Kh¶o s¸t t×nh h×nh thùc tÕ: ở đầu năm trong ch−ơng trình Hình học 12 các các em đã đ−ợc trang bị các kiến thức t−ơng đối đầy đủ về mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo ra chúng, tro[r]
(1)Céng ho∙ x∙ héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp-tù do-h¹nh phóc …………o0o………… đề tài Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay I s¬ yÕu lÝ lÞch • Hä vµ tªn: NguyÔn §«ng B¾c • Sinh ngµy: 31/10/1980 • N¨m vµo nghµnh: 09/2007 • Ngµy vµo §oµn TNCS Hå ChÝ Minh: 22/12/1998 • Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THPT Vạn Xuân • Trình độ: Cö nh©n To¸n • Hệ đào tạo: ChÝnh quy • Bé m«n gi¶ng d¹y: To¸n • Ngo¹i ng÷: Anh Lop12.net (2) §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay Trang II Nội dung đề tμi: Tên đề tài: Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay Lý chọn đề tài: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nãi chung vµ thÓ tÝch khèi trßn xoay nãi riªng lµ mét øng dông quan träng cña tÝch ph©n, d¹ng to¸n nµy th−êng xuyªn xuÊt hiÖn c¸c đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các tr−ờng cao đẳng và đại học Thời l−îng cho phÇn nµy theo ph©n phèi ch−¬ng tr×nh lµ tiÕt, víi thêi gian Ýt nh− vËy cộng với hình dạng trừu t−ợng khối tròn xoay- đối t−ợng hình học không gian, học sinh th−ờng bị lúng túng, định h−ớng và thiếu tự tin vào th©n lµm bµi tËp d¹ng nµy ViÖc ph©n lo¹i bµi to¸n vµ ®−a ph−¬ng ph¸p giải phù hợp tr−ờng hợp giúp học sinh định h−ớng quá trình giải bài tập, vì lí đó tôi định thực đề tài Phạm vi và thời gian thực đề tài: §Ò tµi nµy ®−îc ¸p dông ph¹m vi c¸c líp 12C2-Tr−êng THPT V¹n Xu©n với đối t−ợng là các em học sinh có học lực trung bình Thực năm học 2008-2009, vào các luyện tập và tự chọn, sau các em đã học xong bài “§3 øng dông cña tÝch ph©n h×nh häc” cña ch−¬ng III- Gi¶i tÝch 12 Ban C¬ b¶n III Quá trình thực đề tμi: Kh¶o s¸t t×nh h×nh thùc tÕ: đầu năm ch−ơng trình Hình học 12 các các em đã đ−ợc trang bị các kiến thức t−ơng đối đầy đủ mặt tròn xoay, khối tròn xoay và cách tạo chúng, ch−ơng trình Giải tích 12 học kì II các em đã đ−ợc trang bị các kiến thức tích phân, ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể Đó là sở vững để tiến hành thực đề tài này Số liệu điều tra tr−ớc thực đề tài: Sau d¹y xong bµi “§3 øng dông cña tÝch ph©n h×nh häc” cña ch−¬ng III- Gi¶i tÝch 12 Ban C¬ b¶n, tr−íc d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cho học sinh lớp 12C2, tôi đã bài tập nhà cho các em, cho các em chuẩn bị tr−íc thêi gian tuÇn Víi bµi tËp sau: Bµi tËp: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh quay h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quanh trôc Ox a) y = e x ; y = ; x = 0; x = b) y = x ; y = x c) x + y = ; y = x KÕt qu¶ thèng kª ®−îc nh− sau: Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (3) Trang §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay KÕt qu¶ Số HS giải đúng Sè HS gi¶i sai Sè HS kh«ng cã lêi gi¶i C©u a) 20 (54%) (19%) 10 (27%) C©u b) 17 (46%) (24,3%) 11 (29,7%) C©u c) (5,4%) (29,6%) 26 (70%) C©u Từ kết thu đ−ợc ta thấy mặc dù bài toán t−ơng đối dễ nh−ng học sinh ch−a nắm đ−ợc kĩ giải Việc thực đề tài là cần thiết C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn: A Yêu cầu học sinh: - N¾m v÷ng kh¸i niÖm mÆt trßn xoay, khèi trßn xoay vµ c¸c kh¸i niÖm liªn quan - N¾m v÷ng c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n - Nắm vững bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các phép biến đổi đồ thị, và đồ thị các hàm số đặc biệt B Nội dung đề tài: Phần I: Nhắc lại các kiến thức đã học ch−ơng trình lớp 12 và các kiến thức liªn quan C¸ch tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ bÊt k×: B−íc 1: Chän trôc Ox däc theo chiÒu dµi vËt thÓ B−ớc 2: Xác định chiều dài vật thể trên trục Ox ⇒ ta đ−ợc đoạn [a; b] B−íc 3: C¾t vËt thÓ bëi mÆt ph¼ng (P) vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i vÞ trÝ x ∈ [a; b] ⇒ tìm quy luật biến đổi diện tích thiết diện S(x) b B−íc 4: KÕt luËn c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ lµ: V = ∫ S( x ).dx a Các phép biến đổi đồ thị: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C) - Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta