Bài toán chứng minh đẳng thức Vectơ

Đặc biệt, trong bài viết này một học sinh lớp 10B2 trường THPT Lê Lợi đã đề xuất một cách giải rất độc đáo.. Nhận xét 1:[r]

VỀ MỘT BÀI TOÁN

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ ThS Đặng Quang Thanh GV Trường THPT Lê Lợi

Dưới tốn hay có nhiều lời giải Đặc biệt, viết học sinh lớp 10B2 trường THPT Lê Lợi đề xuất cách giải độc đáo!

Nhận xét 1:

Rất nhiều học sinh hay nghĩ tới việc “chèn điểm” Vấn đề đặt chèn điểm cho hiệu ? Một đẳng thức dễ thấy ABC (một đường gấp khúc khép kín)

0 ABBCCA Do ta có cách giải

Cách giải 1:

Ta có AM BNCPABBM  BCCN  CAAP

ABBCCA  BM CNAP

BMCNAP (do ABBCCA0) (1)

Đến ta cần đưa ba vectơ BM CN AP, , thành ba vectơ khép kín, có hai hướng giải sau

Hướng 1: (Dành cho học sinh học hết tổng hiệu vectơ)

Giả thiết tốn có trung điểm cạnh nên nghĩ tới đường trung bình

Vì BMNP CNPM APMN, , hình bình hành nên

, ,

BM PN CNMP APNM

Vậy BMCNAPNMMPPN0 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh

Hướng 2: (Dành cho học sinh học tích số với vectơ)

Vì M N P, , trung điểm cạnh BC CA AB, , nên , ,

2 2

BM  BC CN  CA AP AB

Do đó, 1  (3)

2

BM CNAP ABBCCA 

Từ (1) (3) ta có điều phải chứng minh

M

N P

B C

A

Bài toán: Cho tam giác Gọi trung điểm cạnh Chứng

Nhận xét 2:

Trong Hướng Cách giải 1, xuất hình bình hành BMNP CNPM APMN, , nên nghĩ đến quy tắc hình bình hành

Cách giải 2:

Vì BMNP CNPM APMN, , hình bình hành nên

, ,

AM ANAP BNBPBM CPCMCN

Do đó, AM BNCPBM CM  ANCN  APBP Lại M N P, , trung điểm cạnh BC CA AB, , nên

0, 0,

BMCM  ANCN APBP

Vì AMBNCP0 Nhận xét 3:

Các vectơ AM BN CP, , tạo ba đường trung tuyến tam giác ABC nên nghĩ đến sử dụng tính chất liên quan đến trọng tâm tam giác:

Điểm G trọng tâm ABC

GA GB GC  

Cách giải 3: (Một học sinh lớp 10 B2 quên ghi tên đề xuất)

Gọi G trọng tâm ABC Ta có AMBNCPGMGA  GNGB  GP GC 

  (4)

GM GN GP GA GB GC GM GN GP

     

  

Vì BMNP CNPM APMN, , hình bình hành nên AM qua trung điểm PN, BN qua trung điểm PM, CP qua trung điểm MN Do đó, G trọng tâm MNP  Dẫn đến GMGNGP0 (5)

Từ (4) (5) ta có điều phải chứng minh

Lời bình: Đây cách giải bất ngờ, người nghĩ tới Rất đáng khen học sinh có ý tưởng này.

Cách giải 4: (Dành cho học sinh học tích số với vectơ) Gọi G trọng tâm ABC Ta có

3 3

, ,

2 2

AM   GA BN   GB CP  GC

Do đó, 3 

2

AM BNCP  GA GB GC  

G

M

N P

B C

A

G

M

N P

B C

Nhận xét 4:

Giả thiết tốn có trung điểm nên nghĩ đến sử dụng tính chất sau :

Cho điểm I trung điểm đoạn thẳng AB Khi đó, với điểm O ta có

OA OB  OI

Cách giải 5: (Dành cho học sinh học tích số với vectơ) Áp dụng tính chất ta có

     

1 1

, ,

2 2

AM  ABAC BN  BCBA CP CA CB

Do đó,

     

1 1

0

2 2

AM BNCP ABBA  BCCB  CAAC 

Nhận xét 5:

Vì yêu cầu chứng minh tổng vectơ nên từ đầu ta nghĩ đến việc chuyển vectơ AM BN CP, , thành vectơ khép kín cách dựng vectơ vectơ

Cách giải 6:

Dựng hình bình hành BMQN Khi MNQC hình bình hành APCQ hình bình hành Vì vậy, ta có BNMQ CP, QA Vậy AMBNCPAMMQ QA 0

Kết luận: Các bạn thấy đấy, từ toán tưởng chừng khó khăn chịu khó suy nghĩ ta tìm nhiều lời giải Hy vọng sớm nhận nhiều trao đổi từ bạn !

I

A B

O

M

N P

B C

A

M

N P

B C

A