Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

1 Chủ đề Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC D CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC MỤC LỤC D CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC  LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác Phương pháp 2: Sử dụng tính chất hình đặc biệt Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường đặc biệt, điểm đặc biệt Phương pháp 4: Sử dụng tính chất liên quan đến đường trịn Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … B CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 10 Tính chất trung điểm đoạn thẳng 10 Đường trung bình 10 Định lý Talet: 11 Tính chất đường phân giác tam giác 12 Các trường hợp đồng dạng tam giác 13 Hệ thức lượng tam giác vuông 14 Tỉ số lượng giác góc nhọn 15  PHẦN BÀI TẬP 16 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Trong hình học đề thi tuyển sinh vào 10, có yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung đẳng thức hình học Chủ đề hệ thống số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học Hãy nắm vững kiến thức học năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc em đạt kết cao học tập! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác Lấy tờ bìa mỏng, gấp đơi lại Trên nửa tờ bìa vẽ tam giác Vẫn gấp đơi tờ bìa, cắt lấy tam giác, ta hai miếng tam giác đặt trùng khít lên Đó hình ảnh hai tam giác A A B A' C C B B' C' a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng ′B′; AC A= ′C ′, BC B′C ′ =  AB A= ∆ABC = ∆A′B′C ′ ⇔   B   C ′ ′; B ′;C = A= =  A  b) Các trường hợp hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B '  AC = A 'C '  ⇒ ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.c.c ) BC = B 'C '   Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B '   =B '  B  ⇒ ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.g.c ) BC = B 'C '    *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:  =B '  B   BC = B 'C ' ⇒ ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g )  =C '  C   c) Các trường hợp hai tam giác vuông  Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng  Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng  Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp 2: Sử dụng tính chất hình đặc biệt (chỉ khai thác yếu tố nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) Hai cạnh bên tam giác cân, tam giác (Hình học lớp 7) Tam giác cân: Hai cạnh bên tam giác cân Tam giác đều: Tam giác có cạnh Sử dụng tính chất cạnh đường chéo tứ giác đặc biệt: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi (Hình học lớp 8) Hình thang cân: Hai cạnh bên nhau, hai đường chéo Hình bình hành: Hai cặp cạnh đối nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình chữ nhật: Hai cặp cạnh đối nhau, hai đường chéo nhau, hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình vng: Bốn cạnh nhau, hai đường chéo nhau, giao điểm hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình thoi: Bốn cạnh nhau, giao điểm hai đường chéo cắt trung điểm đường A A ABCD hình thang cân AD = BC AC = BD A B ABC AB = AC= BC ABC cân AB = AC B B C ABCD hình bình hành AD = BC AB = CD OA = OC OD = OB A A ABCD hình chữ nhật AB = CD; AC = BC AC = BD OA = OB = OC = OD D B B C ABCD hình vng AB = BC = CD = DA AC = BD OA = OC = OD = OB A B O O D C C O D Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp C D C Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ABCD hình thoi AB = BC = CD = DA OA = OC OD = OB A B ABC vuông A AM đường trung tuyến AM = BC = BM = MC A ABC , phân giác BD M thuộc MD MN ⊥ BA, MP ⊥ BC MN = MP D A N M O M B D C C B P C G