Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyên đề 21 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY) 21.1 (h.21.8) Gọi giao điểm điểm ta phải chứng minh qua , tức phải chứng minh ba thẳng hàng Ta có: Ta có (kề bù) góc bẹt Do ba điểm thẳng hàng, dẫn tới ba đường thẳng 21.2 (h.21.9) Gọi đồng quy giao điểm hai đương thẳng Ta phải chứng minh Xét vng qua , Ta có: Do đó: Điểm C nằm đường trung trực MD ME nên CD = CM = CE Ta có Xét tam giác CDE cân C có Vậy tam giác CDE tam giác Vậy , hai tia ED EO trùng điểm D, O, E thẳng hàng Do ba đường thẳng BM, AC, DE dẫn tới ba đồng quy 21.3 Gọi O giao điểm tia Bx Cy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta phải chứng minh đường thẳng AM qua O Vẽ Tam giác BOC tam giác nên Ta có tổng Từ (1) (2) ta tính Mặt khác Nên (cùng bù với Ta có ) (cạnh huyền – góc nhọn) (cạnh huyền – cạnh góc vng) Do Suy ba điểm A, M, O thẳng hàng, dẫn tới ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy 21.4 Gọi O giao điểm hai tia Ax By Xét có nên OA = OB, suy điểm O nằm đường trung trực d AB Vậy đường thẳng Ax, By d đồng quy 21.5 Gọi M trung điểm OA Xét tam giác AOB có F trọng tâm nên đường thẳng BF qua trung điểm M AO Xét tam giác AOC có G trọng tâm nên đường thẳng CG qua trung điểm M AO “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Do ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy trung điểm M AO 21.6 Hai đường thẳng AB CD không song song nên chúng cắt tạo thành góc Hai điểm M N nằm góc đó, cách hai đường thẳng nên chúng nằm tia phân giác góc Suy ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy đỉnh góc 21.7 Xét tam giác ABC có hai đường phân giác AD, CE cắt O nên BO phân giác góc ABC Đường thẳng xy qua B vng góc với BO nên xy đường phân giác đỉnh B góc ABD Gọi Ax tia đối tia AD Vì nên dễ thấy Xét tam giác ADC có AE đường phân giác đỉnh A, CE phân giác đỉnh C nên DE phân giác ngồi đỉnh D Xét tam giác ABD có đường thẳng AC đường phân giác đỉnh A, đường thẳng xy đường phân giác đỉnh B, đường thẳng DE đường phân giác đỉnh D Do ba đường thẳng xy, DE, AC đồng quy 21 Điểm F nằm đường trung trực DM nên FD = FM Suy tam giác FDM cân F FB đường phân giác tại đỉnh của tam giác DEF Chứng minh tương tự ta EC đường phân giác đỉnh tam giác DEF Xét tam giác DEF có hai đường phân giác cắt A nên DA đường phân giác EDF (1) Mặt khác góc D nên DB đường phân giác Điểm B giao điểm hai đường phân giác đỉnh F D tam giác DEF nên EB đường phân giác góc DEF (2) Chứng minh tương tự ta FC đường phân giác góc DEF (3) Từ (1), (2), (3) suy AD, BE, CF đồng quy • Lưu ý: Nếu bỏ điều kiện nhọn tam giác ABC tốn 21.9 Xét tạm giác ABC vuông A, nên ( phụ với góc ABC) Gọi M giao điểm AO CK, N giao điểm AK BO Vì K giao điểm đường phân giác tam giác ACH nên Xét tam giác AMC có “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Chứng minh tương tự ta Xét tam giác AOK có AD, BO Cklaf ba đường cao nên đồng quy 21.10 Trên tia đối tia AD lấy điểm K cho AK = BC Xét tam giác ADC có góc KAC góc ngồi nên Mặt khác Ta có Vì Gọi G giao điểm BE CK Xét tam giác GCE có Chứng minh tương tự, ta có Xét tam giác KBC có AD, BE, CF ba đường cao nên chúng đồng quy 21.11 Tam giác EAB vuông E, nên tam giác vuông cân Suy EA = EB, Tương tự ta có FA = FC Từ F vẽ đường thẳng vng góc với CE cắt d G Gọi K giao điểm đường thẳng EG với BF Ta có ( Hai góc có cạnh tương ứng vng góc) Ta có “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Xét tam giác EFG có CE, BF ba đường cao ba đường thẳng đồng quy 21.12 Tam giác ABC vuông A, Ta có nên (cùng phụ với góc ABC) (cùng phụ với góc ACB) Xét tam giác AFC có góc AFB góc ngồi nên Suy tam giác BAF cân B đường phân giác góc B đồng thời đường trung trực AF Chứng minh tương tự ta tam giác CAE cân C đường phân giác góc C đường trung trực AE Ta có d//AH mà AH vng góc với EF nên d vng góc với EF Xét tam giác AEF có đường phân giác góc B, góc C với đường thẳng d ba đường trung trực nên chúng đồng quy 21.13 Ta có cân (1) vng A Mặt khác, Do đó, mà cân nên (2) Từ (1) (2) suy DB = DC Vậy D trung điểm BC Xét tam giác ABE vng A có trung điểm AC Xét tam giác AFC vuông A có Suy F trung điểm AB Xét tam giác ABC có AD, BE, CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy 21.14 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Tam giác ABH vng H, có HM đường trung tuyến nên Suy (vì HM = DM) Do tam giác DAB vng D Tam giác ABC có BD vừa đường phân giác vừa đường cao nên tam giác cân B Xét vuông H có mà HD = HM nên AC = AB (2) Từ (1) (2) suy AB = BC = CA tam giác ABC Trong tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến CM đường phân giác Suy AH, BD, CM đồng quy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ... A, M, O thẳng hàng, dẫn tới ba đường thẳng AM, Bx, Cy đồng quy 21.4 Gọi O giao điểm hai tia Ax By Xét có nên OA = OB, suy điểm O nằm đường trung trực d AB Vậy đường thẳng Ax, By d đồng quy 21.5... có AE đường phân giác đỉnh A, CE phân giác đỉnh C nên DE phân giác đỉnh D Xét tam giác ABD có đường thẳng AC đường phân giác đỉnh A, đường thẳng xy đường phân giác đỉnh B, đường thẳng DE đường. .. đỉnh D Do ba đường thẳng xy, DE, AC đồng quy 21 Điểm F nằm đường trung trực DM nên FD = FM Suy tam giác FDM cân F FB đường phân giác tại đỉnh của tam giác DEF Chứng minh tương tự ta EC đường phân