Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác

1 Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Trong nhà trường phổ thông, môn Toán là môn học công cụ góp phần phát triển các năng lực trí tuệ cho người học, hơn nữa học Toán có khả năng phát triển tư duy, sáng tạo rất tốt cho mọi lứa tuổi học sinh. Tuy nhiên, việc học Toán và tư duy Toán học không phải là vấn đề dễ tiếp cận đối với học sinh ở trung học. Có thể thấy rằng việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó nhưng thực ra sau mỗi bài toán đó có biết bao điều lí thú vẫn chưa được khám phá do đó, khi giải một bài toán không chỉ dừng lại ở bước hiểu được lời giải mà cần phát triển khả năng tư duy cho học sinh, giúp học sinh có kỹ năng tìm hiểu những vấn đề mới của bài toán. Lượng giác là một phân môn quan trọng và chiếm nhiều thời gian trong chương trình toán bậc trung học, cao đẳng, đại học Tuy nhiên, khả năng và trình độ đi sâu của người học vào chuyên đề này vẫn còn nhiều mặt hạn chế. Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán, thi Olympic toán giữa các trường đại học, cao đẳng, học sinh và sinh viên phải đối mặt với nhiều dạng toán khó có liên quan đến chuyên đề này. Hơn nữa các bài toán lượng giác được ứng dụng nhiều trong việc giải phương trình, bất phương trình, ứng dụng trong tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Các vấn đề liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác là một bộ phận quan trọng của giải tích đại số và nhiều dạng toán của hình học đặc biệt là bài toán tìm cực trị. Nếu một hàm số đã được cho hoặc chuyển được về dạng hàm đại số đa thức hoặc hàm đại số hữu tỉ thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên dễ dàng hơn do chúng ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc đồ thị. Tuy nhiên, có nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của những hàm đại số một biến, hay hàm đại số nhiều biến khá phức tạp thì việc tìm ra phương pháp giải mới là vô cùng quan trọng. Trong những trường hợp này, nếu sắp xếp được ta có thể dùng ẩn phụ lượng giác để lượng giác hóa các hàm đại số cùng với một lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận lợi hơn và đặc biệt là nó rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Các bài tập về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác rất phong phú và cực kỳ đa dạng do đó việc giải hay chứng minh một bài tập về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác không chỉ có một hay vài phương pháp truyền thống mà còn giúp truyền thụ những tri thức mới bởi bên cạnh những bài toán có thuật giải còn có không ít những bài khác không có thuật giải vì vậy việc dạy và học tri thức 3 cũng như phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác gặp không ít khó khăn cần phải có những định hướng cho lời giải hoặc là một bước nào đó trong cả quá trình chứng minh. Khi đã có định hướng cho lời giải thì cùng với những kỹ năng biến đổi các công thức và phương trình lượng giác đã được rèn luyện sẽ phát triển khả năng khai thác lời giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cũng như năng lực tư duy sáng tạo vận dụng kiến thức đã học để giải toán cho học sinh. Trên thực tế đã có nhiều đề tài nghiên cứu về chuyên đề lượng giác nhưng vẫn chưa có một đề tài nào thể hiện được cách tiếp cận đầy đủ cho người học. Chính vì vậy, nhằm cung cấp thêm cho người học đề tài thể hiện được hệ thống các ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số phương pháp giải điển hình cho