trọng tâm ABC AG cắt BC D AD trung tuyến ⇒ DB = DC A G B B F B A OE = OG ⇒ AB = CD O C D A A O O P D G C D C   ⇒ AB = CD AB = CD B PA, PB tiếp tuyến (O) PA = PB Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường đặc biệt, điểm đặc biệt Sử dụng tính chất đường trung tuyến (đường thẳng qua trọng tâm tam giác), đường trung tuyến tam giác vng, đường trung bình tam giác, đường đồng quy tam giác đặc biệt + Trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác tới trung điểm cạnh đối diện + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học - “Đường thẳng xuất phát từ đỉnh qua trọng tâm tam giác đường trung tuyến tam giác đó” ⇒ qua trung điểm cạnh đối diện - Về đường đồng quy tam giác đặc biệt: ví dụ: đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên tam giác cân nhau, đường trung tuyến tam giác nhau, … (phần sử dụng phải chứng minh) + Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc - Điểm nằm tia phân giác cách cạnh góc Khoảng cách từ điểm đường trung trực đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng (Hình học 7): - Định lý thuận: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Nếu điểm M nằm đường trung trực đoạn thẳng AB MA = MB Sử dụng tính chất trung điểm (Hình học 7) - Trung điểm điểm nằm đoạn thẳng, chia đoạn thẳng làm hai đoạn dài Hình chiếu hai đường xiên ngược lại (Hình học 7) - Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại hai hình chiếu hai đường xiên Phương pháp 4: Sử dụng tính chất liên quan đến đường trịn Sử dụng tính chất hai dây cách tâm đường trịn (Hình học 9) - Trong đường tròn: Hai dây cách tâm Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao đường trịn (Hình học 9) - Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm điểm cách hai tiếp điểm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Sử dụng quan hệ cung dây cung đường trịn (Hình học 9) - Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … Dùng tính chất bắc cầu: Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Có độ dài (cùng số đo) nghiệm hệ thức Đường thẳng song song cách đều: - Nếu đường thẳng song song cách cắt đường thằng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp Sử dụng tính chất đẳng thức, hai phân số Sử dụng kiến thức diện tích (Hình học 8) Sử dụng bình phương chúng (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác, đường trịn để đưa bình phương chúng nhau) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 10 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học B CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ Tính chất trung điểm đoạn thẳng Trung điểm điểm nằm đoạn thẳng, chia đoạn thẳng làm hai đoạn dài B trung điểm đoạn thẳng AC A B C AB  BC ; AB BC   AC AC Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh GA GB GC 2    khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy: DA EB FC G trọng tâm tam giác ABC A Khai thác thêm: AG  2GD; CG=2GF; BG=2GE GD GE GF    AD BE CF GD GF GE  =  AG CG BG E F G D B C Đường trung bình • Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác (h.3.1) • Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang (h.3.2) Hình 3.1 Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp Hình 3.2 21 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O; R ) Gọi I giao điểm AC BD Kẻ IH vng góc với AB ; IK vng góc với AD ( H ∈ AB; K ∈ AD ) a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh IA.IC = IB.ID c) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng Hướng dẫn giải A a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường trịn Xét tứ giác AHIK có: K  AHI = 90° ( IH ⊥ AB)  AKI = 90° ( IK ⊥ AD) D Xét ∆IAD ∆IBC