SKKN hình học 7 CHứng minh ba điểm thẳng hàng

Càng khó hơn với HS lớp 7 khi mới làm quen với bài toán chứng minh, khả năng nhận dạng yêu cầu bài toán còn chưa thành thạo thì dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán k

1

Phần 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước

và của toàn dân Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Giáo dục cần đào tạo đội ngũ có năng lực hành động, tính năng động, sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm cũng như năng lực cộng tác làm việc, năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển năng lực hành động, năng lực cộng tác làm việc của người học Đó cũng là những xu hướng quốc tế trong cải cách phương pháp dạy học ở nhà trường phổ thông

Môn Toán là môn học không thể thiếu được ở cấp học phổ thông; các kiến thức và phương pháp toán học là một công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các môn học khác và hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Hơn thế nữa, học toán còn là cơ hội tốt nhất để người học phát triển các năng lực trí tuệ

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tại trường THCS Bảo Nhai, tôi thấy còn nhiều HS với khả năng giải toán còn hạn chế, đặc biệt với phân môn hình học, khả năng vận dụng kiến thức lý thuyết vào giải bài toán còn chưa tốt Càng khó hơn với HS lớp 7 khi mới làm quen với bài toán chứng minh, khả năng nhận dạng yêu cầu bài toán còn chưa thành thạo thì dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán khó, đòi hỏi HS cần có kiến thức cơ bản của phân môn hình học kết hợp với khả năng lập luận logic

Với mong muốn rèn kỹ năng suy luận cho HS, giúp HS nhận thức tốt hơn, yêu thích hơn với phân môn hình học, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 nói riêng, chất lượng mũi nhọn của trường THCS Bảo Nhai nói

chung, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp 7 một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng – môn hình học lớp 7 tại trường THCS Bảo Nhai”

Phần 2 PHẠM VI VÀ THỜI GIAN ÁP DỤNG

1 Phạm vi áp dụng: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7

2 Thời gian áp dụng: Năm học 2014 – 2015

2

Phần 3 ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI ÁP DỤNG KINH NGHIỆM DẠY HỌC

Trong chương trình môn toán cấp THCS của Bộ GD & ĐT hiện hành, học sinh lớp 7 bắt đầu làm quen với việc giải bài toán chứng minh hình học với nhiều dạng toán như: chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng song song, vuông góc, với các dạng toán đi cùng là kiến thức

lý thuyết cơ bản, rất rõ ràng và chi tiết trong SGK cũng như các tài liệu tham khảo Tuy nhiên với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là dạng toán thường gặp trong các bài toán ôn luyện học sinh giỏi và không có phương pháp giải cụ thể Trước khi áp dụng kinh nghiệm dạy học này, tôi đã thực hiện khảo sát lần 1 nhóm học sinh giỏi hiện tôi đang bồi dưỡng buổi 2

Đề bài 1: Cho ∆ABC vuông ở A, M là trung điểm của AC Kẻ tia Cx vuông góc với CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia

Cx lấy điểm D sao cho CD = AB Chứng minh rằng ba điểm B, M, D thẳng hàng

Kết quả bài làm của HS như sau:

Sau bài kiểm tra khảo sát, tôi nhận thấy mặc dù là đối tượng HS giỏi nắm vững kiến thức cơ bản, có kỹ năng phân tích yêu cầu bài toán song vì chưa làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, chưa biết phương pháp giải

và cách suy luận nên các em lập luận chưa chặt chẽ, chưa biết cách tư duy hình học kết quả bài làm còn thấp: Tỉ lệ HS khá: 11,1%, trung bình: 66,7%, yếu: 22,2% và không có HS đạt loại giỏi

Với quyết tâm thực hiện mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi suy nghĩ và tìm tòi các biện pháp để giúp học sinh đạt kết quả cao trong chứng minh hình học nói chung và chứng minh ba điểm thẳng hàng trong phân môn hình học lớp

7 nói riêng

3

Phần 4 BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

Để thực hiện được mong muốn học sinh giỏi lớp 7 thành thạo kỹ năng chứng minh hình học nói chung và đặc biệt là kỹ năng chứng minh ba điểm thẳng hàng, biết lập luận chặt chẽ, tôi đã củng cố cho HS kiến thức cơ bản mà các em đã học trong chương trình hình học lớp 6 và lớp 7 có liên quan đến dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng đó là:

A Kiến thức cơ bản

1 Khái niệm ba điểm thẳng hàng

Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng

2 Tính chất của ba điểm thẳng hàng

Với ba điểm A, B, C thẳng hàng:

