Hướng dẫn học sinh giải các bài toán hàm hợp trong các đề thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÀM HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Trần Thị Tân Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2020 Mục 10 11 12 13 14 MỤC LỤC Nội Dung Mục lục 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, đề xuất 3.1 Kết luận 3.2 Đề xuất Trang 3 3 3 4 19 19 19 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hiện chương trình giáo dục mơn toán trường THPT chưa trọng đến tốn hàm hợp Chính lý mà nhiều học sinh THPT kỹ vận dụng kiến thức toán học để giải toán hàm hợp cịn chưa cao Mặt khác, dạng tốn có nội dung thực tế lại đa dạng, phong phú học sinh học chương trình phổ thơng lại chưa nhiều Hơn kỹ vận dụng kiến thức tốn học để giải tốn hàm hợp ngồi việc nắm vững kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư linh hoạt sáng tạo Hơn đề thi minh họa THPT Quốc gia GD&ĐT xuất nhièu tập toán hàm hợp Từ lý mà chọn đề tài sáng kiến : “Hướng dẫn học sinh giải toán hàm hợp đề thi THPT Quốc gia” 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý thực tế giảng dạy tốn bậc THPT, tơi nhận thấy việc rèn luyện kĩ giải toán hàm hợp cho học sinh cần thiết Chính mạnh dạn chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh giải toán hàm hợp đề thi THPT Quốc gia Tôi mong muốn giúp cho học sinh tránh số sai lầm thường gặp số kỹ giải toán hàm hợp để học sinh biết trình bày tốn xác, logic tránh sai lầm đặt điều kiện biến đổi phương trình đặc biệt phân tích phương án gây nhiễu đề thi trắc nghiệm mơn Tốn Giúp giáo viên trường dần hình thành kỹ đề thi trắc nghiệm mơn Tốn 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Một số toán cực trị hàm số mơn Giải tích lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải tốn Thực nghiệm sư phạm NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Giải toán hàm hợp dạng tốn khó học sinh, đặc biệt học sinh thường hay mắc sai lầm đặt điều kiện cho toán Qua nghiên cứu số tài liệu liên quan đến vấn đề, thấy nhiều tác giả tiếp cận vấn đề việc giải chưa thật triệt để Thơng qua q trình giảng dạy tốn cực trị hàm số, tơi thấy việc học sinh nắm vững tính chất cực trị hàm số điều kiện xác định em giải vấn đề dễ dàng Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Giải tích nói riêng trường THPT Hà Trung, huyện Hà Trung nghiên cứu đề tài “Chuyên đê hàm hợp đề thi THPT Quốc gia’’ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn lớp mũi nhọn khối tơi nhận thấy áp dụng đề tài vào lớp mà phụ trách hiệu quả, đặc biệt năm học tiến hành lớp 12A lớp ôn thi THPT Quốc gia trường THPT Hà Trung, kết thu tương đối tốt Các em thấy khó khăn giải tốn dạng này, sau hướng dẫn, rèn luyện em giải thành thạo làm thi trắc nghiệm có hiệu rõ rệt Giáo viên ban đầu lúng túng phương án trả lời cho câu hỏi trắc nghiệm tiếp cận với đề tài câu hỏi trắc nghiệm có chất lượng 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Thông qua việc dạy học quan sát việc làm tập hàng ngày em học sinh, nhận thấy học sinh thường không giải trình bày có nhiều sai lầm hay lúng túng việc lựa chọn phương án thi trắc nghiệm mơn Tốn Vì tơi số sai lầm thường gặp phân tích phương án gây nhiễu giải tốn thực tế thơng qua số tốn cụ thể A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục khoảng (a;b) điểm x0 �(a;b) + Nếu tồn số h > cho f (x) < f (x0) với x �(x0 - h; x0 + h) x �x0 x ta nói hàm số f (x) đạt cực đại x �(x0 - h; x0 + h) x �x0 + Nếu tồn số h > cho f (x) > f (x0) với x ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y = f (x) liên tục K = (x0 - h; x0 + h) có đạo hàm K K \ {x0}, với h > x + Nếu f '(x) > khoảng (x0 - h; x0) f '(x) < (x0; x0 + h) điểm cực đại hàm số f (x) x (x - h; x0) � + Nếu f '(x) < khoảng f (x) > (x0; x0 + h) điểm cực tiểu hàm số f (x) B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm � có đồ thị đường cong hình vẽ g ( x)  f  f ( x)   Tìm số cực trị hàm số g ( x) Đặt A B C 10 D Lời giải Chọn B �f '  x   g ' x  f ' x f ' f  x   , g ' x  � f ' x  f ' f  x   � � � �f '  f  x    Ta có: Từ đồ thị hàm số ta thấy: + Phương trình f '  x   có nghiệm phân biệt x  0; x   với  � 1;3 �f  x   f ' f  x   � � �f  x    + Phương trình f x 0 + Phương trình   có nghiệm phân biệt khác nghiệm f x   � 1;3 + Phương trình   với có nghiệm phân biệt khác nghiệm Vậy phương trình nghiệm g ' x  có nghiệm phân biệt g ' x  đổi dấu qua g x Do hàm số   có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm �, đồ thị hàm số y  f ( x) đường h  x    f ( x)   f  x   cong hình vẽ Hỏi hàm số cực trị? B A C có điểm D Lời giải Chọn B g  x    f ( x)   f  x   Đặt x  a  a  2 � �f ( x)  � g� ( x)  f � �� x  1  x   f ( x) f �  x  � �� �f  x   � x2 � Khi đó, Do đó, ta có bảng biến thiên: y  g  x Suy đồ thị hàm số có ba điểm cực khơng nằm trục hồnh bốn giao điểm với Ox Vậy đồ thị hàm số Câu Cho hàm số y  h  x  g  x y  f  x , hàm số có số cực trị   y f�  x có đồ thị hình bên Hàm số �5sin x  � (5sin x  1) g ( x)  f � 3 � � � có điểm cực trị khoảng (0; 2 ) A B C D Lời giải Chọn B �5sin x  � g� ( x)  5cos xf � � � cos x  5sin x  1 � �2 Ta có: �5sin x  � g� ( x)  � 5cos xf � � � cos x  5sin x  1  � �2 cos x  � � � �5sin x  � 5sin x  �f � � �  � � � � � � � � cos x  � � � cos x  5sin x  � cos x  � �  3 � sin x  1 � � 5sin x    � � � 5sin x  1 ��  1 � � 5sin x   2 � � sin x   � � � 2 � � � 5sin x  1 5sin x   �  sin x  � � 3 � � � 5sin x   � � � 5sin x  1 sin x  � � � � �  3 � � x  �x  � � � � 3 cos x  � x � sin x  1 � � � � � 1� � 1� �� sin x   � � x    arc sin �  ��x  2  arc sin �  � � � 5� � 5� � � � �1 � �1 � sin x  � x  arc sin � ��x    arc sin � � � � �3 � �3 � � � � �3 � �3 � sin x  � x  arc sin � ��x    arc sin � � � � �5 � �5 � � , ( Vì  x  2 ) Suy phương trình nghiệm kép Vậy hàm số g�  x  y  g  x có nghiệm, có nghiệm x 3 có cực trị Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   2m A m  có điểm cực trị B m �1 C m �2 D m  Lờigiải Chọn B Số cực trị hàm số y  x  f h  x   f  x   f  x   2m số cực trị hàm số  x   f  x   2m cộng với số giao điểm (khác điểm cực trị) đồ thị hàm số y  x   f  x   f  x   2m y  Xét hàm số g x  f  x  f  x  2m � g�  x  f  x f � x  f � x  f � x � �f  x  1� � x1 �f � x   � g� �� x  x  � � � � f x    � � x      0 � BBT Hàm số h x có điểm cực trị ۳ 2m ۳ m Đáp án B gần kết f �x  x  x  a   13 x  15  Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm   Tập hợp giá � 5x � y  f �2 � �x  �có điểm cực trị trị a để hàm số � 5 �� 15 � � 5 �� 15 � � 5�  ; �\ � 0; �  ; �\ � 0; � � � ; �\  0 � 4 13 B ��� 4 13 C � 4 � A ��� 15 � � 5 ��  ; �\ � � � 4 13 ��� D Lời giải � x �� 5x � x � � x �� � � 5x � � � y  f �2  a� 13  15 � � � �� �� � �x  � �x  ��x  ��x  � � x 4 � 20  x = �ax  x  4a � �15 x  65 x  60 � � � � 2 � 2  x2    x2  4 � x  �� x  � 25 x � � x  �2 � x0 � � x3 � � x � �  ax  x  4a  y� 0 � � (1) x  ( nghiệm kép ) đặt g  x   ax  x  4a 10 Ycbt thỏa mãn phương trình y� có nghiệm bội lẻ � phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác �2;0;1; (Nếu g    y� có nghiệm bội lẻ) � �a �0 � �  52  4a.4 a  � �g   �0 � �g  2  �0 � �g   �0 �g  3 �0 � � �4 � �g � ��0 � Điều kiện: � �3 � a �0 � �5 �  a �4 � � a �� � � a �0 � � 15 � a� � 13 � �5  a � 4 � a �0 � � 15 � a� � 13 f �x  x  1  x  x  Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm    với x �� Có m để giá trị nguyên dương tham số điểm cực trị? A 15 B 17 C 16 hàm số f  x2  8x  m  có D 18 Lời giải Đặt g  x   f  x2  8x  m   x  2x  � g�  x    x  8  x  x  m  1  x f�  x    x  1 2 2  8x  m   x2  x  m   x4 � �2 x  x  m    1 � � �2 x  8x  m   2 � x  x  m    3 g�  x  � � Các phương trình  1 ,   ,  3 khơng có nghiệm chung đôi x  x  m  1 �0 với x �� 11 Suy g  x  có điểm cực trị    3 có hai nghiệm phân 16  m  � �m  16 � �m  18 16  m   � � �� �� 16  32  m �0 � �m �16 � � 16  32  m  �0 �m �18 � m  16 biệt khác � m nguyên dương m  16 nên có 15 giá trị m cần tìm Câu Cho hàm số y  f ( x) xác định � hàm số y  f '( x) có đồ thị     Có hình bên Biết f '( x)  với giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g ( x)  f ( x)  mx  có hai điểm cực trị x � �; 3, � 9; � A B C D Lời giải Chọn A g '( x)  f '( x)  m Số điểm cực trị hàm số g ( x) số nghiệm đơn (bội lẻ) phương trình f '( x)  m  m �5 � � 10 �m  13 Dựa đồ thị ta có điều kiện � Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn ( x) có đồ thị hình vẽ Câu Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f � 12 Tìm m để hàm số y  f ( x  m) có điểm cực trị A m � 3; � m � �;0  B m � 0;3 C m � 0;3 D Lờigiải Chọn C Do hàm số y  f ( x  m) hàm chẵn nên hàm số có cực trị hàm số có điểm cực trị dương y  f ( x  m) � y�  xf �  x2  m x0 x0 � � � � x0 � x2  m  x2  m � � � y 0� � � � � x  m 1 x  1 m  x  m  � �f � � � � � x2  m  x2   m � � � Đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc trục hồnh điểm có hồnh độ x  f�  x  m  đổi dấu nên nghiệm pt x   m (nếu có) khơng làm x qua, điểm cực trị hàm số y  f ( x  m) điểm nghiệm hệ x0 � �2 x  m � � x2   m � 13 Hệ có nghiệm dương Câu Cho hàm số nguyên f�  x    x  2 x  x  3 m �0 �  m3 ۣ � 3m  � với x �R Có giá trị y  f  x  10 x  m   dương m để hàm số có điểm cực trị? A 18 B 15 C 17 D 16 Lời giải Chọn D x2 � � f�  x   � �x  � x3 x2 � Ta có , nghiệm kép nên qua giá trị x  f�  x không bị đổi dấu Đặt g  x   f  x  10 x  m   g ' x  f �  u   x  10  với u  x  10 x  m  x5 � x  10  � � �2 x  10 x  m     �  x  10 x  m     �  �� g�  x   � �2 x  10 x  m    1 � x  10 x  m   � �2 �2 x  10 x  m     x  10 x  m   � � Nên y  f  x  10 x  m   Hàm số dấu lần � có điểm cực trị g  x  đổi Hay phương trình   phương trình   phải có hai nghiệm phân biệt khác �1'  �' �  �� �h   �0 2 �p   �0 � , (Với h  x   x  10 x  m  p  x   x  10 x  m  ) 14 17  m  � � 19  m  � �� � m  17 17  m �0 � � 19  m �0 � Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu 10 Cho hàm f�  x    x  2 y  f  x số  x  1  x   m  1 x  m  1 có đạo hàm , x �� Có giá trị g  x  f  x  nguyên m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số g  x  f  x  hàm số cộng thêm , số điểm cực trị đồ thị số điểm cực trị dương đồ thị hàm số y  f  x  g  x  f  x  Để hàm số cực trị dương g  x  f  x  có điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x có � x 1 � f� x   x  � � � x   m  1 x  m    * � Ta có Có x  nghiệm bội 2, x  nghiệm đơn   Vậy có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x �1 , có nghiệm x �0 x2  m  x  m2   Trường hợp 1: Có nghiệm x0 x   m  1 x  m   � m   � m  �1 x0 � x   m  1 x  m   � x  x  � �  TM  x  m  � Với , có x   