Hướng dẫn học sinh giải bài tập toàn về lũy thừa trong booig dưỡng học sinh giỏi lớp 6

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ……………………….……………………………… … … 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… …… 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… ……….2 1.4 Phương pháp nghiên cứu… …………………………………… …….2 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …… 2.1 Cơ sở lí luận .………………………… … 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu……………………………… ………… 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề …………………… …… 2.4 Hiệu sáng SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…… .… …………… … 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ …………………………………… … 17 3.1 Kết luận vấn đề nghiên cứu 17 3.2 Kiến nghị……………………………………………………… …….… 17 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Phương pháp dạy học nói chung phương pháp dạy học tốn nhà trường nói riêng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động người học hướng tới phát triển lực tư sáng tạo, nhận biết, khái quát hóa khả giải vấn đề độc lập Để giúp học sinh học tốt mơn tốn đòi hỏi người thầy phải có lao động sáng tạo nghiêm túc Là giáo viên giảng dạy mơn tốn Bản thân tơi ln trăn trở nhiều q trình học tốn làm tốn em học sinh, q trình học tốn, làm toán em học sinh gặp nhiều khó khăn dạng tốn phong phú, kiến thức học sinh có hạn Chính mà dạy học để học sinh nắm vững kiến thức cách có hệ thống có chiều sâu mà em hứng thú say mê học toán Vấn đề đặt giải toán phải biết nhận dạng lựa chọn phương pháp giải thích hợp Dạng tốn lũy thừa đề cập sách giáo khoa từ đầu năm lớp đến lớp lớp có yêu cầu khác nên làm cho người học người dạy vất vả học sinh lớp Sau em học lũy thừa với số mũ tự nhiên chương I lớp thời lượng học em phải giải lượng tập nhiều Để giải tập nâng cao tốn lũy thừa, ngồi việc nắm bắt kiến thức có chương trình, học sinh phải nắm bắt số kiến thức bổ sung mở rộng Những kiến thức không phân phối trong tiết học nên học sinh vận dụng rèn luyện trừ gặp tốn khó Vì gặp tập khó học sinh cảm thấy bế tắc, chán nản từ khơng thích thú học mơn tốn Là giáo viên dạy tốn tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp số dạng tốn Tơi thấy cần phải giúp em nắm kiến thức bản, dạng toán, phương pháp giải Từ gây hứng thú cho em đồng thời rèn cho em kỹ giải thành thạo dạng toán Vậy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán làm nguồn bồi dưỡng cho học sinh giỏi tốn 7, 8, trường THCS Đơng Cương chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải toán lũy thừa bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm mục đích đưa số phương pháp tìm lũy thừa học sinh giỏi lớp Giúp học sinh vận dụng phương pháp giải toán lũy thừa vào dạng cụ thể, nhằm giúp học sinh phân dạng nhanh, sử dụng phương pháp thục, khoa học, ngắn gọn, xúc tích Tìm phương pháp giải hợp lý với kiểu cụ thể Giúp đồng nghiệp tham khảo để vận dụng tốt cơng tác giảng dạy phương pháp giải toán lũy thừa 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phương pháp giải toán lũy thừa vào dạng khác từ rèn cho học sinh kĩ tìm lũy thừa, so sánh lũy thừa vào tập cụ thể số tập nâng cao lũy thừa đề thi khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp thực nghiệm 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: - Phát triển số kiến thức nâng cao phần lũy thừa mà sách giáo khoa không đề cập - Đề tài thông qua đồng nghiệp đồng nghiệp áp dụng vào dạy học học sinh khối trường THCS Đông Cương NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trên sở “lũy thừa với số mũ tự nhiên” sách giáo khoa toán tài liệu nâng cao toán Qua nhiều năm dạy toán bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn Tơi nhận thấy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi tốn giáo viên phải dạy học sinh nắm vững kiến thức lũy thừa, từ mở rộng nâng cao kiến thức lũy thừa đưa phương pháp giải toán lũy thừa 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: 2.2.1 Thực trạng Mặc dù học sinh học giải toán lũy thừa số lớp 6, toán lũy thừa số hay biểu thức Nhưng thực tế học sinh khá, giỏi tốn trường THCS Đơng Cương giải có kỹ giải chiếm tỉ lệ thấp, phần lớn học sinh chưa giải toán lũy thừa số hay biểu thức giải vài bước Từ thực trạng trên, dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm tòi thử nghiệm phương pháp riêng bước đầu có dấu hiệu khả quan 2.2.2 Kết thực trạng Năm học 2017 - 2018 nhà trường phân công giảng mơn tốn lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giáo viên trường, thông qua kỳ thi chất lượng kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố thân nhận thấy em học sinh chưa thành thạo làm dạng tập lũy thừa, lý để giải loại tập cần phải có kỹ giải tốn lũy thừa Khi nghiên cứu đề tài này, khảo sát tình hình thực tế 40 học sinh lớp 6A 40 học sinh lớp 6C Trường THCS Đông Cương năm học 20172018 chưa áp dụng đề tài Kết thu sau: Học sinh giải Lớp Học sinh giải vài bước Học sinh không giải Số HS SL % SL % SL % 6A 6C 40 17,5 15 37,5 18 45 40 12,5 14 35 21 52,5 Nguyên nhân dẫn đến việc tỉ lệ học sinh lớp chưa giải toán về lũy thừa chiếm tỉ lệ cao có nhiều ngun nhân, song theo quan điểm tập trung vào ba nguyên nhân chủ yếu sau đây: Thứ nhất: Do phần lũy thừa phần học sinh; Thứ hai: Do em chưa nắm vững phương pháp giải toán lũy thừa chưa có kỹ giải tập phần lũy thừa; Thứ ba: Do em chưa đọc giải nhiều tập sách nâng cao toán chủ đề lũy thừa 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Các giải pháp thực Dạy học sinh nắm vững kiến thức lũy thừa, từ mở rộng kiến thức nâng cao lũy thừa Vận dụng phương pháp toán lũy thừa vào việc giải số tập ứng dụng học sinh lớp trường THCS Đông Cương năm học 2017– 2018 Luyện giải các toán nâng cao lũy thừa đề thi khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa Khắc phục sai lầm số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải giải toán lũy thừa 2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực Dạy học sinh nắm vững kiến thức lũy thừa, từ mở rộng kiến thức nâng cao lũy thừa 1.1 Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên + Lũy thừa bậc n a tích n thừa số nhau, thừa số a a n = a14 a 43a (n ∈ N*) n thua so + Quy ước: a = a; a = 1(a ≠ 0) 1.2 Các phép toán lũy thừa *) Với a, b, m, n ∈ N ta có phép tính: + Nhân hai lũy thừa số: am an = am+n; am an ap = am+n+p (p ∈ N) + Chia hai lũy thừa số: am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) m m m + Lũy thừa tích: (a.b) = a b + Lũy thừa thương: (a : b)m = am : bm (b ≠ ) +Lũy thừa lũy thừa: (am)n = am.n + Lũy thừa tầng: a mn = a ( m ) *) Với x phân số, n ∈ N; a, b ∈ Z x.x 43x ( x ∈ N*) xn = 14n thua so n n an a +   = n (b ≠ 0) b b 1.3 Tính chất thứ tự: + Nếu a = b an = bn + Nếu an = bn a = b a = -b (nếu n chẵn) a = b (nếu n lẻ) m n + Nếu a = a m = n + Nếu < a n m,n ∈ N* => am < an + Nếu a > b > => am > bm (m ≠ 0) + Nếu m > n > 0, a > => am > an + Nếu am > bn bn > ck => am > ck + Chú ý: Với n ∈ N: (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1 Vận dụng phương pháp toán lũy thừa vào việc giải số dạng tập ứng dụng học sinh lớp trường THCS Đông Cương năm học 2017–2018 2.1 Dạng 1: Viết kết phép tính nhân chia dạng lũy thừa *Phương pháp: - Biến đổi đưa lũy thừa số - Áp dụng công thức: am an = am + n; am : an = am- n an bn = (a.b)n (a : b)n = an : bn * Ví dụ Viết tích, thương sau dạng lũy thừa a) A = 86.164 Giải: Cách 1: Có thể đưa lũy thừa có số A = 86.164 = (2.4)6 (4.4) = 26.46.4 4.4 = (2 )3 414 A = 43.414 = 417 Cách 2: Có thể đưa lũy thừa có số A = 86.164 = ( ) ( ) = 218.216 = 234 b) B = 93.813.273 Giải: Cách 1: Có thể đưa lũy thừa số 19683 B = 93.813.273 = ( 9.81.27 ) = 19683 Cách 2: Có thể đưa lũy thừa số B = 93.813.273 = ( ) ( ) = 36.312.33 = 36 +12+3 = 321 3 c, C = 256 :1253 Giải: Cách 1: Có thể đưa lũy thừa số 19683 C = 256 :1253 = ( ) : ( ) = 512 : 59 = 512−9 = 53 Cách 2: Có thể đưa lũy thừa số 19683 C = 256 :1253 = 256 : (25.5)3 = 256 : (253.53 ) = (256 : 253 ) : 53 C = 253 : 53 = (25 : 5)3 = 53 Cách 3: Có thể đưa lũy thừa số 125 thực phép nhân chia C = 56 :1253 = ( 252 ) :1253 = (25.25)3 :1253 = (5.125)3 :1253 C = (53.1253 ) :1253 = 53.(1253 :1253 ) = 53 *Nhận xét: Đối với dạng tập này, có nhiều cách giải Tuy nhiên để thuận tiện cho việc tính tốn ta thường đưa lũy thừa số nguyên tố ` 2.2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức 2.2.1 Các biểu thức dạng biểu thức nguyên: * Phương pháp: - Thực theo thứ tự phép tính sử dụng phép tính lũy thừa để tính - Sử dụng phép tính lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối phép nhân phép cộng Ví dụ Tính giá trị biểu thức: a) A = 453 : 53 − 246 :126 + Hướng dẫn: Các lũy thừa 45 có số mũ Lũy thừa 24 12 có số mũ Vậy ta cần thực theo thứ tự phép tính: Nhân, chia đến cộng, trừ Giải: A = 453 : 53 − 246 :126 = (45 : 5)3 − (24 :12) A = 93 − 36 = (32 )3 − 36 = 36 − 36 = Vậy A= ( ) 24 23 66 b) C = + : +Hướng dẫn: Đưa số số 8, sau sử dụng tính chất phân phối phép cộng dể thực Giải: Cách 1: ( )( ) C = ( 824 + 823 ) : 266 = 824 + 823 : 23 22 = ( 824 + 823 ) : 822 = 824 : 822 + 823 : 822 C = 82 + = 72 Vậy C=72 Cách 2: C = ( 824 + 823 ) : 266 = [ ( 23 ) + ( 23 ) ] : 266 = ( 272 + 69 ) : 266 24 23 C = 269 ( 23 + 1) : 266 = (269 : 266 ).