x2 0 x2 0 x2 dx.x2cose 2 1 dx.e 2 1 dx. 2 x2cos1 eF Ta xét 2 1e dx.e 2 1 F 2 0 x2 1 == . Sau hai lần tích phân từng phần ta tính đợc 4 1e dx.x2cose 2 1 F 2 0 x2 2 == . Vậy ta có: 8 1e dx.)xsin.e(F 2 0 2x == +Cách đặt 3. Nếu tích phân có dạng [ ] = b a dx)x(Q.)x(PlnI thì ta đặt [ ] = = dx).x(Qdv )x(Plnu = = dx)x(Qv dx )x(P )x('P du Ví dụ 7. Tính: 1. = 5 2 dx)1xln(.xI ta đặt [ ] = = dx.xdv 1xlnu = = 2 x v dx 1x 1 du 2 = 5 2 2 5 2 2 dx 2x2 x )1xln( 2 x I 4 272ln48 + = 2. ++= 3 0 2 dx)x1xln(J ta đặt = ++= dxdv x1xlnu 2 = + = xv dx x1 1 du 2 1)23ln(3J += 3. = e 1 2 xdxln.xK ta đặt = = xdxdv xlnu 2 suy ra = e 1 e 1 2 2 xdxln.xxln 2 x K . Xét = e 1 1 xdxln.xK và đặt = = xdxdv xlnu thì 4 1e K 4 1e K 22 1 = + = . 4. = 2 1 5 dx x xln H ta đặt = = dxxdv xlnu 5 suy ra 256 2ln415 dxx 4 1 xln x4 1 H e 1 5 2 1 4 =+= . 5. = 3/ 6/ 2 dx xcos )xln(sin G đặt = = dx xcos 1 dv )xln(sinu 2 = = xtanv xdxcotdu = 3/ 6/ 3/ 6/ dx)xln(sinxtanI 6 2ln343ln33 = [...]... 2 1+ t2 1+ t2 Xét I1 = 0 1 I1 = 2 CC PHNG PHP TNH TCH PHN 1 (t + 2) dt = 2 0 /2 1 1 9 Vậy I = (x ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) + I1 = + ln 0 2 3 8 3 V)Phơng pháp dùng tích phân liên kết Ví dụ 1 Tính: 2 1 I = 0 sin xdx ta xét thêm tích phân thứ hai: J = sin x + cos x 2 Mặt khác I J = 0 2 2 I n = 0 3 I n = n 0 4 E = 2 2 - t thì I n = 2 sin x + cos x 0 cos n t dt = sin n t + cos n t dx... n x 2 2 3 cos x dx = 1 ln 3 (*) 4 1 1 3 và ln 3 16 4 1 1 3 ln 3 + 8 2 dx 3 cos x Các bài toán tơng tự A Phơng pháp biến đổi trực tiếp 1 1 [ĐHNNI.98.A] M = 0 1 Giải: M = 0 1 + e dx + 1 + e 2x 2x + Bình phơng và phân tích thành 2 phân số đơn giản + Biết đổi biến (1 + e x ) 2 dx 1 + e 2x 1 0 1 2e x dx 2e x dx ta tính M 1 = đặt e x = tan t , t ( / 2; / 2 ) khi đó với tan =e và 1 + e 2x 1 + e... = e 1 F F = 2 III)Phơng pháp tìm hệ số bất định P( x ) A- Khi gặp tích phân: I = dx với P(x), Q(x) là các đa thức của x Q( x ) e bậc của Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) đợc thơng A(x) và d R(x), tức là P(x) = Q(x).A(x) + R(x), với bậc R(x) < bậc Q(x) P( x ) R(x ) Suy ra : P(x) dx = A(x)dx + R(x) dx = A( x ) + Q( x) Q( x) Q( x) Q( x) R( x ) Bớc 2: Ta đi tính : I = dx , với bậc R(x) 3 thì thông thờng ta gặp Q(x) là các biểu thức đơn giản nh: x 4 + 1 ; x 4 x 2 + 1 ; x 6 + 1 Ví dụ 1 Tính các tích phân: GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 11 www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN 0 0 x2 + x + 1 4x 1 4x 1 A B dx ta viết I = 1 + 2 Sau... viết 3 = + x + 3x x x 2 + 3 + 3x 3 1 x 1 dx dx = ln 3 {Vì đa đợc x vào trong vi phân} 2 3x 6 3( x + 3) 1 4 B Khi gặp tích phân I = a sin x + b cos