Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biến thiên của hàm hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TOÁN XÉT HƯỚNGCHIỀU DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG HÀMHỢP SỐ MŨ, HÀM BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ LƠGARIT LÀM NHANH BÀI TỐN THỰC TẾ thực Người thực hiện:Người Đỗ Thị Maihiện: Đỗ Thị Mai Chức vụ: Giáo viên Chức vụ: Giáo viên thuộc lĩnh vực: Tốn SKKN thuộc lĩnhSKKN vực: Tốn THANH HỐ NĂM 2020 Mục lục 1.1 Lý chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu .1 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng 2.2.1 Thực trạng trước nghiên cứu .2 2.2.2 Hệ thực trạng .2 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp 2.3.1.1 Dạng 1: Cho bảng xét dấu hàm số f� ( x) Tìm chiều biến thiên hàm sớ y  f [u ( x )] .3 2.3.1.2 Dạng 2: Cho đồ thị hàm sớ f '( x) Tìm chiều biến thiên hàm số g ( x)  f [u ( x)] .5 2.3.1.3 Dạng 3: Cho đồ thị hàm số y  f ( x) Tìm chiều biến thiên hàm sớ g ( x)  f [u ( x)] .9 2.3.2 Xét chiều biến thiên hàm tổng các hàm số 12 2.3.2.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất tổng hai hàm số đơn điệu khoảng K là hàm số đơn điệu K 12 2.3.2.2 Dạng 2: Sử dụng đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu hàm số tổng hai hàm số 14 2.3.3 Bài tập áp dụng khơng có hướng dẫn giải: 17 Kết luận và đề xuất .19 3.1 Kết 19 3.2 Kết luận 19 3.3 Kiến nghị .19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động và sáng tạo, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc Với đổi kỳ thi tốt nghiệp phục vụ cho xét tốt nghiệp và xét tuyển vào các trường cao đẳng và đại học nước Đề thi môn Toán năm tập trung vào chương trình lớp 12 và đề thi hướng đến tư nhanh học sinh thay nặng về tính toán giống các đề tự luận Đề thi gồm 50 câu trắc nghiệm có tính phân hóa cao Trong khoảng thời gian 90 phút làm bài các em phải tính nhanh đáp số chính xác.Để làm bài được điểm cao các em phải có kỹ thành thạo, tư nhanh Đặc biệt là câu cuối thường yêu cầu học sinh xét chiều biến thiên, tìm sớ điểm cực trị hàm hợp Trong thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh lớp 12 trường số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao, điểm đầu vào mơn toán thấp Khi gặp các bài toán về tìm chiều biến thiên hàm hợp các em sợ và thường bỏ qua không làm Bản thân các bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp đa dạng Có nhiều bài toán địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp tớt, và phải có tư giải được.Với khoảng thời gian ngắn các em muốn giải được bài toán tìm chiều biến thiên hàm hợp yêu cầu các em phải được rèn luyện nhiều các dạng bài tập này Để giúp các em đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp xin được giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm" Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp ” Sáng kiến kinh nghiệm này giúp các em giải nhanh được dạng toán là bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp, thấy được vẽ đẹp đồ thị các bài toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải nhanh được các bài toán về xét chiều biến thiên hàm hợp