SKKN từ định lý talet đến chứng minh ba đường thẳng đồng quy ( dành cho học sinh lớp 8)

Ví dụ: Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy củ

đã nói “Người thầy tồi truyền đạt chân lý, người thầy giỏi dạy cách tìm rachân lý” Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “độc giảng”, “kinh viện”,(thầy nói là chủ yếu, trò nghe và ghi chép) Dạy kiến thức phải phát huy lòngsay mê ham thích học tập của người học Xét cho cùng giáo dục là quá trìnhcung cấp kiến thức, hướng dẫn tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự pháttriển năng lực tư duy và hành động

Đổi mới phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cựctrong dạy học, tích cực hoá hoạt động của người học Quá trình giáo dục làmột quá trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thứcmới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thựctiễn, “phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp vớinhau; học và hành ở mọi lúc mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế Ngườigiáo viên phải thực hiện chủ trương đưa hơi thở của cuộc sống vào bài giảng,

phải cập nhật “thông tin” thường xuyên, liên tục đổi mới nội dung, phươngpháp phù hợp với sự phát triển, những biến đổi to lớn của thời đại.

Mỗi giáo viên cần phải tự xây dựng cho mình một phong cách dạy họcthích hợp với nội dung bài học không thể dạy học theo kiểu “dạy chay”, vàbiến thầy giáo thành “thợ dạy” nhất là trong dạy học các môn khoa học ứngdụng các phương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượngdạy và học Hơn nữa, toán học ở trường trung học cơ sở là môn khoa học có vịtrí quan trọng trong hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho thế hệ trẻ

- đội ngũ những người lao động trong tương lai những kiến thức toán học phổthông cơ bản, hiện đại gần gũi với đời sống làm cơ sở cho việc tiếp thu nhữngkiến thức về khoa học công nghệ hiện đại tiên tiến trên thế giới

Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạyhọc nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy vàhọc môn toán học, đào tạo những con người yêu lao động có vốn kiến thứchiểu biết sâu sắc về hững thành tựu khoa học mới nhất, tiên tiến nhất trên thếgiới hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay Bắt nguồn từ những lý do

nói trên, đã thôi thúc tôi mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Từ định

lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

2 Phạm vi nghiên cứu của chuyên đề:

- Chuyên đề này được tôi tiến hành nghiên cứu tại trường THCS NguyễnThiện Thuật, huyện Khoái Châu, tỉnh Hưng Yên

- Đối tượng được tôi áp dụng để tiến hành nghiên cứu là các em học sinhcủa khối lớp 8 của trường Chia làm hai thành phần đối tượng gồm học sinh đại trà

và học sinh giỏi, áp dụng phù hợp theo từng phần của chuyên đề

- Nội dung nghiên cứu của chuyên đề thuộc lĩnh vực khoa học nghiên cứu

về chuyên môn – môn Toán

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã có sự trao đổi kinh nghiệm với các bạn

bè, anh, chị, em đồng nghiệp Đọc và nghiên cứu kĩ nhiều tài liệu có liên quan Córút kinh nghiệm từ đồng nghiệp và học sinh

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1 Cơ sở lí luận:

- Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duytrừu tượng Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không, có bềnvững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủthể Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm ngườilớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức Ở lứa tuổihọc sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnhhoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau Các

em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “Ngườilớn” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyệnvọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức họctập mới Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệthuật của các thầy cô

- Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy Trong môn toán sựthống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thựchiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toántrong và bằng hoạt động Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho họcsinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quátrình chiếm lĩnh tri thức toán học Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạycho học sinh phương pháp tư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạysuy nghĩ, dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích, tổnghợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Trong đó phân tích tổng hợp có vai tròtrung tâm Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi, tự mình phát hiện vàphát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết một bàitoán, hướng chứng minh một định lý

- Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạyhọc toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thôngqua nhiều năm học, thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nộikhoá cũng như ngoại khoá

- Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em, đặc biệt là khivận dụng vào giải quyết các bài tập Việc vận dụng ngay những lý thuyết đãđược học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em

có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng

cao Ví dụ: Giải bài tập sau “ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang” Khi chưa thực

hiện chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau :

+ Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiếnthức gì để chứng minh Do đó các em không giải được Sau đó tôi gợi ý rằng

“Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng

ta có được gợi ý gì ?” lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùngđịnh lý Talét (vì hình thang có 2 cạnh đáy song song) Nhưng các em cũngkhông thể giải được, bởi vì để giải được bài tập này không phải dùng trực tiếpđịnh lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất củachùm đường thẳng đồng quy

+ Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng chứng minh bài toán

và có khoảng 60% - 70% học sinh chứng minh được Ngoài ra các em còn có

hơn, phức tạp hơn Đặc biệt các em còn biết áp dụng vào giải những bài tậpnhư chứng minh đường thẳng vuông góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác,diện tích, đặc biệt là các đường thẳng đồng quy

3 Biện pháp tiến hành:

Dựa trên cơ sở lí luận và tình hình thực tiễn đã nêu, biện pháp mà tôi sẽ

áp dụng cho đề tài được tiến hành như sau:

- Trước tiên là kiểm tra nắm tình hình nhận thức của các em về các kiếnthức cơ bản của định lí Talet nói chung trong đó có tính chất liên quan đếnđiểm thẳng hàng, đường đồng quy nói riêng Giới thiệu cho các em thấy được

sự cần thiết của việc học đề tài

- Việc đầu tiên phải làm cho chuyên đề là củng cố thật chắc các kiếnthức cơ bản về sử dụng định lí Talet thuận và đảo, cách chứng minh điểmthẳng hàng, đường đồng quy

- Sau đó dẫn dắt các em đến với từng dạng bài cụ thể, hướng dẫn các

em phương pháp, giải cùng các em các ví dụ điển hình, bổ sung một số kiếnthức có liên quan, bước đầu hình thành cho các em có được những phươngpháp cơ bản nhất để có thể giải và làm bài tập tương tự

- Trước khi vào mỗi dạng toán, các em đều được định hình qua phầnphương pháp giải, phù hợp với từng dạng bài Các ví dụ minh họa khá đầy đủđặc trưng cho nhiều dạng, loại được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đếnphức tạp Tất cả các ví dụ đều có sự móc xích lẫn nhau, ví dụ trước là cơ sởcho các ví dụ tiếp sau, ví dụ nào cũng đều có sự phân tích thật kĩ cho cách giải

và có lời giải chi tiết

- Sau các ví dụ minh họa, trong từng dạng bài đều có bài tập tương tựcho học sinh thực hành, tự giải

- Kết thúc chuyên đề các em được thử sức qua các bài kiểm tra 15 phút,

30 phút, 60 phút, … để một lần nữa chắc chắn rằng các em đã được họcchuyên đề một cách bài bản, và có sự tổng hợp kiến thức như thế nào

4 Thời gian tạo ra giải pháp:

- Tôi bắt đầu tiến hành cho các em học sinh khối lớp 8 của trườngTHCS Nguyễn Thiện Thuật làm một bài kiểm tra khảo sát từ ngày 25 tháng 2năm 2015, ngay sau khi kết thúc phần kiến thức lý thuyết về chương III – Tamgiác đồng dạng - SGK Hình học 8 Nội dung đề kiểm tra dành cho cả đốitượng đại trà và học sinh giỏi

- Căn cứ một phần trên kết quả của bài kiểm tra, tôi chia các em họcsinh khối 8 thành hai nhóm đối tượng: nhóm 1 gồm các em học sinh Trungbình – Khá; nhóm 2 gồm các em học sinh Khá – Giỏi Mỗi nhóm tôi chia

thành hai lớp và bắt đầu dạy các em học chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy” từ ngày 01 tháng 3 năm 2015.

- Sau 6 buổi học chuyên đề, đến ngày 15 tháng 4 năm 2015 thì cả bốn

lớp học theo đối tượng mà tôi chia ra ban đầu đều kết thúc chuyên đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy” Trong các buổi

học chuyên đề tôi đều có xen các bài kiểm tra nhanh 15 phút, 30 phút để kiểmtra đánh giá việc tiếp thu kiến thức của từng dạng bài riêng lẻ

- Ngày 22 tháng 4 năm 2015 tôi tổ chức cho cả bốn lớp làm chung mộtbài kiểm tra tổng hợp các dạng bài trong chuyên đề đã học Kết thúc chuyên

đề “Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”.

