sáng kiến kinh nghiệm
Céng ho∙ x∙ héi chđ nghÜa viƯt nam §éc lËp-tù do-hạnh phúc o0o đề tài Phân loại toán tính thể tích khối tròn xoay I sơ yếu lí lịch ã Họ tên: Nguyễn Đông Bắc ã Sinh ngày: 31/10/1980 ã Năm vào nghành: 09/2007 ã Ngày vào Đoàn TNCS Hồ Chí Minh: 22/12/1998 ã Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trờng THPT Vạn Xuân ã Trình độ: Cử nhân Toán ã Hệ đào tạo: Chính quy ã Bộ môn giảng dạy: Toán ã Ngoại ngữ: Anh Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Trang II Nội dung đề ti: Tên đề tài: Phân loại toán tính thể tích khối tròn xoay Lý chọn đề tài: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ nãi chung vµ thĨ tÝch khối tròn xoay nói riêng ứng dụng quan trọng tích phân, dạng toán thờng xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT đề thi vào trờng cao đẳng đại học Thời lợng cho phần theo phân phối chơng trình lµ tiÕt, víi thêi gian Ýt nh− vËy céng với hình dạng trừu tợng khối tròn xoay- đối tợng hình học không gian, học sinh thờng bị lúng túng, định hớng thiếu tự tin vào thân làm tập dạng Việc phân loại toán đa phơng pháp giải phù hợp trờng hợp giúp học sinh định hớng trình giải tập, lí định thực đề tài Phạm vi thời gian thực đề tài: Đề tài đợc áp dụng phạm vi lớp 12C2-Trờng THPT Vạn Xuân với đối tợng em häc sinh cã häc lùc trung b×nh Thùc hiƯn năm học 2008-2009, vào luyện tập tự chọn, sau em đà học xong Đ3 ứng dụng tích phân hình học chơng III- Giải tích 12 Ban Cơ III Quá trình thực đề ti: Khảo sát tình hình thực tế: đầu năm chơng trình Hình học 12 các em đà đợc trang bị kiến thức tơng đối đầy đủ mặt tròn xoay, khối tròn xoay cách tạo chúng, chơng trình Giải tích 12 học kì II em đà đợc trang bị kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Đó sở vững để tiến hành thực đề tài Số liệu điều tra trớc thực đề tài: Sau dạy xong Đ3 ứng dụng tích phân hình học chơng III- Giải tích 12 Ban Cơ bản, trớc dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho học sinh lớp 12C2, đà tập nhà cho em, cho em chuẩn bị trớc thời gian tuần Với tập sau: Bài tập: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đờng sau quanh trôc Ox a) y = e x ; y = ; x = 0; x = b) y = x ; y = x c) x + y = ; y = x Kết thống kê đợc nh sau: Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Kết Số HS giải Số HS giải sai Số HS lời giải Câu a) 20 (54%) (19%) 10 (27%) C©u b) 17 (46%) (24,3%) 11 (29,7%) C©u c) (5,4%) (29,6%) 26 (70%) Câu Từ kết thu đợc ta thấy toán tơng đối dễ nhng học sinh cha nắm đợc kĩ giải Việc thực đề tài cần thiết Các biện pháp thực hiện: A Yêu cầu học sinh: - Nắm vững khái niệm mặt tròn xoay, khối tròn xoay khái niệm liên quan - Nắm vững phơng pháp tính tích phân - Nắm vững toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số, phép biến đổi đồ thị, đồ thị hàm số đặc biệt B Nội dung đề tài: Phần I: Nhắc lại kiến thức đà học chơng trình lớp 12 kiến thức liên quan Cách tính thể tích vËt thĨ bÊt k×: B−íc 1: Chän trơc Ox däc theo chiều dài vật thể Bớc 2: Xác định chiều dài vật thể trục Ox ta đợc đoạn [a; b] Bớc 3: Cắt vật thể mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox vị trí x [a; b] tìm quy luật biến đổi diƯn tÝch thiÕt diƯn S(x) b B−íc 4: KÕt ln công thức tính thể tích vật thể là: V = S( x ).dx a Các phép biến đổi đồ thị: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C) - Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta đợc đồ thị (C1): y = − f ( x ) - LÊy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta đợc ®å thÞ (C2): y = f (− x ) Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Đồ thị số hàm số đặc biệt: Đồ thị hàm số mũ Đồ thị hàm logarit Đồ thị hàm luỹ thừa Đồ thị hàm y = x n (n N ) Phần II: Phân loại toán tính thể tích khối tròn xoay Bình luận: Để tạo khối tròn xoay ta phải quay hình phẳng quanh trục đó, chơng trình ta xét khối tròn xoay quay quanh trục Ox Do vậy, ta phân loại toán theo đặc điểm hình phẳng vị trí hình phẳng so với trục Ox Khối tròn xoay tạo hình phẳng nằm phía trục Ox quay quanh Ox Dạng 1: Khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng cong trôc Ox ⎧y = f ( x) ⎪ S : ⎨Ox ( y = 0) ⎪ ⎩ x = a; x = b Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Nằm phía trục Ox Nằm phía d−íi trơc Ox b C«ng thøc tÝnh: Vox = π.