Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

Trong những trường hợp này, nếu sắp xếp được ta có thể dùng ẩn phụ lượng giác để lượng giác hóa các hàm đại số cùng với một lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận lợi hơ

Khai thác bài toán chứng minh đẳng

thức, bất đẳng thức lượng giác

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán là môn học công cụ góp phần phát triển các năng lực trí tuệ cho người học, hơn nữa học Toán có khả năng phát triển tư duy, sáng tạo rất tốt cho mọi lứa tuổi học sinh Tuy nhiên, việc học Toán và tư duy Toán học không phải là vấn đề dễ tiếp cận đối với học sinh ở trung học Có thể thấy rằng việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó nhưng thực ra sau mỗi bài toán đó có biết bao điều lí thú vẫn chưa được khám phá do đó, khi giải một bài toán không chỉ dừng lại ở bước hiểu được lời giải mà cần phát triển khả năng tư duy cho học sinh, giúp học sinh

có kỹ năng tìm hiểu những vấn đề mới của bài toán

Lượng giác là một phân môn quan trọng và chiếm nhiều thời gian trong chương trình toán bậc trung học, cao đẳng, đại học Tuy nhiên, khả năng và trình độ đi sâu của người học vào chuyên đề này vẫn còn nhiều mặt hạn chế Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán, thi Olympic toán giữa các trường đại học, cao đẳng, học sinh và sinh viên phải đối mặt với nhiều dạng toán khó có liên quan đến chuyên đề này Hơn nữa các bài toán lượng giác được ứng dụng nhiều trong việc giải phương trình, bất phương trình, ứng dụng trong tích phân bằng phương pháp đổi biến số Các vấn đề liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác là một bộ phận quan trọng của giải tích đại số và nhiều dạng toán của hình học đặc biệt là bài toán tìm cực trị Nếu một hàm số đã được cho hoặc chuyển được về dạng hàm đại số đa thức hoặc hàm đại số hữu tỉ thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên dễ dàng hơn do chúng ta

có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc đồ thị Tuy nhiên, có nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của những hàm đại số một biến, hay hàm đại số nhiều biến khá phức tạp thì việc tìm ra phương pháp giải mới là vô cùng quan trọng Trong những trường hợp này, nếu sắp xếp được ta có thể dùng ẩn phụ lượng giác để lượng giác hóa các hàm đại số cùng với một lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận lợi hơn và đặc biệt là nó rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học

Các bài tập về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác rất phong phú và cực

kỳ đa dạng do đó việc giải hay chứng minh một bài tập về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không chỉ có một hay vài phương pháp truyền thống mà còn giúp truyền thụ những tri thức mới bởi bên cạnh những bài toán có thuật giải còn

có không ít những bài khác không có thuật giải vì vậy việc dạy và học tri thức

cũng như phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác gặp không ít khó khăn cần phải có những định hướng cho lời giải hoặc là một bước nào đó trong cả quá trình chứng minh Khi đã có định hướng cho lời giải thì cùng với những kỹ năng biến đổi các công thức và phương trình lượng giác đã được rèn luyện sẽ phát triển khả năng khai thác lời giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cũng như năng lực tư duy sáng tạo vận dụng kiến thức đã học để giải toán cho học sinh

Trên thực tế đã có nhiều đề tài nghiên cứu về chuyên đề lượng giác nhưng vẫn chưa có một đề tài nào thể hiện được cách tiếp cận đầy đủ cho người học Chính vì vậy, nhằm cung cấp thêm cho người học đề tài thể hiện được hệ thống các ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số phương pháp giải điển hình

cho các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tôi chọn đề tài “Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác” Đề tài bao gồm những vấn

đề lý thuyết cơ bản về lượng giác, đưa ra một số phương pháp chứng minh và khai thác lời giải của một số bài tập trong đó bao gồm những bài tập đã được giải và một số bài tập đề nghị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác: Giải và khai thác một

số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

Tìm hiểu một số vấn đề lí thuyết cơ bản và một số hướng khai thác bài toán về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải bài toán lượng giác, bài toán đại số và bài toán tìm cực trị từ đó góp phần phát triển kĩ năng thực hành giải bài toán lượng giác cho học sinh, sinh viên