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU:

- Cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các kiến thức về Định líTalet, cách chứng minh điểm thẳng hàng, đường đồng quy Biết sử dụng định

lí Talet để chứng minh đường thẳng đồng quy

- Hướng dẫn các em làm quen với việc phát hiện ra điểm thẳng hàng,các đoạn thẳng tỉ lệ rồi dựa vào định lí Talet để lập luận đi đến chứng minhcác đường thẳng đồng quy

- Hình thành cho học sinh khả năng tư duy tìm tòi, sáng tạo khi giảitoán, biết vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt trong những trường hợpkhác nhau

- Góp phần trang bị kiến thức cho các em học sinh, nhất là các em thuộcđội tuyển Toán, hành trang trong các kì thi học sinh giỏi các cấp

- Là một tài liệu tham khảo cho học sinh và các giáo viên khi tìm hiểucác kiến thức về giải toán sử dụng định lí Talet

- Là tài liệu tham khảo cho giáo viên tổ toán trong trường khi dạy đạitrà, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 về lĩnh vực hình học mà cụ thể là giải toán

sử dụng định lí Talet

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

1 Giải pháp của chuyên đề:

a) Mô tả giải pháp:

Phần một Kiến thức cần nhớ

1 Nội dung kiến thức sách giáo khoa đã được chứng minh

2 Khai thác từ kiến thức cơ bản

Phần hai Các ví dụ điển hình

Phần ba Bài tập tự giải

Phần bốn Một số đề tự kiểm tra

b) Giải pháp cụ thể:

Phần một KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là:

a) Định lý Talet trong tam giác:

- Định lí Ta-let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam

giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳngtương ứng tỷ lệ Cụ thể:

- Định lí Ta-let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đườngthẳng đó song song với cạnh còn lại của Cụ thể:

b) Hệ quả của định lý Talét:

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song vớicạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với

ba cạnh của tam giác đã cho

2 Khai thác từ kiến thức cơ bản:

Từ định lý Talét, ta đã chứng minh được hệ quả, vậy thì một vấn đề đặt

ra là: Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng

C' B'

C B

A

cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra Chẳng hạn

từ A ta vẽ thêm đường thẳng cắt BC tại D và cắt đường thẳng a tại D’

Ta dễ dàng suy ra rằng:

CD

D C BC

C B

thì ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ có còn

đồng quy tại một điểm A nữa hay không? Nếu C là trung điểm của BD thì C’

có là trung điểm của B’C’ hay không ?

Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bàitập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng

Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao chohọc sinh có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổnghợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên

Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh

Phần hai CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1 Cho ba tia Oa, Ob, Oc cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt

tại A, A’; B, B’; C, C’ (A, A’  OA; B, B’  OB ; C, C’ OC) Chứng minh



  (đpcm)

* Khai thác bài toán:

- Bài toán trên vẫn đúng không nếu có bốn tia Oa, Ob, Oc, Od cắt hai đường thẳng song song m và m’ Học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để chứng minh được điều này

- Ta có thể tổng quát hóa bài toán cho n đường thẳng: Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định

ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ Tính chất này gọi là “Tính chất ba đường đồng quy”.

Chúng ta hãy cùng xem xét vấn đề ngược lại?

Ví dụ 2 Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần

lượt tại A, A’OA; B, B’ OB ; C, C’ OC sao cho: ( 1 )

' ' ' ' B C k k 

BC C

A AC

Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm

Giải:

Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O

ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua O

Gọi giao điểm của đường thẳng OC với m’

là C” Theo định lý Talet, ta có:

'''' B C

BC AC

AC



Mặt khác ta lại có:

' ' ' ' B C

BC C

A

AC

Từ đó suy ra A’C” = A’C’ và B’C’ = B’C”  C  ' C ''

Vậy c đi qua O hay a, b, c đồng quy tại O

- Bằng cách làm sử dụng kết quả trên với ba đường thẳng một một cách liên tiếp ta thấy kết quả đúng với n – đường thẳng Ta có tính chất với chùm đường thẳng.