có: A1 = B  (2 góc nội tiếp chắn cung DC ( O ) )   (2 góc đối đỉnh) AID = BIC ⇒ ∆IAD ” ∆IBC (g.g) IA ID = ⇒ IA.IC = IB.ID IB IC c) Chứng minh tam giác HIK tam giác BCD đồng dạng Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có A1 = H  (2 góc nội tiếp chắn cung IK )  =B 1 1 ⇒ H Mà A1 =B 1 = D 1 Chứng minh tương tự, ta K 1 B =  D 1 ∆HIK ∆BCD có: = H ; K1 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B 1 O ⇒ Tứ giác AHIK nội tiếp ⇒ I ⇒ AHI +  AKI =180° b) Chứng minh IA.IC = IB.ID H C 22 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ⇒ ∆HIK ” ∆BCD (g.g) Bài 6: Cho ∆ABC có ba góc nhọn Đường trịn ( O ) đường kính BC cắt cạnh AB, AC điểm D E Gọi H giao điểm hai đường thẳng CD BE a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn b) Gọi M giao điểm AH BC Chứng minh CM CB = CE.CA c) Chứng minh ID tiếp tuyến đường tròn ( O ) Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn = 90° (chắn nửa đường trịn) Ta có : BDC = 90° (chắn nửa đường tròn) BEC = = ADH = BDC 90°,  AEH = BEC 90° Suy :  Xét tứ giác ADHE có:  ADH +  AEH= 90° + 90°= 180° Tứ giác ADHE có hai góc đối bù Vậy tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn Tâm I trung điểm cạnh AH b) Chứng minh CM CB = CE.CA Xét hai tam giác CBE CAM có :  ACM góc chung  = 90° (chứng minh trên) AMC= BEC Suy hai tam giác CBE CAM đồng dạng ⇒ CM CA = ⇒ CM CB =CE.CA CE CB c) Chứng minh ID tiếp tuyến đường trịn ( O ) Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 23 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  = IHD  (do ∆IDH cân I ) (1) Ta có : IDH  = CHM  (đối đỉnh) ( ) IHD  = OCD  (do ∆ODC cân O ) ( 3) Mặt khác : ODC Ngoài ra, tam giác vng MHC có :  + MCH = CHM 90° ( )  =°  + ODC 90 Từ ( 1 ) , ( ) , ( 3) , ( ) suy ra: IDH Suy : ID ⊥ DO Vậy ID tiếp tuyến ( O ) Bài 7: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) Đường cao CD ∆ABC cắt đường tròn ( O ) E Từ B kẻ BF ⊥ AE F a) Chứng minh tứ giác BDEF nội tiếp đường tròn b) Kẻ đường cao BK ∆ABC Chứng minh: c) Chứng minh: EF CK = BF BK AE AC AF AC + = + BF BK BF BK CE AE AC + d) Chứng minh: = BD BF BK Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác BDEF , ta có: A  = 90° (gt) BDE  = 90° (gt) BFE  + BFE = ⇒ BDE 180° Vậy tứ giác BDEF nội tiếp đường trịn b) Ta có: tứ giác ACBE nội tiếp đường tròn ( O ) =  ⇒ BEF ACB (cùng bù  AEB ) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp K E D F B O C 24 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ⇒ ∆BEF ” ∆BCK ( g − g ) ⇒ c) Ta có: Mà: ⇒ EF CK = BF BK AE AC AF − EF AK + KC AF AK EF KC + = + = + − + BF BK BF BK BF BK BF BK EF CK = (câu b) BF BK AE AC AF AC + = + (1) BF BK BF BK d) Ta có: ∆EDB ” ∆AKB( g − g ) ⇒ Lại có: ∆CDB ” ∆AFB( g − g ) ⇒ ⇒ ED CD AF AK + = + BD BD BF BK ⇔ CE AF AK = + BD BF BK Từ (1) ( ) ⇒ Bài 8: ED AK = BD BK CD AF = BD BF ( 2) CE AE AC = + BD BF BK Cho nửa đường trịn ( O ) đường kính AB = R , dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D , OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn ( O ) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Hướng dẫn giải Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp AMB=  90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) Có  ⇒     AM ⊥ MB Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 25 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học =  90° ⊥ CD Vậy MKC Mà CD      BM (gt) nên AM      = ° ⊥ AC ⇒ MHC = CM (gt) ⇒ OM       90 Lại có AM          = 1 800  nên tứ giác nội tiếp đường tròn + MHC Tứ giác CKMH có MKC Chứng minh CD = MB DM = CB D ACB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa Ta có  đường trịn) K Do DM     CB , mà CD   MB