(8 + 1) = 269−66.9 = 23.9 = 8.9 = 72 Vậy C= 72 2.2.2 Các biểu thức có dạng phân số: + Phương pháp: Viết tử mẫu dạng tích lũy thừa Sau sử dụng tính chất phân số chia tử mẫu cho lũy thừa khác khơng Ví dụ Tính giá trị biểu thức: 33.35 ) ( 25.73 ) ( a) A = ( 3.5.72 ) + Hướng dẫn: Đưa tử mẫu dạng tích lũy thừa có số số nguyên tố Sau ta việc viết gọn tử mẫu cách sử dụng nhân lũy thừa, tính lũy lũy thừa, rút gọn lũy thừa giống Giải: 3 35) ( 25.73 ) ( 33.5.7 ) ( 52.73 ) ( A= = 2 ( 3.5.7 ) ( 3.5.7 ) 33.5.7.52.73 33.53.7 A = 2 = 2 = 3.5= 15 Vậy A= 15 7 95.13 + 39.52 b) C = 38.258 + Hướng dẫn: Biểu thức C có tử tổng ta biến đổi sử dụng tính chất phân phối viết tử thành tích lũy thừa sau rút gọn Giải: 9 13 + 39.52 310.13 + 39.52 ( 2.13 + ) ( 26 + 25 ) 51 = C= = = = 86 38.258 38.258 38.3.86 39.86 51 Vậy C = 86 2.2.3 Biểu thức có dạng tổng lũy thừa viết theo quy luật * Phương pháp: Làm xuất biểu thức khác bội biểu thức có chứa lũy thừa có số với lũy thừa tổng cho cộng trừ hai biểu thức Ví dụ Thu gọn biểu thức sau: A =1 + + 22 + 23 + + 2018 + Hướng dẫn: - Biểu thức A tổng lũy thừa với số mũ 1đơn vị - Nhân hai vế biểu thức với ( có số số lũy thừa A có số mũ khoảng cách số mũ liên tiếp) Giải: A = + + 22 + 23 + 24 + + 22018 A = + 22 + 23 + + + 2019 A − A = (2 + 2 + 23 + 24 + + 2019 ) − + + 2 + 23 + + + 2018 ( ) A = 22019 − Vậy A = 22019 − Ví dụ Thu gọn biểu thức: B = + 53 + 56 + + 5105 + Hướng dẫn: - Biểu thức B tổng lũy thừa với số mũ đơn vị - Nhân hai vế biểu thức với 53 ( 53 có số số lũy thừa B có số mũ khoảng cách số mũ liên tiếp) Giải: B = + 53 + 56 + + 5105 53.B = 53 + 56 + 59 + 5108 125.B − B = (53 + 56 + 59 + 5108 ) − ( + 53 + 56 + 59 + + 5105 ) 124.B = 108 −1 ⇒ B = Vậy B = 5108 − 124 5108 − 124 1 1 Ví dụ Thu gọn biểu thức: C = + + + + 99 3 3 + Hướng dẫn: - Biểu thức C tổng số hạng phân số có tử mẫu lũy thừa với số mũ 1đơn vị Nhân hai vế biểu thức với Giải: 1 1 C = + + + + 99 3 3 1 1 3C = + + + + + 98 3 3 1 1  1 1 3C − C = (1 + + + + + 98 ) −  + + + + 99 ÷ 3 3  3 3 2C = − 99 1 C = − 99 2.3 2.3 Dạng So sánh hai lũy thừa 2.3.1 So sánh hai lũy thừa số * Phương pháp: - Đưa lũy thừa số - Sử dụng tính chất: Nếu m > n a m > a n ( a > ) Ví dụ So sánh số sau: a) 2711 818 ; b) 19920 200315 a) + Hướng dẫn: - Các số 27 81 lũy thừa - Do ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số so sánh Giải: Ta có 2711 = ( 33 ) = 333 11 818 = ( 34 ) = 332 Vì 333 > 332 ⇒ 2711 > 818 Vậy 2711 > 818 b) + Hướng dẫn: - Ta biến đổi đưa so sánh qua lũy thừa số trung gian Giải: Ta có: 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 52)20 = 260 540 201315 > 200015 = (16.125)15 = (24 53)15= 260.545 Vì 260 540 < 260.545 nên 19920 < 201315 2.3.2 So sánh hai lũy thừa số mũ * Phương pháp: - Đưa lũy thừa số mũ lớn - Sử dụng tính chất: Nếu a > b a m > b m ( m > ) Ví dụ So sánh: 32n 23n với n ∈ N g + Hướng dẫn: Ta thấy số mũ 2n 3n có chung thừa số n nên ta viết hai lũy thừa thành lũy thừa có số mũ n, so sánh số Giải: Ta có : 32 n = ( 32 ) = 9n ; n 23 n = ( 23 ) = n n Với n ∈ N gnên ta có 9n > 8n ⇒ 32 n > 23n Áp dụng So sánh: a) 3200 2300 Ta có: 3200 = (32)100 = 9100; 2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 b) 1619 825 ( ) =(2 ) Ta có: 1619 = 825 19 25 = 276 = 275 Vì 276 > 275 nên 1619 > 825 2.4 Dạng 4: Tìm số chưa biết lũy thừa 2.4.1 Tìm số: * Phương pháp: - Biến đổi vế thành lũy thừa có số mũ - Áp dụng tính chất: Nếu an = bn a = b a = - b (nếu n chẵn ) a = b (nếu n lẻ) Ví dụ Tìm số nguyên x, biết: ( x + 1) = − 27 + Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm số lũy thừa