- A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng

- AC + CB = AB (Điểm C nằm giữa hai đểm A và B)

- ACB  1800

3 Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Yêu cầu: Chứng minh ba điểm A, C, B thẳng hàng

 Phương pháp 1

Vận dụng mối quan hệ giữa hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh để giải bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Với phương pháp này, bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng được chia hai dạng:

 Dạng 1

- Nếu ACD  DCB  1800 thì suy ra A, C, B thẳng hàng

A

B C

A

B C

A

B D

C

4

- Nếu C1  C2 và C, D, E thẳng hàng thì A, C, B thẳng hàng

 Dạng 2 Nếu GAC GAB  và hai điểm C, B nằm cùng phía mặt phẳng bờ

AG thì A, C, B thẳng hàng

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 1: giả thiết bài toán cho nhiều dữ kiện về góc (các góc kề bù, bằng nhau hay số đo của một số góc trong hình)

 Phương pháp 2 Vận dụng tính chất cộng đoạn thẳng

Nếu AC + CB = AB thì điểm C nằm giữa hai điểm A và B

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 2: giả thiết bài toán không hoặc ít các dữ kiện về góc mà chủ yếu là các đoạn thẳng hay biểu thức liên hệ giữa độ dài các đoạn thẳng,

 Phương pháp 3 Chứng minh ba điểm cùng nằm trên 1 tia, 1 đường thẳng

có tính duy nhất như: đường thẳng đi qua 1 điểm và song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước, là tia phân giác của một góc hay là đường trung trực của một đoạn thẳng

Chẳng hạn: AC, AB cùng song song với đường thẳng xy Theo tiên đề Ơ Clit suy ra ba điểm A, C, B thẳng hàng

2 1

C A

B D

E

A

B G

C

5

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 3: giả thiết bài toán ít có các dữ kiện về góc, cạnh như phương pháp 1 và phương pháp 2 mà chủ yếu có mối quan hệ giữa ba điểm cần chứng minh thẳng hàng với cùng một yếu tố khác trong hình

 Phương pháp 4 Vận dụng tính đồng quy của các đường trung tuyến, các

đường cao, đường phân giác, trung trực trong tam giác

Chẳng hạn: ∆ABC đã chứng minh được G là giao điểm của hai đường phân giác BF, CD và AE là phân giác trong của A

 A, G, E thẳng hàng (Vì ba đường phân giác của tam giác đồng quy)

Cách nhận dạng bài toán vận dụng phương pháp 4: giả thiết hoặc qua các bước chứng minh trước của bài toán cho hai trong ba điểm cần chứng minh thẳng hàng đã nằm trên các đường có tính đồng quy trong tam giác

 Phương pháp 5 Chứng minh phản chứng Giả sử ba điểm không thẳng

hàng, bằng kiến thức được học lập luận logic để suy ra điều vô lý

Bài toán vận dụng phương pháp 5 thường ít có các dữ kiện về góc, cạnh

và không áp dụng được bốn phương pháp ở trên Để vận dụng được phương pháp 5 HS cần thực sự thông hiểu kiến thức hình học cơ bản và có tư duy hình học tốt

y x

A

B C

G

F

A

B

C

6

B Một số bài toán cụ thể

Điều quan trọng nhất trong quá trình giải toán là phân tích được yêu cầu bài toán, nhận biết dạng toán và phương pháp giải Tôi đã hướng dẫn HS một số bài toán điển hình, thường gặp với từng phương pháp và cách gợi ý, hướng dẫn HS giải bài tập dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

Bài 1 (Phương pháp 1 – Dạng 1)

Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của đoạn thẳng đó Trên hai nửa mặt

phẳng đối nhau bờ AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho Ax // By Trên tia Ax lấy hai điểm C và E (E nằm giữa A và C), trên tia By lấy hai điểm D và F sao cho BD =

AC, BF = AE Chứng minh rằng: Ba điểm C, O, D thẳng hàng

Từ yêu cầu bài toán, HS không gặp khó khăn để vẽ hình chính xác Từ hình

vẽ, HS chỉ ra được hai tam giác bằng nhau:  AOC   BOD c g c ( ) suy ra

AOC  BOD Mặt khác, AOC  BOC  1800 nên BOC  BOD  1800 hay ba điểm C, O, D thẳng hàng Hoặc suy luận: với dạng bài 1 này, điều kiện đã cho

A, O, B thẳng hàng Để chứng minh C, O, D cũng thẳng hàng thì HS cần chỉ ra

Giải

Xét ∆AOC và ∆BOD có:

OA = OB (gt)

CAO  DBO (so le trong)

AC = BD (gt)

x

D F

O A

B E

C

7

 ∆AOC = ∆BOD (g.c.g)

 AOC BOD 

Mà AOC  COB  1800 nên ta có BOC  BOD  1800

Suy ra ba điểm C, O, D thẳng hàng (□)

=> Nhận xét: Với bài toán này, HS có thể dừng lại khi AOC  BOD , hai góc

này lại chung đỉnh, có 1 cặp cạnh là 2 tia đối nhau nên chúng ở vị trí đối đỉnh Suy ra OC, OD cũng là hai tia đối nhau Nên khuyến khích HS dùng cách suy luận khác để có được điều phải chứng minh

Bài 2 (Phương pháp 1 – Dạng 2)

Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2AB Gọi D là điểm trên cạnh AC

3

ABD  ABC , E là một điểm trên cạnh AB sao cho 1

3

BD và CE cắt nhau tại F; I và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ

F đến BC và AC Vẽ các điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH Chứng minh rằng ba điểm H, D, G thẳng hàng

Từ giả thiết bài toán, ta nhận thấy để giải bài toán dạng này cần sử dụng đến số đo các góc được suy ra từ 0

90

3

1

3

ABD  ABC nên sử dụng phương pháp 1 – dạng 2.)

Giải

Theo đề bài ∆ABC vuông tại A, BC = 2AB nên 0 0

ACB ABC

H

G

K

I

F B

E

8

20 3

ABD  ABC  nên DBC  400

0 1

10 3

ACE  ACB  nên BCE  200

Ta có ∆CIF = ∆CIG (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

20

CM tương tự ∆CKF = ∆CKH suy ra CF = CH và 0

10

Từ đó ta có: CG = CH và GCF  FCH  2 ACB  600, do đó 0

60

CM tương tự ∆DKF = ∆DKH (c.g.c), suy ra DF = DH

 ∆CDF = ∆CDH (c.c.c) => CHD CFD 

CDF là góc ngoài của  ABD => CDF  1100

CFD   CDF  FCD   CHD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CHD  CHG  600

Mà hai tia HD và HG cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

HC nên hai tia HD trùng với HG, nghĩa là ba điểm H, D, G thẳng hàng (□)

 Nhận xét: Từ giả thiết bài toán có thể tính số đo nhiều góc, HS khó có thể xác định được các góc cần thiết để có lời giải Vì thế GV cần hướng dẫn HS sử dụng phương pháp suy ngược và định hướng HS xét các góc liên quan đến 3 điểm cần chứng minh thẳng hàng

Bài 3 (Phương pháp 2)

Cho tứ giác ABCD Gọi M, I và N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC

và CD Chứng minh rằng nếu

2

thì M, I, N thẳng hàng

Bài toán dạng bài 3, giả thiết bài toán chỉ cho mối liên quan giữa độ dài các đoạn thẳng nên HS có thể loại trừ phương pháp 1, định hướng chứng minh theo phương pháp 2 Bài toán yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng trong trường hợp đặc biệt của độ dài đoạn MN nên để tổng quát hóa bài toán cần vẽ hình không trùng với trường hợp đặc biệt

9

Giải

Giả sử

2

(1)

Vì MA = MB, IA = IC nên MI là đường trung bình của ∆ABC

 MI // BC và MI = ½ BC (2)

Tương tự, IN là đường trung bình của ∆ACD

 IN // AD và IN = ½ AD (3)

Từ(1), (2) và (3) suy ra: MI + IN =

2

= MN

Vậy: ba điểm M, I, N thẳng hàng (□)

 Nhận xét: Với bài toán dạng tương tự bài 4, HS thường mắc sai lầm khi

vẽ hình, áp đặt trước 3 điểm M, I, N đã thẳng hàng Điều này dẫn tới bế tắc trong quá trình suy luận và khó có thể lựa chọn phương pháp giải phù hợp HS cần xác định rõ phần yêu cầu chứng minh của bài toán: “nếu… thì ba điểm thẳng hàng” thì không được vẽ hình trường hợp đặc biệt

Bài 4 (Phương pháp 3 – tính duy nhất của tia phân giác một góc)

Cho góc nhọn xOy Trên Ox, Oy tương ứng lấy hai điểm A và B khác O sao cho OA = OB Vẽ hai đường tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại M và N nằm trong góc xOy Chứng minh rằng ba điểm O, M, N thẳng hàng

