Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 21 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY) A Kiến thức cần nhớ Trong chuyên đề trước ta gặp số toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải toán vận dụng định lý đường đồng quy tam giác: Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy; Ba đường phân giác tam giác đồng quy; Ba đường trung trực tam giác đồng quy; Ba đường cao tam giác đồng quy Nếu ba đường thẳng a, b, c cho đường chủ yếu tam giác để chứng minh a, b, c đồng quy, ta gọi giao điểm a b O chứng minh đường thẳng c qua O hay chứng minh O nằm đường thẳng c Một số trường hợp đưa tốn chứng minh đường đồng quy chứng minh ba điểm thẳng hàng B Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , góc A tù Vẽ đường thẳng m n đường trung trực AB AC , cắt BC heo thứ tự E F Vẽ tia phân giác Ax góc EAF Chứng minh đường thẳng m, n Ax đồng quy Giải (h.21.1) - Tìm cách giải: Gọi O giao điểm m n Ta phải chứng minh tia Ax qua O Muốn � � phải chứng minh OAE OAF - Trình bày lời giải: Gọi O giao điểm hai đường thẳng m n Ta có: OB OC OA AOE BOE c.c.c � � Suy A B1 � � AOF COF c.c.c Suy A2 C2 � � � � Mặt khác B1 C2 (vì BOC cân O ) nên A1 A2 Do AO tia phân giác góc EAF Suy ba đường thẳng m, n Ax đồng quy O Hình 21.1 Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AB lấy điểm D E cho AD AE Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba đường AM , BE , CD đồng quy Giải (h.21.2) - Tìm cách giải: “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Gọi giao điểm BE CD Ta phải chứng minh tia AM qua O tức phải chứng minh ba điểm A, O ,M thẳng hàng - Trình bày lời giải: Ta có AB AC , AD AE , suy BD CE �C � EBC DCB c.g c � B 1 Gọi O giao điểm BE CD Vì BOC cân O nên OB OC (1) Mặt khác AB AC (giả thiết) (2) MB MC (giả thiết) (3) Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, O, M thằng hàng Hình 21.2 (vì nằm đường trung trực BC ) Do ba đường thẳng AM , BE , CD đồng quy Ví dụ Cho tam giác ABC Các đường phân giác góc ngồi tam giác cắt D, E , F (D nằm góc A, E nằm góc B , F nằm góc C ) a) Chứng minh đường thẳng AD, BE , CF đồng quy điểm O b) Điểm O có vị trí tam giác D ? Giải (h.21.3) - Tìm cách giải: Từ giả thiết đường phân giác cắt ta nghĩ đến định lí ba đường phân giác tam giác đồng quy Vì để chứng AD, BE , CF đồng quy ta cần chứng minh AD, BE , CF ba đường phân giác tam giác ABC - Trình bày lời giải: Xét tam giác ABC , đường phân giác đỉnh B đỉnh C cắt D Suy AD đường phân giác đỉnh A Chứng minh tương tự ta BE , CF đường Hình 21.3 phân giác đỉnh B, C tam giác ABC Do ba đường thẳng AD, BE , CF đồng quy điểm O “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học b) Ba điểm F , B, D thẳng hàng, ba điểm E , C ,D thẳng hàng, ba điểm F , A, E thẳng hàng Xét DEF có AD EF (hai đường phân giác hai góc kề bù) Tương tự BE DF , CF DE nên AD, BE , CF ba đường cao gặp O Do O trực tâm tam giác DEF o � Ví dụ Cho tam giác ABC có A 135 Vẽ ta giác tam giác ADB, EAC vuông cận D E Vẽ AH BC Chứng minh ba đường AH , BD, CE đồng quy Giải (h.21.4) - Tìm cách giải: Trong đề có yếu tố góc vng, có yếu tố đường cao nên ta dùng đinh lí ba đường cao tam giác đồng quy - Trình bày lời giải: � Tam giác DAB vuông cân D � A1 45 � Tam giác ECA vuông cân E � A2 45 0 � � Ta có: BAD BAC 45 135 180 , suy ba điểm D, A, C thẳng hàng Hình 21.4 Chứng minh tương tự ta ba điểm B, A, E