Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học không gian là một môn khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí không gian của vật thể, là một môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều em cảm thấy ngán ngại khi học môn học này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không biết vận dụng vào giải bài tập, có em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình… Bài toán tính thể tích khối chóp là một nội dung thường gặp trong các bài kiểm tra cuối học kỳ, bài thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Phần lớn các em cảm thấy không thật thoải mái khi gặp nội dung này, vì các em lúng túng khi vẽ hình, không xác định được đường cao của khối chóp nên không lập được công thức tính thể tích khối chóp. Việc học hình học không gian ở lớp 11, các em mới chỉ dừng lại ở bước quan sát hình vẽ được chiếu trên màn hình trong các tiết dạy có ứng dụng công nghệ thông tin, mà ít được hướng dẫn cụ thể từng thao tác để vẽ hình. Do vậy, việc truyền đạt kiến thức liên quan đến hình học không gian nói chung và tính thể tích khối chóp nói riêng đòi hỏi người Thầy cần có sự chọn lọc nhất định khi lồng ghép các ứng dụng công nghệ thông tin vào bài giảng, phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao tác theo một trình tự nhất định, từng bước giúp các em chủ động thực hiện và tìm ra kết quả bài toán. Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức. Do vậy việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức. Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tích khối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn giản đối với học sinh. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bị mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh hàng năm. Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các em tính thể tích khối chóp. Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 – 2015, tôi chọn viết và thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối với học sinh lớp 12

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI   !"#$%&'()* +,*-.-#+/*0 12!3,1!&#+124005678. "$#&09:&.1"$;1 $<&&'-"%=>?(@A .+,*-!,.:&-.+BB4 C.0509 $#&!&05 "$#&(D<E&FF.+GHE 10I%.4052.2-#3< 050J3"H."4(K!-<- 2I2#"$#&# LM09NA-A#%O*PQ&.3< 1,&,J0J..+O* H10B&.+ O<2I,1.(  09C-I.. % ,1!&I#R?RC,S%T2(K!- <0J%,.&,GHE<*&% U1,JL&,0J%%-VS1S05.$ I<1U,22! 1.H10B&%!& %-V ",1!& $2( W..FXYZT[#\" $<]&A/-2*^,0&A1!&!^ ,$%(KR?,.#,1. I2"$#&#L2.+091 *":&UTM#I2-.$<& -"%?( _,U1??S .+HO2,-` B05%$<<O<.103""0J.+ "$#&(abB&.+ !&OZ110 .;&'I$?XcFd%S&-HA?XcFe= XcFd2O<fRèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp $ %&FX F II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận g--05"'5&.. .%052 +O*$05!#(_>I- 1$10 Polya ",1.Pf • fN"1. • fN., • fN1-9,+O.105& • fh"9, iU<3-.0^&':1< 0J%12&T1*-05%OIU, 22!12O005.,( j,.I.12U'I..3" < 1,!:09k.LM%OlO11G C+B%. %(D05.,1.&.( m",1.,.O<+.10%f • fm&T • fKO&n5& 1( • fo<A./#I ",1.( N-IO2<SU.10"!3, .!^,$%T-I.H05. .I.#<p-<0-.(K!-I%$1.3 ""0J.+I+A.103"!12.1!& H10B&.+R?RC, ,I-2.$ C,-I.,.^%E".+S%T2( 2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài   N-"%=>?XcFeHI $qq F K >#1."$#&(_.+#,! T-#057(g"'.+-T 40ZC.C.0509 $#&BB .%( X 8."$#&*`#? I.0J- .<2&2 %(N- 212%S&C2&&T3".