x c sin x + d cos x dx (c, d 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS) tức là chọn A, B sao cho: asinx + bcosx = A(csinx + dcosx) + B(csinx + dcosx)' hoặc đặt t = tan Ví dụ 1 Tính: /2 1 I = 0 3 sin x + 5 cos x dx ta viết 3sinx + 5cosx = A(sinx + cosx) +... x ) 2 C Khi gặp tích phân I = /2 0 d(sin x + cos x ) 1 = cot(x + ) + 3 4 (sin x + cos x ) 2(sin x + cos x ) 2 /2 0 =2 a sin x + b cos x + m c sin x + d cos x + n dx (c, d 0) thì ta viết TS = A.(MS) + B.(MS) + C Chọn A, B,C sao cho: asinx + bcosx + m = A(csinx + dcosx + n) + B(csinx + dcosx + n)'+C hoặc có thể đặt x 2t 1 t2 sin x = cos x = 2 2 1+ t 1+ t2 Ví dụ 1 Tính: t = tan /2 1... 2x + 1 1+ /2 0 dx 2 + cos x 2 Đặt t = tan x thì Q = 2 1 ( 0 t = 3 tan u dt 3) + t 2 2 ==== 3 9 dx 62 M = dx 2x + 1 0 61 Q = dx x+2 2 60 W = CC PHNG PHP TNH TCH PHN 3 x 2 + 6x + 1 0 C Phơng pháp tích phân từng phần 1 (1 + x) e 1 [ĐHCĐ.97] 2 2x dx 0 4 x(2 cos 2 [ĐHTCKT.98] x 1)dx 2 0 2 3 10 x 3 ln( x 2 + 1)dx và 0 x lg 2 xdx 0 e (x ln x) dx 4 [PVBáo.98] 2 1 x sin x cos 5 [HVNH.98] 2 xdx... [ĐHTN.98] dx 0 2 6 I = x4 x + 1 dx x2 + 4 0 1 7 J = 2x 2 + 3x + 7 dx x3 + 1 0 1 8 K = x 4x + 5 dx + 3x + 2 2 0 1 9 L = (x dx 2 0 2 10 Z = ) 1 + xn n n 0 3x 4 ) 2 x4 x + 1 dx x2 + 4 D Phơng pháp tích phân liên kết 2 1 0 cos x sin x + cos x 2+ 3 2 [Đề thi thử] I = 2 3 dx x4 1 e x3 x 2 +1 x dx [ĐHTN.00] CMR: n Z , ta có 1 F ( ) = F ( x) Suy ra x 1 I = F (2 + 3 ) F ( )=0 2+ 3 HD: 2 sin(sin... 2x (sin 2 29 M = 6 ) x + cos 6 x sin 2 x cos 2 x dx 0 4 30 N = 0 sin 2 x dx cos 8 x 31 GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail.com - www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN B Phơng pháp đổi biến 1 1 [CĐBN.01] 0 x3 dx (1 + x 2 ) 3 HD đặt fsf 1 x 2 [PVB.01] 1 x 2 dx 3 0 ln 3 3 e 0 dx +2 x 2 sin 2x 1 + cos 4 [CĐXD.01] 2 0 x dx 1 x (1 x ) dx 5 [ĐHKTQD.97] 5 3 6 0 x 2 (1 x ) 7... sin x + cos x cos x sin x + cos x n dx và suy ra I n = J n = 6 cos 2 x sin x + 2 3 cos x dx ta có E + F = sin x + (sin x 3 cos x )dx = 1 3 (**) GiảI hệ (*), (**) ta đợc: E = 0 F= 3 1 3 Mở rộng tính E = ln 3 + 16 4 6 Đề xuất L = cos 2x sin x 0 6 cos 2x sin x + 0 3 cos x dx = F E = 4 1 0 6 Lại có E 3F = (*) 0 2 Mặt khác nếu đặt x = n cos xdx sin x + cos x Khi đó: I + J = 2 (sin x . www .MATHVN. com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail .com - www .mathvn. com 1 Chuyên đề 1: Các phơng. 0 )1x2( 1 4 1 2 )1x2( 2 1 )1x2(d)1x2( 2 1 1 0 2 1 0 2 2 1 3 = = + == www .MATHVN. com CC PHNG PHP TNH TCH PHN GV V S Minh - Email: vusyminh@gmail .com - www .mathvn. com 2 3. = == = 3/7 1 dx3x3K 9 16 )3x3( 9 2 )3x3(d)3x3( 3 1 3/7 1 3 3/7 1 2/1 ===