Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 18 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm tam giác) Trọng tâm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua điểm (hình 18.1) B Một số ví dụ: Ví dụ Cho tam giác ABC , hai đường trung tuyến BM CN cắt G Trên tia GB GC lấy điểm F E cho G trung điểm FM đồng thời trung điểm EN Chứng minh ba đường thẳng AG, BE CF đồng quy Giải (hình 18.2) * Tìm cách giải Để chứng minh ba đường thẳng AG , BE CF đồng quy ta chứng minh chúng ba đường trung tuyến tam giác GBC * Trình bày lời giải Gọi D giao điểm AG BC Vì G trọng tâm ABC nên AD đường trung tuyến, suy DB DC 1 GF GM BM , GE GN CN 3 Ta có �1 � �1 � GF GB � BM � ; GE EC � CN � �3 � �3 � Do đó: Xét GBC có GD, BE , CF ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ba đường thẳng AD, BE , CF đồng quy Ví dụ Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Bx // AC Lấy điểm D �Bx điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD CE Chứng minh ABC ADE có trọng tâm Giải * Tìm cách giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học ABC ADE có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có trọng tâm, cần chứng minh có chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A * Trình bày lời giải � � Vì Bx / /AC nên CBx BCE (so le trong) Gọi M trung điểm BC BMD CME c.g.c Ta có � � Suy MD = ME (1) BMD CME � � Ta có: BME CME 180 ( kề bù) � � Do : BME BMD 180 � D, M, E thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm DE ABC ADE có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G hai tam giác trùng * Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác có trọng tâm ta chứng minh chúng có chung đỉnh chung đường trung tuyến qua đỉnh Ví dụ Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD Trên tia đối tia DA lấy DK AD điểm K cho Qua B vẽ đường thẳng song song với CK cắt AC M Chứng minh M trung điểm AC Giải * Tìm cách giải Để chứng minh M trung điểm AC ta chứng minh BM đường trung tuyến Muốn vậy, cần chứng minh BM qua trọng tâm G * Trình bày lời giải Gọi G giao điểm BM AD Ta có: BDG = CDK (g.c.g) DG DK AD Suy GD AD nên G trọng tâm Suy BM ABC có điểm G nằm đường trung tuyến AD mà đường trung tuyến MA = MC Ví dụ 4: Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác Giải (h.18.5) *Tìm cách giải Để chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác, ta chứng minh ba đường trung tuyến tỉ lệ với ba cạnh tam giác *Trình bày lời giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Gọi AD, BE, CF ba đường trung tuyến ABC Ba đường trung tuyến cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm H cho DH = DG Ta có: CDG = BDH (c.g.c) � GC HB Theo tính chất ba đường trung tuyến ABC ta có: 3 3 AD GA GH ; BE GB; CF GC BH 2 2 AD BE CF Suy : GH GB BH Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung tuyến ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 18.1 Chứng minh tam giác có hai cạnh khơng đường trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ đường trung tuyến ứng với cạnh bé 18.2 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ AH vng góc BC Cho biết AB 10 cm, AC 13 cm, AH cm Gọi O điểm AH cho AO = 2cm Gọi M N trung điểm AB HC Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng Chứng minh trọng tâm 18.3 Cho tam giác ABC Gọi D E điểm cạnh BC cho AD = DE = EC Vẽ đường trung tuyến AO tam giác ABC Trên tia đối tia OA lấy điểm F cho OF = OA a) Chứng minh D trọng tâm tam giác BAF; E trọng tâm tam gác CAF b) Tia AD cắt BF N, tia FE cắt AC M Chứng minh tam giác ABC tam giác AMN có trọng tâm 18.4 Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng a // BC Qua B vẽ đường thẳng b // AC qua C vẽ đường thẳng c // AB Các đường thẳng b c cắt A’ cắt đường thẳng a C’ B’ Chứng minh ABC A’B’C’ có trọng tâm 18.5 Cho góc xOy điểm G góc Hãy xác định A �Ox, B �Oy cho G trọng tâm tam giác AOB Tính độ dài đường trung tuyến 18.6 Cho tam giác ABC cân A, AB 41 cm, BC 24 cm Tính độ dài đường trung tuyến BM 18.7 Cho tam giác ABC vuông A Các đường trung tuyến BE CF cắt G Biết GB 61 cm, GC 601 cm Tính chu vi tam giác ABC 18.8 Cho tam giác ABC vuông A, AB2 = 2AC2 Chứng minh đường trung tuyến AM CN vng góc với 18.9 Chứng minh tổng ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi tam giác Chứng minh trung tuyến, trung điểm 18.10 Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BE CF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh AG vng góc với BC “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học AC 18.11 Cho tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm D cho Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB Tia BD cắt AE điểm M Trên tia CM lấy điểm N cho M trung điểm NC Chứng minh AN = BC AD 18.12 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh tam giác ABC tam giác cân AB GB AC GC 18.13 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh � A 90o AM BC o � 18.14 Cho tam giác ABC trọng tâm G Chứng minh BGC 90 AB AC 3BC “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page ... đường trung tuyến AD mà đường trung tuyến MA = MC Ví dụ 4: Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác ba cạnh tam giác khác Giải (h.18.5) *Tìm cách giải Để chứng minh ba đường trung tuyến tam giác. .. GB BH Vậy ba đường trung tuyến AD, BE, CF tỉ lệ với ba cạnh tam giác GHB, ba đường trung tuyến ba cạnh tam giác C Bài tập vận dụng Chứng minh đồng quy, thẳng hàng 18.1 Chứng minh tam giác có... 601 cm Tính chu vi tam giác ABC 18.8 Cho tam giác ABC vuông A, AB2 = 2AC2 Chứng minh đường trung tuyến AM CN vng góc với 18.9 Chứng minh tổng ba đường trung tuyến tam giác lớn chu vi tam giác