m  1 x  m   � x  � x  Với m  1 , có (Loại) 15   Trường hợp 2: có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x �1 , có nghiệm âm x2  m  x  m2   � m � 1;1 � m2   � �2 �  m  1  m2  �0 �m �1 � Điều kiện tương đương �  Vì m ��� m  Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 11 Cho hai hàm đa thức y  f  x  , y  g  x  có đồ thị hai đường cong hình vẽ Biết đồ thị hàm số y  f  x  có điểm cực trị A , đồ thị Có thuộc khoảng  5;5 để hàm số hàm số y  g  x  có điểm cực trị B giá trị nguyên tham số m y  f  x  g  x  m A AB  có điểm cực trị? C B D Lời giải Chọn B 16    x  f �  x   g�  x  h� Đặt h  x   f  x   g  x  , ta có: h� ; x  � x  x0 ; h  x   � x  x1 x  x2 ( x1  x0  x2 ); h  x   f  x0   g  x    Bảng biến thiên hàm số y  h  x  là:       Suy bảng biến thiên hàm số y  k x  f x  g x là: Do đó, hàm số y  k  x   m có ba điểm cực trị Vì số điểm cực trị hàm số y  k  x   m tổng số điểm cực trị hàm số y  k  x   m số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình k  x   m  , mà hàm số y  k  x   m có ba điểm cực trị nên hàm số y  f  x  g  x  m có năm điểm cực trị phương trình k  x   m  có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) y  k  x Dựa vào bảng biến thiên hàm số , phương trình k  x   m  có m � ۣ  m hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ)  17 Vì m ��, m � Câu 12 Cho hàm số tham số m � 5;5  nên m � 4; 3; 2 y  f  x   x   2m  1 x    m  x  Tập hợp tất giá trị �a ; c � � � m để hàm số y  f  x  có điểm cực trị �b �, (với a, b, c số a b nguyên, phân số 2 tối giản) Giá trị biểu thức M  a  b  c A M  40 C M  31 B M  11 D M  45 Lời giải Chọn D Hàm số y  f  x   x3   2m  1 x    m  x  y�  f�  x  3x   2m 1 x    m có đạo hàm y  f  x - Để hàm số y  f  x  có điểm cực trị hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 dương Tương đương với phương trình dương phân biệt f�  x  có nghiệm � � m  1�m  �   2m 1  3  m  � � m  m   � � �  2m 1 � �� m �� S 0 �� m � � 2m m  � � � P 0 m2 � � � � m2 a 5 � � b4 � � c  � M  a  b2  c  45 Suy �   có đạo hàm liên tục � Hàm số   có đồ Câu 13 Cho hàm số thị hình vẽ bên Tìm tập hợp S tất giá trị thực tham số m y f x để hàm số g  x  f  x  f  x  m y f ' x có điểm cực trị, biết phương 18 trình f '( x )  lim f  x   � x �� có nghiệm phân biệt, f  a   1, f  b   lim f  x   � x �� A S   5;0  , � 1� S � 8; � � 6� C B S   8;  D � 9� S � 5; � � 8� Lời giải Chọn A Từ gt ta có BBT Xét hàm số f ( x) h  x  f  x  f  x , có h '  x   f  x  f '( x)  f '  x  h '  x   � f  x  f '( x)  f '  x   � f '  x   �4 f ( x)   � x  a �x  b �f ( x )  3 / f ( x )  3 / � x  c  a (theo BBT BBT) h( x ) 19 Để hàm số g ( x) | f  x   f  x   m || h  x   m | phương trình h  x   m   m  � 5  m  có điểm cực trị phải có nghiệm phân biệt, hay Câu 14 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số x  (3  m) x  (3m  7) x  có điểm cực trị? A B C y D Lời giải �x    m  x   3m   x  1, x �0 � �3 y� x �     m  x   3m   x  1, x  � � Ta có � �x    m  x   3m   , x  � �y �  x    m  x   3m   , x  � x  Dễ thấy đạo hàm không tồn � x  điểm cực trị Để x    m  x   3m    hàm số có điểm cực trị phương trình có ��  73 m �� �� ��  73 '  � �m  � �� � �P  � �� �S  � � � m3 � 7  73 � m   �   m  � � nghiệm dương phân biệt m � 2; 1;0 m Do nguyên nên 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương học sinh lớp 12A lớp 12B trường THPT Hà Trung Trong lớp 12B chưa tiếp cận phương pháp sử dụng đề tài, kiểm tra hình thức trắc nghiệm, thời gian làm 45 phút với kết thu sau: Lớp Sĩ số Điểm < 5 �Điểm