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu lí luận về kiến thức lượng giác cơ bản, về một số phương pháp giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

Nghiên cứu về việc khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

Nghiên cứu một số phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác để chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức đại số, các bài toán cực trị, bài toán chứng minh trong hình học

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: bao gồm phân tích, tổng hợp các sách, báo, một số công trình nghiên cứu, tạp chí khoa học có liên quan Phân loại hệ thống kiến thức về mặt lí luận theo các dạng khác nhau

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: dùng lí luận để phân tích thực tiễn giáo dục và dạy học để rút ra những kinh nghiệm cần thiết

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Với sự tham gia góp ý và hướng dẫn của thầy Trần Công Tấn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông, sinh viên các ngành đặc biệt là sinh viên sư phạm toán Giúp họ hiểu thêm về các hàm lượng giác, có kĩ năng khai thác một số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, ngoài ra còn có thể sử dụng kết quả đã được chứng minh

để có thể đề xuất những hướng khai thác mới hữu ích cho quá trình thực hành giải các bài toán lượng giác, bài toán đại số và hình học

Đối với bản thân, là cơ hội để mở rộng và đi sâu nghiên cứu về kiến thức, phương pháp giải các bài toán lượng giác cũng như các bài toán liên quan khác Phát triển kĩ năng phân tích, tư duy toán học thực sự hữu ích cho công tác giảng dạy sau này ở trường phổ thông

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, tài liệu tham khảo và Kết luận, bố cục của khóa luận bao gồm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Giới thiệu về đặc điểm và những tính chất quan trọng của hàm lượng giác, đẳng thức – bất đẳng thức lượng giác, đưa ra hệ thống các công thức cũng như một số hệ thức lượng giác cơ bản Đưa ra một số bất đẳng thức đại số quen thuộc phục vụ cho quá trình nghiên cứu

Chương 2: Phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

Đề cập đến một số phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, việc vận dụng các phương pháp vào giải toán và một số dấu hiệu để lượng giác hóa các hàm đại số

Chương 3: Giải và khai thác một số bài tập

Đưa ra nội dung khai thác bài toán trong chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức lượng giác và việc vận dụng đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để

giải thành công bài toán đại số đặc biệt là bài toán tìm cực trị

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Một số định nghĩa

1.1.1 Định nghĩa các hàm lượng giác cơ bản

Các hàm lượng giác có một vị trí quan trọng đối với bộ môn Toán bởi sự liên hệ rộng rãi của chúng đối với các lĩnh vực khác của Toán học, ngoài ra nó còn có ứng dụng quan trọng đối với việc biểu diễn bài toán chuyển động dao động trong vật lý Ngày nay người ta thường quan tâm tới sáu hàm lượng giác

cơ bản tuy nhiên đối với học sinh phổ thông thì chỉ chú ý tới bốn hàm lượng giác chính, các hàm lượng giác này được cho trong bảng dưới đây với nhiều cách định nghĩa khác nhau

Cạnh huyền là AB nằm đối diện góc vuông, độ dài h

Cạnh đối BC nằm đối diện góc A, độ dài a

Cạnh kề AC, độ dài b

Khi đó vì tổng ba góc trong tam giác bằng π radian hay 1800, các hàm lượng giác được định nghĩa như sau

Sin: Cạnh đối chia cho cạnh huyền sinA a

Dùng đại số: Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trong mặt phẳng của

hình học phẳng thỏa mãn: x2+y2 =1 Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối

tâm với điểm (x, y) và chiều dương của trục Ox trên hệ tọa độ Oxy Khi đó, các

hàm lượng giác được định nghĩa:

Dùng hình học: Mọi hàm lượng giác có thể được dựng lên bằng phương

pháp hình học trên một đường tròn đơn vị có tâm ở O Với A, B là hai điểm nằm trên đường tròn, EF là tiếp tuyến tại A và tam giác OEF vuông tại O, AB vuông góc với OE tại C, đường tròn tâm O cắt OE tại D

Khi đó người ta định nghĩa các hàm lượng giác

tanθ: AE cotθ: AF

* Định nghĩa bằng chuỗi: Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin

và cosin thành chuỗi cho mọi góc θ đo bằng giá trị radian thực, sau đó từ hai hàm này sẽ suy ra chuỗi của các hàm lượng giác còn lại Cụ thể người ta định nghĩa bằng chuỗi các hàm lượng giác như sau:

