Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy

1 Chủ đề Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY MỤC LỤC F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY Bài tập có giải Một số tập tự rèn: 16 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG Cách Lợi dụng định lí đường đồng quy tam giác  Sử dụng định lí ba đường cao tam giác đồng quy điểm  Sử dụng định lí ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác  Sử dụng định lí: 1.Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm  Giao điểm hai đường phân giác nằm đường phân giác góc thứ ba  Sử dụng định lí ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Cách Sử dụng tính chất đường chéo cắt tai trung điểm đường của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Cách Lùi quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng giao điểm hai đường nằm đường thẳng thứ ba Chúc em học sinh học tập tốt! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 2 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài tập có giải Sử dụng tính chất đường chéo cắt tai trung điểm đường của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Bài 1: Trên hình vẽ bên, cho ABCD hình bình hành Chứng minh rằng: a) EFGH hình bình hành b) Các đường thẳng AC , BD, EF , GH đồng quy Hướng dẫn giải a) Chứng minh = EG HF = ; EH GF b) Gọi O giao điểm AC EF Tứ giác AECF có AE = CF , AE / /CF nên hình bình hành Suy O trung điểm AC , EF ABCD hình bình hành, O trung điểm AC nên O trung điểm BD EGHF hình bình hành, O trung điểm EF nên O trung điểm GH Vậy AC , BD, EF , GH đồng quy O Lợi dụng đường đồng quy tam giác: đồng quy trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Từ điểm C ngồi đường trịn ( O ) kẻ I tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI , CJ theo thứ tự cắt M A đường tròn ( O ) M , N Chứng minh IN , JM , AB đồng quy điểm D B C D O Hướng dẫn giải M thuộc đường trịn đường kính IJ nên = 90° hay JM ⊥ CI JMI Tương tự IN ⊥ CJ Tam giác CIJ có đường cao CA, JM , IN đồng quy D Vậy IN , JM , AB đồng quy điểm D Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp N J Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Hướng dẫn giải C C 12 D S F H×nh a O O S M E 2 A D M F E 1 B A H×nh b B  = 900 ( tam giác ABC vng A); MDC  = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa Ta có CAB  = 900 D A nhìn BC góc 900 nên đường tròn ) => CDB A D nằm đường trịn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp = C  ( nội tiếp chắn cung AB) ABCD tứ giác nội tiếp => D = C  => SM = C  (hai góc nội tiếp đường trịn (O) chắn hai cung  => C  = EM D 3 nhau) => CA tia phân giác góc SCB TH2 (Hình b)   (cùng phụ   (cùng bù   = CDS  ABC = CME ACB );  ADC ) => CME ABC = CDS  =CS  ⇒ SM  =EM  => SCM  = ECM  => CA tia phân giác góc SCB => CE Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy =  = EM  => D Theo Ta có SM D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 4 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy  = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB  = 900 Ta có MEC  = 900 ; MEB  = 900 => MAB  + MEB = Tứ giác AMEB có MAB 1800 mà hai góc  đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn =>  A2 = B  ( nội tiếp chắn cung CD) Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp =>  A1 = B => A1 =  A2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) ta có M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội Hướng dẫn giải M C  = BDA=90  BCA ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) …  + IDM  = => MCI 1800 mà hai góc đối tứ giác MCID nên MCID tứ giác nội tiếp AD, MC, MH ba đường cao tam giác BAM nên K I A O H D B đồng quy I Chỉ KCI tam giác cân, từ    CIK = HIB = CAB =  ACO  = 900 … (tự chứng minh)   = KCI  + OCI  = 900 Từ OCK ACO + OCI Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Tiếp tuyến B C đường tròn (O;R) cắt T, đường thẳng AT cắt đường tròn điểm thứ hai D khác A 1.Chứng minh ∆ABT ” ∆   BDT Chứng minh : AB.CD = BD.AC Chứng minh hai đường phân giác góc BAC; BDC đường thẳng BC đồng quy điểm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 