www.facebook.com/toihoctoan
Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 1 SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN GIÁO VIÊN : LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NỘI DUNG : I. THỂ TÍCH KHÔI CHÓP 1. Phương pháp tính trực tiếp. 2. Phương pháp tính gián tiếp. 3. Phương pháp phân chia lắp ghép khối. II. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC. Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 2 BÀI 1 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP. I. Lý thuyết cần nhớ. 1. Công thức thể tích khối chóp : 1 . 3 V B h . (1) Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao tương ứng. 2. Một số tính chất cần nhớ . a) Cách xác định góc : - Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) bằng góc giữa (d) và (d’), với (d’) là hình chiếu của (d) trên mp (P). - Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong 2 mặt đó, vuông góc với giao tuyến tại một điểm. b) Một số tính chất về khoảng cách : - Cho / /( ) à ,P v A B thì : d(A; (P)) = d (B; (P)). - Cho ( ;( )) ( ) à ; ó: ( ;( )) d A P IA P I v A B tac d B P IB . c) Cho hình chóp SABC trên SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ ta có ' ' ' . . ' ' ' SABC SA B C V SA SB SC V SA SB SC . II. Bài Tập. 1. Phương pháp tính trực tiếp. Cơ sở : sử dụng công thức 1 . 3 V B h , vậy ta phải tính diện tích đáy, và tính độ dài đường cao. 1. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết : a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 0 . c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60 0 . d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 120 0 . Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 3 2. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết : a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 0 . c) Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60 0 . d) Cạnh đáy bằng a, và góc ASB bằng 120 0 , góc ACS bằng 120 0 . 3. Cho tứ điện SABC cạnh a, dựng đường cao SH. a) CMR : SA vuông góc BC. b) Tính thể tích SABC. Gọi O là trung điểm SH. CMR : OA, OB, OC đôi một vuông góc. 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( ) ( ),SAB ABCD SAB đều, H là trung điểm AB, M là trung điểm BC. Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ S tới MD. Gợi ý : Kẻ SK MD thì H, K, C thẳng hàng. Ta có : 30 ( ; ) 5 a d S MD . 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, ( )SA ABCD , cạnh SC hợp với đáy góc 30 0 , hợp với (SAB) góc 45 0 . Tính SC và thể tích S.ABCD. K quả : SC = 2a, 3 2 3 a V . Bài 6 (Tốt nghiệp THPT 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a, AB=3a, ( )SA ABCD , SC tạo với đáy góc 45 0 . Tính thể tích S.ABCD. ( 3 2 2 3 a V ) Bài 7 (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B. AB = a, ( )SA ABC . Góc (SBC) và (ABC) bằng 30 0 , M là trung điểm SC. Tính thể tích S.ABM. ( 3 12 3 a V ) Gợi ý : bài toán có thể giải theo 3 phương pháp Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 4 1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh . 2. Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC. 3. Phân chia khối đa diện : ( ) ( )V V SABC V MABC Bài 8 (A – 2011 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t. giác ABC vuông cân tại B, BA=BC=2a, 2 mp (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). M là trung điểm AB, mp qua SM, và song song vơi BC cắt AC tại N. biết góc (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích S.BCNM và d(AB; SN). Kết quả : 3 3V a . Kẻ NE//AB, từ A kẻ ; ó ( )AK NE AH SK tac AH SKE Ta có 2 39 ( ; ) ( ;( )) 13 a d AB SN d A SKE AH Bài 9 (A – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, M, N là trung điểm của AB, AD, CN cắt MD tại H. Biết ( )SH ABCD và 3SH a . Tính . à ( ; ) S CDNM V v d MD SC . Kết quả : 3 5 3 24 a V và 2 57 ( ; ) 19 a d MD SC êCN MDn nke HK SC thì HK là đường vuông góc chung. Bài 10(A – 2009 ) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, D. AB=AD=2a, CD = a. góc (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm AD, biết 2mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích S.ABCD. ( 3 3 15 5 a V ) Gợi ý : Kẻ IK CB thì góc SKI bằng 60 0 . Tính IK dựa vào S(IBC) = S(ABCD) – S(DIC) – S(AIB). Bài 11 (D – 2011 ) Cho hình chóp SABC có đáy là t. giác ABC vuông tại B, BA=3a, BC=4a. ( ) ( )SBC ABC 2 3;SB a góc SBC bằng 30 0 . Tính V(SABC) và d(B;(SAC)). Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 5 Gợi ý : Kẻ ( )SH BC SH ABC , 3 2 3V a . d(B;(SAC))=4.d(H(SAC))= 6 7 7 a . Bài 12 (Thử ĐT 2011 lần 1 ) Cho hình chóp S.ABC có ( ) ( )SBC ABC . SB=SC=1. Các góc đỉnh S bằng 60 0 . Tính V(SABC) Gợi ý : Gọi H là trung điểm BC : 1 2 . 3 8 ABC V SH S . Bài 13(Thử ĐT 2010 lần 1) 1. Cho tứ diện SABC có SA=x, các cạnh còn lại bằng 1. Tính V(SABC), tìm x để V Max? 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằg 1.Tính V(SABCD),tìm x để V Max? Gợi ý 2) + Tam giác SAC vuông tại S. + Kẻ 2 1 ( ); 3 6 SH AC SH ABCD V x x . Bài 14 (Thử ĐT 2011 lần 2) Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh O bằng 60 0 . Tính V(OABC)? Cách 1 : 1 . 2 2 3 OBC V AH S . Cách 2 : Áp dụng ' ' ' . . ' ' ' SABC SA B C V SA SB SC V SA SB SC . Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính được V(OAB’C’). Bài 15 (Thử TM 2011) Cho hình chóp S.ABC có ABC là t. giác vuông tại C. ( )SA ABC CA=CB=a, góc (SBC) và (ABC) bằng . Gọi G là trọng tâm ABC. Tính V(SABC) và d(G;(SBC)). Kết quả : 3 1 1 tan ; ( ;( )) asin 3 3 V a d G SBC . Bài 16 (Thi thử ĐH) Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN, AB=AS=a, 2AD a , ( )SA ABCD . M,N là trung điểm AD, SC, I là giao của BM và AC. CMR : ( ) ( )SAC SMB , tính V(ANIB) ? Sử dụng tích vô hướng => ( ) ( ) ( )MB AC MB SAC SMB SAC . AMB vuông tại A có AI là đường cao, tính AI, BI => 2 2 6 a S V(ANIB)= V(N.AIB)= 3 2 36 a Bài 17 (Một số bài toán về tỉ số thể tích) 1. Cho khối chóp tam giác SABC có ABC vuông cân tại B, 2AC a , ( )SA ABC , góc giữa SB và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SC tại K. a) Hãy nêu cách dựng mp(P)? b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK? 2. Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, 2AC a , ( )SA ABC , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. H là hình chiếu của A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB tại K. a) Hãy nêu cách dựng mp(P)? b) Tính tỉ số thể tích của 2 khôi đa diện SAHK và ABCHK? KQ : 3 3 3 1 3 7 ( ) 3; ( ) 3; ( ) 3 6 32 96 V SABC a V SAHK a V ABCHK a => Tỉ số 9 7 . Bài 18 Cho khối chóp SABCD có ( ); 2SA ABC SA a . Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’ là hình chiếu của A trên SC. Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD tại B’, D’. a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ? b) Tính tỉ số thể tích 2 khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’ KQ : 3 3 3 1 1 2 ( ) 2; ( ' ' ') 2; ( DD' ' ') 2 3 9 9 V SABCD a V SAB C D a V ABC C B a Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 7 Một số bài tập luyện tập . 1. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B. AB = a, ( )SA ABC . Góc (SBC) và (ABC) bằng 30, M là trung điểm SC. Tính V(S.ABM) ( 3 12 3 a V ). 2. (CĐ2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. ( ) ( )SAB ABCD , ,SA=SB, góc SC và đáy bằng 45 0 . Tính V(S.ABCD) . ( 3 5 6 a V ). 3. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =a, 2SA a . Gọi M,N,P là trung điểm SA, SB, CD. CMR : MN vuông góc SP và tính V(AMNP) ? 4. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang. Góc BAD, ABC cùng bằng 90. BA=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N là trung điểm SA, SD. CMR : BCNM là HCN và tính V(S.BCNM) ? 5. (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AD=CD=a, AB=3a, ( )SA ABCD , SC tạo với đáy góc 45 0 . Tính thể tích S.ABCD. ( 3 2 2 3 a V ). 6. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa (SBD) và đáy bằng 60 0 . Tính V(S.ABCD) . 7. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là HCN tâm O; SA=SB=SC=SD. Biết AB=3a, BC=4a và góc OAS bằng 45 0 . Tính V(S.ABCD) . 8. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc BAC bằng 120. Tính V(S.ABCD) ? 9. (TN 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Gọi I là trung điểm BC. CMR : SA vuông góc BC, và tính V(S.ABI) ? 10. (TN 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính V(S.ABC) ? 11. (TN 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh 3SB a . a) Tính V(S.ABCD)? Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 8 b) CMR : trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD . 12. (B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a, 3SB a và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm Ab, BC. Tính V(S.BMDN) và cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN. 13. (A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là t.giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của SB, BC, CD. CMR : AM vuông góc với BP, và tính V(CMNP). 14. (B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. CMR : MN vuông góc BD và tính d(MN; AC). 15. (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC, BAD bằng 90. BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2SA a . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. CMR : t.giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H tới (SCD). 16. (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN với AB=a, 2AD a , Sa=a và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. CMR : mp(SAC) vuông góc mp(SMB) và tính V(ANIB). 17. (B – 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính tan của góc giữa 2 mp (SAB) và (ABCD), V(S.ABCD)? 18. (A – 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính S(AMN), biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). 19. (D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) ? 2. Phương pháp gián tiếp. a) Cơ sở : Để tính V(H) ta có thể tính thể tích V’ của một khối chóp khác đơn giản hơn. Dựa vào mối quan hệ giữa V và V’ => V. b) Một số tính chất. + Cùng chiều cao : ' ' V B V B + Chung đáy : ' ' V h V h Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 9 + Sử dụng : ' ' ' . . ' ' ' SABC SA B C V SA SB SC V SA SB SC (CT chỉ dùng cho hình chóp tam giác) Bài 1(CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân tại B. AB = a, ( )SA ABC . Góc (SBC) và (ABC) bằng 30 0 , M là trung điểm SC. Tính thể tích S.ABM. ( 3 12 3 a V ) Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp 1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh . 2. Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC. 3. Phân chia khối đa diện : ( ) ( )V V SABC V MABC Bài 2 (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB=a, 2SA a . Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB, CD. CMR : MN SP , và tính V(AMNP) ? Gợi ý : 3 1 1 1 6 ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( ) 4 4 8 48 a V P AMN V C AMN V C SAB V S ABC V SABCD . Bài 3 (D – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là H thuộc AC sao cho AC=4.AH. Gọi CM là đường cao của SAC. CMR : M là trung điểm SA và tính V(SMBC) ? Gợi ý : 3 1 1 14 ( ) ( . ) ( . ) ( . ) 2 2 48 a V SMBC V C SMB V C SAB V S ABC . Bài 4 (Thử ĐT 2010 lần 2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, M,N là trung điểm SA, BC. Biết góc MN và (ABCD) bằng 60 0 . Tính V(SMNC)? Gợi ý : 1 30 ( . ) ( . ) ( . ) . 3 48 ANC a V S MNC V A MNC V M ANC MH S . Bài 5 (Thử ĐT 2011) Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GV : Lại Văn Long Thanh Liêm- Hà Nam Trang 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=5, BC=6, AC=9, 27 4 SA SB C . Tính V(S.ABCD) ? Gợi ý : V(S.ABCD)=2.V(S.ABC) Theo herong : ( ) 10 2S ABC . Do SA=SB=SC nên kẻ đường cao SH thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. SA=R 4 abc S , tính được SA => tính được SH => V(S.ABCD)=45. Bài 6 (Thử ĐT lần 2 – 2011 ) Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc ở đỉnh S bằng 60 0 . Tính V(O.ABC) ? Gợi ý : Áp dụng ' ' ' . . ' ' ' SABC SA B C V SA SB SC V SA SB SC . KQ : 2 2V Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính được V(OAB’C’). Bài 7 (B – 2009 ) Cho lăng trụ ABC.A’BC’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 60 0 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC . Tính V(A’ABC). KQ : V(A’ABC)=V(B’.ABC) = 3 9 208 a G là trọng tâm ABC => góc B’BG bằng 60 0 => 3 2 4 a a BG BD (D trung điểm AC) Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào BCD => x . Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HV cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. a) CMR : A, B’, C’ D’ đồng phẳng . (cùng nằm trên mp vuông góc với SC). b) Tính V(S.AB’C’D’) . điểm SC. Tính thể tích S.ABM. ( 3 12 3 a V ) Gợi ý : bài toán có thể giải theo 3 phương pháp Giáo viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn website: http://violet.vn/vanlonghanam. điểm SC. Tính thể tích S.ABM. ( 3 12 3 a V ) Gợi ý : Bài toán có thể giải theo 3 phương pháp 1. Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh . 2. Gián tiếp : Coi B