2 1 3 5 7 0

n

πθ

x

πθ

x n

πθ

x

πθ

Cả hai hàm lượng giác sin và cosin đều là trái dấu vi phân bậc hai của

chính nó nên chúng là nghiệm của phương trình vi phân: y" = - y, với θ có giá trị đo là radian Nếu θ đo bằng độ thì hàm trên sẽ thỏa mãn phương trình

y" = - k2y, với

180

k π

= Trong không gian hai chiều thì hàm sin thỏa mãn điều

kiện biên y(0) = 0, y′(0) = 1 và hàm cosin là y(0) = 1, y′(0) = 0

Hàm tang là nghiệm của phương trình vi phân y’ = 1+ y 2 với điều kiện

biên y(0) = 0, còn hàm lượng giác cotang là nghiệm của phương trình vi phân

y’ = - (1+ y2)

1.1.2 Định nghĩa đẳng thức lượng giác

Các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa hàm lượng giác đúng với một dải lớn các giá trị của biến số

Các đẳng thức này vừa là công cụ hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa các hàm lượng giác vừa là công cụ để chứng minh các đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức lượng giác

1.1.3 Định nghĩa bất đẳng thức lượng giác

Bất đẳng thức giữa hai số: Cho hai số a và b, ta nói rằng a lớn hơn b (kí hiệu a > b) nếu hiệu a – b là một số dương, a nhỏ hơn b (kí hiệu a < b) nếu hiệu

a – b là một số âm Ngược lại nếu hiệu a – b > 0 thì ta nói rằng a lớn hơn b (kí hiệu a > b); nếu a – b < 0 thì ta nói a nhỏ hơn b (kí hiệu a < b)

Bất đẳng thức giữa hai biểu thức: Khi hai biểu thức A(x) và B(x) phụ thuộc vào biến x, được xác định trên cùng một khoảng xác định D nào đó thì ta viết A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x)) nếu ứng với mọi số x dương thì ta có hiệu A(x) - B(x) > 0 (hoặc A(x) - B(x) < 0)

Ngoài ra nếu tồn tại ít nhất một giá trị x0 thuộc khoảng xác định D sao cho A(x0) = B(x0) thì ta viết A(x0) ≥ B(x0) hoặc A(x0) ≤ B(x0) Định nghĩa trên vẫn đúng đối với các biểu thức phụ thuộc vào nhiều biến

Khi các số a, b hay các biểu thức A(x), B(x) là các hàm lượng giác thì ta

có được một bất đẳng thức lượng giác Như vậy các bất đẳng thức lượng giác có đầy đủ tính chất của bất đẳng thức nói chung hơn nữa nó còn mang những đặc điểm tính chất của các hàm lượng giác

1.1.4 Định nghĩa về khai thác bài toán

Khai thác bài toán là việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải để có thể giúp ta phát hiện được cách giải tốt hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn Nhiều khi việc khai thác còn thể hiện ở việc gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt Khi tiến hành khai thác bài toán sẽ giúp người học củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản, phát triển khả năng tư duy sáng tạo và kĩ năng thực hành Toán học

Một số hướng khai thác bài toán

Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, xét xem bài toán này có giải được không?

Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu được bài toán tổng quát hay không? Bài toán tổng quát còn đúng nữa không ? Trái lại với khái quát là đặc biệt hóa luôn luôn đưa ta đến kết quả là bài toán mới đúng

Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới đi đến phương pháp giải bài toán khác bài toán ban đầu

Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác

1.2 Tính chất của các hàm lượng giác

Các hàm lượng giác đều có tính chất tuần hoàn theo chu kì, tuy nhiên, tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác được thể hiện ở ba định lý là: Định

lý sin, định lý cosin, định lý tang

* Định lý sin

Trong tam giác ABC bất kỳ với AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính

R

A = B = C = Định lý sin được dùng để tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn lại, đây là bài toán hay gặp trong kĩ thuật tam giác - một kĩ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo góc và các khoảng cách dễ đo khác