Từ yêu cầu bài toán, HS cần xác định được các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau Bài toán không cho cụ thể số đo góc và độ dài đoạn thẳng nào nên loại trừ phương pháp 1 và phương pháp 2 Song từ các cạnh bằng nhau, dễ dàng chỉ ra

N

I

M A

B

C D

10

các tam giác cân với các góc kề đáy bằng nhau nên phương pháp được sử dụng

trong bài là chỉ ra M, N cùng nằm trên tia phân giác của xOy – phương pháp 3

Giải

Xét ∆OMA và ∆OMB có:

Cạnh OM chung

MA = MB (gt)

OA = OB (gt)

 ∆OMA = ∆AMB (c.c.c)

 AOM  BOM hay OM là tia phân giác của AOB (1)

Tương tự ta dễ dàng chứng minh được ∆ONA = ∆ONB (c.c.c)

 AON BON  hay ON là tia phân giác của AOB (2)

Vì mỗi góc chỉ có duy nhất 1 tia phân giác nên kết hợp từ (1) và (2) suy ra O,

M, N thẳng hàng (□)

 Nhận xét: Với bài toán có dạng tương tự bài 4, cần gợi ý HS nối các điểm

O, M, N mới có thể xác định được các tam giác cân và dự đoán được M, N cùng

nằm trên tia phân giác của xOy

Bài 5 (Phương pháp 3 – vận dụng tiên đề Eclid về đường thẳng song song)

Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB Trên tia đối của các tia MB, NC lấy các điểm D và E sao cho MD = MB, NE =

NC Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE

Để chứng minh điểm A là trung điểm của đoạn thẳng DE, ta cần chứng minh

đủ 2 điều kiện: A DE  hay A, D, E thẳng hàng và AD = AE Dự đoán: ba điểm

Hình 1

y

x

N

B

A

O M

11

A, D, E cùng nằm trên một đường thẳng song song với BC Định hướng HS chứng minh theo phương pháp 3

Giải

Xét ∆MBC và ∆MDA có:

MB = MD (gt)

AMD  BMC (Hai góc đối đỉnh)

MA = MC (gt)

 ∆MBC = ∆MDA (c.g.c)

 AD = BC và MCB MAD 

 AD // BC

CM tương tự ∆NBC = ∆NAE (c.g.c)

 AE = BC và NBC NAE 

 AE // BC

Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng BC có hai đường thẳng AD và AE cùng song song với BC nên theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, ta có ba điểm A, E, D thẳng hàng

Lại có AD = AE (cùng bằng BC – chứng minh trên) nên A là trung điểm của đoạn DE (□)

 Nhận xét: Bài toán có dạng tương tự bài 5 - chứng minh một điểm là trung điểm của 1 đoạn thẳng - HS thường để sót điều kiện ba điểm đó phải thẳng hàng nên không định hướng được phương pháp cần chứng minh

Hình 2

D

E

M

N

A

B

C

12

Với bài toán dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng cần vận dụng phương pháp 3 vào lập luận, yêu cầu bài toán rất đa dạng vì có nhiều tia, đường thẳng có tính duy nhất Nên tôi đưa ra hai bài toán cơ bản và thường gặp khi ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi toán 7 tại trường THCS Bảo Nhai

Bài 6 (Phương pháp 4)

Cho tam giác ABC, AB < AC; hai đường trung tuyến BE, CF cắt nhau tại

G Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng ba điểm A, G, D thẳng hàng

Bài toán dạng bài 6 đã chỉ rõ một trong ba điểm cần chứng minh thẳng hàng là giao của hai đường trung tuyến của tam giác; một trong hai điểm còn lại

là trung điểm của một cạnh của tam giác Nên chỉ có thể sử dụng phương pháp 4

– áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác vào giải toán.)

Giải

G là trọng tâm của ∆ABC cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến của ∆ABC Lại có AD là đường trung tuyến nên AD đi qua G

 Ba điểm A, G, D thẳng hàng (□)

Bài toán dạng bài 6 thường là một phần trong bài toán chứng minh hình học song HS cần có kỹ năng nhận dạng hình, kỹ năng quan sát, tư duy hình học tốt

Bài 7 (Phương pháp 5)

Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) và bất kì đường thẳng nào đi qua hai trong những điểm đó đều đi qua một điểm đã cho Chứng minh rằng tất cả các điểm đã cho cùng nằm trên một đường thẳng

Theo giả thiết bài toán, không cho một hình vẽ hay số đo góc, cạnh cụ thể nên định hướng HS dùng phương pháp phản chứng suy ra điều vô lý

Hình 5

D G

E

F

A

B

C