Do được trang bị những kiến thức về đường thẳng đồng quy nên việc chứng minh và tr×nh bµy ng¾n gän h¬n vµ dÔ hiÓu h¬n lµm cho häc sinh høng thó trong häc tËp , gi¶i c¸c bµi tËp khã .Qua [r]
(1)S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 chuyên đề ph¸t triÓn t to¸n häc cho häc sinh líp từ định lý ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy nhằm phát và bồi dưỡng hs khá, giỏi a/ Đặt vấn đề : Bước vào kỷ XXI, cách mạng khoa học công nghệ tiếp tục phát triển với bước tiến nhảy vọt, trở thành động lực đầu tầu cho phát triển kinh tế – xã hội, đưa xã hội loài người bước sang thời đại văn minh mà tảng nó là văn minh tri thøc Việt Nam là nước thuộc khu vực Châu á - Thái bình dương là khu vực phát triển động, có tốc độ tăng trưởng kinh tế cao và ổn định Điều đó đặt đật nước ta đứng trước hội và thách thức xu quốc tế hoá toàn cầu , cạnh tranh , hội nhập hoá kinh tế quốc tế mà cốt lõi là trí tuệ loài người – văn minh trí tuệ, đồng thời tác động mạnh mẽ đến kinh tế xã hội nước ta Ngµy søc m¹nh cña mét quèc gia kh«ng chØ ®o b»ng gi¸ trÞ thÆng d, b»ng nguån ngo¹i tÖ vµ nh÷ng toµ nhµ cao träc trêi, søc m¹nh tiÒm lùc Êy ®îc ®o b»ng tri thức, nội lực chất xám thể qua mặt giáo dục , trình độ dân trí Do đó Đảng ta đã nhận định :” Cùng với khoa học và công nghệ cần phải đưa giáo dục thành quốc sách hàng đầu công phát triển đất nước Giáo dục phải trở thành chiến lược phát triển quốc gia ,nâng cao dân trí ,đào tạo nhân lực,bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Giáo dục phải đào tạo người có trình độ cao tri thøc , ph¸t triÓn cao vÒ trÜ tuÖ, thÝch øng nhanh víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña x· héi” §¶ng còng chØ râ gi¸o dôc ph¶i “ đưa nước ta khỏi tình trạng kém phát triển, nâng cao rõ rệt đời sống vật chất , tinh thần nhân dân, tạo tảng đến năm 2010 nước ta trở thành nước CNH-H§H” ( trích văn kiện đại hội Đảng IX) Sự nghiệp CNH-HĐH đất nước muốn thành công đòi hỏi người Việt Nam phải có lực ,có kiến thức, có thể chất ,tinh thần phong phú , Đạo đức sáng có khả tham gia góp sức vào công xây dựng nước nhà , là động lực phát triển đáp ứng moi yêu cầu xã hội nhân cách và tài Đó là nguồn nhân lực cần thiết giúp Việt Nam có thể tắt , đón đầu, rút ngắn khoảng cách lạc hậu so với các nước phát triển khu vực và triên giới Giáo dục –Đào tạo phải ưu tiên, phải trước đón đầu cho phát triển Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -1- (2) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 Vậy làm nào để người Việt Nam đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội ? Tiếp thu trí thức, làm chủ trí thức thời đại bùng nổ thông tin Điều đó đã đặt cho ngành giáo dục đào tạo nước ta nhiệm vụ – thay đổi phương pháp dạy học §©y lµ viÖc lµm cÊp thiÕt hiÖn cña ngµnh gi¸o dôc vµ cña x· héi ®îc §¶ng vµ nhà nước quan tâm và ban hành thành luật điều 24.2 – Luật giáo dục : Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực , tự giác chủ động sáng tạo học sinh phù hợp với đặc điểm môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm đem lại niềm vui høng thó häc tËp cho häc sinh Hiện nước ta đã và tiến hành cách mạng giáo dục, nội dung, chương trình giảng dạy đã đổi mới, chất lượng bước đầu đã cải thiện theo phương châm : “ , đại mà hài hoà phù hợp với thực tiễn Việt Nam” [ Nghị định 02/2003 chính phủ ] Điều đó đặt cho giáo dục nhiều vấn đề cần phải giải , vấn đề truyền thống – đại ; vấn đề toàn cầu – quốc gia và cá thể Để đáp