Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Mơn Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC Mục Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1Cơ sở lí luận 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3.Nội dung SKKN 2.3.1.Các giải pháp chung 2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực 2.3.3 Nội dung thực 2.3.3.1- Quy trình giải tốn hình học phương pháp véctơ 2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải số toán khoảng cách góc *BÀI TỐN Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng *BÀI TỐN Tính khoảng cách góc hai đường thẳng chéo 2.4 Hiệu SKKN Kết luận-Kiến nghị 3.1.Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên Trang 2 2 3 4 5 6 10 16 17 17 17 19 20 1- MỞ ĐẦU: 1.1.Lí chọn đề tài: -Trong chương trình tốn THPT, “ Hình học khơng gian” mơn tương đối khó , đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp mặt phẳng - khơng gian kĩ tính tốn Hơn để học tốt mơn học học sinh phải vẽ hình Tuy nhiên số tốn hình học khơng gian, việc xác định yếu tố cần tính hình vẽ cách trực quan khơng phải lúc dễ dàng tất học sinh , Khoảng cách - góc tốn - Trong năm gần đây, câu hình học không gian đề thi Đại học, cao đẳng khơng đánh giá mức độ khó thử thách học sinh nên em thường có tâm lí sợ câu hỏi này, đặc biệt số em bị hổng kiến thức hình học lớp Lí em khơng có kỹ tốt việc vẽ hình để xác định khoảng cách cần tính - Thơng thường tốn khoảng cách -góc giải phương pháp hình học túy đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ hình để tìm khoảng cách -góc cần tính Nhưng lại điểm yếu phận không nhỏ học sinh -Phương pháp véctơ giải số tốn khoảng cách - góc mà khơng cần vẽ thêm đường phụ nào, khơng phải xác định khoảng cách-g óc hình nên giải vấn đề cho học sinh Vì tơi chọn đề tài SKKN:"Hướng dẫn học sinh giải số tốn hình học khơng gian khoảng cách góc phương pháp véctơ” 1.2.Mục đích nghiên cứu: -Giúp học sinh khắc phục hạn chế khả vẽ hình, làm cho học sinh thấy hứng thú với tập hình học khơng gian ,khơng "sợ hình" đặc biệt tâp góc khoảng cách -Giúp học sinh giải tốt tập khoảng cách - góc mà khơng cần vẽ thêm đường phụ -Cung cấp thêm cho học sinh giỏi ứng dụng phương pháp véctơ biết vài phương pháp giải chưa đủ Từ tạo hứng thú tìm tòi khám phá thêm cách giải cho học sinh có khả học tốt nhằm phát triển tư cho em 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu hình thành cho học sinh cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; khoảng cách - góc hai đường thẳng chéo phương pháp véctơ rèn luyện kỹ giải số tập 1.4.Phương pháp nghiên cứu: -Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết kết hợp với thực tế học hỏi tìm tòi đúc rút kinh nghiêm vận dụng giảng dạy nhiều năm -Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin để đánh giá tình hình hiệu áp dụng cúa SKKN 2.NỘI DUNG SKKN: 2.1.Cơ sở lí luận a- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ĐN:Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng(P) khoảng cách từ điểm đến hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng(P) Từ đó: +Nếu M có hình chiếu     MN ⊥ AB MN AB =  ⇔     MN AC = MN ⊥ AC vng góc mp(ABC) N  +Khoảng cách từ M đến mp(ABC) MN b-Khoảng cách hai đường thẳng chéo