thẳng hàng Xét tam giác ABC có AH , BD , CE ba đường cao nên chúng đồng quy C Bài tập vận dụng Đưa chứng minh đồng quy chứng minh thẳng hàng 21.1 Trong hình 21.5 có AB PCD, AB CD, AM CN Chứng minh ba đường thẳng AC , BD, MN đồng quy � 21.2 Cho tam giác ABC vuông A , B 60 Gọi Hình 21.5 M điểm tam giác cho � 400 , MCB � 200 MBC Vẽ điểm D E cho đường thẳng BC trung trực MD đường thẳng AC trung trực ME Chứng minh ba đường thẳng BM , AC DE đồng quy � � 21.3 Cho tam giác nhọn ABC điểm M nằm tam giác cho AMB AMC 120 Trên � � nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx, Cy cho CBx BCy 60 Chứng minh ba đường thẳng AM , Bx, Cy đồng quy � � 21.4 Hình 21 có ABx ABy 90 Gọi d đường trung trực AB Chứng minh đường thẳng Ax, By d đồng quy Hình 21.6 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 21.5 Cho tam giác ABC điểm O tam giác Gọi F , G trọng tâm tam giác AOB, AOC Chứng minh ba đường thẳng AO, BF , CG đồng quy Ba đường phân giác đồng quy 21.7 Trong hình 21.7, hai đường thẳng AB CD khơng song song Chứng minh ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy � 21.8 Cho tam giác ABC , A 120 Vẽ đường phân giác AD, CE cắt O Từ B vẽ đường thẳng xy BO Chứng minh ba đường thẳng xy, DE , AC đồng quy 21.9 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD Vẽ điểm M , N cho AB, AC theo thứ tự đường trung trực DM , DN Gọi giao điểm MN với AB, AC theo thứ Hình 21.7 tự F E Chứng minh ba đường thẳng AD, BE , CF đồng quy Ba đường cao đồng quy 21.10 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi O K giao điểm đường phân giác tam giác ABH , ACH Vẽ AD OK Chứng minh đường thẳng AD, BO , CK đồng quy 21.11 Cho tam giác ABC , đường AD Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ đoạn thẳng BF BA, BF BA Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ đoạn thẳng CE cho CE CA CE CA Chứng minh ba đường thẳng AD, BE , CF đồng quy d ,d ,d 21.12 Cho tam giác ABC vuông A , đường phân giác AD Từ A, B, C vẽ đường d ,d vng góc với AD Các đường thẳng ` cắt AD E , F Chứng minh ba đường d , BF , CE thẳng đồng quy Ba đường trung trực đồng quy, ba đường trung tuyến đồng quy 21.13 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường phân giác góc BAH góc CAH cắt BC E , F Gọi M trung điểm EF Qua M vẽ đường thẳng d P AH Chứng minh đường phân giác góc B , góc C đường thẳng D đồng quy 21.14 Cho tam giác ABC vuông A , AB 4cm, AC 6cm Trên cạnh BC lấy điểm D cho � � CAD ACD Trên cạnh AC lấy điểm E , cạnh AB lấy điểm F cho BE 5cm, CF 40cm Chứng minh đường thẳng AD, BE , CF đồng quy 21.15 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH , đường phân giác AD , đường trung tuyến AM Cho biết tam giác HDM tam giác Chứng minh đường thẳng AH , BD, CM đồng quy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ... AOC Chứng minh ba đường thẳng AO, BF , CG đồng quy Ba đường phân giác đồng quy 21.7 Trong hình 21.7, hai đường thẳng AB CD không song song Chứng minh ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy �... Từ A, B, C vẽ đường d ,d vng góc với AD Các đường thẳng ` cắt AD E , F Chứng minh ba đường d , BF , CE thẳng đồng quy Ba đường trung trực đồng quy, ba đường trung tuyến đồng quy 21.13 Cho... BCy 60 Chứng minh ba đường thẳng AM , Bx, Cy đồng quy � � 21.4 Hình 21 có ABx ABy 90 Gọi d đường trung trực AB Chứng minh đường thẳng Ax, By d đồng quy Hình 21.6 “Trên đường thành