Hướng dẫn học sinh lớp 7 chứng minh ba điểm thằng hàng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Người thực hiện: Nguyễn Thùy Hương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Xương-Thọ Xuân SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 3 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 18 18 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Theo quan điểm đạo phát triển Bộ Giáo dục Đào tạo chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 2009 - 2020 nêu: “ giáo dục phải bám sát nhu cầu đòi hỏi xã hội, thông qua việc thiết kế chương trình đào tạo đáp ứng yêu cầu cung cấp nhân lực phục vụ ngành kinh tế đa dạng Vì học sinh có mong muốn, nhu cầu khác nhau, điều kiện sống học tập khác biệt, giáo dục thực có hiệu khơng đồng tất đối tượng Các chương trình, giáo trình phương án tổ chức dạy học phải đa dạng hơn, tạo hội cho học sinh phù hợp với chuẩn mực chung gắn với nhu cầu, nguyện vọng điều kiện học tập mình” Để đạt mục tiêu giáo dục tiên tiến đáp ứng quan điểm đạo phát triển Bộ Giáo dục Đào tạo cần phải hướng tới cách dạy học phù hợp với đối tượng Hướng đổi phương pháp dạy học tốn tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát triển giải vấn đề, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh Người giáo viên lên lớp nhiệm vụ truyền thụ hết kiến thức cho học sinh cần có trách nhiệm bồi dưỡng, phát em có khả môn, giúp em phát triển tư duy, rèn luyện kĩ tạo điều kiện đề em trở thành nhân tài cho đất nước Ở chương trình Tốn lớp 7, học “Hai đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng minh hai đường thẳng song song, học “Hai tam giác nhau”, học trường hợp hai tam giác, học sinh biết cách chứng minh hai tam giác Tuy nhiên sau học xong “Tiên đề Ơ-clit đường thẳng song song” học sinh chưa thành thạo ứng dụng dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng Do vậy, toán chứng minh ba điểm thẳng hàng em thường định hướng tốt, lúng túng, bế tắc, khơng tìm hướng giải Qua tìm hiểu thân chưa có nhiều tài liệu bàn sâu chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho học sinh lớp Các đồng nghiệp tổ chuyên mơn chưa có kinh nghiệm để khắc phục vấn đề Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Hướng dẫn học sinh lớp chứng minh ba điểm thẳng hàng” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 7, phát nhiều học sinh kĩ giải tốn hình học đặc biệt dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Vì vậy, tơi cố gắng xâu chuỗi, tìm cách hướng dẫn dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng thơng qua ví dụ cụ thể để giúp học sinh đạt kết cao học tập Mặt khác, triển khai đề tài giúp học sinh nắm vững kiến thức bản, có nhìn tổng hợp, biết sử dụng nhiều kiến thức, tự tin giải dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng Từ chăm học Việc nghiên cứu đề tài giúp có tài liệu mang tính hệ thống phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, phục vụ cho cơng tác giảng dạy Qua giúp tơi tự tin công tác giảng dạy Qua nghiên cứu triển khai đề tài giúp thân có nhiều điều kiện để giao lưu, học hỏi, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Trong đề tài này, đưa phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng phù hợp với khả nhận thức học sinh lớp qua ví dụ cụ thể 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Căn định nghĩa ba điểm thẳng hàng SGK Toán tập 1; Tiên đề Ơ-clit SGK Toán tập 1; định lí đường đồng quy tam giác SGK Toán tập nhà xuất giáo dục Việt Nam 1.4.