∫ [ f ( x )] dx a VÝ dô: Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: b) y = x − 2.x − 3; y=0 c) y = x.e x ; y=0; x=1 a) y = x ; Ox; x=1; x=4 Bài giải: a) Nhận xét: Đây toán dạng xét ta áp dụng công thức mà vẽ hình Lời giải: Công thức tính diƯn tÝch lµ: Vox = π ∫ ( x )2 dx Thể tích khối tròn xoay là: Vox = 15 π (®vtt) b) Ng−êi thùc hiƯn: Nguyễn Đông Bắc Đề ti: Phân loại bi toán tính thĨ tÝch khèi trßn xoay Trang NhËn xÐt: Trơc Ox có phơng trình y=0, toán dạng nhng cha cho cận lấy tích phân x=a; x=b, ta tìm cách giải phơng trình tơng giao Lời giải: Hoành độ giao điểm y = x − 2.x − víi trơc Ox lµ nghiƯm phơng trình: x = x 2.x − = ⇔ ⎢ ⎣x = C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch: Vox = π ∫ ( x − x − 3)2 dx −1 Thể tích vật thể là: Vox = 832 (đvtt) 15 c) Nhận xét: Trục Ox có phơng trình y=0, toán dạng nhng cha đủ cận lấy tích phân đồ thị ta cha biết cách vẽ, ta tìm cận lại cách giải phơng trình tơng giao Lời giải: Hoành độ giao điểm cđa y = x.e x víi trơc Ox lµ nghiƯm phơng trình: x.e x = x = C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch: 1 0 Vox = π ∫ ( x e x )2 dx = π ∫ x e2 x dx ⇒Sư dơng phơng pháp tích phân phần ta tích vật thể là: Vox = e2 (đvtt) Dạng 2: Khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn từ hai đờng cong trở lên Cách giải: Bớc 1: Vẽ hình xác định hoành độ giao điểm Bớc 2: Phân chia hình phẳng thành phần giới hạn đờng cong trục Ox Bớc 3: Xác định công thức tính thể tích kết luận Ví dụ: Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang Đề ti: Phân loại bi toán tính thĨ tÝch khèi trßn xoay TÝnh thĨ tÝch khèi trßn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: a) y = x ; y=2-x, Ox b) y = x − 2.x 3; y=0 Bài giải: a) Hoành độ giao điểm cđa ( P) : y = x vµ (d): y=2-x nghiệm phơng trình: x=1 x =2-x ⇔ ⎢ ⇔ x =1 ⎣ x=-2 (lo¹i) Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch: Vox = π ∫ ( x )2 dx + π ∫ (2 − x )2 dx ThĨ tÝch cđa vËt thĨ lµ: Vox = (đvtt) 15 b) Hoành độ giao điểm (H) : y = vµ (d): y=7-2x lµ x nghiƯm phơng trình: x=3 =7-2x ⎢ x= x ⎢ ⎣ Ta cã: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thĨ tÝch: ⎛3⎞ Vox = π∫ (7 − x ) dx − π∫ ⎜ ⎟ dx 1⎝ x⎠ 3 2 ThĨ tÝch cđa vËt thĨ lµ: Vox = 185 (đvtt) 2 Khối tròn xoay tạo hình phẳng nằm hai phía trục Ox quay quanh Ox VÝ dơ 1: TÝnh thĨ tÝch khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: y = sin x; Ox; x=0; x=2 Bài giải: Ta có: S=S1+S2 V=V1+V2 Công thức tính thể tích là: Vox = π∫ (sin x )2 dx + π ∫ ( sin x ) dx 2π =π ∫ (sin x )2 dx Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tÝch khèi trßn xoay Trang ⇒ ThĨ tÝch cđa vật thể là: Vox = (đvtt) Nhận xét: toán hình phẳng giới hạn đờng cong trục Ox, hình phẳng có phần nằm phần nằm phía dới trục Ox, ta thấy công thức thiết lập phần I Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: x + y = ; y = x Bài giải: Hoành độ giao điểm (C) : x + y = vµ (P): y =2x nghiệm phơng trình: x2 = ⎡x = x + (2 x )2 = ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⇔ x=2 x = −2 (lo¹i) ⎣ x = −2 (lo¹i) ⎣ Ta cã: tính đối xứng (C) (P) khối tròn xoay quay S khối tròn xoay quay S1S2 ⇒ V=V1+V2 Mà OA : y= 