5 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Hướng dẫn giải Xét tam giác ABT tam giác BDT có:  chung BTD  = TBD  (góc nội tiếp góc tạo tiếp BAT tuyến dây chắn cung BD) => ∆ABT ” ∆   BDT (g-g) Có ∆ABT ” ∆   BDT (g-g) AB AT = > = (1) BD BT Chứng minh ∆ACT ” ∆CDT (g-g) AC AT = > =(2) CD CT Tiếp tuyến B C cắt T nên BT = CT (3) AB AC BD AC = = > AB.CD = Từ (1), (2), (3) có BD CD Phân giác góc BAC cắt BC I, theo tính chất phân giác tam giác ta có: IB AB = IC AC AB BD IB BD > == > = Từ AB.CD = BD.AC = AC CD IC CD => DI phân giác góc BDC Do hai đường phân giác góc BAC BDC đường thẳng BC đồng quy Bài 6: Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax By Lấy M đường tròn cho AM < BM AM cắt By F, BM cắt Ax E a Chứng minh: AB = AE.BF b Tiếp tuyến đường tròn M cắt AE, BF C D Chứng minh C D trung điểm AE BF c Chứng minh đường thẳng AB, CD, EF đồng quy Hướng dẫn giải  = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ AM ⊥ BE a Ta có AMB Xét ∆EAB ∆ABF có: )   AEB  = FAB  (cùng phụ với EAM EAB=ABF; Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 6 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Suy ∆EAB ~ ∆ABF ( g.g) ⇒ AB AE ⇔ AB2 = AE BF = BF AB b CA = CM CO tia phân giác  ACM ⇒ ∆AMC cân C CO đường cao ⇒ CO ⊥ AM Do ∆ABE có OA=OB, OC//BE nên CA=CE c Gọi giao điểm AB EF S Ta chứng minh S, C, D thằng hàng Giả sử SC cắt BF D’ Vì AE // BF nên theo định lí Ta-let, có: AC BD' = =1 ⇒ D’ trung điểm BF CE D'F ⇒ D trùng với D’ hay S, C, D thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AB, EF, CD đồng quy S Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) H trực tâm tam giác ABC Vẽ đường kính AD đường tròn (O ) ; vẽ OM  BC M a) Chứng minh OM  AH b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H ,G,O thẳng hàng HG  2GO c) Gọi B ,C  trung điểm cạn CA, AB Đường thẳng d1 qua M song song với OA , đường thẳng d2 qua B  song song với OB , đường thẳng d3 qua C  song song với OC Chứng minh đường thẳng d1, d2 , d3 đồng qui d1 A Hướng dẫn giải N a) HB  AC ( H trực tâm ABC )   900 BH  AC , DC  AC AD đường kính nên ACD  BH  DC Chứng minh tương tự có: CH  DB Do tứ giác BHCD hình bình hành Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp H B G O C M D Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Ta có: O A  BC  M trung điểm HD OM đường trung bình AHD nên OM  AH 2 b) ABC có AM đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM AG  AM nên G trọng tâm tam giác AHD HO đường trung tuyến nên HO qua G HG  2GO Gọi N giao điểm d1 với AH HAD có MN  AD , M trung điểm HD  N trung điểm AH Ta có: NH  OM ( AH ), NH  OM Do HNOM hình bình hành  d1 qua trung điểm I OH Chứng minh tương tự có d2 , d3 qua I Vậy đường thẳng d1, d2 , d3 đồng quy Bài 8: Trên cạnh AB, BC tam giác ABC dựng phía ngồi tam giác hình vuông ACA1A2 BCB1B2 Chứng minh đường thẳng AB1, A1B, A2B2 đồng quy B1 Hướng dẫn giải Trường hợp 1: C  900 Rõ ràng AB1, A1B, A2B2 đồng quy C A2 Trường hợp 2: C  900 Các đường trịn ngoại tiếp hình vng ACA1A2 BCB1B2 Có điểm chung c cắt M (khác C ) C B2 A2 A   450 (góc nội tiếp chắn cung phần tư đường trịn) Ta có: AMA   A MC  A AC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2   450 Tương tự: CMB Vì tia MA2 nằm hai tia MA MC ,tia MC nằm hai tia MB MA2  A    450  900  450  1800 MC  CMB nên AMA 2 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy hay A, M , B thẳng hàng Chứng minh tương tự A1, M , B A2 , M , B2 thẳng hàng Vậy AB1, A1B A2B2 qua M Hay AB1, A1B A2B2 đồng quy Bài 9: Cho đường trịn (O; R) , đường kính BC , A điểm đường tròn ( A khác B C ) Kẻ AH vng góc với BC ( H thuộc BC ) Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC đường trịn (O) D, E , F a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh OA vng góc với DE c) Chứng minh đường thẳng AF , DE , BC đồng quy d) Cho biết sđ  AB= 60° Tính theo R diện tích tứ giác BDEC Hướng dẫn giải A E F S D B I H O C a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp: Ta có:  ADH=  AEH= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ADE =  AHE (góc nội tiếp chắn cung AE ) Ta lại có:    ) AHE =  ACB (cùng phụ với EHC Vậy tứ giác BDEC nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 9 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy b) Chứng minh OA ⊥ DE : = OB = R) Ta có: ∆OAB cân O ( OA =  Mà OBA + OBA ACB =° 90 ( ∆ABC vuông A ) ⇒ OAB  AHE =  ACB + ⇒ OAB ADE =° 90 hay OA ⊥ DE c) Chứng minh đường thẳng AF , DE , BC đồng quy: Gọi S giao điểm AF BC ∆SAO có: AH ⊥ BC (gt) OI ⊥ AS (tính chất đường nối tâm đtr cắt nhau) ⇒ SI ⊥ OA (đường cao thứ ba ∆SAO ) Mà OA ⊥ DE (câu b) ⇒ S , D, I , E thẳng hàng hay đường thẳng DE qua S Vậy đường thẳng AF , DE , BC đồng quy d) Tính theo R diện tích tứ giác BDEC : sd  AB 60° Ta có: ∆ABC vng A ,  ACB= = = 30° R R; AB BC.sin= 30° 2= = 2 = AC BC.cos = R R 30° 2= AB AC R.R R = = BC 2R AH BC = AB AC ⇒ AH= Ta lại có: ∆ADE đồng dạng ∆ACB    S ACB  BC   BC  R   R  16 = ⇒ =  = =  =  S ADE  DE   AH   R   R      2 S ACB S ADE S ACB − S ADE S BDEC 13.S ACB 13 AB AC 13 R.R 13R ⇒ = = = ⇒ S BDEC = =⋅ =⋅ = 16 16 − 13 16 16 16 32 Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 10 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A , I điểm cạnh AC Đường trịn đường kính IC cắt BC E cắt BI D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn b) Chứng minh DB phân giác góc ADE c) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE d) Chứng minh AB, CD, EI đồng qui Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Ta có C = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BDC = 90° ( tam giác ABC vng A ) CAB E Mặt khác hai đỉnh D, A nhìn BC góc D 90° I Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh DB phân giác góc ADE K A Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Nên  ADB =  ACB (cùng chắn cung AB ) = IDE ACB (cùng chắn cung IE đường trịn đường kính IC )  ⇒ ADB = BDE ADE Vậy DB phân giác góc  c) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Chứng minh tứ giác ABEI nội tiếp đường tròn =  (cùng chắn cung IE ) ⇒ CAE CBD Mặt khác tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp B 11 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy  = CBD  (cùng chắn cung CD ) Nên CAD =  ⇒ AC phân giác góc DAE ⇒ CAE CAD Mà DB cắt AC I Do I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE d) Chứng minh AB, CD, EI đồng qui Gọi K giao điểm AB CD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ BD ⊥ KC Ta có BDC = 90° ( tam giác ABC vuông A ) ⇒ CA ⊥ KB CAB ∆CKB có BD CA hai đường cao cắt I nên I trực tâm ∆CKB ⇒ KE đường cao ∆CKB ⇒ KE ⊥ BC (1) = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ IE ⊥ CE ⇒ IE ⊥ BC (2) Mặt khác IEC Từ (1), (2) suy E , I , K thẳng hàng Vậy AB, CD, EI đồng qui K Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A C Vẽ đường tròn đường kính MC , cắt cạnh BC D Các đường thẳng BM AD cắt đường tròn điểm E , F Chứng minh rằng: a) ∆ABC ∽ ∆DMC Suy AB.MC = BC.DM b) Các tứ giác ABDM AECB nội tiếp c) AB //EF d) Các đường thẳng AB, CE , MD đồng quy Hướng dẫn giải Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 12 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy B D F A C M E I = MDC = 90° BCA  chung nên ∆ABC ∽ ∆DMC a) Vì BAC Do AB BC = ⇒ AB.MC = BC.DM DM MC  + MDB = b) Vì BAM 180° nên tứ giác AMDB nội tiếp = BEC = 90° nên tứ giác AECB nội tiếp Vì BAC ABM =  ADM ( chắn  AM ) c) Ta có:  = ) MEF ADM ( chắn MF  ⇒ AB //EF ABM = MEF Suy  d) Giả sử AB cắt EC I Ta có CA, BE đường cao tam giác BIC ⇒ M trực tâm ∆BIC ⇒ IM ⊥ BC Mà MD ⊥ BC ⇒ I , M , D thẳng hàng Vậy AB, EC , MD đồng quy M Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 13 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài 12: Hai đường tròn ( O; R ) ( O '; r ) tiếp xúc C ( R > r ) gọi AC BC hai đường kính qua C đường tròn ( O ) ( O ') DE dây cung đường tròn ( O ) vng góc với AB trung điểm M AB Tia DC cắt đường tròn ( O ') điểm thứ F a) Tứ giác ADBE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng c) DB cắt đường tròn ( O ') điểm thứ hai G Chứng minh DF, EG AB đồng quy d) Chứng minh MF tiếp tuyến ( O ') Hướng dẫn giải a) Tứ giác ADBE hình thoi AM = MB; MD = ME DE ⊥ AB  b) Ta có