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Giáo viên điều tra kiến thức sở tiết dạy lớp, qua thực tế làm số học sinh lớp học trường 1.4.3 Phương pháp tiếp cận vấn đề: Giáo viên quan sát trực tiếp học sinh, phân tích thơng qua tập 1.4.4 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê kết kiểm tra học sinh 1.4.5 Phương pháp phân tích, bình luận: Giáo viên phân tích hiệu hoạt động Sau dạng tập tác giả đưa bình luận, hướng dẫn học sinh biết cách nhận dạng, tìm hướng giải sai lầm mà em thường mắc phải giải 1.4.6 Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Nội dung đề tài phân chia thành nhiều dạng toán, kết trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu từ thân rút 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.1 Khái niệm ba điểm thẳng hàng: Ba điểm thuộc đường thẳng gọi ba điểm thẳng hàng 2.1.2 Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng 2.1.3 Có đường thẳng a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước (Hình học tập trang 85) 2.1.4 Các định lí đường đồng quy tam giác Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Ba đường cao tam giác qua điểm 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.2.1 Về phía học sinh: Học sinh lớp thường suy nghĩ toán học phải tính tốn, em chưa quen với suy luận lơgic Vì vậy, ngại học Hình học, chưa biết vận dụng định lí tính chất vào giải tốn hình học đặc biệt tốn chứng minh Chứng minh ba điểm thẳng hàng toán xa lạ nhiều học sinh vị trí thường “khiêm tốn”có thể ý nhỏ câu (thường cuối cùng) tốn hình học 2.2.2 Về phía giáo viên: Phần lớn giáo viên trọng rèn luyện cho học sinh thao tác tư hình học đặc biệt phương pháp chứng minh hình học Bên cạnh phận chưa trọng cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh hình học, thường chốt phương pháp tập cụ thể nên gặp tập học sinh chưa xác định phương pháp giải chưa có nhiều phương pháp để lựa chọn Trước nguyên nhân làm cho học sinh ngại học hình học, đặc biệt chứng minh hình học, người giáo viên cần: Xác định nhiệm vụ quan trọng Toán học rèn luyện thao tác tư Mơn Tốn đòi hỏi học sinh phải thực thao tác tư phân tích, tổng hợp,so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa cách thường xuyên Mặt khác, phần lớn việc dạy toán dạy theo chương trình hóa, dạy thuật tốn Có tốn hình học cần phải chứng minh thêm bước phụ ba điểm thẳng hàng sử dụng để làm câu khác Như toán chứng minh ba điểm thẳng hàng toán quan trọng học sinh thường bỏ qua tập Giáo viên cần tổng hợp số kiến thức Hình học 6, Hình học để tìm số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Việc triển khai đề tài nhằm mục đích Để nắm bắt học sinh có giải dạng tốn khơng tơi mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi “chứng minh ba điểm thẳng hàng” vào kiểm tra tiết chương II: Tam giác (Tiết 46) Cụ thể sau: Cho tam giác ABC cân A có Aˆ < 900 Kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB) Gọi O giao điểm BH CK a) Chứng minh tam giác ∆ ABH = ∆ ACK b) Tam giác OBC cân c) ∆ OBK = ∆ OCK d) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I cho IB = IC Chứng minh điểm A, O, I thẳng hàng Kết câu d sau: Năm học Lớp Sĩ số Bỏ trống 2015 - 2016 7B 40 Làm sai không định hướng cách làm 33 2016 - 2017 7C 35 28 Làm Lớp 7B (nay lớp 9B) có 38/40 em; lớp 7C (nay lớp 8C) có 32/35 em bỏ trống làm sai không định hướng cách làm 