Giúp cho các em đạt điểm cao kỳ thi tốt nghệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có đới tượng nghiên cứu là các bài toán về xét chiều biến thiên hàm hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận - Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số f  x  đồng biến K và x1 , x2 �K , x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f  x  nghịch biến K và x1 , x2 �K , x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 ) - Tính đơn điệu và dấu đạo hàm Định lý: Cho hàm sớ f  x  có đạo hàm K  x   với mọi x thuộc K f  x  đồng biến K Nếu f �  x   với mọi x thuộc K f  x  nghịch biến K Nếu f �  x   với mọi x thuộc K f  x  không đổi K Nếu f � 2.2 Thực trạng 2.2.1 Thực trạng trước nghiên cứu Sau thời gian dạy học môn toán ở khối 12 ở trường tôi.Tôi nhận thấy số vấn đề cộm sau: Trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 các bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp khơng có học sinh lúng túng việc tìm chiều biến thiên hàm hợp Trường lại là trường non trẻ thành lập năm 2001 nên điểm đầu vào học sinh cịn thấp Sớ lượng học sinh trung bình chiếm 60%,và chủ yếu học sinh học ban bản.Tư các em cịn nhiều hạn chế gặp các bài toán tìm chiều biến thiên hàm hợp các em thường khơng có định hướng phải giải bài toán nào? Qua các bài kiểm tra định kì, kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 12A4; 12A5 thấy học sinh thường không làm mà bỏ qua các bài toán tìm chiều biến thiên hàm hợp Vì điểm kiểm tra thường thấp chưa cao Cụ thể bài kiểm tra lớp 12A5 trước chưa đưa sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp ” kết đạt được sau: Lớp 12A5: ( Tổng số HS: 42) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 9,5% 16 38,1% 14 33,3% 19,1% 2.2.2 Hệ thực trạng Chính vậy mà học sinh các lớp dạy ban đầu thường ''sợ'' và lúng túng gặp các bài toán tìm chiều biến thiên hàm hợp Với kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy thân Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em làm nhanh và tớt bài toán tìm chiều biến thiên hàm hợp Tơi mong muốn giúp các em làm tốt bài thi tốt nghiệp, bồi dưỡng cho các em lòng say mê, yêu thích môn Toán 2.3 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài toán xét chiều biến thiên hàm hợp Cho hàm số y  f ( x ) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f [u ( x )] Hướng dẫn giải  u� � u x �  x f � Ta có y� � �  0, x �K � u� ( x ) f � [u ( x )]  0, x �K Để hàm số đồng biến K y�  0, x �K � u� ( x ) f � [u ( x )]  0, x �K Để hàm số nghịch biến K y� ( x) Tìm chiều biến thiên 2.3.1.1 Dạng 1: Cho bảng xét dấu hàm số f � hàm số y  f [u ( x)] Hướng dẫn giải Cách 1:  u� ( x) f � (u ) Bước 1: Tính y� u� ( x)  �  � u� ( x) f � (u )  � � Bước 2: Tìm x để y� (u )  �f �  u� ( x) f � (u ) Bước 3: Lập bảng xét dấu hàm sớ y� Sau cứ vào bảng xét dấu để kết luận Cách 2:  u� ( x) f � (u ) Bước 1: Tính y� � ( x)  �u� � � (u )  �f �  � u� ( x) f � [u ( x)]  � � Bước 2: - Để hàm sớ đồng biến y� � ( x)  �u� � � (u )  �f � � � ( x)  �u� � � (u )  �f � � � � � y  � u ( x ) f [ u ( x )]  � - Để hàm sớ nghịch biến � ( x)  �u� � � (u )  � �f � Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm R Hàm sớ f '( x) có bảng xét dấu sau: Tìm khoảng đồng biến hàm sớ g ( x)  f (1  x) Lời giải Cách 1: g '( x)  3 f '(1  x)  3x  1 � 3 x  2 � g '( x)  � 3 f '(1  x)  � f '(1  3x)  � � �� �1  x  �3x  � x �� � �x  Bảng xét dấu g '( x) � 2� 0; � Vậy hàm số g ( x) đồng biến khoảng � � 3� Nhận xét: Khó khăn đới với học sinh bài này là lập bảng xét dấu hàm số g '( x) Để xét dấu g '( x) , khoảng ta lấy giá trị x0 thay vào được g '( x0 ) ,dấu số này là dấu g '( x) khoảng Ví dụ: Trên khoảng (�;0) ta lấy x  1 thay vào g '( x) ta được g '(1)  3 f '(4)  Vậy khoảng (�;0) g '( x)  Cách 2: g '( x)  3 f '(1  x) Để hàm sớ đồng biến g'(x)  � 3 f '(1  x)  � f '(1  x)  � 1   x  � 2  3 x  �0 x Vậy hàm số g ( x) đồng biến khoảng (0; ) Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm R Hàm sớ f '( x) có bảng xét dấu sau: Tìm khoảng nghịch biến hàm số g ( x)  f ( x ) Lời giải Cách 1: g '( x)  x f '(x ) �x  �x  x  � � �2 g '( x )  � x f '( x )  � � �� x�2 x 2� � � �f '( x )  � � � x2  x�3 � � � Bảng xét dấu g '( x) Vậy hàm số g ( x) nghịch biến các khoảng    �;   ,   2;0  và 2;0  và 2; Cách 2: g '( x)  x f '(x ) Để hàm sớ nghịch biến ��x  � x  � �� x 3 � � ��� f '( x )  � � x2  g'(x)  � x f '( x )  � x f '( x )  � � � �� � � � � � x0 � � � � x0 � �f '( x )  � � 2 x 3 � � �� x  �x �� �� x  � �� � ��� ��   x0 x  � � ��� � � �2  x  �2  x  Vậy hàm số g ( x) nghịch biến các khoảng    �;   ,   2; Nhận xét: Ta thấy đối với bài hàm hợp phức tạp cách giải trở nên gọn nhẹ Cách giải khá cồng kềnh và dễ sai sót 2.3.1.2 Dạng 2: Cho đồ thị hàm số f '( x) Tìm chiều biến thiên hàm sớ g ( x)  f [u ( x)] Hướng dẫn giải Bước 1: Từ đồ thị hàm số f '( x) ta có bảng xét dấu f '( x) Bước 2: Tính g'(x)  u '( x) f '(u ) u '( x)  � Bước 3: Tìm x để g'(x)  � u '( x ) f '(u )  � � �f '(u )  Để tìm được nghiệm x phương trình f '(u )  ta cứ vàohoành độ giao điểm đồ thị hàm số f '(u) với trục hoành Bước 4: Lập bảng xét dấu hàm số g'(x)  u '( x) f '(u ) Để xét dấu g '( x) ta cứ vào dấu u '( x) và f '(u) Sau cứ vào bảng xét dấu g '( x) để kết luận Bài Cho hàm sớ y  f ( x ) có đạo hàm R Hàm sớ f '( x) có đồ thị hình vẽ: Tìm khoảng đồng biến hàm số g ( x)  f ( x  3) Lời giải Từ đồ thị ta có bảng xét dấu f'( x) g '(x)  x.f'(x  3) �x  � x0 �x  �x  �2 �x   � x2  � x0 g'(x)  � � � �2 � �2 �� � � � x 3 x 5 x�5 �f '( x  3)  � �2 �2 x 33 x 6 � x�6 � � � Bảng xét dấu g '( x)     Vậy hàm số g ( x) đồng biến các khoảng  6;  ,  2;0  , 2; và   6;� Nhận xét: Để tìm nghiệm f '( x)  ta dựa vào hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành Ta thấy đồ thị cắt trục Ox ba điểm có hoành độ x  1; x  2; x  Về dấu f '( x) ta dựa vào đồ thị nằm trục hoành f '( x)  ;đồ thị nằm trục hoành f '( x)  Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm R Hàm sớ f '( x) có đồ thị hình vẽ: Tìm khoảng nghịch biến hàm sớ g ( x)  f (3  x) Lời giải Từ đồ thị ta có bảng xét dấu f'( x) g '( x)  4 f '(3  x) � �x   4x  � � g '( x)  � f '(3  x)  � �  x  � �x  � � � 4x  � x � � Bảng xét dấu g '( x) 1� � 1� � �;  �và � 0; � Vậy hàm số g ( x) nghịch biến các khoảng � 4� � 2� � Bài Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm R Đường cong hình vẽ ( x) , ( y  f � ( x) liên tục R ) là đồ thị hàm số y  f � Xét hàm số g ( x)  f ( x  2) Mệnh đề nào sai? A Hàm số g ( x) đồng biến  2;� B Hàm số g ( x) nghịch biến  1;0  C Hàm số g ( x) nghịch biến  0;2  D Hàm số g ( x) nghịch biến  �; 2  Lời giải Từ đồ thị ta có bảng xét dấu f'( x) g '( x)  xf '( x  2) � 2x  �x  g'(x)  � xf '( x  2)  � �x   � � x  �2 � � � x   1 � x  �1 � � Bảng xét dấu g '( x) Vậy mệnh đề sai là B Bài 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x  , hàm số y f�  x  có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm sớ g  x   f   x  x  nghịch biến khoảng nào đây? A  2; 1 B  1;2  C  1;0  �1 �  ;0 � D � �2 � Lời giải Từ đồ thị ta có bảng xét dấu f'( x) 2 Ta có: g  x   f   x  x  � g '  x     x  1 f '   x  x  1 � � x   x   � � 2 � � � 1  x  g '( x)  � � ��  x  x  � �x  �f '( x  x )  � �x  1  x  x2  � � � � Bảng xét dấu g '( x) Ta thấy  1;2  �(0; �) Do hàm sớ nghịch biến khoảng (0; �) nghịch biến  1;2  Chọn đáp án B 2.3.1.3 Dạng 3: Cho đồ thị hàm sớ y  f ( x ) Tìm chiều biến thiên hàm số g ( x)  f [u ( x)] Hướng dẫn giải Bước 1: Từ đồ thị hàm sớ f ( x) ta có bảng xét dấu f '( x) Bước 2: Tính g'(x)  u '( x) f '(u ) u '( x)  � Bước 3: Tìm x để g '( x)  � u '( x) f '(u )  � � �f '(u )  Để tìm được nghiệm x phương trình f '(u )  ta cứ vào hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số f (x) Bước 4: Lập bảng xét dấu hàm số g'(x)  u '( x) f '(u )  x  ta cứ vào dấu u '( x) và f '(u) Để xét dấu g � Sau cứ vào bảng xét dấu g '( x) để kết luận Bài Cho hàm sớ y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ: Tìm khoảng đồng biến hàm sớ g  x   f   x  Lời giải Từ đồ thị ta có bảng xét dấu f '( x) g '( x )  6 f '(1  x) �x  �1  x  g'(x)  � 6 f '(1  x)  � f '(1  x)  � � �� 1  x  1 � x � � Bảng xét dấu g '( x) Vậy hàm số g ( x) đồng biến khoảng (0; ) f '( x )  Nhận xét: Để tìm nghiệm ta dựa vào hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số Ta thấy đồ thị có hai điểm cực trị có hoành độ x  1; x  Về 10 dấu f '( x) ta dựa vào đồ thị lên từ trái sang phải f '( x)  ;đồ thị x́ng từ trái sang phải f '( x)  Bài Cho hàm sớ y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ: Tìm khoảng đồng biến hàm số g ( x)  f ( x  3x) Lời giải Từ đồ thị ta có bảng xét dấu f '( x) g '( x)  (3 x  3) f '( x  3x) � 3x   g'(x)  � (3 x  3) f '( x  3x)  � � �f '( x  3x)  � x  �1 � x  �1 � x  1; x  �x  3x  � � �3 � �x  1; x  2 � x  3x  2 � �3 �� x  x  3x  � �� x�3 �� Bảng xét dấu g '( x) 11    Vậy hàm số g ( x) đồng biến các khoảng 2;  ,  1;0  , 1;  2;�  và 2.3.2 Xét chiều biến thiên hàm tổng hàm số 2.3.2.1 Dạng 1: Sử dụng tính chất tổng hai hàm số đơn điệu khoảng K là hàm số đơn điệu K Bài tốn: Cho hai hàm sớ f ( x);g( x) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f ( x)  g ( x) Phương pháp giải y '  f '( x)  g '( x) Để hàm sớ đồng biến y '  � f '( x)  g '( x)>0 Để hàm sớ nghịch biến y '  � f '( x)  g '( x)0 � f '( x)   g '( x) Đồ thị hàm số y  f '( x) nằm đồ thị hàm số y   g '( x) Để hàm sớ nghịch biến y '  � f '( x)  g '( x)