ĐN: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng +Nếu P1P2 đoạn vng góc chung d1 d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) → → → → P1 P2 ⊥ u1 P1 P2 u1 =0 → → P1 P2 ⊥ u → → → P1 P2 u =0 → với u1 , u véctơ phương d1 , d2 + Khoảng cách d1 , d2 → l P1 P2 c-Cơng thức tính góc d1 d2 → → → → u1 u Cos ϕ = u1 u 2.2 Thực trạng vấn đề: -Trong năm gần đây,bài tốn khoảng cách -góc có mặt đề thi đại học ,cao đẳng tương đối nhiều ,chẳng hạn đề khối B2007,D2008,A2010,A2011,THPTQG2015 ,HSG tỉnh Thanh hoá 2016 … -Thời lượng tiết "khoảng cách " quy định phân phối chương trình hạn hẹp nên thực tế giảng dạy giáo viên khơng có nhiều thời gian để rèn luyện cho học sinh giải tập khoảng cách -Học sinh thường có tâm lí "sợ hình",hình khơng gian lại sợ Thêm vào nhiều em bị hổng kiến thức hình từ cấp hai nên đối vơi toán phải vẽ thêm đường phụ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng,khoảng cách hai đường thẳng chéo lúng túng thường đầu hàng vô điều kiện Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy sau học góc - khoảng cách ,trong lớp có khoảng 10% số học sinh giải tập, 20% -> 25% giải sau có hướng dẫn, gợi ý, lại đa số học sinh lúng túng, không xác định phương hướng giải -Phương pháp véctơ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phảng mà khơng cần dựng hình chiếu điểm mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng chéo mà khơng cần vẽ xác đoạn vng góc chung, khơng cần xác định thêm khoảng cách trung gian khác khoảng cách giưã đường thẳng mặt phẳng song song hay hai mặt phẳng song song…ngồi tính ln góc giưã chúng mà vẽ thêm đường phụ Do để giúp học sinh khắc phục hạn chế khả vẽ hình, làm cho học sinh thấy hứng thú với tập hình học khơng gian góc khoảng cách, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài :" Hướng dẫn học sinh giải số tốnhình học khơng gian khoảng cách góc phương pháp véctơ” 2.3 Nội dung SKKN giải pháp 2.3.1-Các giải pháp thực hiện: Khi giảng dạy lớp, phương pháp tính khoảng cách góc ngơn ngữ hình học tổng hợp, hướng dẫn cho học sinh phương pháp véctơ để phần giải khó khăn vấn đề xác định khoảng cách góc cần tính hình vẽ trực quan cho em.Vì đưa giải pháp sau: *Yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức véctơ đặc biệt : + Cơng thức tính độ dài véctơ, góc véctơ + Biểu diễn véctơ theo véctơ khơng đồng phẳng + Các phép tốn véctơ, đặc biệt tích vơ hướng *Tổ chức rèn luyện kỹ định hướng giải toán liên quan đến khoảng cách -góc: +Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Bài tốn 1: Tính khoảng cách -góc hai đường thẳng chéo 2.3.2-Các biện pháp tổ chức thực hiện: Nội dung SKKN triển khai thơng qua tiết: Tiết 1:Ơn tập về: +các kiến thức véctơ cần thiết +quy trình giải tốn hình học phương pháp véctơ Tiết 2:+Tổ chức hình thành phương pháp giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hướng dẫn học sinh làm VD minh họa + Tổ chức hình thành phương pháp giải tốn tính khoảng cách-góc hai đường thẳng chéo hướng dẫn học sinh làm VD minh họa Tiết 3:+Rèn luyện kỹ giải số tập +Nhận dạng tốn tính khoảng cách-góc giải phương pháp véc tơ (hình đa diện có góc phẳng đỉnh xác định biết độ dài cạnh góc đó) 2.3.3-Nội dung thực hiện: 2.3.3.1- Quy trình giải tốn hình học