ứng phát triển Giáo dục Đào tạo nước ta phải đổi và đại hoá không phương pháp dạy học mà còn đổi nội dung và phương tiện dạy học trên tri thức khoa học - công nghệ tiên tiến và đại ho¸ víi sù hç trî cña c«ng nghÖ th«ng tin , gi¸o dôc ph¶i tiÕp thu b»ng nhiÒu c¸ch khác và chính thái độ chủ động , tích cực sáng tạo người học Trong cách mạng giáo dục , quan trọng là đổi phương pháp Giáo dục cải tiến theo xu hướng phát triển phương pháp dạy học đại : ChuyÓn tõ d¹y häc lÊy gi¸o viªn lµm trung t©m sang d¹y häc lÊy häc sinh lµm trung tâm hợp lý là đặt người học vào trung tâm quá trình dạy học , coi học sinh là trung tâm nhà trường Giáo dục phải chuyển từ “ cung cấp kiến thức “ sang mục đích “ luyện cách tự mình tìm kiến thức” đường tự học , tự nghiên cứu , tù trau dåi nghÒ nghiÖp (ba tù) sù c¹nh tranh vµ ‘bïng næ th«ng tin’ cña thêi đại , tư động sáng tạo lên hàng đầu Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo , giảm “nhồi nhét” ,”bắt trước”,”ghi nhớ” giáo viên từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm lấy kiến thức , còn học trò từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở thành người chủ động tìm học , tự học tự nghiên cứu Theo nhà giáo người Đức- Distetverg đã nói “ Người thầy tồi truyền đạt tâm lý , người thầy giỏi dạy cách tìm chân lý” Khắc phục loại bỏ lối dạy học thụ động “ độc giảng” , “kinh viện” , ( thầy nói là chủ yÕu, trß nghe vµ ghi chÐp) D¹y kiÕn thøc ph¶i ph¸t huy lßng say mª ham thÝch häc tập người học Xét cho cùng giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức , hướng dẫn tìm kiến thức để làm sở cho phát triển lực tư và hành động Đổi phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực dạy học , tích cực hoá hoạt động người học Quá trình giáo dục là quá trình Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -2- (3) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 nhận biết- thuyết phục- vận dụng để tiếp thu kiến thức từ chưa biết, chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn ,”phải biết kết hợp học đôi với hành , học hành phải kết hợp với ; học và hành lúc nơi” , lý thuyết phải gắn với thực tế Người giáo viên phải thực chủ trương đưa thở sống vào bài giảng , phải cập nhật “ thông tin” thường xuyên, liên tục đổi nội dung , phương pháp phù hợp với phát triển , biến đổi to lớn thời đại Mçi gi¸o viªn cÇn ph¶i tù x©y dùng cho m×nh mét phong c¸ch d¹y häc thÝch hîp víi néi dung bµi häc kh«ng thÓ d¹y häc theo kiÓu “ d¹y chay”,vµ biÕn thÇy gi¸o thµnh “ thợ dạy” là dạy học các môn khoa học ứng dụng các phương pháp dạy học tích cực hoá người học để nâng cao chất lượng dạy và học Hơn ,toán học trường trung học sở là môn khoa học có vị trí quan trọng hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho hệ trẻ - đội ngũ người lao động tương lai kiến thức toán học phổ thông , đại gần gũi với đời sống làm sở cho việc tiếp thu kiến thức khoa học công nghệ đại tiên tiến trên giới Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi phương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng , nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học , đào tạo người yêu lao động có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc hững thµnh tùu khoa häc míi nhÊt ,tiªn tiÕn nhÊt trªn thÕ giíi hoµ nhËp víi quèc tÕ xu hướng Từ lý trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Phát triển tư toán học cho học sinh lớp : Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy” B/ c¬ së khoa