2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Từ thực trạng để công việc đạt kết cao hơn, để học sinh tự tin hơn, có khả tự học hỏi tìm kĩ năng, phương pháp để chứng minh toán loại như: Chứng minh song song, chứng minh vng góc mạnh dạn viết thành tài liệu nhỏ phù hợp với trình độ nhận thức học sinh lớp để tổng hợp phương pháp để học sinh vận dụng vào chứng minh ba điểm thẳng hàng Tôi sử dụng biện pháp sau: 1) Tham khảo loại sách tham khảo Hình học 6, 2) Đọc kĩ SGK, sách giáo viên Toán 6, 3) Đọc kĩ sách tập Toán Cuối dựa nghiên cứu tài liệu tổng hợp phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.3.1 Phương pháp 1: Chứng minh độ dài đoạn thẳng tổng độ dài hai đoạn thẳng lại Phương pháp dựa sở công nhận nhận xét 8: Khi AM + MB = AB? Nhận xét sau: “Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngược lại điểm AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B” (SGK Toán tập trang 120) Trên sở có toán cho sẵn độ dài đoạn thẳng, học sinh dựa vào lí luận ba điểm thẳng hàng vẽ hình cách dễ dàng Sau ví dụ Ví dụ (Bài tập 49 - trang 102, SBT Toán tập 1): Cho đoạn thẳng có độ dài sau cho biết ba điểm A, B, M có thẳng hàng khơng? a) AM = 3,1cm; MB = 2,9cm; AB = 6cm b) AM = 3,1cm; MB = 2,9cm; AB = 5cm Bài giải: a) Ta có: 3,1 + 2,9 = hay AM + MB = AB ⇒ Điểm M nằm hai điểm A B ⇒ A, M, B thẳng hàng b) AB > AM; AB > MB mà AM + MB ≠ AB ⇒ A, M, B không thẳng hàng 2.3.2 Phương pháp 2: Chứng minh điểm trùng (Các điểm cần chứng minh thẳng hàng trùng với điểm thẳng hàng) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC Trên hai cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Nối D với E Gọi M N trung điểm đoạn thẳng BE BC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng A Bài giải: ∆ ABC (AB = AC); GT AB = AE D∈ AB; E ∈ AC; MD = ME D (M ∈ DE); NB = NC (N ∈ BC) KL A, M, N thẳng hàng B M M’ N N’ E C x + Phân tích, tìm tòi lời giải: Với phương pháp ta thường biết ba điểm thẳng hàng chứng minh cho điểm cần thẳng hàng trùng với ba điểm biết thẳng hàng Ta biết ba điểm A, M’, N’ thẳng hàng thuộc tia phân · giác Ax BAC Do đó, ta chứng minh cho điểm cần thẳng hàng trùng với ba điểm + Bài giải · Vẽ tia phân giác Ax BAC , Ax cắt DE BC M’ N’ Xét ∆ABN ' ∆ACN ' có: AB = AC (GT) · · · ) BAN ' = CAN ' (vì Ax tia phân giác BAC AN’: Cạnh chung Suy ra: ∆ABN ' = ∆ACN ' (c.g.c) ⇒ N’B = N’C (hai cạnh tương ứng) Mà N’ nằm B C nên N’ trung điểm đoạn thẳng BC ⇒ N ' ≡ N Chứng minh tương tự ta có M ' ≡ M Ta có: M’, N’ thuộc tia Ax Do đó, A, M, N thẳng hàng + Nhận xét: Ta chứng minh AM AN đường trung trực đoạn thẳng BC Do đó, A, M, N thẳng hàng + Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng (theo phương pháp 2.3.9) 2.3.3 Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề Ơ-clit Trong SGK Toán tập 1, tiên đề Ơ-clit phát biểu sau: “Qua điểm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó” (Trang 92) Điều có nghĩa ta qua điểm nằm đường thẳng có hai đường thẳng song song với đường thẳng cho trước hai đường thẳng phải trùng (nếu không trái với tiên đề Ơclit) điểm nằm hai đường thẳng thẳng hàng Cụ thể: A B C a AB / / a   ⇒ A, B, C thẳng hàng AC / / a  Ví dụ (Bài tập 48 Sách tập Toán tập 1): Cho tam giác ABC, K trung điểm AB, E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối tia EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A trung điểm MN A M K N E ∆ ABC; KA = KB (K ∈ AB) GT ∆ ABC; EA = EC (E ∈ AC) B KM = KC; EN = EB KL C A trung điểm MN + Phân tích, tìm tòi lời giải: Nếu ta ý vào thao tác vẽ hình tốn thấy cần chứng minh AM = AN M, A, N thẳng hàng + Bài giải: Xét ∆ AKM ∆ BKC có: KA = KB (GT) · · (đối đỉnh) MKA = CKB KM = KC (GT) · · Suy ra: ∆ AKM = ∆ BKC (c.g.c) ⇒ AM = BC; KAM = KBC Mà hai góc vị trí so le nên AM // BC (1) Chứng minh tương tự ta có: AN = BC; AN // BC (2) Từ (1) (2) suy AM = AN Qua A ta có: AM // BC AN // BC Vậy theo tiên đề Ơ-clit AM ≡ AN ⇒ A, M, N thẳng hàng Kết hợp với AM = AN ta có A trung điểm đoạn thẳng MN Vậy A trung điểm đoạn thẳng MN + Nhận xét: Có thể chứng minh M, A, N thẳng hàng cách chứng minh · · · · · · MAN = MAB + BAC + CAN = ABC + BAC + ·ACB = 1800 (theo phương pháp 2.3.4) + Bài tập tương tự Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm D Kẻ DF song song BC (F ∈ AC ) Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax cho C· Ax = ·ACB Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia · = ·ABC Chứng minh điểm thuộc tia Ax, điểm thuộc tia Ay Ay cho BAy thẳng hàng 2.3.4 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất góc bẹt Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối Cụ thể: · Nếu ·ABD + DBC = 1800 ba điểm A, B, C thẳng hàng D A B C Ví dụ (Bài tập 26 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn Hình học 7): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm của DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng GT ∆ABC (AB = AC); D ∈ AB; BD = CE ; ID = IE (I ∈ DE) KL B, I, C thẳng hàng A + Phân tích, tìm tòi lời giải: Để chứng minh B, I, C thẳng hàng ta cần D · chứng minh BIC = 1800 · · Do dó, ta cần chứng minh DIB = CIE Ta vẽ thêm điểm F cạnh BC cho ∆EIC = ∆DIF + Bài giải: Vẽ DF // AC (F ∈ AC); B F I C E · · Ta có DFB ·ACB đồng vị ⇒ DFB = ·ACB · Mà ·ABC = ·ACB ( ∆ ABC cân A) ⇒ DFB = ·ABC ⇒ ∆ DBF cân D ⇒ DB = DF Xét ∆ DIF ∆ EIC có: DI = EI (GT) · · (so le DF//AC) FDI = CEI DF = CE (= BD) · · ⇒ ∆ DIF = ∆ EIC(c.g.c) ⇒ DIF (hai góc tương ứng) = EIC · · · · · Mà DIF + EIF = 180 ⇒ EIC + EIF = FIC = 1800 ⇒ F, I, C thẳng hàng ⇒ B, I, C thẳng hàng + Nhận xét: Việc vẽ thêm đường phụ DF // AC giúp ta chứng minh dễ dàng Nhiều học sinh vẽ thêm đường phụ thường nhầm lẫn ∆DBI = ∆ECI nên giải sai toán + Bài tập tương tự Bài 1: Cho tam giác ABC có µA = 600 Vẽ phía ngồi tam giác hai tam giác AMB ANC Chứng minh M, A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc với CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng 2.3.5 Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường đồng quy tam giác (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) Ví dụ (Bài tập 40 trang 73 SGK - Toán - tập 2): Cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm, I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng A ∆ ABC (AB = AC); GT G trọng tâm; I điểm nằm ∆ ABC cách ba cạnh ∆ ABC KL A, G, I thẳng hàng + Phân tích, tìm tòi lời giải: G .I B M C Ta biết giao điểm ba đường trung tuyến (trọng tâm) nằm đường trung tuyến tam giác; giao điểm ba đường phân giác tam giác nằm đường phân giác tam giác; giao điểm ba đường trung trực tam giác nằm đường trung trực tam giác; giao điểm ba đường cao (trực tâm) tam giác nằm đường cao tam giác + Bài giải: Gọi AM đường trung tuyến xuất phát từ A tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A suy AM đường phân giác xuất phát từ A (tính chất tam giác cân) Theo giả thiết G trọng tâm tam giác ABC, mà AM đường trung tuyến