đ−ợc đồ thị (C1): y = − f ( x ) - Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta đ−ợc đồ thị (C2): y = f (− x ) Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (4) Trang §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay Đồ thị số hàm số đặc biệt: §å thÞ hµm sè mò §å thÞ hµm logarit §å thÞ hµm luü thõa §å thÞ hµm y = x n (n ∈ N ) PhÇn II: Ph©n lo¹i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay B×nh luËn: §Ó t¹o khèi trßn xoay ta ph¶i quay mét h×nh ph¼ng quanh mét trục nào đó, ch−ơng trình ta xét khối tròn xoay quay quanh trục Ox Do vậy, ta phân loại bài toán theo đặc điểm hình phẳng và vị trí h×nh ph¼ng so víi trôc Ox Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng n»m vÒ mét phÝa cña trôc Ox quay quanh Ox D¹ng 1: Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi mét ®−êng cong vµ trôc Ox ⎧y = f ( x) ⎪ S : ⎨Ox ( y = 0) ⎪ ⎩ x = a; x = b Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (5) Trang §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay N»m phÝa trªn trôc Ox N»m phÝa d−íi trôc Ox b C«ng thøc tÝnh: Vox = π.∫ [ f ( x )] dx a VÝ dô: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: b) y = x − 2.x − 3; y=0 c) y = x.e x ; y=0; x=1 a) y = x ; Ox; x=1; x=4 Bµi gi¶i: a) Nhận xét: Đây là bài toán đúng dạng xét ta có thể áp dụng c«ng thøc mµ kh«ng ph¶i vÏ h×nh Lêi gi¶i: C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch lµ: Vox = π ∫ ( x )2 dx ⇒ ThÓ tÝch khèi trßn xoay lµ: Vox = 15 π (®vtt) b) Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (6) §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay Trang Nhận xét: Trục Ox có ph−ơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nh−ng ch−a cho c¸c cËn lÊy tÝch ph©n x=a; x=b, ta t×m nã b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh t−¬ng giao Lêi gi¶i: Hoành độ giao điểm y = x − 2.x − víi trôc Ox lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎡ x = −1 x − 2.x − = ⇔ ⎢ ⎣x = C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: Vox = π ∫ ( x − x − 3)2 dx −1 ⇒ThÓ tÝch vËt thÓ lµ: Vox = 832 π (®vtt) 15 c) Nhận xét: Trục Ox có ph−ơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nh−ng ch−a đủ cận lấy tích phân và đồ thị nó ta ch−a biết cách vẽ, ta tìm cận còn lại c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh t−¬ng giao Lêi gi¶i: Hoành độ giao điểm y = x.e x víi trôc Ox lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x.e x = ⇔ x = C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: 1 0 Vox = π ∫ ( x e x )2 dx = π ∫ x e2 x dx ⇒Sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ta cã thÓ tÝch vËt thÓ lµ: Vox = e2 − π (®vtt) D¹ng 2: Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi tõ hai ®−êng cong trë lªn C¸ch gi¶i: B−ớc 1: Vẽ hình và xác định hoành độ các giao điểm B−íc 2: Ph©n chia h×nh ph¼ng thµnh c¸c phÇn giíi h¹n bëi mét ®−êng cong vµ trôc Ox B−ớc 3: Xác định công thức tính thể tích và kết luận VÝ dô: Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (7) Trang §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: a) y = x ; y=2-x, Ox b) y = x − 2.x − 3; y=0 Bµi gi¶i: a) Hoành độ giao điểm ( P) : y = x vµ (d): y=2-x lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎡ x=1 x =2-x ⇔ ⎢ ⇔ x =1 ⎣ x=-2 (lo¹i) Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: Vox = π ∫ ( x )2 dx + π ∫ (2 − x )2 dx ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = π (®vtt) 15 b) Hoành độ giao điểm (H) : y = vµ (d): y=7-2x lµ x nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ⎡ x=3 =7-2x ⇔ ⎢ ⎢ x= x ⎢⎣ Ta cã: S=S1- S2 ⇒ V=V1- V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch: ⎛3⎞ Vox = π∫ (7 − x ) dx − π∫ ⎜ ⎟ dx 1⎝ x⎠ 3 2 ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = 185 π (®vtt) 2 Khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng n»m vÒ hai phÝa cña trôc Ox quay quanh Ox VÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: y = sin x; Ox; x=0; x=2π Bµi gi¶i: Ta cã: S=S1+S2 ⇒ V=V1+V2 ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ: π 2π Vox = π∫ (sin x )2 dx + π ∫ ( sin x ) dx π 2π =π ∫ (sin x )2 dx Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (8) §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay Trang ⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = π2 (®vtt) NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong vµ trôc Ox, h×nh ph¼ng nµy cã mét phÇn n»m trªn vµ mét phÇn n»m phÝa d−íi trôc Ox, vµ ta thấy công thức thiết lập phần I còn đúng VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: x + y = ; y = x Bµi gi¶i: Hoành độ giao điểm (C) : x + y = và (P): y =2x là nghiệm ph−ơng tr×nh: ⎡x2 = ⎡x = x + (2 x )2 = ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⇔ x=2 x (lo¹i) = − (lo¹i) x = − ⎣ ⎣ Ta có: tính đối xứng (C) và (P) khối tròn xoay quay S là khối tròn xoay quay bëi S1∪S2 ⇒ V=V1+V2 p : y= 8-x vµ AB p : y= 2x Mà OA Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (9) Trang §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ: Vox = π∫ ( ) dx + π ∫ ( 2x − x2 2 ) dx =π ∫ x.dx + π ∫ ( − x ) dx ⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = 16 − 28 π (®vtt) Nhận xét: bài toán này hình phẳng gồm phần đối xứng qua trục Ox, khèi trßn xoay t¹o thµnh cã ®−îc b»ng c¸ch quay mét phÇn quanh trôc Ox VÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: y = − x; y = −1; x = 1; x = ; y = x Bµi gi¶i: S gåm phÇn S1 n»m phÝa trªn vµ S2 n»m phÝa d−íi Ox §èi xøng cña ®−êng y = −1 qua trục Ox là đ−ờng y = và đối xứng S2 qua Ox là S '2 khối tròn xoay t¹o thµnh lµ khèi trßn xoay quay bëi S1 ∪ S '2 ⇒ V=V1+V2 Hoành độ giao điểm y = và y=3-x là nghiệm ph−ơng trình: 3− x =1⇔ x = ⇒ C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch lµ: Vox = π ∫ (3 − x )2 dx + π ∫ dx ⇒ ThÓ tÝch cña vËt thÓ lµ: Vox = 10 π (®vtt) NhËn xÐt: ë bµi to¸n nµy h×nh ph¼ng gåm phÇn phÇn S1 n»m phÝa trªn vµ S2 nằm phía d−ới trục Ox, để tính thể tích khối tròn xoay tạo thannhf ta tiến hành Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (10) Trang 10 §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay lấy đối xứng S2 lên phía trên đ−ợc S '2 và kết luận khối tròn xoay tạo thành h×nh ph¼ng S1 ∪ S '2 quay quanh Ox vµ ®−a bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc C¸c bµi tËp t−¬ng tù Bµi TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: a) y = sinx; y = 0; x = 0; x = π/2 b) y = cos2x; y = 0; x = 0; x = π/4 c) y = cos4x + sin4x ; y = 0; x = 0; x = π/2 d) y = cos6x + sin6x ; y = 0; x = π/4; x = π/2 e) y = xex; y = 0; x = 0; x = f) y= x lnx; y = 0; x =1; x = e g) y = x ; y = 0; x = 1; x = h) y = 2x, y = – x + 3, Ox j) y = x2 ,y = – x, Oy i) y = x2, y = – x, Ox l) y = – x, y = – 2x – x2 k) y = x , y = – 2x + Bµi TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau quay quanh Ox: a) y = 3x – x2; y = b) y = x2; y = 3x c) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = e) y = 2x ; y = – x +3; y = d) y = x ; y = – x + g) y = x2; y = – x; y = (phÇn n»m ngoài y = x2) h) y = x2; y = 10 – 3x; y = (phÇn n»m ngoài y = x2) IV Kết so sánh đối chứng: Sau thực đề tài, để kiểm tra hiệu đề tài, tôi tiến hành cho học sinh làm bài tập kiểm tra với đề bài t−ơng tự kết thu đ−ợc nh− sau: Sè HS gi¶i thµnh th¹o 34 Sè HS kh«ng gi¶i thµnh th¹o 92% 8% Qua bảng số liệu thu đ−ợc ta thấy đề tài đã có tác dụng định h−ớng cho học sinh qu¸ tr×nh gi¶i bµi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay C¸c em kh«ng cßn lúng túng phải xác định công thức tính thể tích mà đã có nhìn nhận bài toán đúng đắn hơn, tổng quát Đề tài đã cho kết tốt học sinh lớp đ−ợc lùa chän V Các kiến nghị sau thực đề tμi: Sau thực đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là kiến thức t−ơng đối đơn giản, t− rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các học sinh từ trung bình, hiệu đề tài t−ơng đối tốt Tôi đề nghị các thầy cô dạy khối 12 cố gắng dành tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề này Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (11) Trang 11 §Ò tμi: Ph©n lo¹i bμi to¸n tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay C¸c tµi liÖu tham kh¶o chÝnh: 01 SGK H×nh häc 12 02 SGK Gi¶i tÝch 12 03 TuyÓn tËp c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n- TrÇn Ph−¬ng Hoµi §øc, th¸ng 05 n¨m 2009 Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c VI đánh giá hội đồng thẩm định: Ng−êi thùc hiÖn: NguyÔn §«ng B¾c Lop12.net (12)