häc : C¬ së lý luËn: - Quy luật quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu cao hay không , có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo chủ thể - Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên là có xu hướng vươn lên làm người lớn , muèn tù m×nh t×m hiÓu , kh¸m ph¸ qu¸ tr×nh nhËn thøc ë løa tuæi häc sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ Người lớn ” nhiên nhược điểm các em là chưa biết cách thực nguyện vọng mình , chưa nắm các phương thøc thùc hiÖn c¸c h×nh thøc häc tËp míi Vì cần có hướng dẫn , điều hành cách khoa học và nghệ thuật cña c¸c thÇy c« Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -3- (4) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 Trong lý luận phương pháp dạy học cho thấy Trong môn toán thống điều khiển thầy và hoạt động học tập trò có thể thực cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực dạy học toán và hoạt động Dạy học theo phương pháp phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều , làm nhiÒu h¬n , tham gia nhiÒu h¬n qu¸ tr×nh chiÕm lÜnh tri thøc to¸n häc Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư quan ®iÓm nµy cho r»ng d¹y to¸n lµ ph¶i d¹y suy nghÜ , d¹y bé ãc cña häc sinh thµnh th¹o các thao tác tư phân tích , tổng hợp , trừu tượng hoá , khái quát hoá Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi , tự mình phát và phát biểu vấn đề dự đoán các kết , tìm hướng giải bài toán ,hướng chứng minh định lý - Hình thành và phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học toán cho häc sinh lµ mét qu¸ tr×nh l©u dµi , th«ng qua tõng tiÕt häc , th«ng qua nhiÒu n¨m häc , th«ng qua tÊt c¶ c¸c kh©u cña qu¸ tr×nh d¹y häc néi kho¸ còng nh ngo¹i kho¸ C¬ së thùc tiÔn : - Hiện nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học , lười tư quá trình học tập - Học sinh chưa nắm phương pháp học tập , chưa có hoạt động đích thực thân để chiếm lĩnh kiến thức cách chủ động năm qua các trường trung học sở dã có chuyển đổi tích cực việc đổi phương pháp giảng dạy trên sở thay sách giáo khoa từ khối đến khối Học sinh đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong dừng lại bài tập đơn giản sách giáo khoa Định lý Talét là phần kiến thức khó các em , đặc biệt là vận dụng vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp - Việc vận dụng lý thuyết đã học sách giáo khoa vào giải bµi tËp cßn khã kh¨n lµm c¸c em cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o vËn dông vµo c¸c bµi tËp cã néi dung më réng , n©ng cao VÝ dô : Gi¶i bµi tËp sau “ Chøng minh r»ng nÕu hai c¹nh bªn cña mét h×nh thang c¾t thì đường thẳng qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo qua trung điểm các đáy hình thang” + Khi chưa thực chuyên đề này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết sau : Lúc đầu 100% số học sinh lớp không xác định dùng kiến thức gì để chứng minh Do đó các em không giải Sau đó tôi gợi ý “ Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có gợi ý gì ?” Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -4- (5) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 lúc này đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét ( vì hình thang có cạnh đáy song song ) Nhưng các em không thể giải , vì để giải bài tập này không phải dùng trực tiếp định lý Talét hay hệ định lý Talét mà gián tiếp thông qua tính chất chùm đường thẳng đồng quy + Sau đó tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh lớp đã xác định hướng chứng minh bài toán và có khoảng 60%70% học sinh chứng minh Ngoài các em còn có khả áp dụng chùm đường thẳng đồng quy vào giải số bài tập khó , phức tạp Đặc biệt các em cßn biÕt ¸p dông vµo gi¶i nh÷ng bµi tËp nh chøng minh ®êng th¼ng vu«ng góc,các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, đặc biệt là các đường thẳng đồng quy Sau đây là phần trình bày nội dung và các bước tiến hành chuyên đề tôi : C/ Giải vấn đề : I-Bước thứ : Tìm hiểu nội dung kiến thức sách giáo khoa và phát kiến thức tiềm ẩn kiến thức sách giáo khoa mà các em đã biết : Nội dung kiến thức sách giáo khoa đã chứng minh là : a/ §Þnh lý TalÐt : §Þnh lý thuËn : NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai cạnh còn lại thì nó định trên hai cạnh đó đoạn thẳng tương ứng tỷ lÖ Định lý đảo : Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và định trên hai cạnh này đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c AC ' AB ' AB AC ABC AB ' AC ' a // BC BB ' CC ' BB ' CC ' AB AC b/ Hệ định lý Talét : Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -5- (6) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 ABC AB ' AC ' B ' C ' a // BC AB AC BC T×m hiÓu thÊy r»ng : Từ định lý Talét , đã chứng minh hệ , thì vấn đề đặt là : Từ đỉnh A tam giác ABC trên ta kẻ thêm số đường thẳng cùng cắt đường th¼ng a vµ ®êng th¼ng BC th× cã nh÷ng ®iÒu g× x¶y Ch¼ng h¹n tõ A ta vÏ thªm AD ,D ®êng th¼ng BC vµ AD c¾t ®êng th¼ng a t¹i D’ B' C ' C ' D' BC CD AC' v× cïng b»ng AC Ta cã thÓ suy Ngược lại : Nếu có B' C ' C ' D' k (k 1) th× ba ®êng th¼ng BB’ , CC’ , DD’ BC CD đồng quy điểm A hay không? NÕu C lµ trung ®iÓm cña BD th× C’ cã lµ trung ®iÓm cña B’C’ hay kh«ng ? Từ suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải bài tập đường thẳng đồng quy , các điểm thẳng hàng Nhưng vấn đề quan trọng là chỗ phải xếp hệ thống bài tập cho học sinh có thể tích cực ,độc lập suy nghĩ , tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần thiÕt cho viÖc gi¶i bµi tËp cã néi dung nãi trªn Sau ®©y lµ hÖ thèng c¸c c©u hái , bµi tËp c¬ b¶n dÉn d¾t häc sinh II Bước thứ hai : X©y dùng hÖ thèng bµi tËp , gióp cho häc sinh t ph©n tÝch tæng hîp, kh¸i qu¸t hoá kiến thức , từ đó làm sở cho việc vận dụng giải bài tập Bài số 1: Cho ba tia 0a, 0b, 0c cắt hai đường thẳng song song m, m’ A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -6- (7) S ¸ n g Chøng minh r»ng : k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 AB BC A' B' B' C ' Chøng minh AB 0B ( Hệ định lý Talét) A' B ' B ' BC 0B - xÐt tam gi¸c 0BC ta cã (Hệ định lý Talét) B' C ' B' AB BC từ đó suy : (®pcm) A' B' B' C ' Bµi sè : Vấn đề đặt là : - xÐt tam gi¸c 0AB ta cã Bài toán trên còn đúng không có bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cát hai đường thẳng song song m vµ m’ ? H·y ph¸t biÓu vµ chøng minh bµi to¸n Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán để trả lời ; “ cho bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d c¾t hai ®êng th¼ng song song m vµ m’ t¹i c¸c ®iÓm theo thø tù t¹i A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c ; D,D’ 0d Chøng minh r»ng : AB BC CD A' B' B' C ' C ' D' Chøng minh : Tacã AB BC ( nh bµi sè 1) A' B ' B ' C ' BC CD ( chứng minh tương tự bài 1) B' C ' C ' D' Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -7- (8) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 AB BC CD (®pcm) A' B ' B ' C ' C ' D ' Đến đây đặt câu hỏi ? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành tính chất ? từ đó suy Hs trả lời : “ Nếu các đường thẳng đồng quy điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương øng tû lÖ” Gv giới thiệu với học sinh tính chất trên chính là tính chất ba đường thẳng đồng quy Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh ( phát biểu thành bài toán đảo bài toán trên ) chính là nội dung bài toán sau đây : Bài số : Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ t¹i A, A’ a ; B, B’ b ; C, C’ c cho AC BC k ( k 1) A' C ' B ' C ' Chứng minh các đường thẳng a,b,c đồng quy điểm Chøng minh : Gi¶ sö hai ®êng th¼ng a, b c¾t t¹i ta cÇn chøng minh ®êng th¼ng c ®i qua Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng 0C víi m’ là C” Khi đó , theo định lý thuận ,ta có : AC BC AC BC MÆt kh¸c theo GT AC ' ' B' C ' A' C ' B ' C ' Từ đó suy A’C”=A’C’ và B’C’=B’C” C ' C ' ' Vậy c qua hay a, b, c đồng quy §Õn ®©y Gv cho häc sinh ph¸t biÓu kh¸i qu¸t bµi to¸n trªn Hs “ Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định trên hai đường thẳng đó đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy” Như học sinh đã phát triển tư độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh số bài tập có liên quan đến định lý Talét §Õn ®©y Gv cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dông nh÷ng ®iÒu võa chøng minh ®îc vµo gi¶i quyÕt bµi tËp Bµi sè : Chøng minh r»ng hai ®êng th¼ng chøa hai c¹nh bªn vµ ®êng th¼ng nèi trung điểm hai đáy hình thang đồng quy Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -8- (9) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 Chøng minh : V× M lµ trung ®iÓm cña AB nªn : MA = MB V× N lµ trung ®iÓm cña CD nªn : NC = ND từ đó suy : AM MB DN NC Theo kết bài ta AD,BC,MN đồng quy đến đây Gv cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây Bµi sè : Chøng minh r»ng :Trong h×nh thang giao ®iÓm hai c¹nh bªn ,giao ®iÓm hai đường chéo và trung điểm hai đáy thẳng hàng Gi¶i: Gäi giao ®iÓm cña AD vµ BC lµ ; giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ I Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB, N lµ trung ®iÓm cña CD Ta cã : 0,M,N th¼ng hµng (¸p dông bµi 4) Ta có I,M,N thẳng hàng (tương tự bài 4) Suy : ,M,N,I th¼ng hµng (®pcm) Đây là bài toán sau đã làm bài học sinh làm cách dễ dàng mà không cần phải gợi ý thêm gì Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt vấn đề trên : Bµi sè : a/ Chøng minh r»ng nÕu hai c¹nh bªn cña mét h×nh thang c¾t th× ®êng th¼ng qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo qua trung điểm các đáy cña h×nh thang b/ Hãy nêu cách dùng cái thước ( không dùng com pa) để dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trước cho đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I AB Lêi gi¶i: a/ Gi¶ sö h×nh thang ABCD cã hai c¹nh bªn AD,BC C¾t t¹i E vµ hai ®êng chÐo AC,BD c¾t t¹i F Gäi giao ®iÓm cña EF víi AB ,CD theo thø tù lµ M,N Víi hai ®êng th¼ng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng quy ED, Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net -9- (10) S ¸ n g EN,EC ta cã k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 AM MB , đó DN NC AM DN (1) Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba đường thẳng đồng quy MB NC AM MB AM NC DN NC AC,MN,BD ta cã , đó (2) Tõ (1) vµ (2) suy NC DN MB ND NC DN đó DN=NC nên N là trung điểm CD Từ DN=Nc và (2) suy AM=MB nên M lµ trung ®iÓm cña AB b/ Nếu có đường thẳng d song song ví đoạn thẳng AB thì ta nối A,B với cùng điểm E nào đó