Đây là một kết quả mở rộng của định lý Pitago, và được dùng để tìm các

dữ liệu còn lại trong tam giác khi biết độ lớn hai cạnh và một góc

Trong đó a, b, c là các cạnh trong tam giác ABC và A, B, C là các góc

tương ứng của tam giác đó

1.3 Lượng giác hóa các công thức cơ bản đầy đủ

tan 2

2 2

1

t t

+ ,

2 2

1os1

t c

cos cossin( )cot cot

mà ta mới đưa ra được các phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, đưa ra cách lượng giác hóa một bài toán đại số Ngoài ra khi kết hợp chúng với những điều kiện về góc còn cho ra được những đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác rất hữu ích khi giải một số bài toán hình học

1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển quan trọng

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, có rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số và lượng giác là những hệ quả trực tiếp hoặc gián tiếp của một số bất đẳng thức cổ điển như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, bất đẳng thức Jensen Các bất đẳng thức này đóng vai trò quan trọng cho việc giải các bài tập toán học nói chung trong đó, bao gồm cả các bài toán chứng minh lượng giác

1.4.1 Bất đẳng thức Côsi

Cho hai số không âm a, b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

Như vậy bất đẳng thức Côsi có thể áp dụng cho các hàm lượng giác mà chúng có các giá trị góc làm cho các hàm này nhận giá trị dương

Điều kiện cần và đủ để f(x) lồi trên (a; b) là f'' ≥0,∀ ∈x ( ; )a b

Giả sử hàm số y = f(x) lồi trên (a; b) ∀ ∈x ( ; ),a b ∀αi >0, và

Nếu f''( ) 0,x ≤ ∀ ∈x ( ; )a b thì f (x) là hàm lõm trên khoảng (a; b) Khi đó

các bất đẳng thức (1), (2) và (3) đổi chiều ngược lại

1.5 Kết luận chương 1

Đưa ra hệ thống lý thuyết cơ bản về hàm lượng giác gồm có: định nghĩa, tính chất, các hệ thức liên hệ và các công thức biến đổi lượng giác quan trọng Qua đó giúp người học thấy được mối quan hệ giữa hàm lượng giác với đại số

và hình học

Nêu lên một số cơ sở lý luận có liên quan khác bao gồm một số khái niệm

và bất đẳng thức cổ điển phục vụ cho việc giải, khai thác đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

2.1 Phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác

2.1.1 Sử dụng định nghĩa

Theo định nghĩa các đẳng thức lượng giác vừa là công cụ để rút gọn vừa

là phương tiện để chứng minh các đẳng thức phức tạp khác, do đó đây là phương pháp chứng minh mà người học thường sử dụng để chứng minh các đẳng thức lượng giác

Bài tập: Chứng minh với mọi tam giác ABC có:

cos A+cos B+cos C = −1 2 cos cos cosA B C

Lời giải: Ta có 1 os2A 1 os2B 2( ( ) )

1 2 cos cos cos

2.1.2 Sử dụng các đẳng thức lượng giác trong tam giác

Cho tam giác ABC khi đó, với đặc điểm về tổng ba góc trong tam giác các

đẳng thức lượng giác cơ bản giữa các góc trong tam giác là

cot cot cot cot cot cot

Bài tập: Chứng minh tam giác ABC vuông khi và chỉ khi

(sinA+sinB+sinC)2 =2 sin( A+sinB+sinC+sin sin sinA B C) (1)

2sin sin sin

sin sin sin

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông

2.1.3 Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản

Các công thức lượng giác cơ bản là một công cụ vô cùng quan trọng đối với việc chứng minh các đẳng thức lượng giác Tùy theo bài toán lượng giác cần chứng minh mà ta chọn và sử dụng công thức cơ bản phù hợp để chứng minh bài toán đó

Bài tập: CMR: tan 300 tan 400 tan 500 tan 600 8 3 os200

0 0 0 0

sin100sin 90 40 os50

4 os10 os30

3 os10

8 3os203

c c

+

−+

Trong phương pháp này có 3 bước tiến hành cơ bản

• Đặt ẩn phụ và gán điều kiện cho ẩn, nên chú ý tới điều kiện ban đầu

để chọn ẩn phụ thích hợp

• Đưa đẳng thức ban đầu về đẳng thức có biến là ẩn phụ, sau đó tiến hành giải quyết đẳng thức vừa tạo thành