phương pháp véctơ Bước 1: Chọn hệ véctơ sở, biểu diễn giả thiết, kết luận tốn theo ngơn ngữ véctơ Bước 2: Thực yêu cầu tập thông qua việc biểu diễn véctơ cần xét theo hệ véctơ sở, biến đổi hệ thức theo yêu cầu toán Bước 3: Từ kết véctơ suy kết hình học tương ứng Lưu ý: + Chọn hệ véctơ sở: Là véctơ không đồng phẳng (ưu tiên véctơ chung gốc, vng góc góc chúng xác định,biết độ dài) Từ tính tích vơ hướng véctơ sở dễ dàng 2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải số tốnvề khoảng cáchvà góc *BÀI TỐN Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mp (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) Phương pháp giải: + Chọn hệ véctơ sở: Là véctơ không đồng phẳng (ưu tiên véctơ chung gốc, vng góc góc chúng xác định,biết độ dài) uuur r uuur r   Chẳng hạn :Đặt AB = a, AC = b , AM = c Gọi N hình chiếu M lên (ABC)      ( k a + lb − c ) a =        Khi : MN = AN − AM = ka + lb − c Do MN ⊥ ( ABC ) nên      (ka + lb − c )b =     Khi tìm k,l ta có khoảng cách từ M đến (ABC) MN = (ka + lb − c ) Ví dụ 1: (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014) · B = SAC · Cho khối chóp S ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a, AS = 900 , · BSC = 1200 Gọi M, N đoạn SB SC cho SM = SN = 2a a,Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a b,Chứng minh tam giác AMN vuông Hướng dẫn,phân tíchcâu a: +Các góc phẳng đỉnh S biết tính được, SA,SB,SC có độ dài cho trước uur r uur r uuu r r nên chọn hệ véctơ sở là: SA = a, SB = b, SC = c tích vơ hướng độ dài véctơ tính dễ dàng +Muốn giải phương pháp véc tơ cần phải biểu diễn giả thiết, kết luận tốn theo ngơn ngữ véctơ: Gọi H hình chiếu C mặt phẳng (SAB) uuur uur uur r r Vì H điểm thuộc mp(SAB) nên SH = k SA + lSB = ka + lb uuur uuur uuu r r r r ⇒ CH = SH − SC = ka + lb − c Mặt khác H hình chiếu C mặt phẳng (SAB) nên ta có:     SA ⊥ CH SA.CH = ⇔     SB ⊥ CH SB.CH = S r b Từ tính k,l suy độ dài CH Bài giải: Trong tam giác vng SAC ta có: SA · · cos ASC = = ⇒ ASC = 600 SC uur r uur r uuu r r Đặt SA = a, SB = b, SC = c r2 r2 r2 Ta có: a = 4a , b = 9a , c = 16a rr rr rr a.b = 0, b.c = −6a , a.c = 4a r c r a N M B a,Gọi H hình chiếu C mp (SAB) uuur uur uur r r uuur uuur uuu r r r r SH = k SA + lSB = ka + lb ⇒ CH = SH − SC = ka + lb − c C A uur uuur 2 k =  SA.CH =  k 4a + l.0 − 4a =  ⇒ ⇔  uur uuur 2 l = −  SB.CH =  k + l.9a − ( −6a ) = uuur r r r ⇒ CH = a − b − c uuur 2 ⇒ CH = 4a + 9a + 16a − .0 − 2.4a + ( −6a ) = 8a ⇒ CH = 2a 3 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) CH = 2a uuur r uuu r 1r b, Ta có SM = b, SN = c uuuu r uuur uur r 2r Suy AM = SM − SA = −a + b , uuur uuu r uur r 1r AN = SN − SA = − a + c uuuu r uuur 1 Từ đó: AM AN = 4a + − 4a + ( −6a ) = 2 Vậy AM ⊥ AN , tức tam giác AMN vng A Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007) · · Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang Góc ABC = BAD = 900 , BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn,phân tích: Các góc phẳng A biết 90 o ,AB,AD, SA có độ dài cho trước nên uuu r r uuur r uur r chọn hệ véctơ sở là: AB = a, AD = b, AS = c tích vơ hướng độ dài S véctơ tính dễ dàng Bài ugiải: r uu r r uuur r uur r c Đặt AB = a, AD = b, AS = c rr rr rr Ta có: a.b = b.c = c.a = uur r r uuu r