ngoài D và khác phía A Gọi giao điểm d với EA,EB theo thứ tự là C,D Nối AD,BC và gọi giao điểm hai đường thẳng đó là F Nèi F víi E th× theo chøng minh ë phÇn a giao ®iÓm cña EF víi AB lµ trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB NÕu ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng AB th× kh«ng thÓ cã ®êng th¼ng song song víi AB vµ ®i qua M NÕu ®iÓm M kh«ng n»m trªn ®êng th¼ng AB th× ta chän mét ®iÓm tuú ý trªn ®êng th¼ng AM (kh«ng trïng víi A,M) gäi K lµ giao ®iÓm cña 0I vµ MB ,gäi N lµ giao ®iÓm cña AK và 0B Khi đó MN // AB Thật giả sử đường thẳng song song víi AB sÏ qua M c¾t 0B t¹i N’vµ hai ®êng th¼ng MB, AN’ cắt K’ đó , theo chứng minh ë phÇn a ®êng th¼ng 0K’ph¶i ®i qua trung điểm I AB Do đó K’ trùng với K và vì N’ trïng víi N nªn MN//AB Đến đây giáo viên đặt câu hỏi : Hãy phát biểu khái quát phÇn a cña bµi to¸n trªn : “ Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song , t¹o trªn ®êng th¼ng thø nhÊt hai ®o¹n th¼ng b»ng th× còng t¹o trªn ®êng th¼ng thø hai hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau” Làm xong bài tập trên học sinh đã nắm tính chất ba đường thẳng đồng quy T«i tiÕp tôc cho häc sinh lµm mét sè bµi tËp vËn dông cã yªu cÇu cao h¬n , phøc tạp đó có sử dụng đến tính chất ba đường thẳng đồng quy mà các em đã chứng minh trên III Bước thứ ba : X©y dùng hÖ thèng bµi tËp vËn dông Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu định lý Talét và áp dụng tính chất ba đường thẳng đồng quy , phần bài tâp vận dụng tôi xin đưa ý chính viÖc chøng minh : Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 10 - (11) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 Bµi sè : Cho tam gi¸c nhän ABC ,c¸c ®êng cao AD,BE,CF Gäi I,K,M,N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA Chứng minh bèn ®iÓm I,K,M,N th¼ng hµng Gi¶i : Gäi H lµ giao ®iÓm cña AD, BE, CF ta cã BI BD BK IK // FE IF DC KE (1) Tương tự MN//FE (2) Ta l¹i cã IF DH NE IN // FE (3) FA HA EA Tõ (1),(2) vµ (3) suy I,K,M,N th¼ng hµng Bµi sè : Cho h×nh thang ABCD(AB//CD; AB,CD) §êng th¼ng qua A song song víi BC c¾t BD t¹i E, ®êng th¼ng qua B song song víi AD c¾t CD t¹i H, ®êng th¼ng qua H song song víi BD c¾t BC t¹i I Chøng minh r»ng a/ EI//AB b/ Ba đường thẳng EI,BH,ACđồng quy Gi¶i : Gäi F lµ giao ®iÓm cña BH vµ AC ,G lµ giao ®iÓm cña AE vµ CD BI DH IC HC BE AE AB V× DG // AB ==> ED EG DG a/ V× HI // BD ==> (1) (2) c¸c tø gi¸c ABHD, ABCG lµ h×nh b×nh hµnh nªn DH = AB = GC suy DG = HC thay vµo (1) ==> BI AB IC DG (3) Tõ (2) vµ (3) ==> BI BE IC ED từ đó suy EI // DC hay EI // AB (4) b/ Tõ (2) vµ (3) ta cã BI BE AB AB IC ED DG HC AB AF BI AF đó suy FI // AB hay FI // CD (5) HC FC IC FC từ (4) và (5) ==> EI, BH, AC đồng quy l¹i cã HC // AB ==> Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 11 - (12) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 Bài số : Cho M,N,P nằm trên ba cạnh AB,BC,CA( trên các đường thẳng chứa các cạnh) tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để M,N,P th¼ng hµng lµ MA NB PC ( định lý Mêlênaúyt) MB NC PA Gi¶i : §iÒu kiÖn cÇn : Gi¶ sö M,N,P th¼ng hµng Tõ A kÎ AQ // BC c¾t MN ë Q ta cã : MA MB PC Tõ PNC ==> PA Tõ MBN ==> AQ NB NC AQ Nhân vế hai đẳng thức trên ta MA NB NC NB nh©n vÕ víi MB NC NB NC ta cã MA NB PC 1 MB NC PA Điều kiện đủ : Cho ba ®iÓm M,N,P trªn ba c¹nh tam gi¸c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn MA NB PC 1 MB NC PA Nèi MP kÐo dµi c¾t BC ë N’, theo (cmt) th× Từ đó suy MA N ' B