các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác tôi chọn đề tài “Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác”. Đề tài bao gồm những vấn đề lý thuyết cơ bản về lượng giác, đưa ra một số phương pháp chứng minh và khai thác lời giải của một số bài tập trong đó bao gồm những bài tập đã được giải và một số bài tập đề nghị. 2. Mục đích của đề tài Giúp học sinh nâng cao hiểu biết về đặc điểm tính chất của các hàm lượng giác và một số phương pháp chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác. Đưa ra một số hướng khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và việc sử dụng một số đẳng thức lượng giác để giải phương trình, giải bất phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất cho các biểu thức. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác: Giải và khai thác một số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác. Tìm hiểu một số vấn đề lí thuyết cơ bản và một số hướng khai thác bài toán về đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải bài toán lượng giác, bài toán đại số và bài toán tìm cực trị từ đó góp phần phát triển kĩ năng thực hành giải bài toán lượng giác cho học sinh, sinh viên. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lí luận về kiến thức lượng giác cơ bản, về một số phương pháp giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác. 4 Nghiên cứu về việc khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác. Nghiên cứu một số phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác để chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức đại số, các bài toán cực trị, bài toán chứng minh trong hình học. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: bao gồm phân tích, tổng hợp các sách, báo, một số công trình nghiên cứu, tạp chí khoa học có liên quan. Phân loại hệ thống kiến thức về mặt lí luận theo các dạng khác nhau. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: dùng lí luận để phân tích thực tiễn giáo dục và dạy học để rút ra những kinh nghiệm cần thiết. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Với sự tham gia góp ý và hướng dẫn của thầy Trần Công Tấn. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông, sinh viên các ngành đặc biệt là sinh viên sư phạm toán. Giúp họ hiểu thêm về các hàm lượng giác, có kĩ năng khai thác một số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, ngoài ra còn có thể sử dụng kết quả đã được chứng minh để có thể đề xuất những hướng khai thác mới hữu ích cho quá trình thực hành giải các bài toán lượng giác, bài toán đại số và hình học. Đối với bản thân, là cơ hội để mở rộng và đi sâu nghiên cứu về kiến thức, phương pháp giải các bài toán lượng giác cũng như các bài toán liên quan khác. Phát triển kĩ năng phân tích, tư duy toán học thực sự hữu ích cho công tác giảng dạy sau này ở trường phổ thông. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần Mở đầu, tài liệu tham khảo và Kết luận, bố cục của khóa luận bao gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Giới thiệu về đặc điểm và những tính chất quan trọng của hàm lượng giác, đẳng thức – bất đẳng thức lượng giác, đưa ra hệ thống các công thức cũng như một số hệ thức lượng giác cơ bản. Đưa ra một số bất đẳng thức đại số quen thuộc phục vụ cho quá trình nghiên cứu. Chương 2: Phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác 5 Đề cập đến một số phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, việc vận dụng các phương pháp vào giải toán và một số dấu hiệu để lượng giác hóa các hàm đại số. Chương 3: Giải và khai thác một số bài tập Đưa ra nội dung khai thác bài toán trong chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức lượng giác và việc vận dụng đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải thành công bài toán đại số đặc biệt là bài toán tìm cực trị. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số định nghĩa 1.1.1. Định nghĩa các hàm lượng giác cơ bản Các hàm lượng giác có một vị trí quan trọng đối với bộ môn Toán bởi sự liên hệ rộng rãi của chúng đối với các lĩnh vực khác của Toán học, ngoài ra nó còn có ứng dụng quan trọng đối với việc biểu diễn bài toán chuyển động dao động trong vật lý. Ngày nay người ta thường quan tâm tới sáu hàm lượng giác cơ bản tuy nhiên đối với học sinh phổ thông thì chỉ chú ý tới bốn hàm lượng giác chính, các hàm lượng giác này được cho trong bảng dưới đây với nhiều cách định nghĩa khác nhau. Hàm Viết tắt Liên hệ sin sin sin os 2 c π θ θ   = −     cosin cos os =sin 2 c π θ θ   −     tang tan sin 1 tan cot os cot 2c θ π θ θ θ θ   = = = −     cotang cotan os 1 cot tan sin tan 2 c θ π θ θ θ θ   = = = −     sec sec 1 sec csc os 2c π θ θ θ   = = −     cosec csc 1 csc sec sin 2 π θ θ θ   = = −     * Định nghĩa bằng tam giác vuông: Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh C, xét góc tại đỉnh A ta có Cạnh huyền là AB nằm đối diện góc vuông, độ dài h. Cạnh đối BC nằm đối diện góc A, độ dài a. Cạnh kề AC, độ dài b. Khi đó vì tổng ba góc trong tam giác bằng π radian hay 180 0 , các hàm lượng giác được định nghĩa như sau 7 Sin: Cạnh đối chia cho cạnh huyền sin a A h   =     Cosin: Cạnh kề chia cho cạnh huyền cos b A h   =     Tang: Cạnh đối chia cho cạnh kề tan a A b   =     Cotang: Cạnh kề chia cho cạnh đối cot b A a   =     Sec: Cạnh huyền chia cho cạnh kề h secA b   =     Cosec: Cạnh huyền chia cho cạnh đối h cscA a   =     * Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị (đường tròn lượng giác): Một vòng tròn đơn vị có bán kính bằng 1 có tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Khi đó, ta có thể định nghĩa cho mọi góc là số thực và tất cả các góc đều nằm trên đường tròn đơn vị theo hai hướng là dùng kiến thức đại số và kiến thức hình học. Dùng đại số: Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trong mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn: 2 2 1 x y + = . G ọ i góc θ là góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng n ố i tâm v ớ i đ i ể m (x, y) và chi ề u d ươ ng c ủ a tr ụ c Ox trên h ệ t ọ a độ Oxy. Khi đ ó, các hàm l ượ ng giác đượ c đị nh ngh ĩ a: sin θ : y cos θ : x tan y x θ = cot x y θ = 1 sec x θ = 1 csc y θ = Khi các góc quay trên vòng tròn các hàm sin, cosin, sec, cosec tr ở nên hàm tu ầ n hoàn v ớ i chu k ỳ 2 π radian còn hàm tang, cotang tu ầ n hoàn v ớ i chu k ỳ π radian. Dùng hình h ọ c: M ọ i hàm l ượ ng giác có th ể đượ c d ự ng lên b ằ ng ph ươ ng pháp hình h ọ c trên m ộ t đườ ng tròn đơ n v ị có tâm ở O. V ớ i A, B là hai đ i ể m n ằ m trên đườ ng tròn, EF là ti ế p tuy ế n t ạ i A và tam giác OEF vuông t ạ i O, AB vuông góc v ớ i OE t ạ i C, đườ ng tròn tâm O c ắ t OE t ạ i D. Khi đ ó ng ườ i ta đị nh ngh ĩ a các hàm l ượ ng giác sin θ : AC sec θ : OE cos θ : OC csc θ : OF 8 tan θ : AE cot θ : AF * Đị nh ngh ĩ a b ằ ng chu ỗ i: Có th ể dùng chu ỗ i Taylor để phân tích hàm sin và cosin thành chu ỗ i cho m ọ i góc θ đ o b ằ ng giá tr ị radian th ự c, sau đ ó t ừ hai hàm này s ẽ suy ra chu ỗ i c ủ a các hàm l ượ ng giác còn l ạ i. C ụ th ể ng ườ i ta đị nh ngh ĩ a b ằ ng chu ỗ i các hàm l ượ ng giác nh ư sau: 2 1 3 5 7 0 ( 1) sin (2 1)! 