r r r uuu r r r SB = a − c, SC = a + b − c, SD = b − c r b H r a Gọi K hình chiếu H mp (SCD) ⇒ d ( H ;( SCD )) = HK Dễ dàng tính SH = SB Khi : B D A C uuur uuu r uuu r uuu r uuu r  2r k r  2 uur r HK = HS + SK = − SB + k SC + l SD =  k − ÷a +  + l ÷b +  − k − l ÷c 3  2  3   r2  k  r2    r2 uuur uuu r k − ÷a +  + l ÷b −  − k − l ÷c = k =    HK ×SC =  3 22  3   ⇒ Ta có:  uuur uuur ⇒  r r l = −  HK ×SD =  k + l  b2 −  − k − l  c =  ÷  ÷    3  uuur r r r  r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HK = a + b + c  ÷ = 12 6   a Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài giải:uuu r r uuu r r uuur r S a) Đặt AS = a, AB = b, AD = c r2 r2 r2 rr rr rr Ta có: a = 3a , b = c = a a.b = b.c = c.a = uuur uuu r uuur r r Khi đó: AC = AB + AD = b + c , uur uuu r uur r r uuur r r SB = AB − AS = −a + b, BC = c , c uuu r uuur uur r 1r 1r SO = AO − AS = −a + b + c 2 G Huuthuộc mặt phẳng (SBC) ur uur uuur r r r SH = k SB + l BC = −ka + kb + lc r  uuur uuur uuu r 1r  1r = − k a + k − ( ) OH = SH − SO  ÷b +  l − ÷c 2   2 D C r b O A r a B Nếu H hình chiếu O mặt phẳng (SBC) ta có:  1   uuur uur − ( − k ) 3a +  k − ÷.a = k=  OH SB =      ⇔ ⇔  uuur uuur OH BC =  l −  a = l =  ÷    uuur r r uuur 3a a ⇒ OH = a + b ⇒ OH = ⇒ OH = 8 16 uuur uur uuu r 1r 1r b) Gọi G trọng tâm tam giác SAB ⇒ AG = AS + AB = a + b 3 uuur uur uuur uuu r uuu r uuur r r r K thuộc mặt phẳng (SAC) ⇒ AK = m AS + n AC = m AS + n AB + AD = ma + nb + nc ( uuur uuur uuur  r 1r  1r Suy ra: GK = AK − AG =  m − ÷a +  n − ÷b + nc 3    ) ( )  Nếu K hình chiếu G mặt phẳng (SAC) ta có:  1  uuu r uuur m=  m − ÷.3a =  AS GK =     ⇒ ⇔  uuur uuur  AC.GK =  n −  a + na = n =  ÷   3 uuur r r uuur 1 1 2a a ⇒ GK = Khi GK = − b + c ⇒ GK = a + a − .0 = 6 36 36 36 Vậy khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) GK = a Ví dụ :Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4.Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) hình chóp Bài giải: Chọn hệ véc tơ sở S {       SA = a; SB = b ; SD = c } Đặt ϕ góc phẳng đỉnh hình chóp N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳnguBD uuur uuur uuur uur uuur r r r D C A N AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c Do AN ⊥ DB B uuur uuur r r r r r ⇒ AN DB = ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = ( ) ⇔ (17 x − 1) − 8( x + 1)cosϕ = (1) uuur Mặt khác: AN = ⇔ AN = ⇔ 17 x − x + 13 − 8( x + 1) cos ϕ = (2) Từ (1) (2) ta x = Vì : cosϕ = 55 64 Gọi O hình chiếu S (ABC) Vì O trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uur uur uuu r r r r SO = SA + SB + SC = a + b + 4c 3 uuu r r r r 1 ⇒ SO = a + b + 4c = 48 + 96cosϕ = 58 (Nếu muốn tính cạnh đáy ta có 3 uuur r r AB = b − a = 58 Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABC) hình chóp ( ) ( ( ) ) Bài tập tương tự: Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 10 · SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc ·BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC , SB = SD = a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) * BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách góc hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 Đường thẳng d1 qua A1, có véctơ → → phương u1 Cho đường thẳng d2 qua A2, có