-2$#I 1.125E %4&.-05O %05B%, 1."$#& !"#$( hS&3U2A#U10!3"f r_.21!&AZ1!.&,0522+OHs2# B/..^1,B%B&.+I+A. .#I( r8!&%..09*&&!-0J% AG%$,2&n5&,?! .+( r_A<.+#%OZ11E+'#Il. A0J.+!CQ"BU1<bS%T2 p-<R?,1..( rj.A0J.+O05.2^%E 0<A+O*I#T!  .+!,I-2<%$%-( rgl1!&.A0J.+!CQE%E&T%-! ",I-2.1!&.#I( _.,&.&E&A%,&.&-2&A,&.&`# ,&.&-GG^3"^tB&.+2&!3$ ^( III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP jP&Af %&f<$2I21."$#&( %fNO<1."$#& '#()*#+ : • h$#&#1# • h$#&#:1# • h$#& u • i%$. PHẦN MỘT Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp N091.#&050%f ,-)!./+!. 01+2#3 ,-240 ( ) SA ABC⊥ ( ) ( ) SAB ABC⊥ #&. #&. m. f v N..T v N..09 v U! v 1 ( ) SH ABC⊥ ( ) SO ABCD ⊥ HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tam giác '156("6#7  F X ABC a S ah = w F X b bh w F X c ch  F F F % % % X X X ABC S bc A ac B ab C = = =  e ABC abc S R = Y)1.09L2& [ABC∆  ABC S pr= Y1.09L2& ABC∆ [  Y [Y [Y [ ABC S p p a p b p c= − − − f X a b c p + + =  Các tam giác đặc biệt: Tam giác vuông _.q8_q <05.f m@f X X X BC AB AC= +   X X (   (BA BH BC CA CH CB= =  ( (AB AC BC AH=   X (AH BH CH=  X X X F F F AH AB AC = +  e Hình chóp S A C B S B A C H H S A B C M N A B C D O A B C H h a a b c A B C H S   K<.q8_f F ( X ABC S AB AC=  _.q8_q Nx%$05..f  % % AC B C BC = =   % % AB C B BC = =    AC B C AB = =     AB C B AC = =  _.q8_Tq Tam giác cân j" 8_ AH BC⇒ ⊥   ( (AH BH B CH C= = K<.q8_f F ( X ABC S AH BC ∆ = _.q8_1b Tam giác đều j" 8_ AH BC⇒ ⊥ m09f u X a AH =  K<.q8_f X F u ( X e ABC a S AH BC= = 2. Tứ giác Hình vuông K<q8_K1b  X X ABCD S AB a= =  m09Qq8_K1b  X XAC BD AB a = = =  Hình chữ nhật K<U!q8_K  ( ABCD S AB BC=  m09QU!q8_K  X X AC BD AB BC= = +  Hình thoi K<q8_K  F ( X ABCD S AC BD=  d A H B C ) ( ) ) A H C B A O B B A C D H C C D A B O O O A B C D ( 09Qq8_Kf AC BD⊥ _q8_K# y yAB CD  Hình thang K<q8_K  ( ) F X ABCD S AH AB DC= +  KOf AH DC H DC ⊥  ⇒  ∈  q09  q8_K 3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) j#U09>:&>Y@[#U 09>09>z2#  :&>Y@[ Thực hiện: (N2z Y@[ (h##UY@[#Uz 4. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) j#U:&>#U09>A 05?:&>n# -2" Thực hiện: ({.-2 Y@[Yg[ (NY@[09># Yg[09>1# (h##U:&>Y@[Yg[# U09>1 5. Thể tích khối chóp _"$#&f F u V Bh=  N#f8<.  #& 6. Thể tích khối tứ diện đều _<q8_K1b N*,..1b N*,.:. jT .8_K ( ) AH BCD ⇒ ⊥  #q09 <( N"$<f | CD A B H P) A d d’ H ( M ϕ c c c }c ϕ ≤ ≤ P Q c c c }c ϕ ≤ ≤ ( ( a b d ) ϕ S A C H B C B D A M H H (xem bài toán 20) X u F F X u X (W ( ( u u e FX u ABCD BCD a a a V AH= = = Y[ PHẦN HAI Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp A. Phương pháp thực hiện. m",1."$#&AO<+ .10%f r(mR1&T!$#& r. {.09 $#&( r(KO"< ,24 r(o!&"$#& r8(N<. 09 $#& B. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.  Yêu cầu đối với giáo viên: + _.21!&AZ1!.22+OHs2#A B/.1!&^1,B%B&.+I+A ..#I( r8!&%..09*&&!-0J, .AG%$,2&n5&,?!  %(  Yêu cầu đối với học sinh: + _ASU&A/-2O.2 1!&( + gl1!&A%-V"S%T^%E".1!& +-A .( C. Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy *#(_#&W(q8_# q8_.81Wq #:  (82  X uAB a AC SB a= = =    c a< ∈¡ (N" $#& W(q8_+ a  Hướng dẫn Hình vẽ {.09 $#& Wq#: ⇒ Wq09 $#& m .q8_8 o!