• Giải bài toán với ẩn phụ vừa tìm được, kết luận nghiệm

Bài tập: Giải phương trình sin sin 2 x x + sin 3 x − 6cos3 x = 0 (1)

(1)⇔2sin cosx x+3sinx−4sin x−6cos x=0

Lời giải: Ta thấy cos 0 ,

πππ

Đặt t =3sinx+4cosx, điều kiện t + ≠ 1 0

2) tan +tanx 2x+tan3x+cot +cotx 2x+cot3x=6

Đặt t=tanx+cotx

3) sinx+cosx+sin cosx x=0

Đặt t =sinx+cosx

2.2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác

Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó là đúng ta cần lập luận chặt chẽ dựa trên tính chất cơ bản của bất đẳng thức, ngoài những tính chất của BĐT thì các bất đẳng thức lượng giác còn có những tính chất riêng, đặc thù Các bất đẳng thức lượng giác rất đa dạng do đó phương pháp chứng minh chúng cũng rất đa dạng, và được lựa chọn phù hợp với đặc điểm của BĐT đó Cần chú ý rằng để chứng minh một bất đẳng thức lượng giác phức tạp ta cần áp dụng nhiều phương pháp khác nhau một cách hợp lí để giải Sau đây là một số phương pháp phổ biến thường được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác

2.2.1 Sử dụng định nghĩa

Để chứng minh một bất đẳng thức A > B nào đó ta sẽ chỉ ra rằng A – B>0 hoặc ngược lại khi cần chứng minh bất đẳng thức A – B > 0 ta có thể đưa về bất đẳng thức A > B để chứng minh Cụ thể ta xét một số ví dụ sau

Bài tập 1: Chứng minh rằng 4sin3α + 5 ≥ 4cos2α + 5sinα

Lời giải:

Ta xét VT – VP = 4sin3α + 5 – 4cos2α – 5sinα

= 4(3sinα – 4sin3α) + 5 – 4(1- 2sin2α) – 5sinα

= 1+ 7sinα + 8sin2α – 16sin3α

Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức

Do tổng hai bình phương luôn dương nên bất đẳng thức (*) đúng

Như vậy sau khi chuyển vế và biến đổi ta có được một bất đẳng thức đúng tương đương với bất đẳng thức đã cho Do đó bất đẳng thức ban đầu đúng

2.2.2 Sử dụng một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản, bất đẳng thức đại số

Khi sử dụng tính chất bắc cầu của các bất đẳng thức và một số bất đẳng thức quan trọng, quen biết ta có thể rút ngắn các phép chứng minh Thông thường trong chương trình phổ thông trung học BĐT Côsi và BĐT Bunhiacôpxki được sử dụng rộng rãi nhất và một số BĐT lượng giác quen thuộc như sinx ≤ 1, cosx ≤ 1

Bài tập 1: CMR trong ABC∆ ta có

2sin2cos

2sin2cos

2sin2

cos

≥

−+

−+

−

C

B A B

A C A

C B

Lời giải: Vì 0< A B C, , <1800nên có

sin ,sin ,sin ,sin ,sin ,sin

sin sin sin

≥+

≥+

A C A

C

C B C

B

B A B

A

sinsin2sinsin

sinsin2sinsin

sinsin2sinsin

(sinB sinC)(sinC sinA)(sinA sinB) 8sin sin sinA B C

8sin sin sin

sin2cos2

sin2

cos

≥

−+

−+

−

C

B A B

A C A

C B

⇒đpcm

Bài tập 2: Cho ∆ABC tùy ý CMR

Khi đó f ''( )x =2 tan (1 tan )x + 2x

Theo bất đẳng thức Jensen thì tan tan tan 3

2.2.3 Sử dụng một số bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Giả sử f(A,B,C) là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các góc trong ∆ABC và các góc A, B, C thỏa mãn hai điều kiện

