Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 13 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG A Kiến thức cần nhớ Ba điểm thẳng ba điểm cùng thuộc đường thẳng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, dụng số phương pháp sau đây: 1.Phương pháp � � � Nếu ABD DBC CBD =180° ba điểm A ,B,C thẳng hàng Phương pháp Nếu AB//a AC//a ba điểm A,B,C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp : tiên đề Ơ-clit) Phương pháp Nếu AB a; Ac a ba điểm A, B, C thẳng hàng (cơ sở phương pháp : có một) 4.Phương pháp Nếu hai tia OA OB tia phân giác góc xoy ba điểm O,A,B thẳng hàng (cơ sở phương pháp góc khác góc bẹt có tia phân giác � � Hoặc: hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, mà xOA xOB ba điểm O , A, B thẳng hàng) Phương pháp Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD, AC.Nếu K’ trung điểm BD K �K’ K,B,D thẳng hàng ( sở phương pháp là: đoạn thẳng có trung điểm ) B Một số ví dụ: Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc với CA ( tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD=AB.Chứng minh ba điểm B,M,D thẳng hàng Giải � � � TÌm cách giải: Muốn B, M, D thẳng hàng AMB BMD =180° Nên cần chứng minh AMB � DMC Trinh bày lời giải: AMB DMC có : � � AB=DC(gt), BAM DCM =90° MA=MC ( M trung điểm AC) � � Do AMD CMD (c.g.c) suy AMD DCM Mà � � � � AMB BMC =180° kề bù nên BMC CMD =180° Vậy ba điểm B; M;D thẳng hàng “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ví dụ Cho đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM Trên tia AC lấy điểm N cho C trung điểm AN Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Giải Tìm cách giải Chứng minh CM//BD CN//BD từ suy M, N, C thẳng hàng Trình bày lời giải: AOD COB có OA=OC ( O trung điểm AC) � � AOD COB ( hai góc đối đỉnh ) OD=OB (Vì O trung điểm BD) Do AOD COB � � � � Suy ra: DAO OCB Mà hai góc vị trí so le trong, AD// BC, nên DAB = CBM ( vị trí đồng vị) � CBM � DAB CBM có: AD= BC ( AOD COB ), DAB AB=BM ( B trung điểm AM) Vậy DAB CBM (c.g.c) suy � � ABD BMC Do DC//CM (1) Lập luận tương tự ta có BD // CN.(2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ Clit suy ba điểm M, N, C thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC có AB=AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM BC b) vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Tìm cách giải : Chứng minh ba điểm A, P,Q thẳng hàng Chúng ta chứng minh AM,BM,QM vng góc với BC Hoặc AP AQ tia phân giác góc BAC Trình bày lời giải: a) Tam giác ABM ACM, có AB=AC (giả thiết) AM chung , MB=MC ( M trung điểm BC) � � � � Vậy tam giác ABM ACM(c.c.c) AMB AMC ( hai góc tương ứng ) mà AMB AMC � � =180° hai góc kề bù nên AMB AMC = 90° Do AM BC(điều phải chứng minh) b) Chứng minh tương tự ta BFM CPM (c.c.c) � � � � � � Suy PMC PMB mà PMC PMB =180° nên PMC PMB =90° Do PM BC Lập luận tương tự : QM BC Từ điểm M BC có AM BC , PM BC , QM PC nên ba điểm ME BC A,P,Q thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối CA lấy điểm N cho MB=CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B,K,C thẳng hàng Giải Cách 1: Kẻ ME BC , NF BC tam giác BME CNF vng tai E F có BM=CN � NCF � MBE Do BME CNF suy ME=MF Gọi K giao điểm BC BN Xét MEK NFK vng góc E F có ME= NF góc EMK’ góc ENK’( so le ME FN) Vậy MEK = NEK MK=NK Vậy K’ trung điểm MN nên K �K’ Do ba điểm B, K, C thẳng hang “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Cách 2: kẻ ME//AC (E �BC) � �� ACB MEB ( hai góc đồng vị) � � � � Mà ABC ACB nên BME MEB Vậy tam giác MBE cân M Do MB=ME kết hợp với giả tiết MB=NC ta ME=CN � � Gọi k giao điểm BC MN tam giác MEK NCK có KME KNC ( so le ME//AC) � � ME=CN ( chứng minh trên), MEK = NCK Do NCK = MEK � NK MK Vậy k trung điểm MN nên K �K’ Do ba điểm B, K, C thẳng hàng � Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân A, BAC 108° Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C � cho COB =12° Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ O) Chứng minh ba điểm M, A, C thẳng hàng Giải � � Tìm cách giải: Chứng minh OCA OCM TỪ suy CA Cm hai tia trùng Trình bày lời giải: Tam giác ABC cân A nên � ABC � ACB = =36° ( tính chất tam giác cân ) � Mà CO tia phân giác ACB � � � Nên ACO BCO =18° Do BCO =150° � BOM nên BOM =60° � Vậy MOC =360°-(150°+60°)=150° � � BOC MOC có OB = OM (vì BOC đều) BOC = MOC =150° “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học OC chung , BOC = MOC � � � � � � Suy OCB OCM mà OCB OCA nên OCM OCA � � Hai tia CA CM cung nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCM OCA nên tia CA Cm hai tia trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng � Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông A B =60° Vẽ tia Cx BC lấy CE=CA(CE CA phía với BC) Trên tia đối tia BC lấy F cho BF = BA Chứng minh rằng: a) ACE b) E, A, F thẳng hàng Giải ) � � Tìm cách giải: Nhận thấy tam giác ABC vuông A, B =60° nên ACB =30° suy ACE =60° nên � tam giác ACE Do muốn chứng tỏ E, A, F thẳng hàng ta cần chứng tỏ BAF =30° Trình bày lời giải: � � � a) ABC vuông A, B =60° nên ACB =30° suy ACE =60° nên tam giác ACE � � � b) ta có BA=BF � BFA cân � ABC BAF suy BAF =30° Vậy ba điểm E, A, F thẳng hàng C Bài tập vận dụng Bài 13.1 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối MA lấy điểm E cho MA=ME a, Chứng minh AC=EB, AC//EB b, Gọi I điểm AC, K điểm EB cho Bài AI=EK Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng Bài 13.2 Cho tam giác ABC cân A , có góc A