Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp

Bản thân các bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp cũng đa dạng.. Có nhiềubài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự tư duy thìmới giải quy

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG HÀM SỐ MŨ, HÀM

SỐ LÔGARIT LÀM NHANH BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Đỗ Thị Mai

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TOÁN XÉT

CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP

Người thực hiện: Đỗ Thị Mai Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán.

THANH HOÁ NĂM 2020

Mục lục

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung nghiên cứu 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng 2

2.2.1 Thực trạng trước khi nghiên cứu 2

2.2.2 Hệ quả của thực trạng trên 2

2.3 Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp 3

2.3.1.1 Dạng 1: Cho bảng xét dấu của hàm số f x( ) Tìm chiều biến thiên của hàm số [ ( )] yf u x 3

2.3.1.2 Dạng 2: Cho đồ thị của hàm số f x'( ) Tìm chiều biến thiên của hàm số ( ) [ ( )] g x f u x 5

2.3.1.3 Dạng 3: Cho đồ thị của hàm số y f x( ).Tìm chiều biến thiên của hàm số ( ) [ ( )] g x f u x 9

2.3.2 Xét chiều biến thiên của hàm tổng của các hàm số 12

2.3.2.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất tổng của hai hàm số đơn điệu trên khoảng K là một hàm số đơn điệu trên K 12

2.3.2.2 Dạng 2: Sử dụng đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số tổng hai hàm số 14

2.3.3 Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải: 17

3 Kết luận và đề xuất 19

3.1 Kết quả 19

3.2 Kết luận 19

3.3 Kiến nghị 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạođức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cánhân, tính năng động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đivào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc

Với sự đổi mới trong kỳ thi tốt nghiệp hiện nay phục vụ cho xét tốt nghiệp vàxét tuyển vào các trường cao đẳng và đại học trên cả nước Đề thi môn Toánnăm nay chỉ tập trung vào chương trình lớp 12 và trong đề thi hướng đến sự tưduy nhanh của học sinh thay vì nặng về tính toán giống trong các đề tự luận Đềthi gồm 50 câu trắc nghiệm có tính phân hóa cao Trong khoảng thời gian 90phút làm bài các em phải tính nhanh ra đáp số chính xác.Để làm bài được điểmcao thì các em phải có kỹ năng thành thạo, tư duy nhanh Đặc biệt là những câucuối thường yêu cầu học sinh xét chiều biến thiên, tìm số điểm cực trị của hàmhợp

Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh lớp

12 của trường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầuvào môn toán thấp Khi gặp các bài toán về tìm chiều biến thiên của hàm hợpcác em rất sợ và thường bỏ qua không làm

Bản thân các bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp cũng đa dạng Có nhiềubài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tốt, và phải có sự tư duy thìmới giải quyết được.Với khoảng thời gian ngắn các em muốn giải quyết đượcbài toán tìm chiều biến thiên của hàm hợp yêu cầu các em phải được rèn luyệnnhiều các dạng bài tập này

Để giúp các em đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp tôi xin được giới thiệusáng kiến kinh nghiệm" Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biếnthiên của hàm hợp ” Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em giải nhanh đượcdạng toán cơ bản đó là bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp, thấy được vẽđẹp của đồ thị trong các bài toán

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết nhanh được các bài toán vềxét chiều biến thiên của hàm hợp Giúp cho các em đạt điểm cao trong kỳ thi tốtnghệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán về xét chiều biếnthiên của hàm hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiềuphương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản,thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn họcthuộc lĩnh vực Toán

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Cơ sở lý luận

- Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Hàm số f x đồng biến trên   K khi và chỉ khi

- Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số f x có đạo hàm trên   K

Nếu f x  0 với mọi x thuộc K thì f x đồng biến trên   K

Nếu f x  0 với mọi x thuộc K thì f x nghịch biến trên   K

Nếu f x  0 với mọi x thuộc K thì f x không đổi trên   K

2.2 Thực trạng

2.2.1 Thực trạng trước khi nghiên cứu

Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 12 ở trường tôi.Tôi nhận thấy một sốvấn đề nổi cộm như sau:

Trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 các bài toán xét chiều biến thiên của hàmhợp không có do đó học sinh rất lúng túng trong việc tìm chiều biến thiên củahàm hợp

Trường tôi lại là một trường non trẻ mới thành lập năm 2001 nên điểm đầu vàocủa học sinh còn thấp Số lượng học sinh trung bình chiếm hơn 60%,và chủ yếuhọc sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em còn nhiều hạn chế do đó khi gặp cácbài toán tìm chiều biến thiên của hàm hợp các em thường không có định hướngphải giải bài toán như thế nào?

Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 12A4; 12A5 tôithấy học sinh thường không làm mà bỏ qua các bài toán tìm chiều biến thiên củahàm hợp Vì thế điểm kiểm tra thường thấp chưa cao Cụ thể bài kiểm tra lớp12A5 trước khi tôi chưa đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải nhanh bàitoán xét chiều biến thiên của hàm hợp ” kết quả đạt được như sau:

Lớp 12A5: ( Tổng số HS: 42)

2.2.2 Hệ quả của thực trạng trên

Chính vì vậy mà học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúng túngkhi gặp các bài toán tìm chiều biến thiên của hàm hợp

Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân Tôi viết sángkiến kinh nghiệm này để giúp các em có thể làm nhanh và tốt bài toán tìm chiều

biến thiên của hàm hợp Tôi mong muốn giúp các em làm tốt bài thi tốt nghiệp,bồi dưỡng cho các em lòng say mê, yêu thích môn Toán

2.3 Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp

Cho hàm số yf x( ).Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

[ ( )]

y f u x

Hướng dẫn giải

Ta có yu x f u x    

Để hàm số đồng biến trên K thì y0, x K  u x f u x( ) [ ( )] 0,   x K

Để hàm số nghịch biến trên K thì y0, x K  u x f u x( ) [ ( )] 0,   x K

2.3.1.1 Dạng 1: Cho bảng xét dấu của hàm số ( )f x Tìm chiều biến thiên của hàm số yf u x[ ( )]

Hướng dẫn giải Cách 1:

Sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để kết luận

Cách 2:

Bước 1: Tính yu x f u( ) ( )

Bước 2: - Để hàm số đồng biến thì

( ) 0( ) 0

0 ( ) [ ( )] 0

( ) 0( ) 0

0 ( ) [ ( )] 0

( ) 0( ) 0

Nhận xét: Khó khăn đối với học sinh trong bài này là lập bảng xét dấu của hàm

số g x'( ) Để xét dấu của g x'( ), trên mỗi khoảng ta lấy một giá trị x thay vào0được g x ,dấu của số này là dấu của '( )0 g x'( )trên khoảng đó.

Ví dụ: Trên khoảng ( ;0) ta lấy x 1 thay vào g x'( ) ta được

g x  x f

2 2

2

2

00

+

3 2

g x  x f

Để hàm số nghịch biến thì

2 2

3'( ) 0

2g'(x) 0 2 '( ) 0 '( ) 0

0

0'( ) 0

0

33

x x

x x

x x

Nhận xét: Ta thấy đối với những bài hàm hợp phức tạp cách 1 giải trở nên gọn

nhẹ hơn Cách giải 2 khá cồng kềnh và dễ sai sót

2.3.1.2 Dạng 2: Cho đồ thị của hàm số f x'( ) Tìm chiều biến thiên của hàm số g x( )f u x[ ( )].

Hướng dẫn giải

Bước 1: Từ đồ thị của hàm số f x'( )ta có bảng xét dấu của f x'( )

Bước 2: Tính g'(x)u x f u'( ) '( )

Bước 4: Lập bảng xét dấu của hàm số g'(x)u x f u'( ) '( )

Để xét dấu của g x'( ) ta căn cứ vào dấu của u x'( ) và f '(u)

Sau đó căn cứ vào bảng xét dấu của g x'( ) để kết luận

Bài 1 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên R Hàm số f x'( ) có đồ thị nhưhình vẽ:

x y

-6

3 2 1

6 0

-5 0

++

2 0

f x  ;đồ thị nằm dưới trục hoành thì f x '( ) 0

Bài 2 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên R Hàm số f x'( ) có đồ thị nhưhình vẽ:

Xét hàm số g x( )f x( 2  2) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x( ) đồng biến trên 2; 

B Hàm số g x( ) nghịch biến trên 1;0

C Hàm số g x( ) nghịch biến trên 0;2 

D Hàm số g x( ) nghịch biến trên   ; 2

-1

+ +

2 0

-1 -2

g '(x)

x

Vậy mệnh đề sai là B

Bài 4: Cho hàm số bậc ba yf x , hàm số

Bước 4: Lập bảng xét dấu của hàm số g'(x)u x f u'( ) '( )

Để xét dấu của g x  ta căn cứ vào dấu của u x'( ) và f '(u)

Sau đó căn cứ vào bảng xét dấu của g x'( ) để kết luận

Bài 1 Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ:

dấu của f x'( ) ta dựa vào đồ thị đi lên từ trái sang phải thì f x '( ) 0;đồ thị đixuống từ trái sang phải thì f x '( ) 0.