&"$#&   N"$#&W(q8_f ( F ( u S ABC ABC V SA S=  N.q8_8f ~ S A B C N#8_ N<.q8_ N09Wq N"$#&W(q8_ X X X X u XBC AC AB a a a= − = − =  K<.q8_f X F X ( X X ABC a S AB BC= =  ( ) SA ABC SA AB⊥ ⇒ ⊥ N.Wq8qf X X X X u XSA SB AB a a a = − = − = u ( F X ( u | S ABC ABC a V SA S = = Y[ *#(_#&W(q8_# q8_.T81Wq #: (82  X uAC a SB a= =    c a< ∈¡ (N"$#& W(q8_+ a  Hướng dẫn Hình vẽ 9:;f8.X0^O1.FG .f .q8_T8 {.09 $#& Wq#: ⇒ Wq09 $#& m .q8_8 o!&"$#& N# ( ) AB BC=  N<.q8_ N09Wq N"$#&W(q8_   N"$#&W(q8_f ( F ( u S ABC ABC V SA S=  N.q8_T8f X X X X XAB AC a AB a = = ⇒ =  K<.q8_f X X F X X ABC a S AB = =  ( ) SA ABC SA AB⊥ ⇒ ⊥ N.Wq8qf X X X X u XSA SB AB a a a= − = − = u ( F X ( u | S ABC ABC a V SA S = = Y[ *#(_#&W(q8_# q8_.1b Xa  c a< ∈¡  1Wq#: (82 dSB a= (N"$#&W(q8_+ a  Hướng dẫn Hình vẽ 9:;f8.u0^O1.FG .f .q8_ Xa {.09 $#& Wq#: ⇒ Wq09 $#& • S A B C S A B C M m .q8_ Xa o!&"$#& N09.  u X AB AM =  N<.q8_ N09Wq N"$#&W(q8_   N"$#&W(q8_f ( F ( u S ABC ABC V SA S=  N.q8_  Xa i " 8_ X u u X AM BC a AM a ⊥   ⇒  = =    K<.q8_f X F ( u X ABC S AM BC a= =  ( ) SA ABC SA AB⊥ ⇒ ⊥ N.Wq8qf X X X X d eSA SB AB a a a = − = − = u ( F u ( u u S ABC ABC a V SA S ∆ = = Y[ *#(_#&W(q8_# q8_.T8 AC a=  c a< ∈¡ 1Wq#: #UW8:&>Yq8_[1b c |c ( N"$#&W(q8_+ a Hướng dẫn Hình vẽ 9:;f8.e0^O1.XG f#UW8Yq8_[1b|c c {.09 $#& Wq#: ⇒ Wq09 $#& m .q8_T8 o!&"$#& N# ( ) AB BC=  N<.q8_ {.#UW8Yq8_[ N09Wq N"$#&W(q8_   N"$#&W(q8_f ( F ( u S ABC ABC V SA S ∆ =  N.q8_T8f X X X X X a AB AC a AB= = ⇒ =  K<.q8_f X X F X e ABC a S AB ∆ = =  ( ) SA ABC⊥ ⇒ q82#  W8Yq8_[ ⇒ #UW8Yq8_[ · c |cSBA = N.Wq8qf · c c u   |c ( |c X SA a SBA SA AB AB = = ⇒ = = } S A B C 60 0 ( u ( F | ( u Xe S ABC ABC a V SA S = = Y[ *#8(_#&W(q8_# q8_.1b a  c a< ∈¡  1Wq#: (i:&>YW8_[: # c |c (N "$#&W(q8_+ a Hướng dẫn Hình vẽ 9:;f8.d0^O1.uG f  #  U    :  &>  YW8_[   Yq8_[1b|c c {.09 $#& Wq#: ⇒ Wq09 $#& m .q8_ a o!&"$#& N09.  u X AB AM =  N<.q8_ {.#U:&>YW8_[ Yq8_[ N09Wq N"$#&W(q8_   N"$#&W(q8_f ( F ( u S ABC ABC V SA S=  N.q8_  a i " 8_ u X AM BC a AM ⊥   ⇒  =    K<.q8_f X F u ( X e ABC a S AM BC= =  ( ) SA ABC SA BC⊥ ⇒ ⊥ ( ) BC SA BC SAM BC SM BC AM ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥   ( ) ( ) ( ) ( )   SBC ABC BC SM SBC SM BC AM ABC AM BC ∩ =  ⊂ ⊥ ⇒   ⊂ ⊥   #  U   : &>YW8_[Yq8_[ · c |cSMA =  N.Wqiqf · c c u   |c ( |c X SA a SMA SA AM AM = = ⇒ = = u ( F u ( u • S ABC ABC a V SA S= = Y[ *#<(_#&W(q8_K# q8_K1b a  c a< ∈¡  1Wq#: (i:1YW_K[: # c |c (N" $#&W(q8_K+ a Hướng dẫn Hình vẽ 9:;f8.|#  q8_K  a  #U:&> YW_K[Yq8_K[1b|c c Fc S A B C M ( 60 0 S A B ( C D 60 0 [...]... bên SC tạo với đáy một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Nhận xét: Hình vẽ 3a A B a D S A a B 450 ( C D C 12 Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích hình thang ABCD  Tính độ dài đường cao SA  Tam giác SAC vuông cân tại A  Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABCD = SA.S ABCD Diện tích hình thang ABCD: S ABCD = 1 AD... , SH ⊥ AB 1 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABCD = SH S ABCD 3 Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD = a 2  Tính thể tích khối chóp S.ABCD 17 1 a3 3 VS ABCD = SH S ABCD = (đvtt) 3 6 3 Khối chóp đều Bài toán 17 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a với 0 < a ∈¡ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: Hình chóp tam giác đểu là hình chóp đều có... của khối chóp  Lập công thức tính thể tích khối chóp Bài