có số mũ nên ta viết vế phải thành lũy thừa có số mũ Giải: ( x + 1) = − 27 3 ( x + 1)3 = ( − 3) ⇒ x + = − ⇒ x = −3 − ⇒ x = −4 Vậy x= - Ví dụ Tìm số ngun x, biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 + Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm số lũy thừa có số mũ hai lũy thừa biết số mũ 2, số chưa biết Do ta sử dụng tính chất bình phương hai lũy thừa số chúng đối Giải: Ta có: (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = 1– 3x x – = 3x – Xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: x – = 1– 3x 4x = 6 x= x = ∉Z 10 * Trường hợp 2: x – = 3x – 2x = -4 x = -2∈ Z Vậy x = -2 2.4.2 Tìm số mũ: * Phương pháp: - Biến đổi vế thành lũy thừa có số - Áp dụng tính chất: a m = a n m = n Ví dụ Tìm số tự nhiên x, biết: a) x = 625 ; b) 16x < 1284 a)+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm số mũ lũy thừa có số nên ta viết vế phải thành lũy thừa có số Giải: x = 625 ⇒ 5x = 54 ⇒ x = Vậy x = b)+ Hướng dẫn: Biến đổi đưa lũy thừa số Giải: Ta có: (24 ) x < ( 27 ) 24 x < 228 ⇒ 4x < 28 ⇒ x < Vậy x ∈{ 0;1; 2;3; 4;5; 6} Ví dụ Tìm n ∈ Z, biết: 32-n 16n = 1024 + Hướng dẫn: Viết lũy thừa dạng lũy thừa Giải: -n 32 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 Vậy n = - 10 5.Dạng Tìm chữ số tận lũy thừa: Kiến thức: +Tìm chữ số tận lũy thừa: - Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi - Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi, nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận - Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận - Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận +Tìm hai chữ số tận cùng: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý số đặc biệt sau: - Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 11 - Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 - Các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76 - Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01 - Số 25n (n ∈ N, n >1) có tận 25 5.1.Tìm chữ số tận Ví dụ Tìm chữ số tận số: 10092008 ,8732, 5833, 47102 + Hướng dẫn: Lũy thừa 10092008 ta viết số mũ 2008 dạng 2.1004 ; 8732 viết số mũ 32 dạng 4.8; 5833 viết dạng 58.5832; 47102 viết dạng 47100 472 Và dựa vào kiến thức ta dễ dàng tìm chữ số tận Giải: 2008 1009 = 10092.1004 = (10092)1004 = ( 1)1004 = 1, có chữ số tận 8732=874.8= 1, có chữ số tận 5833 = 58 5832 = 58 584.8 =( 8) ( 6) = 8, có chữ số tận 47102 = 47100 472 = 474.25 472 = ( 1) ( 9) = 9, có chữ số tận 5.2.Tìm hai chữ số tận Ví dụ Tìm hai chữ số tận của: 2100; 3100 + Hướng dẫn: Dựa vào nhận xét ta viết 2100 thành lũy thừa 220.5, 3100 thành lũy thừa 320.5 Giải: 100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Một số toán nâng cao số toán lũy thừa đề thi khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa *Nhận xét: Trong dạng toán lũy thừa giới thiệu trên, dạng có phương pháp làm cụ thể song trình làm ta gặp toán mà phải sử dụng tổng hợp kiến thức làm tìm chữ số tận cùng, so sánh phân số … loại sau: Ví dụ Chứng minh rằng: A = 998 − chia hết cho + Hướng dẫn: - Các số có chữ số tận chia hết cho - Do ta tìm chữ số tận biểu thức A Giải: 49 A = 998 − = ( ) − = 8199 − = − = Vì biểu thức A có chữ số tận nên A chia hết cho