tam giác ABC nên G ∈ AM (1) Mặt khác, I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác đó, suy I giao điểm ba đường phân giác ∆ ABC Mà AM đường phân giác ∆ ABC nên I ∈ AM (2) Từ (1) (2) suy A, G, I thẳng hàng Ví dụ (Bài tập 35 trang 136 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn Hình học 7): Chứng minh trực tâm, trọng tâm giao điểm ba đường trung trực tam giác nằm đường thẳng (Đường thẳng chứa trực tâm, trọng tâm giao điểm ba đường trung trưc tam giác mang tên nhà toán học tiếng tìm nhà tốn học Ơle (người Thụy Sỹ) đường thẳng Ơle Bài toán toán nằm chương trình tốn THPT mà học sinh lớp 10 thường hay chứng minh phương pháp vectơ) A ∆ ABC; O giao điểm ba đường trung trực tam giác; G trọng tâm GT tam giác D C’ H trực tâm tam giác KL H, G, O thẳng hàng + Phân tích, tìm tòi lời giải: B’ H B O G C A’ Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, AC, AB Ta chọn thêm điểm D cho O trung điểm CD để chứng minh G trọng tâm tam giác CDH Hai tam giác ABC CDH có chung trọng tâm G vào có HO trung tuyến tam giác CDH nên H, G, O thẳng hàng + Bài giải: Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, AC, AB Vẽ tia đối tia OC; tia lấy điểm D cho OD = OC Suy O, A’ trung điểm cạnh DC, BC tam giác DBC nên OA’ = BD OA’ // BD (Ta dễ dàng chứng minh) Mặt khác AH ⊥ BC (H trực tâm ∆ ABC) OA’ ⊥ BC (O, A’ cách B C) ⇒ AH // OA’ ⇒ AH // BD Chứng minh tương tự ta có: DA // BH 10 Vì AH // BD; DA // DH nên AH = BD (Tính chất đoạn chắn) Xét ∆ C’BD ∆ C’AH có: BD = AH (chứng minh trên) · · ' AH (BD//AH); BDC '=C C’B = AC’ (GT) · ' B = ·AC ' H Do ∆ C’BD = ∆ C’AH (c.g.c) ⇒ C’D = C’H DC · ' B = 180 (hai góc kề bù) ⇒ DC · ' B + HC · ' B = 180 ⇒ D, C’, H Mà ·AC ' H + HC thẳng hàng C’D = C’H ⇒ C’ trung điểm DH Hai tam giác ABC tam giác CDH có chung đường trung tuyến CC’ nên có chung trọng tâm Mà G trọng tâm ∆ ABC nên G trọng tâm ∆ CDH Mặt khác HO đường trung tuyến ∆ CDH Do H, G, O thẳng hàng · + Nhận xét: Cách giải khác chứng minh HGO = 1800 + Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm nằm tong tam giác cho MB = MC Gọi N trung điểm BC Chứng minh A, M, N thẳng hàng 2.3.6 Phương pháp 6: Sử dụng tính chất: Nếu AB ⊥ a AC ⊥ a ba điểm A, B, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước) (Hình học trang 85) (Hình vẽ) A B C a Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB ( M ∈ AC , N ∈ AB ), H giao điểm BM CN Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng A ∆ ABC (AB = AC) BM ⊥ AC, GT CN ⊥ AB( M ∈ AC , N ∈ AB ), BM ∩ CN={H} KB = KC (K ∈ BC) KL N M A, H, K thẳng hàng B K C 11 + Phân tích, tìm tòi lời giải: Theo tính chất trực tâm AH ⊥ BC nên ta cần chứng minh AK ⊥ BC + Bài giải: Vì tam giác ABC có hai đường cao BM CN cắt H nên H trực tâm ⇒ AH đường cao thứ ba tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC (1) Mặt khác, tam giác ABC cân A có AK đường trung tuyến nên AK đồng thời đường cao tam giác ABC ⇒ AK ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy qua điểm A có hai đường thẳng AH AK vng góc với BC nên A, H, K thẳng hàng + Nhận xét: Bài toán giải phương pháp chứng minh AH AK đường cao xuất phát từ A tam giác ABC thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC + Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM ⊥ BC b) Vẽ hai đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Bài (Bài 20 Sách bồi dưỡng Tốn 7): Cho hai tam giác vng ABC, DBC chung cạnh huyền BC (A D thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) Vẽ tia Ax · cho AC tia phân giác DAC Vẽ tia Dy cho DB tia phân giác ·ADy Ax cắt Dy E a) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh OE ⊥ BE b) Chứng minh B, E, C thẳng hàng 2.3.7 Phương pháp 7: Sử dụng tính chất: Tia phân giác góc Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy x ba điểm O, A, B thẳng hàng (Hình vẽ) A O B y A Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân A, có đường cao AH Trên cạnh AB, AC lấy M, N cho AM = AN Tia BM CN cắt I Gọi H trung điểm BC Chứng minh A, I, H thẳng hàng GT ∆ ABC (AB = AC, AH ⊥ BC (H M B I H N 12 C ∈ BC) M ∈ AB, N ∈ AC; AM = AN BM ∩ CN = {I} HB = HC (H ∈ BC) KL A, I, H thẳng hàng + Phân tích, tìm tòi lời giải: · ∆ ABC cân A nên đường cao AH đồng thời đường phân giác BAC · Ta cần chứng minh AI phân giác BAC + Bài giải: ∆ ABN= ∆ ACM (c.g.c) ⇒ ·ABN = ·ACM (2 góc tương ứng) ·ANB = ·AMC · · ⇒ BMC = MNC Lại có: MB = AB - AM; NC = AC - AN mà AB = AC (GT); AM = AN(GT) · · nên MB = NC Do đó, ∆BIM = ∆CIN ( g.c.g ) ⇒ BI = CI ⇒ BAI (hai góc tương = CAI · ứng) ⇒ AI tia phân giác BAC (1) Mặt khác, tam giác ABC cân A có đường cao AH nên AH đồng thời tia · phân giác BAC (2) Do góc có tia phân giác nên từ (1) (2) suy tia AH AI trùng Do A, I, H thẳng hàng + Nhận xét: Có thể chứng minh A, I, H thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC + Bài tập tương tự Cho góc xOy khác góc bẹt Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, D, A thẳng hàng 2.3.8 Phương pháp 8: Sử dụng tính chất: Mỗi góc có số đo Cụ thể: Để chứng minh điểm O, B, C thẳng hàng C B Ta chứng minh ·AOB = ·AOC tia OB, OB thuộc Cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA Khi đó, tia OB OC trùng Do đó, B, O, C thẳng hàng O A Ví dụ (Bài tập 177 sách Toán nâng cao chuyên đề Hình học 7) 13 Cho tam giác ABC vuông A, BC = 2AB D điểm cạnh AC 1 cho ·ABD = ·ABC , E điểm cạnh AB cho ·ACE = ·ACB Gọi F 3 giao điểm BD CE, I K hình chiếu F lên BC AC Lấy điểm G H cho I trung điểm FG, K trung điểm FH Chứng minh ba điểm H, G, D thẳng hàng ∆ ABC ( µA = 900 ), BC = 2AB G D ∈AC cho ·ABD = ·ABC , B E ∈AB cho ·ACE = ·ACB GT I BD ∩ CE={F}, FI ⊥ BC (I ∈BC); FK ⊥ AC (K ∈AC); IF = IG (I ∈FG); KF = KH (K ∈FH) E F A K D H C KL H, G, D thẳng hàng · · + Phân tích, tìm tòi lời giải: Ta chứng minh CHG Khi đó, tia HG = CHD HD trùng Do đó, H, G, D thẳng hàng + Bài giải: Vì BC = 2AB nên ·ABC = 600 , ·ACB = 300 (định lí tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền) ⇒ ·ABD = 200 , ·ACE = 100 ,·ECB = 200 Mà C thuộc đường trung trực FH FG nên CH = CF, CF = CG ⇒ CH = CG ⇒ ∆ CGH cân C · · · · = 600 (1) Ta có, GCH = GCF + FCH = ·ACB = 600 ⇒ ∆ GCH ⇒ CHG · · Dễ chứng minh, ∆ CDH = ∆CDF (c.g c) ⇒ CDH = CDF · Tam giác ABD vng A có ·ABD = 200 nên ·ADB = 700 ⇒ FDC = 1100 · · ⇒ DFC = 1800 − 1100 − 100 = 600 ⇒ CHD = 600 (2) Từ (1) (2) suy ra, nửa mặt phẳng bờ chứa tia HC có hai tia · · = 600, CHD = 600 nên tia HG HD trùng HG HD mà ⇒ CHG Do đó, H, G, D thẳng hàng + Nhận xét: · Nếu ta chứng minh HDG = 1800 khó khăn cách Vì cần lựa chọn cách giải phù hợp + Bài tập tương tự: 14 · Cho tam giác ABC cân A, BAC = 1080 Gọi O điểm nằm tia · phân giác góc C cho CBO = 120 Vẽ tam giác BOM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng 2.3.9 Phương pháp 9: Chứng minh theo định nghĩa: Ba điểm thuộc đường thẳng Chẳng hạn: Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc Ví dụ 10 (Bài tập 46 trang SGK Toán tập trang 76): Cho ba tam giác cân ABC, DBC EBC có chung đáy BC Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng Ba tam giác cân ABC, DBC EBC A GT có chung đáy BC D KL A, D, E thẳng hàng C B E + Phân tích, tìm tòi lời giải: Đỉnh tam giác cân có tính chất cách hai đầu đoạn thẳng đáy, Do đó, ta chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC + Bài giải: ∆ ABC cân A suy AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực BC (1) V DBC cân D suy DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực BC (2) V EBC cân E suy EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực BC (3) Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, D, E thẳng hàng thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC + Nhận xét: Có thể dùng phương pháp chứng minh điểm trùng 2.3.2 phương pháp 2.3.6 cách giải ngắn gọn + Bài tập tương tự (Bài 48 sách tập tập toán tập 2): Cho tam giác ABC cân A Các đường phân giác BD CE cắt K Chứng minh AK qua trung điểm BC 2.3.10 Kiểm nghiệm: Sau giảng dạy song chuyên đề chứng minh ba điểm thẳng hàng trên, nhận thấy em ham học hơn, ham tìm tòi Tơi tiến hành cho 10 học sinh đội tuyển toán làm kiểm tra 30 phút Nội dung sau: 15 Bài 1: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = 1 AB; Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AC Gọi F 3 giao điểm AM CD Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Yêu cầu cần đạt: Bài 1: Gọi P, Q trung điểm BD EC Theo giả thiết AD = 1 AB; AE = AC ⇒ D, E trung điểm 3 AP AQ Từ học sinh chứng minh ∠ EEP = 180 Do đó, B, F, E thẳng hàng (5 điểm) Bài 2: ∆ AMB ∆ CMD có: AB = DC (gt) B = · · BAM = DCM = 900 A MA = MC (M trung điểm AC) · Do đó: ∆ AMB = ∆ CMD (c.g.c) Suy ra: ·AMB = DMC · · · · Mà ·AMB + BMC = 1800 (kề bù) nên BMC + CMD = BMD = 1800 Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng (5 điểm) / M C / = D Kết quả: 02 em đạt điểm 10/10 04 em đạt điểm 8/10 02 em đạt điểm 7/10 02 em đạt điểm 6/10 Bên cạnh đó, kiểm tra tốn tiết chương III (Tốn 7) lớp 7A năm tơi giảng dạy lại (ở mục 2.2) có 32/40 (Chiếm 80%) học sinh làm Có em làm cách Cụ thể, số lượng học sinh giải toán chứng minh ba điểm thẳng hàng tăng lên rõ rệt: Bỏ trống Năm học Lớp Sĩ số Số lượng Tỉ lệ Làm sai không định hướng cách làm Số Tỉ lệ lượng Làm Số lượng Tỉ lệ 16 2015 – 2016 (Chưa áp dụng) 2016 – 2017 (Chưa áp dụng) 2017 – 2018 (Đã áp dụng) 7B 40 12,5% 33 82,5% 5% 7C 35 11,4% 28 80% 8,6% 7A 40 7,5% 12,5% 32 80% 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục Với đề tài “Một số phương pháp chứng minh ba điểm thằng hàng dành cho học sinh lớp 7” (dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giảng dạy học sinh q trình luyện tập lớp), tơi cung cấp cho học sinh lớp số phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng Học sinh khơng cảm thấy “xa lạ” với dạng tốn Đồng thời gợi cho học sinh thêm trí tò mò, sáng tạo, lòng ham hiểu biết Từ học sinh có tảng kiến thức vững tư lơgic để giải nhiều tốn tương tự Với giải pháp số lượng học sinh chứng minh ba điểm thẳng hàng tăng lên cách rõ rệt 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường Việc nghiên cứu triển khai đề tài giúp đồng nghiệp tổ chun mơn có tài liệu mang tính hệ thống phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua nghiên cứu đề tài giúp tự tin công tác giảng dạy Hơn nữa, thân có thêm điều kiện để giao lưu, học hỏi, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Thông