3! 5! 7! n n n x x x x x n θ + ∞ = − = = − + − + + ∑ 2 2 4 6 0 ( 1) os 1 (2 )! 2! 4! 6! n n n x x x x c n θ ∞ = − = = − + − + ∑ 2 1 2 1 3 5 7 1 2 (2 1) 2 17 tan , (2 )! 3 15 315 2 n n n n n U x x x x x x n π θ − − ∞ = − = = − + − + < ∑ 2 2 1 3 5 1 2 2 1 1 2 cot ,0 (2 )! 3 45 945 2 n n n n n U x x x x x x n x π θ − ∞ = = − = − − − + < < ∑ 2 2 4 6 1 5 61 sec 1 1 , (2 )! 2 24 720 2 n n n E x x x x x n π θ ∞ = = + = + + + + < ∑ 2 1 2 1 3 5 1 2(2 1) 1 1 7 31 csc ,0 (2 )! 6 360 15120 2 n n n n B x x x x x x n x π θ − − ∞ = − = + = + + + + < < ∑ * Đị nh ngh ĩ a b ằ ng ph ươ ng trình vi phân: Cách đị nh ngh ĩ a này t ươ ng đươ ng v ớ i vi ệ c dùng công th ứ c Euler và ph ươ ng trình vi phân không dùng để đị nh ngh ĩ a cho các hàm l ượ ng giác sin, cosin, tang, cotang. C ả hai hàm l ượ ng giác sin và cosin đề u là trái d ấ u vi phân b ậ c hai c ủ a chính nó nên chúng là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình vi phân: y" = - y, v ớ i θ có giá tr ị đ o là radian. N ế u θ đ o b ằ ng độ thì hàm trên s ẽ th ỏ a mãn ph ươ ng trình y" = - k 2 y, v ớ i 180 k π = . Trong không gian hai chi ề u thì hàm sin th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n biên y(0) = 0, y ′ (0) = 1 và hàm cosin là y(0) = 1, y ′ (0) = 0. 9 Hàm tang là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình vi phân y’ = 1+ y 2 v ớ i đ i ề u ki ệ n biên y(0) = 0, còn hàm l ượ ng giác cotang là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình vi phân y’ = - (1+ y 2 ). 1.1.2. Định nghĩa đẳng thức lượng giác Các đẳ ng th ứ c l ượ ng giác là các ph ươ ng trình ch ứ a hàm l ượ ng giác đ úng v ớ i m ộ t d ả i l ớ n các giá tr ị c ủ a bi ế n s ố . Các đẳ ng th ứ c này v ừ a là công c ụ h ữ u ích cho vi ệ c rút g ọ n các bi ể u th ứ c ch ứ a các hàm l ượ ng giác v ừ a là công c ụ để ch ứ ng minh các đẳ ng th ứ c l ượ ng giác và b ấ t đẳ ng th ứ c l ượ ng giác. 1.1.3. Định nghĩa bất đẳng thức lượng giác B ấ t đẳ ng th ứ c gi ữ a hai s ố : Cho hai s ố a và b, ta nói r ằ ng a l ớ n h ơ n b (kí hi ệ u a > b) n ế u hi ệ u a – b là m ộ t s ố d ươ ng, a nh ỏ h ơ n b (kí hi ệ u a < b) n ế u hi ệ u a – b là m ộ t s ố âm. Ng ượ c l ạ i n ế u hi ệ u a – b > 0 thì ta nói r ằ ng a l ớ n h ơ n b (kí hi ệ u a > b); n ế u a – b < 0 thì ta nói a nh ỏ h ơ n b (kí hi ệ u a < b). B ấ t đẳ ng th ứ c gi ữ a hai bi ể u th ứ c: Khi hai bi ể u th ứ c A(x) và B(x) ph ụ thu ộ c vào bi ế n x, đượ c xác đị nh trên cùng m ộ t kho ả ng xác đị nh D nào đ ó thì ta vi ế t A(x) > B(x) (ho ặ c A(x) < B(x)) n ế u ứ ng v ớ i m ọ i s ố x d ươ ng thì ta có hi ệ u A(x) - B(x) > 0 (ho ặ c A(x) - B(x) < 0). Ngoài ra n ế u t ồ n t ạ i ít nh ấ t m ộ t giá tr ị x 0 thu ộ c kho ả ng xác đị nh D sao cho A(x 0 ) = B(x 0 ) thì ta vi ế t A(x 0 ) ≥ B(x 0 ) ho ặ c A(x 0 ) ≤ B(x 0 ). Đị nh ngh ĩ a trên v ẫ n đ úng đố i v ớ i các bi ể u th ứ c ph ụ thu ộ c vào nhi ề u bi ế n. Khi các s ố a, b hay các bi ể u th ứ c A(x), B(x) là các hàm l ượ ng giác thì ta có đượ c m ộ t b ấ t đẳ ng th ứ c l ượ ng giác. Nh ư v ậ y các b ấ t đẳ ng th ứ c l ượ ng giác có đầ y đủ tính ch ấ t c ủ a b ấ t đẳ ng th ứ c nói chung h ơ n n ữ a nó còn mang nh ữ ng đặ c đ i ể m tính ch ấ t c ủ a các hàm l ượ ng giác. 1.1.4. Định nghĩa về khai thác bài toán Khai thác bài toán là vi ệ c nhìn nh ậ n l ạ i toàn b ộ cách gi ả i để có th ể giúp ta phát hi ệ n đượ c cách gi ả i t ố t h ơ n, hay h ơ n ho ặ c sâu s ắ c h ơ n. Nhi ề u khi vi ệ c khai thác còn th ể hi ệ n ở vi ệ c g ợ i ý cho ta tìm đượ c