Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 21 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY) A Kiến thức cần nhớ Trong chuyên đề trước ta gặp số toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải toán vận dụng định lý đường đồng quy tam giác: Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy; Ba đường phân giác tam giác đồng quy; Ba đường trung trực tam giác đồng quy; Ba đường cao tam giác đồng quy • Nếu ba đường thẳng minh cho đường chủ yếu tam giác để chứng đồng quy, ta gọi giao điểm chứng minh đường thẳng qua hay chứng minh nằm đường thẳng • Một số trường hợp đưa tốn chứng minh đường đồng quy chứng minh ba điểm thẳng hàng B Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác góc cắt tù Vẽ đường thẳng heo thứ tự đường thẳng và Vẽ tia phân giác đường trung trực góc Chứng minh đồng quy Giải (h.21.1) - Tìm cách giải: Gọi giao điểm Ta phải chứng minh tia qua Muốn phải chứng minh - Trình bày lời giải: Gọi giao điểm hai đường thẳng Ta có: Hình 21.1 Suy Suy Mặt khác Do (vì cân tia phân giác góc Suy ba đường thẳng ) nên đồng quy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ví dụ Cho tam giác cho cân Trên cạnh Gọi M trung điểm Chứng minh ba đường lấy điểm đồng quy Giải (h.21.2) - Tìm cách giải: Gọi giao điểm điểm Ta phải chứng minh tia qua tức phải chứng minh ba thẳng hàng - Trình bày lời giải: Ta có , suy Gọi giao điểm Vì cân Mặt khác nên (1) (giả thiết) (2) Hình 21.2 (giả thiết) (3) Từ (1), (2), (3) suy ba điểm thằng hàng (vì nằm đường trung trực Do ba đường thẳng Ví dụ Cho tam giác nằm góc đồng quy Các đường phân giác góc ngồi tam giác cắt nằm góc a) Chứng minh đường thẳng b) Điểm ) , nằm góc ) đồng quy điểm có vị trí tam giác ? Giải (h.21.3) - Tìm cách giải: 21.3 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười Hình biếng” Page Phát triển tư Hình học Từ giả thiết đường phân giác ngồi cắt ta nghĩ đến định lí ba đường phân giác tam giác đồng quy Vì để chứng phân giác tam giác đồng quy ta cần chứng minh ba đường - Trình bày lời giải: Xét tam giác , đường phân giác đỉnh đường phân giác đỉnh Xét đồng quy điểm thẳng hàng, ba điểm có thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng (hai đường phân giác hai góc kề bù) nên tâm tam giác ba đường cao gặp Do trực Ví dụ Cho tam giác tam giác Tương tự cận Suy đường Do ba đường thẳng b) Ba điểm cắt Chứng minh tương tự ta phân giác đỉnh đỉnh Vẽ có Vẽ ngồi ta giác tam giác Chứng minh ba đường vng đồng quy Giải (h.21.4) - Tìm cách giải: Trong đề có yếu tố góc vng, có yếu tố đường cao nên ta dùng đinh lí ba đường cao tam giác đồng quy - Trình bày lời giải: Tam giác vuông cân Tam giác vng cân Ta có: , suy ba điểm Chứng minh tương tự ta ba điểm Xét tam giác có C Bài tập vận dụng Hình 21.4 thẳng hàng thẳng hàng ba đường cao nên chúng đồng quy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học • Đưa chứng minh đồng quy chứng minh thẳng hàng 21.1 Trong hình 21.5 có đồng quy Chứng minh ba đường thẳng 21.2 Cho tam giác vuông cho đường thẳng , Vẽ điểm trung trực 21.3 Cho tam giác nhọn nửa mặt phẳng bờ và điểm không chứa trung trực đồng quy nằm tam giác cho vẽ tia Trên cho đồng quy 21.4 Hình 21 có Gọi cho đường thẳng Chứng minh ba đường thẳng Chứng minh ba đường thẳng đường thẳng Hình 21.5 điểm tam giác Gọi đường trung trực Chứng minh đồng quy 21.5 Cho tam giác điểm tam giác tam giác Gọi Chứng minh ba đường thẳng lầnHình 21.6lượt trọng tâm đồng quy • Ba đường phân giác đồng quy 21.7 Trong hình 21.7, hai đường thẳng thẳng , Vẽ đường phân giác Chứng minh ba đường thẳng 21.9 Cho tam giác nhọn , đường cao đường trung trực không song song Chứng minh ba đường đồng quy 21.8 Cho tam giác đường thẳng Từ vẽ đồng quy Vẽ điểm Gọi giao điểm cắt với cho theo thứ tự Hình 21.7 theo thứ tự Chứng minh ba đường thẳng • Ba đường cao đồng quy đồng quy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 21.10 Cho tam giác vuông , đường cao đường phân giác tam giác Gọi Vẽ giao điểm Chứng minh đường thẳng đồng quy 21.11 Cho tam giác , đường Trên nửa mặt phẳng bờ Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa Chứng minh ba đường thẳng 21.12 Cho tam giác vng góc với vuông , đường phân giác Các đường thẳng cắt không chứa vẽ đoạn thẳng vẽ đoạn thẳng cho đồng quy Từ vẽ đường Chứng minh ba đường thẳng đồng quy • Ba đường trung trực đồng quy, ba đường trung tuyến đồng quy 21.13 Cho tam giác góc cắt vng tại Gọi , đường cao trung điểm Chứng minh đường phân giác góc 21.14 Cho tam giác Trên cạnh vuông Cho biết tam giác quy , góc , lấy điểm Qua , cạnh , đường cao vẽ đường thẳng đường thẳng lấy điểm đồng quy Trên cạnh Chứng minh đường thẳng 21.15 Cho tam giác nhọn Vẽ đường phân giác góc lấy điểm cho cho đồng quy , đường phân giác , đường trung tuyến tam giác Chứng minh đường thẳng “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” đồng Page ... giác Các đường thẳng cắt không chứa vẽ đoạn thẳng vẽ đoạn thẳng cho đồng quy Từ vẽ đường Chứng minh ba đường thẳng đồng quy • Ba đường trung trực đồng quy, ba đường trung tuyến đồng quy 21.13... Trên cho đồng quy 21.4 Hình 21 có Gọi cho đường thẳng Chứng minh ba đường thẳng Chứng minh ba đường thẳng đường thẳng Hình 21.5 điểm tam giác Gọi đường trung trực Chứng minh đồng quy 21.5... giác Gọi Chứng minh ba đường thẳng lầnHình 21.6lượt trọng tâm đồng quy • Ba đường phân giác đồng quy 21.7 Trong hình 21.7, hai đường thẳng thẳng , Vẽ đường phân giác Chứng minh ba đường thẳng