- Như vậy học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét Từ nay trở đi, khi làm bài tập, các em được phép vận dụng những điều vừa chứng minh vào giải quyết bài tập

Ví dụ 3 Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng

nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy

AM



Theo kết quả ví dụ 2 ta được AD, BC, MN đồng quy

Ví dụ 4 Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên ,giao

điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng

Giải:

Gọi: Giao điểm của AD và BC là O

Giao điểm của AC và BD là I

M là trung điểm của AB,

N là trung điểm của CD

Ta có: O, M, N thẳng hàng (theo ví dụ 3)

Cũng theo ví dụ 3, tương tự, ta có I, M, N thẳng hàng

Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm)

Ví dụ 5.

a) Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thìđường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trungđiểm của các đáy của hình thang.

b) Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước (không dùng com pa) đểdựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng dsong song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song songvới đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB

Giải:

a) Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại E vàhai đường chéo AC, BD cắt nhau tại F Gọi giao điểm của EF với AB, CDtheo thứ tự là M,N

Với hai đường thẳng song song AB, CD

và ba đường thẳng đồng quy ED, EN, EC, ta có:

NC

MB DN

DN

 do đó DN = NC Nên N là trung điểm của CD

Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB b) Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng AB thì ta lần lượtnối A, B với cùng một điểm E nào đó ở ngoài D và khác phía đối với A Gọigiao điểm của d với EA, EB theo thứ tự là C, D Nối AD, BC và gọi giao điểm

của hai đường thẳng đó là F Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giaođiểm của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB

Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB

thì không thể có đường thẳng song song với AB

và đi qua M Nếu điểm M không nằm trên đường

thẳng AB thì ta chọn một điểm O tuỳ ý trên đường

thẳng AM (không trùng với A, M) Gọi K là giao điểm của OI và MB, gọi N

là giao điểm của AK và OB Khi đó MN // AB

Thật vậy giả sử đường thẳng song song với AB sẽ

qua M cắt OB tại N’ và hai đường thẳng MB, AN’

cắt nhau tại K’ Khi đó, theo chứng minh ở phần a

đường thẳng OK’phải đi qua trung điểm I của AB

Do đó K’ trùng với K và vì vậy N’ trùng với N nên

Ví dụ 6 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF Gọi I, K, M, N

theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA Chứngminh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng

Giải:

Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF

Vì ID // CF, nên: BI BD

IF DC

Ví dụ 7 Cho hình thang ABCD(AB // CD; AB, CD) Đường thẳng qua A

song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CDtại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I Chứng minh rằng:

AE ED

BE



 (2)Các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành

Nên DH = AB = GC suy ra DG = HC

Thay vào (1) 

DG

AB IC

AB ED

BE IC

AB

Do đó

FC

AF IC

BI

 suy ra FI // AB hay FI // CD (5)

Từ (4) và (5)  EI, BH, AC đồng quy

Ví dụ 8 Cho M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CA (hoặc trên các

đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện

Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được: MA PC. NC

MB PA NB Tiếp tục nhân 2 vế với NB

B N

 ' '

Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’  N

Vậy: M, P, N thẳng hàng

Ví dụ 9 Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm

tương ứng M, N Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giaođiểm của BN với MD Chứng minh rằng ba điểm C, P, Q thẳng hàng

QD ND

NA

Gọi K là giao điểm của CD với

đường thẳng MP

Khi đó BCKM, NDKP là các hình bình hành nên

PK

PM ND

NA

 và

CD

CK BA

Ví dụ 10 Cho ba điểm P, Q, R theo thứ tự ở trên các cạnh BC, CA, AB (hay

các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC nhưng không trùng đỉnhnào của tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR

đồng quy là  1

RB

RA QA

QC PC

RB

RA IA

IP CP CB

- Vào ACP và đường thẳng BIQ, ta có:

1

IP

IA QA

QC BC BP

Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta được

1

IP

IA QA

QC BC

BP RB

RA IA

IP CP CB

Từ đó suy ra:  1

RB

RA QA

QC PC PB

Ngược lại, giả sử ba đường thẳng AP, BQ, CR thoả mãn điều kiện:

1

RB

RA QA

QC PC PB

Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra:

- Trường hợp thứ nhất: trong ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt nhau

Chẳng hạn AP cắt BQ tại I Khi đó CI phải cắt AB tại điểm R’ nào đó.Theo kết quả đã chứng minh trên, ta có:

1 '

'

B R

A R QA

QC PC PB

Từ hai đẳng thức trên suy ra

RB

RA B R

A R

 '

'

nên R’ trùng với R

Do đó ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy

- Trường hợp thứ hai: là trường hợp ba đường thẳng AP, BQ, CR song song với nhau - trường hợp này không thể xảy ra.