Ví dụ So sánh C D biết: C= 3918 3918 − 75 D= 3918 + 3918 − (Đề khảo sát chất lượng học kì II- TP Thanh Hóa năm 2014-2015) Giải: 3918 3918 − + 7 = = + 18 Ta có: C = 18 18 39 − 39 − 39 − 18 18 39 + 39 − + 7 = = + 18 D = 18 18 39 − 39 − 39 − 12 Mà 3918 − < 3918 − nên 39 − 18 > 39 − 18 Vậy C > D Ví dụ Cho 10k - M19 ( k ∈ N) Chứng minh: 102k - M19 ( Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2014-2015) Giải: Ta có: 102k - = ( 102k - 10k) + (10k - 1)= 10k ( 10k - 1) + ( 10k - 1) = (10k - 1) ( 10k + 1) M19 (vì 10k -1 M19) Mở rộng tốn: Cho 10k - M19 ( k ∈ N) Chứng minh: 103k - M19 Giải: Ta có: 103k - = ( 103k - 10k) + (10k - 1) = 10k ( 102k - 1) + ( 10k - 1)1 M19 Do 102k -1 M19; 10k -1 M19 Vậy 103k - 1M19 Ví dụ So sánh: A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 B = 22009 – + Hướng dẫn: Biểu thức A tổng lũy thừa viết theo quy luật, để so sánh A B ta phải thu gọn biểu thức A Giải: A = + + 22 + 23 + 24 + + 22008 A = + 22 + 23 + 24 + + 2009 A − A = (2 + 2 + 23 + 24 + + 22009 ) − + + 2 + 23 + + + 2008 ( ) A = 22009 − Vậy A = B Ví dụ Cho A = + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + + 201271 + 201272 B = 201273 - So sánh A B (Đề thi HSG huyện Bá Thước - Thanh Hóa năm 2011-2012) Giải: Ta có: A = + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + + 201271 + 201272 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273 2012A – A = 201273 – Do 201273 – 1= B Suy ra: A = 201273 −1 < 201273 −1 = B 2011 Vậy A < B 1 1 + + + ×××+ + H = + + + ×××+ 2007 20082 1.2 2.3 2007.2008 1 1 1 1 1 + ×××+ = − + − + − + ×××+ − = 1− H < Từ tốn ta có tốn tổng qt: Ví dụ Chứng tỏ rằng: M= 1 1 + + + ×××+ < ( với 2 n n ∈ N n ≥ 2) Giải: Ta có: 1 1 1 1 < < < < ; ; ; … ; n n.(n − 1) 2 1.2 2.3 3.4 1 1 1 + + ×××+ => M = + + + ×××+ < n 1.2 2.3 n.( n − 1) 1 1 1 1 1 + ×××+ = − + − + − + ×××+ − = 1− < Mà + 1.2 2.3 n.(n − 1) 2 3 n −1 n n => M < 1 1 1    − 1÷ Ví dụ Cho A =  − 1÷. − 1÷. − 1÷  2  3  4   100  So sánh A với − ( Đề khảo sát chất lượng học kì II- TP Thanh Hóa năm 2015-2016) Giải: Ta có A tích 99 số âm , nên A< Do đó: 1 1 1    A = − 1 − ÷. − ÷.1 − ÷ 1 − ÷        100   1        A = − 1 − ÷. − ÷.1 − ÷  − ÷      16   10000    15 9999  A = −  × × ××× ÷ 100  2  1.3 2.4 3.5 99.101  A = −  ì ì ììì ữ 1002 14  1.2.3 98.99 3.4.5 100.101  A = ì ữ 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 101 1  101  A = − × ÷= − < − Vậy A < − 200 2  100  Ví dụ Tìm số nguyên dương x,y biết: x − 256 = y (Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2017-2018) Giải: Vì x − 256 = y ⇒ x − y = 256 x − y = 256 = 28 y.(2 x − y − 1) = 28 (1) Nhận thấy x > y Ta xét toán trường hợp sau: +) x - y = ta có: y (2 − 1) = 28 ⇒ y = 28 ⇒ y = x= +) Nếu x - y ≥ x − y − số lẻ lớn 1, nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tích thừa số nguyên tố Còn vế phải ( 1) chứa thừa số nguyên tố (Mâu thuẫn) Vậy x = 9, y= Vậy để giải giải tốn lũy thừa có nhiều cách giải, kết hợp nhiều phương pháp giải Vấn đề đặt phải lựa chọn phương pháp để giải cho ngắn gọn xác Khắc phục sai lầm số học sinh trường THCS Đông Cương thường mắc phải giải toán lũy thừa Khi giải toán lũy thừa học sinh thường hay mắc sai lầm sau: - Nhầm lẫn cách tính