C M (gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB H A B O Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn ( O ) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn ( O )   ⇔ ∆ADC có AK     ⊥ CD DH ⊥ AC   nên M trực tâm tam giác Suy CM  ⊥ AD Vậy AD ⊥ AB ⇔ CM  AB ⇔ AM = BC = BC ⇔ AM = MC = BC ⇒ COB 60° Vậy tam giác OBC Mà AM = MC nên AM =  = 60o Vậy điểm C điểm thuộc nửa đường tròn cho CBA Bài 9: Cho đường trịn tâm O đường kính A , M điểm nằm đoạn thẳng OB ( M khác O B ) Đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt ( O ) C , D Trên tia MD lấy E nằm ( O ) Đường thẳng AE cắt ( O ) điểm I khác A , đường thẳng BE cắt ( O ) điểm K khác B Gọi H giao điểm BI Chứng minh: a) Tứ giác MBEI nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp b) Các tam giác IEH MEA đồng dạng với Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 26 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học c) EC.ED = EH EM d) Khi E thay đổi trên, đường thẳng HK qua điểm cố định Hướng dẫn giải   AIB = EIB = EMB = 90o a) Ta có  E Vậy tứ giác MBEI nội tiếp đường tròn, tâm đường tròn trung điểm BE I b) ∆EIH ” ∆MEA D = EMA = 90° AEM góc chung EIH Vì  H c) ∆EIH ” ∆MEA ⇒ EI EA = EH EM (1) EC ED (2) ∆EAD ” ∆ECI (g-g) ⇒ EI EA = A Từ (1) (2) suy ra: EC.ED = EH EM O K M B d) H trực tâm tam giác AEB nên AH ⊥ EB C AKB= 90° nên AK ⊥ EB ⇒ ba điểm Vì  d A, H , K thẳng hàng Do A cố định nên HK qua điểm A cố định Bài 10: Cho đường tròn tâm O bán kính R , hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn AB lấy điểm M khác O , đường thẳng CM cắt đường trịn N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với dường tròn N điểm P a) Chứng minh: Tứ giác OMNP nội tiếp b) Chứng minh: ∆MCO = ∆OPM , suy OMPD hình chữ nhật c) Chứng minh: CM //OP d) Tính tích CM CN theo R Hướng dẫn giải Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 27 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học = PNO = 90° ⇒ M , N thuộc đường trịn đường kính PO a) Ta có: PMO Vậy tứ giác OMNP nội tiếp  = ONM  ( tứ giác OMNP nội tiếp) b) Ta có: OPM  = OCM  ( tam giác OCN cân O ) ONM  ⇒ CMO  = POM  ⇒ OPM = OCM C ⇒ ∆MCO = ∆OPM ( g − c − g ) ⇒ CO = MP = R = DO = R ; PM //DO (cùng vng góc Ta có PM với AB ) ⇒ OMPD hình bình hành = 90° nên OMPD hình chữ Mặt khác: MOD R A O M nhật B N   ⇒ CM //OP = POM c) Ta có: CMO P D d) ∆EAD ” ∆ECI CM CO ⇒ = ⇒ CM CN =CO.CD =2CO =2 R CD CN Bài 11: Cho đường tròn ( O; R ) dây AB , vẽ đường kính CD vng góc với AB K ( D thuộc cung nhỏ AB ) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC , DM cắt AB F a Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp b Chứng minh: DF DM = AD c Tia CM cắt đường thẳng AB E Tiếp tuyến M ( O ) cắt AF I Chứng C minh: IE = IF d Chứng minh: FB KF  EB KA j M O Hướng dẫn giải  =90° ; a) Vì AB ⊥ CD ⇒ CDF = 90° (Góc n.tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) ) Mà CMF Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp A K D F B I E 28 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ⇒ Tứ giác CKFM nội tiếp b) Ta có DF DM = DK DC (Do ∆DKF  ∆DMC ( g − g ) ) DK DC = AD (Pitago tam giác vng ADC có AK đường cao) Suy ra: DM DF = AD    ⇒ ∆MIF cân I ⇒ MI = MF (1) c) MFI = CDM = DMI  =° =  + IMF  + MEI  =° Mà IME EMF 90 ; MFI 90 ( Vì ∆MEF vng M )   ⇒ ∆MIE cân I ⇒ IE =  = MFI  ⇒ IME IM Mặt khác theo c/m trên: IMF = IEM (2) ; Từ (1) (2) suy ra: IF = IE d) Ta có KA = KB (T/c đường kính vng góc dây cung) Ta có: ∆DKF ∽ ∆EKC ( g − g ) ⇒ DK KF = ⇔ KE.KF = KD.KC EK KC Mà KD.KC = KB (Pitago tam giác vng CBD có BK đường cao) KB ⇔ BE.KF = KB − KB.KF KB ⇔ KB.KF + BE.KF = ⇔ ( KB + BE ) KF = = KB ( KB − KF ) ⇔ BE.KF = KB.FB ⇔ FB KF FB KF = ⇔ = EB KB EB KA Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Dựng đường trịn tâm O đường kính AH cắt AB E , cắt AC F Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) E , F cắt cạnh BC M N a) Chứng minh tứ giác MEOH nội tiếp b) Chứng minh AB.HE = AH HB c) Chứng minh ba điểm E , O, F thẳng hàng Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 29 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học d) Cho AB = 10cm , AC = 15cm Tính diện tích ∆MON Hướng dẫn giải A a) Chứng minh tứ giác MEOH nội tiếp = 90° ( EM tiếp tuyến (O) ) Ta có: OEM E = 90° ( AH đường cao) OHM  + OHM = 90° + 90°= 180° ⇒ OEM B Vậy tứ giác MEOH nội tiếp F O M H N b) Chứng minh AB.HE = AH HB Xét ∆ABH vuông H ∆HBE vuông E có:  chung B Vậy ∆ABH ” ∆HBE ( g.g ) ⇒ AB AH = hay AB.HE = AH HB HB HE c) Chứng minh ba điểm E , O, F thẳng hàng =  = 90° Ta có: EAF AEH= HFA Suy tứ giác AEHF hình chữ nhật Suy EF , AH hai đường chéo Mà O trung điểm AH nên O trung điểm EF Vậy ba điểm E , O, F thẳng hàng d) Cho AB = 10cm , AC = 15cm Tính diện tích ∆MON OM Ta có OM đường trung bình ∆ABH nên = ON Tương tự, ta có= 1 2= 15 = AC 2 1 = AB 2= 10 2 15(cm)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OM tia phân giác EOH Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 10(cm) C 30 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học   = MOH EOM   = NOF Tương tự ta có HON  + HOF = Mặt khác EOH 180° (kề bù) = 90° ⇒ ∆MON vuông O Suy MON = S ∆MON 1 = OM ON = 10 15 (cm ) 2 Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B với đường tròn ( O ) cắt tia CA D Trên cạnh AB lấy điểm E ( E không trùng với A B ) Tia CE cắt đường tròn ( O ) F cắt BD K Tia BF cắt CD M a) Chứng minh ∆MAB ∽ ∆MFC b) Chứng minh tứ giác AFKD nội tiếp c) Tia ME cắt BC H Tứ giác MDBH hình gì? BC d) Chứng minh AB.EB + CE.CF = Hướng dẫn giải a) Chứng minh ∆MAB ” ∆MFC D = CFM = 90° Ta có: BAM  = MCF  ( chắn cung AF ) MBA Vậy ∆MAB ” ∆MFC (g.g) M K F A E b) Chứng minh tứ giác AFKD nội tiếp Do ∆ABC vuông cân A nên  ACB=  ABC= 45°  ⇒ AFC = ABC =° 45 (cùng chắn cung AC ) = 45° ⇒ D  = 45° ∆DBC vuông cân B có DCB  ⇒ AFC = D Lại có  AFC +  AFK = 180° (kề bù) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B H O C 31 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học + ⇒D AFK = 180° Vậy tứ giác AFKD nội tiếp c) Tứ giác MDBH hình gì? Ta có E trực tâm ∆BMC ⇒ MH ⊥ HB(1) MH //DB (2) (vì vng góc với BC ) Từ (1), (2) suy tứ giác MDBH hình thang vng BC d) Chứng minh AB.EB + CE.CF = Ta có: ∆ABC ” ∆HBE ⇒ AB BC = ⇒ AB.EB = BC.HB (3) HB EB CF BC CF= EC HC.BC (4) ∆FCB ” ∆HCE ⇒= HC EC Cộng (3) (4) AB.EB + CF EC= BC.HB + HC.BC= BC ( HB + HC )= BC.BC= BC BC Vậy AB.EB + CE.CF = Bài 14: Cho đường trịn (O; R) hai đường kính AB, CD Tiếp tuyến A đường trịn (O) cắt đường thẳng BC BD E , F Gọi P, Q trung điểm đường thẳng AE , AF a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp b) Chứng minh CE.DF EF = AB BE CE = BF DF c) Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA d) Hai đường kính AB CD có vị trí tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Tính diện tích nhỏ theo R Hướng dẫn giải Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 32 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học B O D I C H E P A Q F a) Tứ giác CDEF nội tiếp = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CBD =  ABF ) ⇒ EFB ABC (vì phụ   ∆OBC có OB = OC = R nên ∆OBC cân O ⇒  ABC = OCB  ⇒ tứ giác CDFE nội tiếp (có góc góc ngồi đỉnh đối  Suy ra: EFB = OCB diện) b) CE.DF EF = AB BE CE = BF DF Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: = AE CE = BE , AF DF BF AB.EF = BE.BF AB 2= AE AF ⇒ AB 4= AE AF 2= CE.BE.DF BF= CE.DF ( BE.BF = ) CE.DF EF AB Do AB = CE.DF EF BE EA.EF EA BE EA2 CE.BE Ta lại có: = = ⇒ = = BF FA.EF FA BF FA2 DF BF BE CE Vậy: = BF DF c) H trung điểm AD Kẻ PI ⊥ BQ( I ∈ BQ) PI cắt AB H ⇒ H trực tâm ∆BPQ Ta có: AB = AE AF ⇒ AE AB AE AB AE AB = ⇒ = ⇒ = AB AF AB / AF / OA AQ   AE AB    ⇒ ∆AEO ∽ ∆ABQ  EAO = BAQ= 90°, =  ⇒ ABQ= AEO OA AQ   = ) Mà IPQ ABQ (cùng phụ với BQP Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 33 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  , mà hai góc vị trí đồng vị nên IP / / OE ⇒ AEO = IPQ Trong ∆OAE có: PI / / OE; EP= PA( gt ) ⇒ OH= HA Bài 15: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB = R, dây cung MN (O) vuông góc với AB I cho IA < IB Trên đoạn MI lấy điểm E ( E ≠ M , E ≠ I ) Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AM = AE AK 4R2 c) Chứng minh AE AK + BI BA = d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi ∆MIO đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải a) Tứ giác IEKB nội tiếp Ta có:  AKB = 60o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  = 90o + 90o = 180o ⇒ AKB + BIE ⇒ Tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn b) AM = AE AK K M  Ta có: AB ⊥ MN I ⇒  AM = AN  ⇒ AME = AKM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) E A I  : chung,  ∆AME ∆AKM có: MAK AME =  AKM (cmt) ⇒ ∆AME ∽ ∆AKM (g.g) AM AE ⇒ = ⇒ AM = AE AK AK AM O N 4R2 c) AE AK + BI AB =  AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: MB = BI AB Do đó: AE AK + BI AB = MA2 + MB = AB = R Bài 16: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (khác với điểm A) Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt tiếp tuyến kẻ từ điểm A B nửa đường tròn (O) C D Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm E a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B 34 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học b) Chứng minh DM CM = DE CE c) Chứng minh điểm E thay đổi tia đối tia AB, tích AC.BD khơng đổi Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường trịn  = 90o Vì AC tiếp tuyến (O) nên OA ⊥ AC => OAC  = 90o Vì MC tiếp tuyến (O) nên OM ⊥ MC => OMC  + OMC  = => OAC 180o Suy OACM tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DM CM = DE CE Xét hai tam giác vng OAC OMC có OA OM = R = ⇒ ∆OAC = ∆OMC  chung OC (cạnh huyền – cạnh góc vng) ⇒ CA = CM ⇒ Tương tự ta có CM CA = CE CE DM DB = DE DE Mà AC // BD (cùng vng góc AB) nên CA CE CA DB CM DM = ⇒ = ⇒ = DB DE CE DE CE DE c) Chứng minh điểm E thay đổi tia đối tia AB, tích AC.BD khơng đổi Vì ∆OAC = ∆OMC ⇒ AOC = MOC ⇒ AOC = AOM Tương tự: BOD = BOM Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 35 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học  Suy  AOC + BOD =   ( AOM + BOM= ) 90o Mà AOC+ ACO =90o ⇒ ACO =BOD AO AC ⇒ ∆AOC ” ∆BDO( g g ) ⇒ = ⇒ AC.BD = AO.BO = R (không đổi, đpcm) BD BO Hết Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp ... 4: Chứng minh đẳng thức hình học Trong hình học đề thi tuyển sinh vào 10, có yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung đẳng thức hình học Chủ đề hệ thống số biện pháp chứng. .. minh đẳng thức hình học Hãy nắm vững kiến thức học năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc em đạt kết cao học tập! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 3 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức. .. kẻ từ điểm E a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường trịn Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B 34 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học b) Chứng minh DM CM = DE CE c) Chứng minh điểm E thay