Ví dụ 11 Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp

điểm của cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp thì đồng quy

.

RB

RA RA

QC QC

RB RB

RA QA

QC PC PB

Do đó, cũng theo định lí CéVa ta được ba

đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy

Ví dụ 12 Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên

cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉkhi ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy

Giải:

Vì M là trung điểm của BC nên  1

MC MB

Do đó:

EA

EC DB

DA EA

EC MC

MB DB

DA

.

Vì vậy, ba đường thẳng AM, BE, CD

đồng quy khi và chỉ khi:   1

EA

EC DB

DA EA

EC MC

MB DB

DA

hay

EC

EA DB

DA

Theo định lí Talet đảo Vậy: DE // BC

Ví dụ 13 Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAF nằm phía

ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy

Giải:

Gọi: P là giao điểm của AE và BC,

Q là giao điểm của BF và CA,

R là giao điểm của CD và AB

Hai tam giác ABE và ACE có chung

cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng

Nên: . ABE . FCB. CAD 1

ACE FAB DBC

S S S

PB QC RA

PC QA RB S S S 

Theo định lý Céva, ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy

Ví dụ 14 Cho ABC vuông tại A Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các hình

vuông ABDE và ACGH

a) Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân

b) Kẻ đường cao AH1 của tam giác ABC Chứng tỏ các đường thẳng

 Tứ giác BCHE là hình thang cân

b) Gọi: P là giao điểm của DE và HG

AB = AE (ABDE là hình vuông)Suy ra: ABH1 = AEK (cạnh huyền – góc nhọn)

 AH1 = EK (hai cạnh tương ứng) (1)

Tương tự: ACH1 = HAQ  AH1 = HQ (2)

Từ (1) và (2)  EK = HQ

Xét OEK và OHQ vuông có:

EK = HQ; KEO  = QHO  (so le trong)

Do đó O là trung điểm của AP (AEPH là hình chữ nhật)

 P thuộc AO nên P thuộc AH1

Vậy: Ba đường thẳng AH1, DE, GH đồng quy tại một điểm

Ví dụ 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD Gọi E, F lần

lượt là điểm đối xứng của D qua các cạnh AB, AC Đường thẳng EF cắt AB ở

M và cắt AC ở N Chứng minh 2 đường thẳng CM và BN cắt nhau tại mộtđiểm H nằm trên đường cao AD và BNAC , CMAB

Giải:

Xét tam giác MDN có:  

M  M

 AB là phân giác ngoài của góc M

Tương tự AC là phân giác ngoài của góc N

 Điểm A, giao điểm của hai phân giác ngoài AB, AC phải nằm trênđường phân giác trong của góc D

Vì BCAD  BC là phân giác ngoài của góc D

Từ đây ta có:

AB là phân giác ngoài của góc M

BC là phân giác ngoài của góc D

 BN là phân giác ngoài của góc N

Tương tự:

CM là phân giác trong của góc M

Các đường phân giác trong cắt nhau tại một điểm

 BM và CN cắt nhau tại một điểm thuộc AD

AC là phân giác ngoài của góc N; BN là phân giác trong của góc N

 BNAC Tương tự: CMAB

Ví dụ 16 Cho tam giác vuông ABC và AH là đường cao thuộc cạnh huyền.

Vẽ về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG

a) Gọi là chân các đường vuông góc hạ từ D và F đến BC So sánh tổng

c) Chứng minh AH, ED, FG đồng quy.

 AIG cân tại I => AI = IG

Chứng minh tương tự ta được: AI = AE

 AH đi qua trung điểm I của đoạn thẳng EG

c) Kéo dài DE và FG cắt nhau tại K

 AEKG là hình chữ nhật

 AK và CG cắt nhau tại trung điểm I của EG

Mà AH đi qua trung điểm I của EG

 AH đi qua trung điểm K của DE và FG

Hay AH, ED, FG đồng quy

Ví dụ 17 Cho tam giác ABC vuông tại A Dựng về phía ngoài tam giác các

hình vuông ABDE và ACFG Gọi K là giao điểm của tia DE và FG; M làtrung điểm của EG

 đường chéo AK đi qua trung

điểm M của EG Hay ba điểm K, M, A

Hoàng Phượng Ly – Trường THCS Nguyễn Thiện Thuật 21