3 3 3

f A f B f C f

f A f B f C f

ππ

3 3sin sin sin

23osA+cosB+cosC

21osA.cosB.cosC

Bài tập: Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các góc A, B, C cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC (có bán kính R) lần lượt tại A1, B1, C1 Chứng

giác ABC là đều

2.2.4 Phương pháp biến đổi tương đương

Sử dụng các công thức lượng giác và sự biến đổi qua lại giữa chúng Thông thường với phương pháp này sẽ đưa bất đẳng thức cần chứng minh về

dạng bất đẳng thức đúng hoặc về dạng quen thuộc Hai bất đẳng thức gọi là tương đương nếu bất đẳng thức này đúng thì bất đẳng thức kia cũng đúng, phép biến đổi được gọi là tương đương nếu nó biến một bất đẳng thức thành bất đẳng thức khác tương đương với nó

3 sinx+3 sinx ≤2 cosx

Lời giải:

Nhận xét rằng 1 sin− ≤ x≤1, cosx≥ −1 nên ta có

3+ sinx > 0, 3 – sinx > 0, 2 + cosx > 0 lúc này bất đẳng thức tương đương sẽ là

2.2.5 Phương pháp tam thức bậc hai

Dựa vào đặc điểm về dấu của tam thức bậc hai là luôn dương sẽ giúp ta nhận định và đánh giá về dấu của một số bất đẳng thức cần chứng minh các Với phương pháp tam thức bậc hai có thể cho phép thu được các bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức ban đầu, giúp phát triển bài toán ban đầu để thu được bài toán mới cùng với phương pháp chứng minh mới tương ứng

Bài tập: Chứng minh trong tam giác ABC: cos cos cos 3

c F

−

Từ đây ta có bất đẳng thức mạnh hơn như sau

2.2.6 Đưa về véctơ và tích vô hướng

Ta thấy lượng giác được bắt nguồn từ hình học và có mối liên hệ chặt chẽ với hình học Việc đưa bất đẳng thức cần chứng minh về tích vô hướng chính là

sự thể hiện rõ mối liên hệ này Đây là phương pháp thường áp dụng được cho việc chứng minh bất đẳng thức trong tam giác hay trong đường tròn lượng giác

Bài tập 1: Chứng minh trong tam giác nhọn ABC, với mọi số thực x, y, z ta có

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta luôn có

(xOA+yOB+zOC)2≥0

2

A+ B+ C≥ −Lời giải:

Trước hết ta gọi O, G là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm ABC∆

Một hàm số f(x) được gọi là đơn điệu tăng trên (α; β) nếu với mọi x1 < x2

(x1 > x2 ) thì f(x1) < f(x2) (f(x1)> f(x2)) Ngược lại hàm số đơn điệu giảm nếu với

mọi x1 < x2 (x1 > x2 ) thì f(x1) > f(x2)( f(x1) < f(x2)) Các hàm số lượng giác cũng tăng, giảm trong từng khoảng xác định do đó ta có thể khảo sát tính đơn điệu của chúng để giải một số bài toán lượng giác Phương pháp chứng minh này được sử dụng để giải bài toán tìm cực trị rất có hiệu quả

2.3 Một số dấu hiệu để lượng giác hóa các hàm đại số

Nếu trong bài toàn có điều kiện x 2

+ y 2 = 1 thì ta có thể đặt sin

sin

x= a u hoặc x= a cosu

Nếu trong bài toán có biểu thức: 2 2

a +x hoặc a2 + x2

thì đặt: x = atanu hoặc x = acotu

Trong một số bài toán thì các dấu hiệu này không xuất hiện ngay từ đầu, người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho để làm xuất hiện các dấu hiệu đó

2.4 Kết luận chương 2

Khóa luận đưa ra hệ thống phương pháp chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác: đặc điểm cơ bản, ưu điểm của từng phương pháp và sử dụng các phương pháp đó Trong mỗi phương pháp đều có chỉ dẫn thực hiện thông qua một số bài tập vận dụng để giúp người đọc, đặc biệt là học sinh Phổ thông hiểu và vận dụng có hiệu quả vào giải bài tập

Đưa ra một số dấu hiệu để lượng giác hóa các hàm số khác, những dấu hiệu này là nền tảng cho việc giải thành công các bài toán đại số và bài toán chứng minh trong hình học bằng kiến thức lượng giác