qua việc vận dụng đề tài trường, đa số học sinh nắm trọng tâm bài, biết vận dụng kiến thức vào giải toán làm cách chủ động, tích cực, hăng say Các em vận dụng nhiều toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Điều giúp em chủ động hướng tư việc giải tốn, thêm nhiều hứng thú niềm vui học tập, tiết học khơng nhàm chán 3.2 Kiến nghị - Đối với nội dung đề tài: Vì thời gian có hạn nên đề tài tơi trình bày số phương pháp thường gặp để chứng minh ba điểm thẳng hàng Tôi mong đề tài khác trình bày mở rộng thêm phương pháp giải khác học sinh lớp 8, sử dụng tính chất đường chéo hình bình hành, định lí Ta-lét, định lí Mê-nê-la-uýt, tính chất đường kính đường tròn… Tơi mong bảo thêm đồng nghiệp để đề tài hoàn chỉnh - Đối với giáo viên: Khi nghiên cứu dạy vấn đề cần phải thấu đáo, nắm vấn đề Cần tích cực tự học tập, nghiên cứu nhiều để tìm nhiều phương pháp giúp tiết học sôi nổi, hấp dẫn học sinh, nhiều học sinh hiểu Giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết cách tổng qt hóa tốn để giải nhiều toán, tự tạo vốn kiến thức toán học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác TÁC GIẢ 18 Nguyễn Thùy Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tài liệu Nhà xuất Sách giáo khoa Toán tập Nhà xuất giáo dục Việt Nam Sách giáo khoa Toán tập Nhà xuất giáo dục Việt Nam Sách giáo khoa Toán tập Nhà xuất giáo dục Việt Nam Sách giáo khoa Toán tập Nhà xuất giáo dục Việt Nam Sách tập Toán tập Nhà xuất giáo dục Việt Nam Sách tập Toán tập Nhà xuất giáo dục Việt Nam Nâng cao phát triển toán tập Nhà xuất giáo dục Nâng cao phát triển toán tập Nhà xuất giáo dục Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số Nhà xuất giáo dục toán hình học 10 Tốn nâng cao chun đề Nhà xuất giáo dục hình học 11 Bồi dưỡng Toán Nhà xuất giáo dục 19 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thùy Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Thọ Xương - Thọ Xuân TT Tên đề tài SKKN nhóm dạy tiết luyện tập(Tiết dụng câu hỏi trắc nghiệm để C 2004 - 2005 Phòng giáo dục đào tạo Thọ Xuân C 2006 - 2007 Phòng giáo dục đào tạo Thọ Xuân C 2009 - 2010 Phòng giáo dục đào tạo Thọ Xuân C 2010 - 2011 Phòng giáo dục đào tạo Thọ Xuân B 2016 - 2017 kiểm tra cũ Giúp học sinh lớp phát tránh sai lầm giải số phương trình chứa thức bậc Phòng giáo dục đào tạo Thọ Xn 43: Luyện tập- Hình học 8) Phát huy tính tích cực, chủ động học sinh lớp việc sử (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Đại số 7) Phát huy tính tích cực, chủ động học sinh hoạt động (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại Sử dụng trò chơi học tốn(Tiết 66- Ôn tập chương IV- Cấp đánh giá xếp loại hai Hướng dẫn học sinh vận dụng định lí Vi-ét để giải số toán nghiệm phương trình bậc hai ơn thi vào lớp 10 20 ... pháp chứng minh ba điểm thằng hàng dành cho học sinh lớp 7 (dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp giảng dạy học sinh q trình luyện tập lớp) , tơi cung cấp cho học sinh lớp số phương pháp để chứng minh. .. Hướng dẫn học sinh lớp chứng minh ba điểm thẳng hàng 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 7, phát nhiều học sinh kĩ giải tốn hình học đặc biệt dạng toán chứng minh ba. .. BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng 2.3.9 Phương pháp 9: Chứng minh theo định nghĩa: Ba điểm thuộc đường thẳng Chẳng hạn: Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng Chứng minh ba