BE / / DA Nối BF ta có  ADF = BFD = 900 ⇒ BF / / DA Như BE / / DA BF / / DA mà qua B có đường thẳng song song với DA điểm B, F, E phải thẳng hàng c) Ta có CG vng góc với DB, mặt khác EC vng góc với DB Nhưng qua C tồn đường vng góc với DB nên E, C , G phải thẳng hàng DF, EG, AB phải đồng quy điểm C, trực tâm tam giác EDB  +O    mà MEF =F  O +F = d) Nhận thấy MEF ' BF = 900 nên F ' BF = F 900 , suy 1 ' = 900 Vậy MF tia tiếp tuyến đường trịn tâm O’ MFO Tốn Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 14 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy  = 900 ) Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, Bài 13: Cho ∆ABC (AC > AB, BAC AC Các đường tròn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) điểmt hai E; tia CA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh B, C, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiép c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, so sánh DH DE Hướng dẫn giải a) ) Áp dụng định lý góc nội tiếp chắn nửa đường trịn, ta có : � = 900 � = 900 ; ADC ADB  + ADC = Suy ADB 1 800 Vậy B, D, C thẳng hàng b) Áp dụng định lý góc nội tiếp chắn nửa đường trịn, ta có: � = 900 ; CEA � = 900 ; BFA  BEC  suy = BFC =( 90 ) Khi E; F hai đỉnh liên tiếp nhìn BC góc Vậy tứ giác BFEC nội tiếp c) Xét tam giác ABC có AD ⊥ BC ; BF ⊥ AC ; CE ⊥ AB Suy AD , BF , CE ba đường cao Vậy chúng cắt điểm S d) Ta có AEHF  = FAB  mặt khác FAB  = FDB  ⇒ EHF  = FDB  nội tiếp nên EHF ⇒ HE / / BC ⇒ AD ⊥ HE (1)     Vận dụng góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp ta có: FDA = FBA = FCE = ADE  ⇒ DA đường phân giác EDF (2) Từ (1) (2) suy DEH cân D suy DE = DH Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 15 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F, G Chứng minh : a) Các tứ giác ADEC AFBC nội tiếp b) AD.AB = AG.AE c) AC//FG d) AC, DE BF đồng quy Hướng dẫn giải   90 a) CAD = = , CED 90 ⇒ tứ giác ADEC nội tiếp   90 = CAB = , CFB 90 ⇒ tứ giác AFBC nội tiếp b) Ta có ∆AED ” ∆ABG ( g.g ) ⇒ AE AD = ⇒ AD AB = AE AG AB AG  =E c) Tứ giác ACED nội tiếp ⇒ C 1  Tứ giác DFGE nội tiếp ⇒ F1 = E = F  ⇒ AC / /GF Suy C 1 d) ∆BCD có CA , BF , DE đường cao ⇒ CA , BF , DE đồng quy Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 16 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Một số tập tự rèn: Bài 1: Cho hai đường tròn (O) ( O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường trịn (O') F Kẻ đường kính AE ( O') cắt đường tròn (O) tạo G Chứng minh: a) Tứ giác GFEC nội tiếp ; b) GC, FE, AB đồng quy Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý dây cung BC nhỏ, AK cắt CD H a Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp b Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c Kẻ DN  CB, DM  AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý dây cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c) Kẻ DN  CB, DM  AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB, Gọi I trung điểm OA Dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ AK cắt CD H a, Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp b, Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K c, kẻ DN  CB, DM  AC chứng minh MN,AB, CD đồng quy d, Cho BC = 25cm Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành cho tứ giác MCND quay quanh MD Chúc em học sinh học tập tốt! Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp  ... 1 .Chứng minh ∆ABT ” ∆   BDT Chứng minh : AB.CD = BD.AC Chứng minh hai đường phân giác góc BAC; BDC đường thẳng BC đồng quy điểm Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp 5 Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng. .. ⊥ CJ Tam giác CIJ có đường cao CA, JM , IN đồng quy D Vậy IN , JM , AB đồng quy điểm D Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp N J Chủ đề 6: Chứng minh đường thẳng đồng quy Bài 3: Cho tam giác ABC... cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh B, C, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiép c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy d) Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đường