véctơ phương u Tính khoảng cách góc d1, d2 Phương pháp giải: * Tính khoảng cách d1 d2 Gọi P1P2 đoạn vuông góc chung d1 d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) → → → → → → → P1 P2 = P1 A1 + A1 A2 + A2 P2 = x u1 + A1 A2 + yu → → → → → → ( x u→ + A→A + yu ) u1 = 1 2 P1 P2 ⊥ u1 P1 P2 ⊥ u → → ( x u→ + A→A + yu ) u2 = 1 2 Giải hệ tìm x, y → P1P2= ( x u→ + A→A + yu→ ) 1 2 → → * Tính góc d1 d2 : cần dựa vào biểu diễn u1 , u theo hệ véctơ sở → → → → ta tính u1 u2 , u1 , u Từ đó: → → → → u1 u Cos ϕ = u1 u Bình luận: +Nếu tốn u cầu dựng đoạn vng góc chung d d2 với x,y ta tìm P1, P2 dựa vào hệ thức : → → P1 A1 = x u1 → → A2 P2 = y u +Tính góc hai đường thẳng chéo theo cách ngắn gọn cách xác định góc hình tính hệ thức lượng tam giác với toán cho nhiều đại lượng độ dài a, b,h … 11 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BD ⊥ BC, AB ⊥ (BCD) AB=1, BC=BD, CD= 2 Gọi M,N trung điểm BC CD Tính khoảng cách góc AM BN Hướng dẫn,phân tích: *Các góc phẳng đỉnh B biết 90 o , BA,BC,BD có độ dài cho trước → → → → → → nên chọn hệ véc tơ sở là: BC = a , BD = b , BA = c tích vơ hướng độ dài véctơ tính dễ dàng    a.b = b c = a.c = , A    a.a = b b = , c = Muốn giải phương pháp véc tơ E cần phải biểu diễn giả thiết kết luận toán theo ngôn ngữ véctơ: D B Gọi EF đường vuông góc chung (E∈ AM, F∈ BN) AM BN F M N C + M trung điểm BC + N trung điểm CD → => BM = BC → → → => BN = ( BC + BD) → +E ∈ AM → → => ∃x để AE = x AM → → => ∃y để BF = y BN +F ∈ BN → + EF ⊥ AM → => EF AM = → → => EF BN = + EF ⊥ BN → → + Độ dài EF: EF = EF → + Góc AM BN : → AM BN Cos(AM,BN)= AM BN Bài giải → → → *Chọn hệ véc tơ sở { BC; BD; BA } → → → → → → Đặt: BC = a , BD = b , BA = c +Tính tích vơ hướng véc tơ sở    a.b = b c = a.c = ,    a.a = b b = , c = *Ta có: → → → AM = BM − BA = 1  a −c véc tơ phương AM 12 → →  1→ ( BC + BD ) = a + b 2 → BN = véc tơ phương BN Gọi EF đường vng góc chung AM BN → →  → xa − x c → → →  ya + y b AE = x AM = BF = y BN = (E ∈ AM, F ∈ BN) → → → →  →  EF = EA+ AB + BF = ( y − x)a + y b + ( x − 1)c 2 →  →  1  [ ( y − x)a + y b + ( x − 1)c ][ a − c ] = 2 → EF AM = → →  →  1 1 [ ( y − x)a + y b + ( x − 1)c ][ a + b ] = 2 2 x= EF BN = y − 2x + = => => 2y − x = y=  1→ 1 6 → => EF = − a + b − c → → → EF = EF = (− a + b − c) = 6 3 Từ ta có: * AM BN = ( a − c)( a + b ) = a2 = = → → → 2 4 ⇒ Cos ( AM , BN ) = mà AM = , BN = 1 = 2 3 => EF = khoảng cách AM BN 3 Cos ( AM , BN ) = => ( AM , BN ) = 600 → Kết luận: EF = Nhận xét: BT yêu cầu dựng đường vuông góc chung ta xác định → → → → E,F AE = AM BF = BN Ví dụ :Đáy hình chóp SABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài Gọi M, N trung điểm cạnh BC AB Tính khoảng cách góc SM CN 13 Bài giải: → → S → * Chọn hệ véc tơ sở { CA; CB; CS } → → → → → → Đặt: CA = a , CB = b , CS = c (Tính tích vơ hướng-Xem bảng bên) Ta có : P → → SM = CM − CS = (b − 2c) → → → C A CN = ( a + b) → → → Q N M B * Tính khoảng cách SM CN Gọi PQ đoạn vng góc chung SM CN (P∈ SM, Q∈ NC) → → → → → → → PQ = PS + SC + CQ = xSM + SC + y CN → → → → →  = x (b − c)− c + y ((a + b) = 1[ ya +( x + y ) b − (2 x + 2)c] 2 → → → → PQ ⊥ SM PQ ⊥ CN → → PQ SM = → → PQ CN = → →   → [ ya +( x + y ) b − (2 x + 2)c ] (b − c) = 2 ⇒ →    → [ ya +( x + y ) b − (2 x + 2)c ] (a + b ) = 2 x= − →  => PQ = ( a − b − 2c) y= PQ = x + y = −1 x + 2y =   2 ( a − b − 2c ) = * Tính góc SM CN Cos(SM,SN)= SM CN SM CN = 12 = 2 => (SM,CN)=450 Kết luận:Khoảng cách SM CN Góc SM CN 450 14 Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD SABE có chung cạnh AB nằm mặt phẳng vng góc với Biết AB=a Tính khoảng cách góc AC SD S E Bài giải: → → → Chọn hệ véc tơ sở { AB; AD; AS } → → → → → → Đặt: AB = a , AD = b , AS = c A    Ta có: a = b = c = a    a.b = b c = c a = J I * Gọi IJ đường vng góc chung AC SD (I ∈ AC, J ∈ SD) → → → → → → B D C → IJ = IA+ AS + SJ = x CA+ AS + y SD → → →   Mặt khác: CA = CB + BA = − a − b → → →   SD = − AS + AD = −c + b →         IJ = − x(a + b ) + c + y (−c + b ) = − xa + ( y − x)b − ( y − 1)c IJ ⊥ AC IJ ⊥ SD → → → → IJ AC = IJ SD = Thay vào ta hệ phương trình: y − 2x = => − xa + ( y − x )a = ( y − x) a + ( y − 1)a = y= x= y − x −1 = => → → 1 1 1 1 1 IJ = − a + b + c => IJ = a + a + a = a 3 9 a → Khoảng cách AC SD là: IJ = * Tính góc (AC,SD) → →      AC SD = (a + b )(b − c ) = b = a AC = a = SD Cos ( AC , SD) = AC.SD AC.SD = a2 = a a 2 = >( AC , SD ) = 600 15 a Kết luận: Khoảng cách AC SD Góc AC SD 600 Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC, đáy ABC tam giác vng C, CA=a, CB=b, SA=h vng góc với đáy Gọi D trung điểm AB a, Tính góc φ AC SD b, Tính khoảng cách AC SD Bài giải → → → → → → → → → * Chọn hệ véc tơ sở { AS ; CA; CB } Đặt: AS = h , CA = a , CB = b  S   Ta có: h = h , a = a, b = b    h a = a.b = b h = M A    DS = AS − AD = h − (b − a ) → → → D B N → → →   BA = (CA− CB ) = (a − b ) 2 → → 1 1  a, Ta có: DS CA = a ( a − b + h ) = a 2 → DA = C a a = = Cosϕ =   DS CA 1 a + b + 4h a ( a − b + h )2 2 DS CA b, Gọi MN đường vng góc chung SD AC → → → → → → → MN = MD + DA+ AN = x DS + DA+ y CA Theo giả thiết => MN ⊥ SD MN ⊥ AC Từ ta có hệ phương trình: Giải hệ ta được: → 2    => MN = ( x + + y )a + (− x − )b + xh → → MN SD = → → MN AC = b ( x + 1) + xh = x + 2y +1 = − b2 b + 4h − 2h y= b + 4h x= 16 →  4h − b2  MN = − ( ) b + h => b + 4h b + 4h → MN = bh 4h + b 4 h b + b h = b + 4h b + 4h 2 Kết luận: Khoảng cách AC SD là: bh 24h + 2b b + 4h Góc φ AC SD thỏa mãn: Cosϕ = a a + b + 4h 2 Nhận xét: Do toán cho ba đại lượng a,b,h nên tính góc SD AC theo cách đỡ phải tính tốn xác định góc hình vẽ dùng hệ thức lượng tam giác Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách góc BC’ CD’ Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có BC=a, AC=b, AA’=h Tính khoảng cách góc AB1 BC1 Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A1B1C1, cạnh đáy a Các đỉnh M N tứ diện MNPQ nằm BC1 đỉnh P Q nằm A1C a, Tìm đường cao lăng trụ b, Tính khoảng cách BC1 A1C Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD M trung điểm AD, O trọng tâm tam giác ABC, N K trung điểm AB, CD Tính khoảng cách góc MO KN 2.4.Hiệu SKKN: Trong năm học từ 2013-2014 đến 2014-2015 ,tôi tiến hành thực nghiệm sáng kiến vào buổi sinh hoạt chuyên đề đồng nghiệp đánh giá tương đối tốt Liên tục năm học từ 2015-2016 đến 2018-2019 thực nghiệm với học sinh tiết dạy tự chọn Sau áp dụng phương pháp véctơ vào giảng dạy số lớp thu kết tương đối khả quan Với số tốn mà em khơng xác định khoảng cách góc hai đường thẳng