lũy thừa, tìm thiếu nghiệm - Trình bày dài dòng, chưa lơgic Sau dạy song chủ đề này, lỗi sai mà em thường mắc phải sửa lại cho sau: Lỗi sai =3.2=6 (- x)2 yx5(- y)3 = (- x)7 (- y4) = x7y4 Thực =3.3=9 (- x)2 yx5(- y)3 = (-1x)2 x5y(-1y)3 = (-1)5x7y4 = - x7y4 15 2.3 2 = = = 64 2 = = 256 2n + 2n = 64 => 2n+n = 64 => 2n = 2n + 2n = 64 → (1+1) 2n = 64 => 2n = 32 => n = 5 - 53 = -53 54 - 53 53 (5 - 1) 3.4 = = = 54 54 x2= 25 => x=5 x2= 25 => x=5 x=-5 Những lỗi đơn giản, học sinh lại hay bị mắc làm em không nắm vững định nghĩa lũy thừa, nhầm lẫn lũy thừa tầng lũy thừa tích, cộng hai lũy thừa số với nhân hai lũy thừa số, chưa nắm cách rút gọn biểu thức Từ nguyên nhân nhầm lẫn Tóm lại giải tốn lũy thừa em gặp nhiều khó khăn, sai lầm Chẳng hạn số sai lầm nêu Về nguyên nhân có nhiều ngun nhân dẫn đến sai lầm chẳng hạn kỹ biến đổi tính tốn em chưa tốt em chưa nắm vững kiến thức phần trước Vấn đề giáo viên dạy phần muốn đạt kết cao phải dành nhiều thời gian để giúp học sinh khắc phục khó khăn, sai lầm Nếu giáo viên làm tốt điều em tự tin việc tiếp thu kiến thức môn tốn Từ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 2.4 Hiệu SKKN: 2.4.1 Với hoạt động giáo dục: Trong trình thực thu kết chung: *Ý thức: Đa số em có ý thức cao học tập *Khả tiếp thu: Phần lớn em tiếp nhận kiến thức tốt *Khả vận dụng: Học sinh có khả vận dụng tri thức thu nhận vào thực tế *Kết thu được: Nhiều học sinh vận dụng tốt phương pháp Tìm nghiệm nguyên mà đưa Với cách làm nâng cao chất lượng học sinh giỏi Toán học sinh khối trường THCS Đông Cương học sinh làm nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi toán năm học tới Qua thời gian nghiên cứu, tìm tòi để có đề tài “Hướng dẫn học sinh giải toán lũy thừa bồi dưỡng học sinh lớp 6” đưa vào thực tế giảng dạy lớp 6A, 6C Trường THCS Đông Cương, đặc biệt tiết bồi dưỡng học sinh giỏi Năm học 2017- 2018 nghiên cứu thực đề tài với đối tượng học sinh lớp Trường THCS Đông Cương với tổng số 80 em Kết thu đáng mừng, nhận thấy học sinh tự tin học toán phần lũy thừa, sai lầm khó khăn thường gặp em giảm hẳn, số tập sách nâng cao toán phần lũy thừa em làm hầu hết, mà không gặp trở ngại lớn Điều chứng minh kết bước đầu đề tài có hiệu 16 Để khẳng định tính hiệu giải pháp áp dụng khảo sát 80 học sinh lớp 6A, 6C trường THCS Đông Cương năm học 20172018 Kết thu sau: Học sinh giải Học sinh giải Học sinh không vài bước giải Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 6A 40 33 82,5 15 2,5 6C 40 31 77,5 17,5 So sánh kết trước sau áp dụng đề tài: - Học sinh giải tăng cao từ 18% tăng lên 78 đến 82% - Học sinh không giải giảm rõ rệt từ 52% giảm 2,5-5% 2.4.2 Với thân giảng dạy tốn lũy thừa: Trong trình nghiên cứu áp dụng đề tài với học sinh thu nhiều kết khả quan, nâng cao ý thức tự giác cho học sinh, giúp em tự tin làm tập lũy thừa, từ đưa cách giải tối ưu 2.4.3 Với đồng nghiệp nhà trường: Đề tài đồng nghiệp tham khảo, ứng dụng lồng ghép vào việc giảng dạy học sinh trường THCS Đông Cương Từ với đồng nghiệp ghóp phần đưa chất lượng học sinh trường THCS Đông Cương ngày tốt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 3.1 Kết luận vấn đề nghiên cứu: Sau tìm phương pháp giải cho toán lũy thừa, học