Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 18 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến tam giác điểm (điểm gọi trọng tâm tam giác) Trọng tâm cách đỉnh khoảng (hình 18.1) B Một số ví dụ: Ví dụ Cho tam giác Trên tia thời trung điểm đường thẳng qua độ dài đường trung tuyến qua điểm , hai đường trung tuyến lấy điểm nối cho cắt trung điểm đồng Chứng minh ba đồng quy Giải (hình 18.2) * Tìm cách giải Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh chúng ba đường trung tuyến tam giác * Trình bày lời giải Gọi giao điểm trọng tâm nên Vì đường trung tuyến, suy Ta có Do đó: Xét có đường thẳng ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ba đồng quy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ví dụ Cho tam giác Trên nửa mặt phẳng bờ Lấy điểm điểm Chứng minh không chứa thuộc tia đối tia cho vẽ tia có trọng tâm Giải * Tìm cách giải có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có trọng tâm, cần chứng minh có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A * Trình bày lời giải Vì nên (so le trong) Gọi M trung điểm BC Ta có Suy MD = ME (1) Ta có: ( kề bù) Do : thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm DE có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G hai tam giác trùng * Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác có trọng tâm ta chứng minh chúng có chung đỉnh chung đường trung tuyến qua đỉnh Ví dụ Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD Trên tia đối tia DA lấy điểm K cho Qua B vẽ đường thẳng song song với CK cắt AC M Chứng minh M trung điểm AC Giải * Tìm cách giải Để chứng minh chứng minh trung điểm ta đường trung tuyến Muốn vậy, cần chứng minh qua trọng tâm * Trình bày lời giải Gọi G giao điểm BM AD Ta có: BDG = CDK (g.c.g) Suy “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học ABC có điểm G nằm đường trung tuyến AD mà nên G trọng tâm Suy BM đường trung tuyến MA = MC Ví dụ 4: Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác Giải (h.18.5) *Tìm cách giải Để chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác, ta chứng minh ba đường trung tuyến tỉ lệ với ba cạnh tam giác *Trình bày lời giải Gọi AD, BE, CF ba đường trung tuyến ABC Ba đường trung tuyến cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm H cho DH = DG Ta có: CDG = BDH (c.g.c) GC HB Theo tính chất ba đường trung tuyến ABC ta có: Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung tuyến ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng • Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 18.1 Chứng minh tam giác có hai cạnh khơng đường trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ đường trung tuyến ứng với cạnh bé 18.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ AH vng góc BC Cho biết Gọi O điểm AH cho AO = 2cm Gọi M N trung điểm AB HC Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng • Chứng minh trọng tâm 18.3 Cho tam giác ABC Gọi D E điểm cạnh BC cho AD = DE = EC Vẽ đường trung tuyến AO tam giác ABC Trên tia đối tia OA lấy điểm F cho OF = OA a) Chứng minh D trọng tâm tam giác BAF; E trọng tâm tam gác CAF b) Tia AD cắt BF N, tia FE cắt AC M Chứng minh tam giác ABC tam giác AMN có trọng tâm 18.4 Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng a // BC Qua B vẽ đường thẳng b // AC qua C vẽ đường thẳng c // AB Các đường thẳng b c cắt A’ cắt đường thẳng a C’ B’ Chứng minh ABC A’B’C’ có trọng tâm 18.5 Cho góc xOy điểm G góc Hãy xác định tâm tam giác AOB cho G trọng “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học • Tính độ dài đường trung tuyến 18.6 Cho tam giác ABC cân A, Tính độ dài đường trung tuyến BM 18.7 Cho tam giác ABC vuông A Các đường trung tuyến BE CF cắt G Biết Tính chu vi tam giác ABC 18.8 Cho tam giác ABC vuông A, AB2 = 2AC2 Chứng minh đường trung tuyến AM CN vng góc với 18.9 Chứng minh tổng ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi tam giác • Chứng minh trung tuyến, trung điểm 18.10 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE CF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh AG vng góc với BC 18.11 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm D cho Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB Tia BD cắt AE điểm M Trên tia CM lấy điểm N cho M trung điểm NC Chứng minh AN = BC 18.12 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh tam giác ABC tam giác cân 18.13 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh 18.14 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ... ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác, ta chứng minh ba đường trung tuyến tỉ lệ với ba cạnh tam giác *Trình bày lời giải Gọi AD, BE, CF ba đường trung tuyến ABC Ba đường trung tuyến. .. = BDH (c.g.c) GC HB Theo tính chất ba đường trung tuyến ABC ta có: Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung tuyến ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng... học • Tính độ dài đường trung tuyến 18.6 Cho tam giác ABC cân A, Tính độ dài đường trung tuyến BM 18.7 Cho tam giác ABC vuông A Các đường trung tuyến BE CF cắt G Biết Tính chu vi tam giác ABC