Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích của vật thể tròn xoay.. Tính diện tích hình phẳng[r]
(1)Các phương pháp tính tích phân
Các phương pháp tính tích phân
I Phương pháp đổi biến số
II Phương pháp tích phân II Phương pháp tích phân
(2)Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1:Đổi biến số dạng 1:
+Quy tắc:+Quy tắc:
Bước 1: Chọn ( cách thích hợp )Bước 1: Chọn ( cách thích hợp )
Bước 2: - Lấy vi phân Bước 2: - Lấy vi phân
- Đổi cận : Giả sử - Đổi cận : Giả sử
Khi Khi
Bước 3: Tính Bước 3: Tính
( ) x u t
'( )
dx u t dt
x a t x b t
( ) '( )
I f ut u t dt
( ) '( )
I f ut u t dt
( )
b
a
I f x dx
(3)Đổi biến số dạng 1 Đổi biến số dạng 1
Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon u(t)u(t)
2
a x
sin , - ; 2 cos , 0;
x a t t
x a t t
2
a x
, - ; 2 cot , 0;
x atgt t
x a gt t
2
(a x )
(4)Bài 1: Tính tích phân sau
Bài 1: Tính tích phân sau
1
2
1
0
1
I x x dx
2
3 2
1 2
dx I
x x
I Phương pháp đổi biến số
2
2 2
1 4
dx I
x
1
2
0
1
I x x dx
2
(t 1 x )
(x 2sin )t (x tgt )
(x tgt)
2
2
1 ( 1)
dx x
2
(5)Bài giải
Bài giải Đặt:
Đặt: t 3 1 x2 t3 1 x2 x2 1 t3 Ta có: 2xdx 3t dt2 0 1
1 0
x t
x t
Vậy:
1
1
3
( )
2
I t t dt
1
2
1
0
1
I x x dx
1
3
2 t dt
10
8 t
3
xdx t dt
3 8
(6)Cách 2
Cách 2
1
2
1
0
1
I x x dx
1
2 3
0 1
(1 ) (1 )
2 x d x
4 3
0
3
(1 )
8 x
3
8
(7)2 2 dx I x
2sin , t - ; 2 x t
2 2cos 4sin tdt I t
1 ;
6
2cos
x t x t
dx tdt Đặt: Ta có: Vậy: 2 2cos sin
tdt t 2cos = 2cos tdt t 2 6
2
(8)1 , t ; 2
x tgt
2
1
1
1 co
;
4
s
dx dt tg t dt x
x t x t
Đặt: Ta có:
Vậy :
2 4 2 4
4
2
1 0
(1 )
( 1) 1
dx tg t
dt dt t
x tg t
2
3 2 2
1 2 ( 1)
dx dx
I
x x x
(9)1
2
0
1 I x x dx
, ;
2 2
x tgt t
0
1
4
x t
x t
cos dx dt t Đặt: Ta có:
Vậy:
4 2 1 cos
I tgt tg t dt t 4 (cos ) cos d t t sin cos xdx x 1 3cos t
2
3
(10)1
2
0
1
I x x dx
2
1
t x t2 1 x2
2tdt 2xdx Đặt:
Ta có: xdx tdt
0
1
x t
x t
Vậy:
4
1
I t tdt
2
t dt
1 1
3 t
(2 1)
3
(11)Bài 2: Tính tích phân sau
Bài 2: Tính tích phân sau
1
5
0
1, x 1 x dx
3
2
sin cos 3,
1 cos
x x
dx x
1
3
0
5, x x dx
3
2
1 6,
(1 x ) dx
1
1 3ln ln 4,
e
x x dx x
3 2
0
1 2,
1
x
dx x
3
(t 1 x ) (t x 1)
2
( cost x 1) (t 1 3ln ) x
(x sin )t
2
(t 1 x )
(12)Phương pháp tích phân phần Phương pháp tích phân phần
Sử dụng công thức:Sử dụng công thức:
b b
b a
a a
udv uv vdu
Bước 1:
Biến đổi tích phân ban đầu dạng:
1
( ) ( ) ( )
b b
a a
I f x dx f x f x dx
Bước 2:
Đặt:
( ) ( )
u f x du
dv f x dx v
Bước 3:
¸p dụng (1) ta có:
b b
a
I uv vdu
(13) Khi sử dụng Khi sử dụng
phương pháp
phương pháp
tích phân
tích phân
phần cần ý:
phần cần ý:
1, Lựa chọn 1, Lựa chọn
phép đặt dv
phép đặt dv
sao cho v
sao cho v
được xác
được xác
định
định
cách dễ dàng
cách dễ dàng
2, Tích phân 2, Tích phân
sau phải đơn
sau phải đơn
giản tích
giản tích
phân trước phân trước ( ) b x a
P x e dx