Chương 3 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TẬP

3.1 Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

3.1.1 Giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác theo nhiều cách khác nhau

Trong quá trình dạy học nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng mỗi giáo viên luôn phải cố gắng, không ngừng tìm tòi nghiên cứu tìm ra những phương pháp giảng dạy mới nhất, hiệu quả nhất Nhằm hướng dẫn chỉ đạo hoạt động dạy để phát huy được tính tích cực, sáng tạo và linh hoạt của học sinh, huy động được các kiến thức và khả năng đã có vào các tình huống khác nhau Khi chứng minh một bài toán không chỉ dừng lại ở một cách giải cho một bài toán

mà nên đưa ra nhiều cách giải để khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học sinh hiểu và thực sự làm chủ được kiến thức của mình

Để tìm được nhiều lời giải cho một bài toán chứng minh đẳng thức, BĐT lượng giác thì khi đứng trước bài toán lượng giác tác giả cần đặt ra các câu hỏi

• Vai trò các biến trong đẳng thức, bất đẳng thức như thế nào?

• Dấu bằng xảy ra khi nào?

• Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có đồng bậc không?

• Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác?

• Các công thức, đẳng thức, bất đẳng thức nào liên quan đến bài toán?

• …

Việc trả lời các câu hỏi này sẽ giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thức…để giải quyết bài toán

Bài tập 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: 4sin2x 4cos2x

Phân tích

- Nhận thấy các biểu thức 4sin2x, 4cos2x

đều dương do đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTNN

- Đặc điểm tập giá trị của sin2x ≤ 1, cos2x ≤ 1 giúp tìm GTLN

- Dựa vào mối liên hệ sin2x+cos2x=1 để biến đổi đưa về hàm số LG

chỉ chứa biến lượng giác sinx hoặc cosx

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi

Ta có 4sin x 4cos x 2 4sin x.4cosx 2 4sin x cos x

sin os

+ ≤ Vậy GTLN của biểu thức A là 5

Dấu bằng xảy ra khi sinx = 0 hoặc cosx = 0 tức ,

x π kπ k Z

Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số

Vì 4sin2x 4cos2x 4sin2x 41 sin2x

( 2 )

2

2 sin sin

4'( ) t

F t

t

−

F’ (t) = 0 xảy ra khi t = - 2 hoặc t = 2

Do điều kiện 1 ≤ t ≤ 4 nên loại nghiệm t = - 2

sin 2

2 sin

đó giúp ta hiểu sâu sắc hàm số hơn về tính đơn điệu trên từng khoảng xác định, mối liên hệ giữa các biểu thức

Bài tập 2: CMR sin( ) cot

Nhận xét: Ta nhận thấy đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng

giác có biểu thức ở hai vế là đồng bậc và vai trò của α, β trong bài toán là như

nhau, ta chỉ cần áp dụng các công thức lượng giác để giải Điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, sử dụng các công thức lượng giác phù hợp

để chứng minh bài toán để đạt được hiệu quả

Cách 1: Áp dụng công thức lượng giác

sincot cot

cot cot 2cot

Từ điều kiện (2) thì có α β π+ < , ⇒sin(α +β) 0> Vậy ta có đpcm

Cách 3: Áp dụng công thức công thức nhân đôi

c

ϕϕ

ϕ

−

(1) cot cot cot

b

αβ

Nhận xét: Các cách biến đổi trên đều sử dụng các công thức lượng giác cơ bản sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng và tương đương với bất đẳng thức đã cho Khi giải bài toán ta sẽ nhận thấy được

việc sử dụng công thức lượng giác nào để có cách làm hay, ngắn, dễ hiểu và phù hợp với trình độ học vấn của học sinh hơn Ở bài toán trên tôi đã giải theo 3 cách từ dễ đến khó bao gồm cả việc biến đổi tương đương cả hai vế và biến đổi một vế phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh Phổ thông, giúp phát triển

tư duy trí tuệ và kĩ năng thực hành giải toán cho học sinh

Bài tập 3: CMR nếu α, β, γ là ba góc của một tam giác thì

Nhận xét: Tổng ba góc trong tam giác bằng 1800 hay α+β+ γ = π (radian),

và vai trò của các góc là như nhau do đó ta có thể đưa việc tính một góc theo hai góc còn lại Đồng thời ta có thể kết hợp với việc sử dụng các đẳng thức lượng giác trong tam giác đã biết để chứng minh Ta có