sinh tích cực học tập hơn, chủ động tìm tòi linh hoạt việc giải số tốn lũy thừa, từ có kĩ giải tốt tập loại Học sinh biết đưa tập từ dạng phức tạp dạng đơn giản cách nhanh chóng từ củng cố lại kiến thức cách chắn lơgic Biết phân tích tốn lũy thừa ứng dụng vào giải toán tạo cho học sinh có tư linh hoạt, sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh, góc độ khác Đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi không dám khẳng định: Đề tài “Hướng dẫn học sinh giải toán lũy thừa bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6” định tất kết học tập em, chắn góp phần khơng nhỏ vào thành cơng giảng dạy thân Thực tế qua lần khảo sát chất lượng chứng tỏ điều (tơi kiểm nghiệm năm học) học sinh giỏi lớp 6A, 6C trường THCS Đông Cương, năm học 2017-2018 Mặc dù kết chưa cao, song động viên, khích lệ tơi nhiều việc nghiên cứu tìm tòi, hệ thống dạng tốn, phương pháp giải tốn Giúp tơi vững tin kiến thức, phương pháp giảng dạy mình, tạo nên động lực, niềm đam mê nghề lớn tôi, để tiếp tục thành công nghiệp "trồng người", để tơi đóng góp phần sức lực trí tuệ nghiệp giáo dục Trường THCS Đơng Cương - TP Thanh Hóa nói riêng nghiệp giáo dục nước nói chung Mặc dù có nhiều ưu điểm điều kiện dạy học, đề tài tơi khơng tránh khỏi hạn chế là: Đối với số học sinh trung bình, yếu kém, phương pháp chưa phù hợp với đối tượng nên việc tiếp thu vận dụng chưa có kết cao Thấy ưu, nhược điểm đó, cho phép tơi lần khẳng định đề tài “Hướng dẫn học sinh giải toán lũy thừa bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6” phát huy tối đa tác dụng việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi 3.2 Kiến nghị: Sở GD, Phòng GD TP Thanh Hóa nên tổ chức thêm buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp cho giáo viên để giáo viên học hỏi nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Đây vấn đề nhỏ mà đưa vào q trình giảng dạy có hiệu Với cách làm giúp học sinh phát huy khả tự học, tự giải vấn đề Tuy nhiên viết khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý đồng nghiệp để thân tơi vận dụng vào trình giảng dạy đạt kết tốt Xin trân trọng cảm ơn! 18 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Liên 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tập toán lớp 6; Các chuyên đề chọn lọc tốn 6- Tơn Thân (chủ biên); Sách nâng cao phát triển tốn 6- Vũ Hữu Bình; Phương pháp giải tập toán 6- Dương Đức Kim- Đỗ Duy Đồng; Các dạng toán phương pháp giải tốn 6- Tơn Thân; Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- Nguyễn Đức Tấn; Toán nâng cao toán 6- Vũ Thế Hựu; Đề thi Khảo sát chất lượng TP Thanh Hóa 20 ... đề tài: Hướng dẫn học sinh giải toán lũy thừa bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm mục đích đưa số phương pháp tìm lũy thừa học sinh giỏi lớp Giúp học sinh vận... hiệu giải pháp áp dụng khảo sát 80 học sinh lớp 6A, 6C trường THCS Đông Cương năm học 20172018 Kết thu sau: Học sinh giải Học sinh giải Học sinh không vài bước giải Lớp Sĩ số SL % SL % SL % 6A... tuyển học sinh giỏi toán năm học tới Qua thời gian nghiên cứu, tìm tòi để có đề tài Hướng dẫn học sinh giải toán lũy thừa bồi dưỡng học sinh lớp 6 đưa vào thực tế giảng dạy lớp 6A, 6C Trường THCS