Một số dạng bản:
sin
b
x a
e xdx
( )ln ( )
b
a
P x f x dx
( )sin
b
a
P x xdx
}
Đặt: u P x ( )
Đặt:
Đặt:
ln ( )
u f x
(14)Bài 3: Tính tích phân sau
Bài 3: Tính tích phân sau
2
0
ln(3 )
I x x dx
ln
0
x
I xe dx
II Phương pháp tích phân phần
4
0
cos
I x xdx
4
0
sin
x
I e xdx
(u ln(3 x )
(u x ) (u e 2x )
(15)Bài giải Bài giải ln(3 )
I x x dx
2 2
2
2
ln(3 ) 3
2
x
du dx
u x x
dv xdx x v
1 2
0
ln(3 )
2
x x
I x dx
x Đặt:
ln ( )
2 x x dx x 2 1
ln ( ln ) 2
x
x
1 3
ln ln ln 2ln ln
2 2 2
(16)4
0
cos
I x xdx
1
cos sin 2
du dx u x
dv xdx v x
4
2
0
1
sin sin
2
I x x xdx
4
1
sin cos 2 4 x
1
(cos cos0)
8
(17)ln
0
x
I xe dx
x x
u x du dx dv e dx v e
ln ln
3
0
x x
I xe e dx
ln ln
0
ln 2 x
e e
ln 1
ln ( )
2 e e
1 1 1 1
ln 2 1 ln 2
2 2 2 2
(18)2
0
sin 2
x
I e xdx
2
2
1
sin cos 2
x x du e dx
u e
dv xdx v x
2
4
0
1
cos 2 cos 2
2
x x
I e x e xdx
2 '
4
1 1
2 e 2 I
4'
0
(I e x cos 2xdx)
Đặt:
(19)'
0
cos
x
I e xdx
2
2
1
cos sin
2
x
x du e dx
u e
dv xdx v x
' 2
4
0
1
sin 2 sin 2
2
x x
I e x e xdx
I4
2
4
1 1 2 2
I e I
2
1
2 (1 )
2
I e
4 1 (1 )
4
I e
Đặt:
Ta có:
Vậy:
(20)Bài 4: Tính tích phân sau
Bài 4: Tính tích phân sau
1 2
1 ( 1)
e
e
lnx
I dx
x
1
2
0
( ) x
I x x e dx
2
2
0
sin
x
I x dx
2
2
0
cos
x
I e xdx
( Sử dụng pp phần )
(u ln )x (u x 2 )x
2
(21)Với ( )
a a
I f x dx
x t
2
0
( )
I f x dx
Có thể đặt
Với Có thể đặt
2
x t
Với Với
Với
0
( ) I f x dx
2
0
( )
I f x dx
( )
b
a
I f x dx
Có thể đặt Có thể đặt Có thể đặt
x t 2
x t
(22)Tính tích phân sau:
1
2006
1
sin
I x xdx
x t
dx dt
Đặt:
Ta có: 1 1
1 -1
x t
x t
Vậy:
1
2006
1
( ) sin( )( )
I t t dt
1
2006
sin
t tdt
1
2006 sin
x xdx
(23)2 sin sin cos n n n x I dx x x 2
x t
dx dt 0 ; 0
2 2
x t x t
0
2
sin ( )
2 ( ) sin ( ) cos ( )
2 n n n t I dt t t cos cos sin n n n x dx x x cos cos sin n n n t dt t t Đặt: Ta có:
(24)2 2
0
sin cos
2
cos sin cos sin
n n
n n n n
x x
I dx dx
x x x x
2
2
x
2
0
dx
2
4
I
(25)2 3
0
cos sin
I x x xdx
x t
dx dt
Đặt:
0 ; 0
x t x t
Ta có:
0
2
3 ( )cos ( )sin ( )( )
I t t t dt
2
0
( t)cos sint tdt
(26)2
3
cos (1 cos ) cost t d t I
2 3
0
cos sint tdt xcos sinx xdx
2 3
0
cos sint tdt t cos sint tdt
4
3
(cos t cos )t dt I
3
1 1
( )
5 I
4
2I
I 2
5
0
1
( cos cos ) t t
3
4
15 I
(27)2
4
0
sin
I x xdx
2
x t
dx dt
0 2 ; 2 0
x t x t
4
2
(2 )sin (2 )( )
I t t dt
2
4
0
(2 t)sin tdt
2
4
0
2 sin tdt t sin tdt
(28)2
' '
4 4
0
2 I I ( I sin tdt )
2
'
4
0
1
sin (1 cos2 )
I tdt t dt
2
2
0
1
(1 2cos2 cos )
4 t t dt
2
0
1 cos
(1 2cos )
4
x
t dt
(29)2
1
(3 2sin sin )
8 t t t
3 4
2
0
1
(3 4cos cos ) t t dt
'
4 4
I I I
Vậy :
4
3 2
4 I
2
4
3 2
2
I
2
3 4
I
(30)Bài
Bài tậptập::Tính tích phân sau:Tính tích phân sau:
1
1
cos 1,
1
x
x
dx e
2
0
cos 2,
sin cos
x
dx
x x
2
0
3, x cos sinx xdx
2
3
0
4, x cos xdx
(31)(32)Ứng dụng tích phân
Ứng dụng tích phân