Bài 2 Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ:

-1 -2

g '(x)

x

-Vậy hàm số g x( ) đồng biến trên các khoảng 2; 3,1;0 , 1; 3 và

2; 

2.3.2 Xét chiều biến thiên của hàm tổng của các hàm số.

2.3.2.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất tổng của hai hàm số đơn điệu trên

khoảng K là một hàm số đơn điệu trên K.

Bài toán: Cho hai hàm số f x( );g( )x

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( )g x( )

Phương pháp giải

' '( ) '( )

y f x g x

Để hàm số đồng biến thì ' 0y   f x'( )g x'( )>0

Để hàm số nghịch biến thì ' 0y   f x'( )g x'( )<0

Nhận xét: Để làm được dạng này người ta hay sử dụng tính chất của bất đẳng

f x và h( )x đều đồng biến.

Vậy chọn đáp án B

Bài 2 Cho hàm số yf x'( )có bảng xét dấu như sau:

Ta thấy với x (0;1)thì hai hàm số f x( ) và h( )x đều nghịch biến.

Vậy chọn đáp án C

Bài 3: Cho hàm số f x có đồ thị hàm số   f x như hình vẽ.' 

4

1'( ) sinx ' cos 1

2.3.2.2 Dạng 2: Sử dụng đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số tổng hai hàm số

Bài toán: Cho đồ thị của hai hàm số f x'( )

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( )g x( )

Bài 1 Cho hàm số yf x  có đồ thị f x 

như hình vẽ Hàm số

Để hàm số nghịch biến thì  f t'( ) t 0   f t'( ) t

Suy ra đồ thị hàm số yf t'( ) nằm trên đường thẳng yt

Bài 2 ( Đề minh họaTHPQG lần 1 năm 2020) Cho hàm số ( )f x Hàm số

Vậy hàm số g x( )f(1 2 ) x x2  x nghịch biến trên các khoảng 1 3;

2 2

  và3

Vậy chọn đáp án A

Bài 3 ( Đề thi THPTQG năm 2018) Cho hai hàm số y f x , y g x   Haihàm số yf x  và y g x   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong

đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x  

2.3.3 Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải:

Câu 1: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Câu 3 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( ) ( x2  1)(x2  x 2) Hỏi hàmsố g x( ) f x x(  2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

Câu 4 Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y 3 (f x2) x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

+∞

+∞

3 -2

-∞

f(x)

f '(x) x

Do đó các em đã thích thú khi làm các bài toán tìm chiều biến thiên của hàmhợp Các em đã nhớ được các dạng bài tập của bài toán tìm chiều biến thiên củahàm hợp, nhớ được các công thức áp dụng cho các dạng đó Các em biết pháttriển một bài toán thành nhiều bài toán khác Các em không còn sợ các bài toántìm chiều biến thiên của hàm hợp nữa.

Kết quả điểm kiểm tra hết phần học như sau:

3.3 Kiến nghị

Đối với giáo viên: Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của

học sinh

- Cần có sự học hỏi, tìm tòi thông qua sách báo, mạng internet để đáp ứng được

sự thay đổi của cách thi mới như hiện nay

Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về các

chuyên đề khó trong thi đại học, tạo ra những bộ giáo án phù hợp với học sinhcủa trường mình giúp các em đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc Gia

- Nên tổ chức các kỳ thi khảo sát chất lượng lớp 12 để nắm được năng lực củacác em để có cách dạy phù hợp giúp các em tiến bộ hơn

Đối với sở giáo dục

Cần duy trì các lần thi khảo sát lớp 12 để đánh giá được đúng năng lực của họcsinh giúp giáo viên dạy điều chỉnh cách dạy học phù hợp với đối tượng học sinhcủa mình

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 17 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Đỗ Thị Mai

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải Tích 12 –Trần Văn Hạo- Nhà xuất bản giáo dục, 2007

2 Đề minh họa của bộ năm 2018,2019,2020

3 Chinh phục đề Thi THPT Quốc Gia Toán học qua bộ đề thi thử 4 trong 1- HồXuân Trọng, Hứa Lâm Phong- Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2017

4 Các đề thi thử trên mạng: dethi.violet.vn

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD & ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN

XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN.

Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Mai

Chức vụ và đơn vị công tác: THPT Đặng Thai Mai

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Những sai lầm của học sinh

khi giải bất phương trình vô

tỷ

Hội đồngkhoa họccấp Ngành

2. Hướng dẫn học sinh phát

hiện nhanh cách giải

phương trình lượng giác

Hội đồngkhoa họccấp Ngành

3. Hướng dẫn học sinh áp

dụng hàm số mũ,hàm số

logarit giải nhanh bài toán

ứng thực tế

Hội đồngkhoa họccấp Ngành