PC 1 MB N ' C PA N ' B NB V× N’ vµ N cïng ë ®o¹n BC nªn N’ N, tøc lµ M,P,N N ' C NC th¼ng hµng Bài số 10 : Trên hai cạnh AB, AD hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương øng M,N Gäi P lµ ®iÓm cho AMPN lµ h×nh b×nh hµnh vµ Q lµ giao ®iÓm cña BN víi MD Chøng minh r»ng ba ®iÓm C,P,Q th¼ng hµng Gi¶i : V× ba ®iÓm N,Q,B th¼ng hµng nªn theo bµi ta NA QD BM Gäi K lµ giao ®iÓm cña cã ND QM MA CD với đường thẳng MP Khi đó BCKM , NDKP lµ c¸c h×nh b×nh hµnh nªn NA PM vµ ND PK Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 12 - (13) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 NA QD BM PM QD CK PM CK QD BM CK Do đó ND QM BA PK QM CD PK CD QM BA CD V× C,P,Q n»m trªn c¸c ®êng th¼ng chøa c¸c c¹nh cña tam gi¸c MDK theo bµi to¸n và đẳng thức trên suy C,P,Q thẳng hàng Bµi sè 11: Cho ba ®iÓm P,Q,R theo thø tù ë trªn c¸c c¹nh BC,CA,AB ( hay c¸c đường thẳng chứa các cạnh ) tam giác ABC không trùng đỉnh nào tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy là PB QC RA (định lý Céva) PC QA RB Gi¶i: Giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy I theo bµi sè vµo tam gi¸c ABP vµ ®êng th¼ng RIC ta cã CB IP RA , áp dụng định lý đó vào tam giác CP IA RB ACP vµ ®êng th¼ng BIQ, ta cã BP QC IA BC QA IP Nhân các vế tương ứng hai đẳng thức đó với nhau, ta CB IP RA BP QC IA 1 CP IA RB BC QA IP PB QC RA 1 PC QA RB PB QC RA 1 Ngược lai, giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR thoả mãn điều kiện PC QA RB Từ đó suy Khi đó, hai trường hợp có thể xảy Trường hợp hai ba đường thẳng AP,BQ,CR cắt ; chẳng hạn AP cắt BQ I Khi đó CI phải cắt AB điểm R’ nào đó Theo kết (cmt) ta có PB QC R ' A từ hai đẳng thức trên suy R' A RA nên R’ trùng với R Do PC QA R ' B R ' B RB đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy Trường hợp còn lại là trường hợp ba đường thẳng AP,BQ,CR song song với ,trường hợp này không thể xảy Bµi sè 12: Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng ®i qua đỉnh tam giác và tiếp điểm cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp thì đồng quy Gi¶i : Gäi P,Q,R theo thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña BC,CA,AB víi ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC Khi đó PB = RB, PC = QC, QA = RA nên : Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 13 - (14) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 PB QC RA RB QC RA đó ba đường thẳng AP,BQ,CR đồng quy PC QA RB QC RA RB Bµi sè 13 : Cho tam gi¸c ABC, mét ®iÓm D trªn c¹nh AB, mét ®iÓm E trªn c¹nh AC vµ trung ®iÓm M cña c¹nh BC Chøng minh r»ng DE//BC vµ chØ ba ®êng thẳng AM,BE,CD đồng quy Gi¶i : V× M lµ trung ®iÓm cña BC nªn MB Do đó MC DA MB EC DA EC V× vËy, ba ®êng th¼ng DB MC EA DB EA AM,BE,CD đồng quy và DA EA DA MB EC DA EC hay DB MC EA DB EA DB EC tøc lµ DE//BC Bài số 14 : Chứng minh ba tam giác ABD, BCE, CAFn»m phÝa ngoµi tam gi¸c ABC th× ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy Gi¶i : Gäi P lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, Q lµ giao ®iÓm cña BF vµ CA, R lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB Hai tam gi¸c ABE vµ ACE cã chung c¹nh AE nªn tû sè diÖn tÝch cña chóng b»ng tØ sè c¸c kho¶ng c¸ch tõ B và C đến cạnh chung AE Theo định lý Talét tam giác, tỉ số khoảng cách đó QC S FCB RA S CAD , QA S AFB RB S DBC PB PB S Do đó ABE Tương tự, ta có PC PC S ACE PB QC RA S ABE S FCB S CAD PC QA RB S ACE S FAB S DBC V× ABE = DBC (c.g.c) , ACE = FCB (c.g.c) , FAB = CAD (c.g.c) PB