giải Trong tam giác đều ABC cạnh a 3 , gọi M là  AM ⊥ BC  trung điểm của BC ⇒  3 3a =  AM = a 3  2 2 Gọi H là trọng tâm của ∆ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) 1 3 Thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC = SH S ABC  H ∈ AM  2 2 3a   AH = 3 AM = 3 2 = a   Tính diện tích tam giác ABC Tính độ dài đường cao SH  Tính thể tích khối chóp S.ABC 1 2 Diện tích. .. a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 23 (Trích đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 ) Hướng dẫn Nhận xét:  Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên Hình vẽ S mặt đáy là trung điểm của cạnh AC  Dễ dàng xác định được đường cao của khối chóp và hình thành công thức tính thể tích khối chóp  Để tính diện tích đáy, tham khảo cách tính ở bài toán 12  Lập công thức tính thể tích khối chóp. .. ( SAB ) , SH ⊥ AB  Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABC: VS ABC = SH S ABC 3  CH ⊥ AB Tính độ dài đường cao SH Trong tam giác đều ABC cạnh 2a có:  CH = a 3  1 Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = CH AB = a 2 3  Tính diện tích tam giác ABC 2 1 VS ABC = SH S ABC = 2a 3 3 (đvtt)  Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 Bài toán 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh... góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ( Trích đề tuyển sinh khối B năm 2013) Hướng dẫn Nhận xét: Hình vẽ S  Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ( dễ dàng xác định đường cao của khối chóp) A D H B  Xác định đường cao của khối chóp Tính độ dài đường cao SH  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích hình vuông ABCD C... giải Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABCD = SO.S ABCD  Tính diện tích hình vuông ABCD Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD = 4a 2 1 3 AC là đường chéo hình vuông cạnh ⇒ AC = 2a 2 Dó đó: OA = 2a AC =a 2 2 Tam giác SOA vuông tại O Tính độ dài đường cao SO  Tính thể tích khối chóp S.ABCD SO = SA2 − OA2 = 3a 2 − 2a 2 = a 1 4a 3 VS... 2 = Tính độ dài đường cao SH  Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài toán 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , với 0 < a ∈¡ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a (Trích đề tuyển sinh khối A năm 2010 ) Hướng dẫn Nhận xét:  Tính thể tích khối chóp S.CDNM... để tính diện tích tứ giác CDNM A N D M B N A H D H M C B C Bài giải  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích tứ giác CDNM SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( CDNM ) 1 3 Thể tích khối chóp S.CDNM: VS CDNM = SH SCDNM  SH = a 3 Diện tích tứ giác CDNM  SCDNM = S ABCD − ( S ∆AMN + S ∆BMC ) 1 1  = AB 2 −  AM 2 AN 2 + BM 2 BC 2 ÷ 2 2  2 2 2 a a  5a = a2 −  + ÷= 4  8  8  Tính thể tích khối. .. 300 A D B  Lập công thức tính thể tích khối chóp  Tính diện tích hình vuông ABCD C Bài giải 1 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABCD = SA.S ABCD 2 Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD = a  Tính độ dài đường cao SA SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD    ⇒ AD ⊥ ( SAB ) AB ⊥ AD   ⇒ SA là hình chiếu vuông góc của SD trên (SAB) ⇒ góc giữa SD và (SAB) là · ASD = 300  Tính thể tích khối chóp S.ABCD ∆SAD vuông tại