8-x vµ AB : y= 2x Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Công thức tính thể tích là: Vox = π∫ ( ) dx + π ∫ ( 2x − x2 2 ) dx =π ∫ x.dx + π ∫ ( − x ) dx ⇒ ThĨ tÝch cđa vËt thĨ lµ: Vox = 16 28 (đvtt) Nhận xét: toán hình phẳng gồm phần đối xứng qua trục Ox, khối tròn xoay tạo thành có đợc cách quay phần quanh trục Ox Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: y = − x; y = −1; x = 1; x = ; y = x Bài giải: S gồm phần S1 nằm phía S2 nằm phía dới Ox Đối xứng đờng y = qua trục Ox đờng y = đối xứng S2 qua Ox S '2 khối tròn xoay tạo thành khối trßn xoay quay bëi S1 ∪ S '2 ⇒ V=V1+V2 Hoành độ giao điểm y = y=3-x nghiệm phơng trình: x =1 x = Công thức tính thể tích là: Vox = π ∫ (3 − x )2 dx + π ∫ dx ⇒ ThĨ tÝch cđa vËt thể là: Vox = 10 (đvtt) Nhận xét: toán hình phẳng gồm phần phần S1 nằm phía S2 nằm phía dới trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay tạo thannhf ta tiến hành Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang 10 Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay lấy đối xứng S2 lên phía đợc S '2 kết luận khối tròn xoay tạo thành hình phẳng S1 S '2 quay quanh Ox đa toán dạng quen thuộc Các tập tơng tự Bài Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2 b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4 c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2 d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2 e) y = xex; y = 0; x = 0; x = f) y= x lnx; y = 0; x =1; x = e g) y = x ; y = 0; x = 1; x = h) y = 2x, y = – x + 3, Ox j) y = x2 ,y = – x, Oy i) y = x2, y = – x, Ox l) y = – x, y = – 2x – x2 k) y = x , y = – 2x + Bài Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đờng sau quay quanh Ox: a) y = 3x – x2; y = b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = e) y = 2x ; y = – x +3; y = d) y = x ; y = – x + g) y = x2; y = – x; y = (phÇn n»m ngồi y = x2) h) y = x2; y = 10 – 3x; y = (phÇn nằm ngoi y = x2) IV Kết so sánh ®èi chøng: Sau thùc hiƯn ®Ị tµi, ®Ĩ kiĨm tra hiệu đề tài, tiến hành cho học sinh làm tập kiểm tra với đề tơng tự kết thu đợc nh sau: Số HS giải thành thạo 34 Số HS không giải thành thạo 92% 8% Qua bảng số liệu thu đợc ta thấy đề tài đà có tác dụng định hớng cho học sinh trình giải toán tính thể tích khối tròn xoay Các em không lúng túng phải xác định công thức tính thể tích mà đà có nhìn nhận toán đắn hơn, tổng quát Đề tài đà cho kết tốt học sinh lớp đợc lựa chọn V Các kiến nghị sau thực đề ti: Sau thực đề tài thấy đề tài có xuất phát điểm kiến thức tơng đối đơn giản, t rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu ¸p dơng cho c¸c häc sinh tõ trung b×nh, hiƯu đề tài tơng đối tốt Tôi đề nghị thầy cô dạy khối 12 cố gắng dành tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang 11 Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Các tài liệu tham khảo chính: 01 SGK Hình học 12 02 SGK Giải tích 12 03 Tuyển tập phơng pháp tính tích phân- Trần Phơng Hoài Đức, tháng 05 năm 2009 Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc VI đánh giá hội đồng thẩm định: Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc ...Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Trang II Nội dung đề ti: Tên đề tài: Phân loại toán tính thể tích khối tròn xoay Lý chọn đề tài: Tính thĨ tÝch vËt thĨ nãi... bị kiến thức tơng đối đầy đủ mặt tròn xoay, khối tròn xoay cách tạo chúng, chơng trình Giải tích 12 học kì II em đà đợc trang bị kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể. .. (P) khối tròn xoay quay S khối tròn xoay quay S1S2 V=V1+V2 Mà OA : y= 8-x vµ AB : y= 2x Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc Trang Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay Công thức tính