nh ữ ng bài toán m ớ i mà bài toán v ừ a xét ch ỉ là tr ườ ng h ợ p đặ c bi ệ t. Khi ti ế n hành khai thác bài toán s ẽ giúp ng ườ i h ọ c c ủ ng c ố và n ắ m ch ắ c ki ế n th ứ c c ơ b ả n, phát tri ể n kh ả n ă ng t ư duy sáng t ạ o và k ĩ n ă ng th ự c hành Toán h ọ c. M ộ t s ố h ướ ng khai thác bài toán 10 H ướ ng 1: Phát bi ể u bài toán t ươ ng t ự , xét xem bài toán này có gi ả i đượ c không?. H ướ ng 2: Khái quát hóa, có th ể phát bi ể u đượ c bài toán t ổ ng quát hay không? Bài toán t ổ ng quát còn đ úng n ữ a không ?. Trái l ạ i v ớ i khái quát là đặ c bi ệ t hóa luôn luôn đư a ta đế n k ế t qu ả là bài toán m ớ i đ úng. H ướ ng 3: Thay đổ i gi ả thi ế t để đượ c bài toán m ớ i đ i đế n ph ươ ng pháp gi ả i bài toán khác bài toán ban đầ u. H ướ ng 4: T ừ ý ngh ĩ a bài toán đ ã gi ả i d ẫ n đế n ph ươ ng pháp gi ả i m ộ t bài toán khác 1.2. Tính chất của các hàm lượng giác Các hàm l ượ ng giác đề u có tính ch ấ t tu ầ n hoàn theo chu kì, tuy nhiên, tính ch ấ t quan tr ọ ng nh ấ t c ủ a các hàm l ượ ng giác đượ c th ể hi ệ n ở ba đị nh lý là: Đị nh lý sin, đị nh lý cosin, đị nh lý tang. * Đị nh lý sin Trong tam giác ABC b ấ t k ỳ v ớ i AB = c, BC = a, CA = b và R là bán kính đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p, ta có 2 sin sin sin a b c R A B C = = = . Đị nh lý sin đượ c dùng để tính độ dài m ộ t c ạ nh khi bi ế t độ dài hai c ạ nh còn l ạ i, đ ây là bài toán hay g ặ p trong k ĩ thu ậ t tam giác - m ộ t k ĩ thu ậ t dùng để đ o kho ả ng cách d ự a vào vi ệ c đ o góc và các kho ả ng cách d ễ đ o khác. * Đị nh lý cosin Trong tam giác ABC v ớ i a, b, c là độ dài ba c ạ nh c ủ a tam giác ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 .cos 2 . osB 2 .cos b c bc A b a c ac c c a b ab C = + − = + − = + − Đ ây là m ộ t k ế t qu ả m ở r ộ ng c ủ a đị nh lý Pitago, và đượ c dùng để tìm các d ữ li ệ u còn l ạ i trong tam giác khi bi ế t độ l ớ n hai c ạ nh và m ộ t góc. * Đị nh lý tang T ỉ s ố gi ữ a t ổ ng và hi ệ u c ủ a hai c ạ nh c ủ a m ộ t tam giác b ằ ng t ỉ s ố gi ữ a tang n ử a t ổ ng và tang n ử a hi ệ u c ủ a hai góc đố i di ệ n t ươ ng ứ ng trong tam giác đ ó. Bi ể u th ứ c ( ) ( ) 1 tan 2 1 tan 2 A B a b a b A B   +   +   = −   −     [...]... trong đẳng thức, bất đẳng thức như thế nào? • Dấu bằng xảy ra khi nào? • Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác có đồng bậc không? • Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác? • Các công thức, đẳng thức, bất đẳng thức nào liên quan đến bài toán? • … Việc trả lời các câu hỏi này sẽ giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, đẳng thức, bất đẳng thức. .. những đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác rất hữu ích khi giải một số bài toán hình học 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển quan trọng Trong chương trình toán Trung học phổ thông, có rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số và lượng giác là những hệ quả trực tiếp hoặc gián tiếp của một số bất đẳng thức cổ điển như bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, bất đẳng thức Jensen... đổi lượng giác quan trọng Qua đó giúp người học thấy được mối quan hệ giữa hàm lượng giác với đại số và hình học Nêu lên một số cơ sở lý luận có liên quan khác bao gồm một số khái niệm và bất đẳng thức cổ điển phục vụ cho việc giải, khai thác đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác 15 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2.1 Phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác 2.1.1... luôn dương nên bất đẳng thức (*) đúng Như vậy sau khi chuyển vế và biến đổi ta có được một bất đẳng thức đúng tương đương với bất đẳng thức đã cho Do đó bất đẳng thức ban đầu đúng 2.2.2 Sử dụng một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản, bất đẳng thức đại số Khi sử dụng tính chất bắc cầu của các bất đẳng thức và một số bất đẳng thức quan trọng, quen biết ta có thể rút ngắn các phép chứng minh Thông thường... t = sin x + cos x 2.2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó là đúng ta cần lập luận chặt chẽ dựa trên tính chất cơ bản của bất đẳng thức, ngoài những tính chất của BĐT thì các bất đẳng thức lượng giác còn có những tính chất riêng, đặc thù Các bất đẳng thức lượng giác rất đa dạng do đó phương pháp chứng minh chúng cũng rất đa dạng, và được lựa... giác là công cụ không thể thiếu đối với quá trình biến đổi lượng giác do đó chúng có một vị trí đặc biệt trong việc chứng minh và giải các bài toán lượng giác Nhờ có các công thức lượng giác mà ta mới đưa ra được các phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, đưa ra cách lượng giác hóa một bài toán đại số Ngoài ra khi kết hợp chúng với những điều kiện về góc còn cho ra được những đẳng. .. để chứng minh một bất đẳng thức lượng giác phức tạp ta cần áp dụng nhiều phương pháp khác nhau một cách hợp lí để giải Sau đây là một số phương pháp phổ biến thường được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác 2.2.1 Sử dụng định nghĩa Để chứng minh một bất đẳng thức A > B nào đó ta sẽ chỉ ra rằng A – B>0 hoặc ngược lại khi cần chứng minh bất đẳng thức A – B > 0 ta có thể đưa về bất đẳng thức. .. = B − A  0   B = 90 2 2    17 Vậy tam giác ABC là tam giác vuông 2.1.3 Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản Các công thức lượng giác cơ bản là một công cụ vô cùng quan trọng đối với việc chứng minh các đẳng thức lượng giác Tùy theo bài toán lượng giác cần chứng minh mà ta chọn và sử dụng công thức cơ bản phù hợp để chứng minh bài toán đó 0 0 0 0 Bài tập: CMR: tan 30 + tan 40 + tan 50 + tan... ) ⇔ 4ab ( a + b ) 2 ≥0 (6) Từ hệ thức (5) ta suy ra được bất đẳng thức (6) đúng và do đó bất đẳng thức ban đầu đúng Nhận xét: Các cách biến đổi trên đều sử dụng các công thức lượng giác cơ bản sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng và tương đương với bất đẳng thức đã cho Khi giải bài toán ta sẽ nhận thấy được 32 việc sử dụng công thức lượng giác nào để có cách làm hay, ngắn,... số bài tập vận dụng để giúp người đọc, đặc biệt là học sinh Phổ thông hiểu và vận dụng có hiệu quả vào giải bài tập Đưa ra một số dấu hiệu để lượng giác hóa các hàm số khác, những dấu hiệu này là nền tảng cho việc giải thành công các bài toán đại số và bài toán chứng minh trong hình học bằng kiến thức lượng giác 27 Chương 3 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TẬP 3.1 Khai thác bài toán chứng minh đẳng thức, . tác giảng dạy sau này ở trường phổ thông. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần Mở đầu, tài liệu tham khảo và Kết luận, bố cục của khóa luận bao gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Giới. toán lượng giác cho học sinh, sinh viên. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lí luận về kiến thức lượng giác cơ bản, về một số phương pháp giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng. Phương pháp nghiên cứu lí luận: bao gồm phân tích, tổng hợp các sách, báo, một số công trình nghiên cứu, tạp chí khoa học có liên quan. Phân loại hệ thống kiến thức về mặt lí luận theo các dạng khác