I Tính diện tích hình phẳng
(33)I Tính diện tích hình phẳng
I Tính diện tích hình phẳng
( )
y f x y
x a x b
( ) ( )
y f x y g x x a x b
( )
b
a
S f x dx
Hình phẳng giới hạn bởi:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
(34)I
I Tính diện tích hình phẳng Tính diện tích hình phẳng
Bài tập 1Bài tập 1: Tính diện tích hình : Tính diện tích hình
phẳng giới hạn đường:
phẳng giới hạn đường:
2
2
,
1
y x x y
a
x
x
2
sin cos
, 0
2
y x x
y
b x
(35)Bài giải
Bài giải
2
2
,
1
y x x
y a
x x
2
2
1
2
s x x dx
xx -1 2-1
y
y + -+
-Ta có:
0
2
1
( ) (2 )
s x x dx x x dx
3 2
1
1
( ) ( )
3 x x x x
8
3
(36)
, sin cos , 0, 0, =
2
b y x x y x x
2
2
sin cos
s x x dx
2
2
(sin xcos )x dx
2
2
sin (1 sin )cosx x xdx
Ta có:
2
2
0
(sin x sin ) sinx d x
3 2
0
1
( sin sin )
3 x x
(37)I
I Tính diện tích hình phẳng Tính diện tích hình phẳng
Bài tập 2: Tính diện Bài tập 2: Tính diện
tích hình phẳng giới tích hình phẳng giới
hạn đường: hạn đường:
,
0
y x a y x
y o
x y
1
1
1
0
(2 ) S xdx x dx
2
3/ 2
0
2
(2 )
3
x
x x
2
(38)Bài tập 3:
Bài tập 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
2 2
y x x y x2 4x
Bài giải
Ta có: Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình:
2 2 4
x x x x
2
2x 6x 0
0
3
x x
(39)Vậy :
Diện tích hình phẳng là:
3
2
2
S x x x x dx
3
2
2x 6x dx
3
2
(2x )x dx
3
( ) x x
9
O x
(40)II
II Tính thể tích vật thể trịn xoayTính thể tích vật thể trịn xoay
Thể tích vật thể trịn xoay sinh Thể tích vật thể trịn xoay sinh
từ phép quay quanh
từ phép quay quanh OxOx hình phẳng hình phẳng giới hạn đường:
giới hạn đường:
( ) 0
y f x y
x a x b
2 ( )
b
a
V f x dx
(41)II
II Tính thể tích vật thể trịn xoayTính thể tích vật thể trịn xoay
Thể tích vật thể trịn xoay sinh Thể tích vật thể tròn xoay sinh
từ phép quay quanh
từ phép quay quanh OyOy hình phẳng hình phẳng giới hạn đường:
giới hạn đường:
( ) 0
x f y x
y a y b
2 ( )
b
a
V f y dy
(42)Bài tập
Bài tập 1:1:
4
1 sin cos ; 0; ;
H y x y x x
2
4
0
(1 sin cos )
V x x dx
2
0
7 cos 4
x
dx
Thể tích vật thể trịn xoay sinh Thể tích vật thể tròn xoay sinh
từ phép quay hình phẳng
từ phép quay hình phẳng HH quanh quanh OxOx
Thể tích vật thể cần tính là:
2
7
sin
4 x 16 x
2
7 8
(43)Bài tập
Bài tập 2:2:
2
; 0; 2; 4
2
x
y x y y
4
2
V x dy
4
2
2 ydy
Thể tích vật thể trịn xoay sinh từ phép Thể tích vật thể trịn xoay sinh từ phép
quay quanh
quay quanh Oy Oy hình phẳng giới hạn hình phẳng giới hạn đường:
các đường:
Thể tích vật thể cần tính là:
2
y
(44)Bài tập
Bài tập 3:3:
2
1
; 2
2
y x y x
2
2 2
0
1
( ) ( )
V x dx x dx
Thể tích vật thể trịn xoay sinh từ phép quay
Thể tích vật thể trịn xoay sinh từ phép quay
hình phẳng
hình phẳng giới hạn đường saugiới hạn đường sau quanh quanh OxOx
Thể tích vật thể là:
2
0
1 20
x x
12
5
32 4
20
2
4
1
(2 )
4
x x dx
O x
(45)The End