QC RA S ABE S FCB S CAD theo định lý Céva , ba đường thẳng nªn PC QA RB S ACE S FAB S DBC AE,BF,CD đồng quy Do đó Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 14 - (15) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 d/ KÕt qu¶ : Qua phần trình bày trên đây ,ta thấy nhiều bài tập chứng minh cần đến việc áp dụng tính chất các đường thẳng đồng quy Những kiến thức này giúp cho học sinh ph¸t triÓn ®îc t vµ kÜ n¨ng chøng minh h×nh Do trang bị kiến thức đường thẳng đồng quy nên việc chứng minh và tr×nh bµy ng¾n gän h¬n vµ dÔ hiÓu h¬n lµm cho häc sinh høng thó häc tËp , gi¶i c¸c bµi tËp khã Qua thö nghiÖm t«i nhËn thÊy cã mét sè kÕt qu¶ rÊt phÊn khëi nh sau : - Khi chưa thực chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn việc chứng minh loại bài tập này ,ngay bài tập số tương đối dễ mà có tới 99% các em không giải còn các bài tập từ bài số đến bài số 14 các em hoàn toµn bÕ t¾c - Sau đó, tôi nghiên cứu xếp hệ thống bài tập ,câu hỏi đẫ trình bày trên vµ ¸p dông d¹y cho häc sinh líp th× thÊy r»ng : Häc sinh hiÓu bµi h¬n, cã hứng thú say mê với loại bài chứng minh ba đường thẳng đồng quy Các em tự mình có thể giải các bài tập , đồng thời các em còn trình bày ngắn gän h¬n ,xóc tÝch h¬n ngoµi nh÷ng bµi tËp t«i ®a ë trªn cßn nhiÒu bµi n÷a từ 70% đến 80% các em làm - Bước đầu xây dựng cho học sinh phong cách say sưa tìm tòi khám phá ®iÒu míi, ®iÒu hay qua tõng bµi tËp ,c¸c em n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ kÜ giải toán các em nâng lên mức độ cao và sâu sắc Học sinh không còn hiểu vấn đề cách máy móc dập khuôn - V× kh«ng cã ®iÒu kiÖn tr×nh bµy hÕt tÊt c¶ c¸c bµi tËp, t«i chØ xin tr×nh bµy mét số bài tập trên đây làm ví dụ minh hoạ cho chuyên đề mình e/ Bµi häc rót : - Đổi phương pháp dạy học là quá trình, song giáo viên cần có ý thức thường trực tìm tòi phương pháp, phù hợp với loại bài tập và đối tượng học sinh theo phương hướng tích cực hoá hoạt động học sinh qu¸ tr×nh häc tËp - Häc sinh trung häc c¬ së cßn ë tuæi thiÕu niªn, viÖc t cña c¸c em, kh¶ khái quát hoá còn hạn chế Do đó để giải các bài tập khó là công việc nặng nề các em, là các bài tập hình vì đòi hỏi người giáo viên đầu tư lớn việc nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao, từ đó xây dựng thành chuyên đề nhằm giúp học sinh có lực độc lập tư duy, khái quát hoá các kiến thức Từ đó mà lực và trí tuệ các em rèn luyện và n©ng cao - Chỉ qua ví dụ “Định lý Talét” ta thấy đã rút nhiều kiến thức bổ Ých cho viÖc gi¶i bµi tËp h×nh vÒ chøng minh trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng, c¸c Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 15 - (16) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, các đường thẳng đồng quy… NÕu chóng ta tiÕn hµnh nh vËy ë c¸c néi dung kiÕn thøc kh¸c n÷a th× ch¾c chắn kết giáo dục ngày càng nâng cao hơn, đào tạo nhiều nhân tài cho đất nước có đủ kiến thức và trình độ để hội nhập cùng quốc tế đó là đích cuối cùng nghề dạy học Quang Trung, ngµy10 th¸ng12 n¨m 2007 Người viết Bïi §×nh §«ng Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 16 - (17) S ¸ n g k i Õ n k i n h n g h i Ö m 2007 -2008 ý kiến đánh giá xếp loại tổ chuyên môn Quang Trung, ngµy12 th¸ng12 n¨m 2007 TM tæ chuyªn m«n ý kiến đánh giá xếp loại Ban giám hiệu Quang Trung, ngµy15 th¸ng12n¨m 2007 Ban gi¸m hiÖu ý kiến đánh giá xếp loại pgd &Đt An L·o.ngµy…th¸ng….n¨m 2008 Ban gi¸m kh¶o Bïi §×nh §«ng – THCS Quang Trung – An L·o HP Lop8.net - 17 - (18)