chéo nhau, áp dụng phương pháp véctơ em giải Thậm chí số em cảm thấy thích thú với phương pháp hơn.Cụ thể: Lớp 11A5 11A4 năm học 2015-2016 Lớp 11A3và 11A9 năm học 2016-2017 Lớp12A2;và 11A2 năm học 2017-2018 17 Lớp11A8và 11A2 năm học 2018-2019 * Trước dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với tập kiểm tra sau: Bài 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc ·BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC , SB = SD = a Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) Bài 2: Cho hình tứ diện ABCD M trung điểm AD, O trọng tâm tam giác ABC, N K trung điểm AB, CD Tính khoảng cách góc MO KN Tỉ lệ học sinh giải 12-15% Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh khơng làm 50-62% 23-38% *Sau rèn luyện cho học sinh phương pháp véctơ tập kết thay đổi rõ rệt sau: Tỉ lệ học sinh giải 72-76% Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh không làm 1bài 90-96% 3-5% 3.KẾT LUẬN -KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận: -Do thời lượng bài: “Khoảng cách” phân phối chương trình hạn hẹp( tiết), để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thời gian chủ yếu bố trí vào tiết tự chọn học sinh lớp 11, lớp 12 bố trí dạy vào buổi ơn tập -Sau áp dụng nội dung SKKN lớp định hướng cho học sinh giải số toán khác phương pháp véctơ 3.2.Kiến nghị-đề xuất: -Phương pháp véctơ thực tế có nhiều ứng dụng lớn giải nhiều dạng tốn khác nên mong muốn sau học thêm nội dung học sinh thấy hứng thú với phương pháp véctơ q trình giải tốn -Mặc dù đề tài nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm vận dụng giảng dạy nhiều năm, giúp điều bổ ích cho học sinh học 18 tập tốt Tuy nhiên để đề tài hồn chỉnh chắn phải tiếp tục hồn thiện, bổ xung thêm Vậy tơi mong góp ý chân tình em học sinh bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hà Thị Nguyệt 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.SGK,SBT,SGV hình học nâng cao 11 2.SGK,SBT ,SGVhình học 11 3."Các tốn hình khơng gian giải phương pháp véc tơ"-Đặng Khắc Nhân-Lê Đỗ Lập,NXBGD 1994 4."Quy trình giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ"Nguyễn Văn Lộc NXBGD 1994 5."Hình học 11-Ban KHTN-KT"-Văn Như Cương,Phạm Gia Đức, Vũ Dương Thụy-NXBGD 1995 6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học trường THPT,của sở GD-ĐT nước Các đề thi Đại học Bộ giáo dục đào tạo 20 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Hoàn TT Tên đề tài SKKN Phương pháp thể tích giải số tốn hình học Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) SỞ GD&ĐT C 2009-2010 Thanh hóa khơng gian 21 ... 2.3.3.1- Quy trình giải tốn hình học phương pháp véctơ 2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải số tốn khoảng cách góc *BÀI TỐN Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng *BÀI TỐN Tính khoảng cách góc hai đường... :" Hướng dẫn học sinh giải số tốnhình học khơng gian khoảng cách góc phương pháp véctơ” 2.3 Nội dung SKKN giải pháp 2.3.1-Các giải pháp thực hiện: Khi giảng dạy lớp, ngồi phương pháp tính khoảng. .. cách -góc giải phương pháp hình học túy đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ hình để tìm khoảng cách -góc cần tính Nhưng lại điểm yếu phận không nhỏ học sinh -Phương pháp véctơ giải số